高考数学专题复习系列导学案9

空间向量
1
．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘．
2．了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念；掌握空间向量的坐标运算．
3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公
理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解
空间向量的数量积的几何意义；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直.
第1课时 空间向量及其运算
空间向量是平面向量的推广．在空间，任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量．因此，空间向量的加减、数乘向量运算也是平面向量对应运算的推广．
本节知识点是：
1．空间向量的概念，空间向量的加法、减法、数乘运算和数量积；(1) 向量：具有 和 的量．
(2) 向量相等：方向 且长度 ．(3) 向量加法法则： ．(4) 向量减法法则： ．(5) 数乘向量法则： ．
空间
2．线性运算律
(1) 加法交换律：a ＋b ＝ ．
(2) 加法结合律：(a ＋b )＋c ＝ ．(3) 数乘分配律：λ(a ＋b )＝ ．3．共线向量
(1)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相 或 ．(2) 共线向量定理：对空间任意两个向量a 、b (b ≠0)，a ∥b 等价于存在实数λ，使 ．
(3) 直线的向量参数方程：设直线l 过定点A 且平行于非零向量a ，则对于空间中任意一点O ，点P 在l 上等价于存在R t ∈，使 ．
4．共面向量
(1) 共面向量：平行于 的向量．(2) 共面向量定理：两个向量a 、b 不共线，则向量P 与向量a 、b 共面的充要条件是
存在实数对(y x ,)，使P ．
共面向量定理的推论： ．5．空间向量基本定理
(1) 空间向量的基底： 的三个向量．
(2) 空间向量基本定理：如果a ，b ，c 三个向量不共面，那么对空间中任意一个向量p ，存在一个唯一的有序实数组z y x ,,，使 ．
空间向量基本定理的推论：设O ，A ，B ，C 是不共面的的四点，则对空间中任意一点P ，都存在唯一的有序实数组z y x ,,，使 ．
6．空间向量的数量积
(1) 空间向量的夹角： ．
(2) 空间向量的长度或模： ．
(3) 空间向量的数量积：已知空间中任意两个向量a 、b ，则a ·b ＝ ．
空间向量的数量积的常用结论：
(a) cos 〈a 、b 〉＝ ； (b) ⎪a ⎪2＝ ；
(c) a ⊥b ⇔ ．(4) 空间向量的数量积的运算律：
(a ) 交换律a ·b ＝ ；
(b ) 分配律a ·(b ＋c )＝ ．
例1．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点F 是侧面CDD 1C 1的中心，若
1AA y AB x AD AF ++=，求
x －y 的值.
解：易求得0
,2
1=-∴==y x y x 变式训练1. 在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为AC 与BD 的交点，若=11B A a ，=11D A b ，
=A A 1c ，则下列向量中与M
B 1相等的向量是 ( )
A ．-2
1a ＋2
1b ＋c B ．2
1a ＋2
1b ＋c
C ．2
1a -2
1b ＋c
D ．-2
1a -2
1b ＋c
解：A
例2. 底面为正三角形的斜棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为AC 的中点，求证：AB 1∥平面C 1BD.
证明：记,,,1c AA b AC a AB ===
则
c CC DC DC a AD AB DB c a AB ++==-=+=,111∴11AB c a DC DB =+=+,∴1
1,,
DC DB AB 共面.
∵B 1∉平面C 1BD, AB 1//平面C 1BD.
变式训练2：正方体ABCD －EFGH 中，M 、N 分别是对角线AC 和BE 上的点，且AM ＝EN ．
(1) 求证：MN ∥平面FC ； (2) 求证：MN ⊥AB ；
(3) 当MA 为何值时，MN 取最小值，最小值是多少？解：(1) 设
.)1(,BF k BC k MN k AC
MC
EB NB +-===则(2) .0)1(=⋅-⋅-=⋅AB BF k AB BC k AB MN (3) 设正方体的边长为a ,
,2
1,)12222=
+-k a k k 即当也即时AC AM 2
1=a 2
2=
例3. 已知四面体ABCD 中，AB ⊥CD ，AC ⊥BD ， G 、H 分别是△ABC 和△ACD 的重心．求证：(1) AD ⊥BC ； (2) GH ∥BD ．证明：(1) AD ⊥BC ⇔
0=⋅BC AD ．因为
AB ⊥CD 0=⋅⇔CD AB ，0=⋅⇔⊥BD AC BD AC ，而
0)()(=+⋅+=⋅DC BD BD AB BC AD ．
所以AD ⊥BC ．
A
B
C
D A
C
B
(2) 设E 、F 各为BC 和CD 的中点．欲证GH ∥BD ，只需证GH ∥EF ，AH GA GH +=＝
3
2
(AF EA +)＝3
2EF ．
变式训练3：已知平行六面体1111D C B A ABCD -，E 、F 、G 、H 分别为棱AB C C C D D A 和11111,,的中点．求证：E 、F 、G 、H 四点共面．
解：CG HC HG +=＝1
GC HC +＝1FC GF HC ++＝GF FC F A ++11＝GF EF +2，
所以EH EG EF ,,共面，即点E 、F 、G 、H 共面．
例4. 如图，平行六面体AC 1中，AE ＝3EA 1，AF ＝FD ，AG ＝GB 2
1，过E 、F 、G 的平面
与对角线AC 1交于点P ，求AP:PC 1的值．
解：设1
AC m AP =
AF AG AD
AA AB C B BB AB AC 2311111++
=++=++= ∴AF
m AE m AG m AP 23
43++=又∵E 、F 、G 、P 四点共面，∴1
23
43=++m m m ∴19
3=m ∴AP ︰PC 1＝3︰16
变式训练4：已知空间四边形OABC 中，M 为BC 的中点，N 为AC 的中点，P 为OA 的中点，Q 为OB 的中点，若AB ＝OC ，求证QN PM ⊥．
证明：法一：)
(2
1OC OB OM +=)(2
1
OC OA ON +=
)(2
1
OC AB OM PO PM +=
+=∴
B B
)(2
1
AB OC ON QO QN -=
+=
0⋅∴QN PM 故QN
PM
⊥法二：PM ·QN ＝(PQ ＋QM )·(QM ＋MN )＝)(21
OC AB +·)
(2
1BA OC +＝)(4
12
2AB OC -＝0
1
．立体几何中有关垂直和平行的一些命题，可通过向量运算来证明．对于垂直，一般是利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0进行证明．对于平行，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明．
2．运用向量求解距离问题，其一般方法是找出代表相应距离的线段所对向量，然后计算这个向量对应的模．而计算过程中只要运用好加法法则，就总能利用一个一个的向量三角形，将所求向量用有模和夹角的已知向量表示出来，从而求得结果．
3．利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时也很方便．其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角，而求两个向量的夹角则可以利用公式c os θ
4．异面直线间的距离的向量求法：已知异面直线l 1、l 2，AB 为其公垂线段，C 、D 分别为l 1、l 2上的任意一点，为与AB 共线的向量，则｜AB .
5．设平面α的一个法向量为n ，点P 是平面α外一点，且P o ∈α，则点P 到平面α的距离是d o .
第2课时 空间向量的坐标运算
设a ＝),,(321a a a ，b ＝),,(321b b b (1) a ±b ＝
(2) λa ＝ ． (3) a ·b ＝ ．
(4) a ∥b ⇔ ；a ⊥b ⇔ ． (5) 设),,(),,,(222111z y x B z y x A ==
则AB ＝ ， AB 的中点M 的坐标为 ． 例1. 若a ＝(1,5,－1)，b ＝(－2,3,5) （1）若(k a +b )∥(a －3b )，求实数k 的值； （2）若(k a +b )⊥(a －3b )，求实数k 的值； （3k 的值． 解：(1)3
1-=k ；
(2)3
106=k ； (3)27
8-=k
变式训练1. 已知O 为原点，向量()()3,0,1,1,1,2,,OA OB OC OA BC ==-⊥∥OA ，求AC ．
解：设()(),,,1,1,2OC x y z BC x y z ==+--，
∵,OC OA BC ⊥∥OA ，∴0OC OA ⋅=，()BC OA R λλ=∈，
∴()()30,
1,1,23,0,1x z x y z λ+=⎧⎪⎨+--=⎪⎩，即30,13,10,2.
x z x y z λλ+=⎧⎪+=⎪⎨-=⎪
⎪-=⎩
解此方程组，得7211
,1,,101010
x y z λ=-===。

∴721,1,1010OC ⎛⎫=-
⎪⎝⎭，3711,1,1010AC OC OA ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭。

例2. 如图，直三棱柱111C B A ABC -，底面ABC ∆中，CA ＝CB ＝1， 90=∠BCA ，棱21=AA ，M 、N 分别A 1B 1、A 1A 是的中点．
(1) 求BM 的长；
(2) 求〉〈11,cos CB BA 的值； (3) 求证：N C B A 11⊥．
解：以C 为原点建立空间直角坐标系xyz O -.
(1) 依题意得B （0，1，0），M （1，0，1
3. (2) 依题意得A 1（1，0，2），B （0，1，0），C （0，0，0），B 1（0，1，2）
.
),2,11⋅CB BA
,cos 11<∴CB BA .
(3) 证明：依题意得C 1（0，0，2），N )0,2
1,21(),2,1,1(),2,2
1,21(11=--=∴N C B A .
N
C B A N C B A 1111,002
1
21⊥∴=++-=⋅∴
变式训练2. 在四棱锥P －ABCD 中， 底面ABCD 为矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，AB ＝
3
，BC ＝1，PA ＝2，E 为PD 的中点．
(1) 在侧面PAB 内找一点N ，使NE ⊥面PAC ，并求出N 点到AB 和AP 的距离； (2) 求(1) 中的点N 到平面PAC 的距离．
解：(1) 建立空间直角坐标系A －BDP ，则A 、B 、C 、D 、P 、E 的坐标分别是A(0, 0, 0)、B(
3
, 0, 0)、C(
3
, 1, 0)、D(0, 1, 0)、P(0, 0, 2)、E(0,
2
1, 1)，依题设N(x , 0, z )，则NE ＝(－x ,
2
1, 1－z )，由于NE ⊥平面PAC ，
B
C
P E D
·
∴⎪⎩⎪⎨⎧
=⋅=⋅0
0AC NE AP NE 即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
=⋅--=⋅--0
21
3010)0,1,3()1,21,(0)2,0,0()1,21,(x z z x z x ⎪⎩
⎪⎨⎧==⇒163
z x ，即点N 的坐标为(
6
3
, 0, 1)，
从而N 到AB 、AP 的距离分别为1，
6
3.
(2) 设N 到平面PAC 的距离为d ，则d
＝
1233121|
)0,2
1
,63(||
)0,21,63()1,0,63(
|=⨯=--⋅.
例3. 如图，在底面是棱形的四棱锥ABCD P -中，,,60a AC PA ABC ===∠ a PD PB 2==，
点E 在PD 上，且PE :ED ＝2:1．
(1) 证明 ⊥PA 平面ABCD ；
(2) 求以AC 为棱，EAC 与DAC 为面的二面角θ的大小；
(3) 在棱PC 上是否存在一点F ，使BF ∥平面AEC
解：（1）证明略； （2）易解得 30=θ；
（3）解 以A 为坐标原点，直线AP AD ,分别为y 轴、z 轴，过A 点垂直于平面PAD 的直线为x 轴，建立空间直角坐标系（如图）．由题设条件，相关各点的坐标为
)0,2
1
,23(),0,21,23(
),0,0,0(a a C a a B A - )3
1
,32,0(),,0,0(),0,,0(a a E a P a D
所以=AE )31,32,0(a a ，=AC )0,2
1
,23(
a a ， =AP ),,0,0(a =PC ),2
1
,23(a a a - =BP ),2
1
,23(a a a -
，设点F 是棱PC 上的点，==PC PF λ),2
1
,23(
a a a λλλ-，其中10<<λ，则))1(),1(21
),1(23(λλλ-+-=+=a a a PF BP BF ．令AE AC BF 21λλ+=得⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪
⎨⎧=-+=+=-2
2
1131)1(3221)1(2
123
)1(2
3λλλλλλλa a a a a a a
D
E
解得23,21,2121=-==λλλ，即21=λ
时，BF =．亦即，F 是PC 的中点时，
AE AC BF ,,共面，又⊄BF 平面AEC ，所以当
F 是PC 的中点时，BF ∥平面AEC ．
例4. 如图，多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEFG 所截而得，其中AB ＝4，BC ＝1，BE ＝3，CF ＝4.
(1) 求EF 和点G 的坐标； (2) 求GE 与平面ABCD 所成的角； (3) 求点C 到截面AEFG 的距离．
解：(1) 由图可知：A(1，0，0)，B(1，4，0)， E(1，4，3)，F(0，4，4) ∴)1,0,1(-=EF 又∵EF AG =，设G(0，0，z)，则(－1，0，z) ＝(－1，0，1) ∴z ＝1 ∴G(0，0，1) (2)平面ABCD 的法向量).1,0,0(=DG
)2,4,1(=GE ，设GE 与平面ABCD 成角为θ，则
21
212
)2
cos(
=-θπ
∴=θ(3)设0n ⊥面AEFG ，0n ＝(x 0，y 0，z 0)
∵0n ⊥AG ，0n ⊥AE ，而AG ＝(－1，0，1)，AE ＝(0，4，3)
∴),43,(43
034000000
00
00000z z z n z y z x z y z x -=∴⎪⎩
⎪⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=+
=+- 取z 0＝4，则0n ＝(4，－3，4) ∵41
41
16),4,0,0(==
∴=d CF
即点C 到截面AEFG 的距离为
41
4116．
变式训练4. 如图四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，PG ⊥平面ABCD ，垂
足为G ，G 在AD 上，且PG ＝4，GD AG 3
1
=，BG ⊥GC ，GB
＝GC ＝2，E 是BC 的中点．
(1)求异面直线GE 与PC 所成的角的余弦值；
y
(2)求点D 到平面PBG 的距离；
(3)若F 点是棱PC 上一点，且DF ⊥GC ，求
FC
PF
的值． 解：(1)以G 点为原点，GP GC GB 、、为x 轴、y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，则B (2，0，0)，C (0，2，0)， P (0，0，4)，故E (1，1，0)，GE ＝(1，1，0)， PC ＝(0，2，4)。

1010
20
22|
|||cos =⋅⋅>=
<PC GE PC GE ，， ∴GE 与PC 所成的余弦值为
10
10． (2)平面PBG 的单位法向量n ＝(0，±1，0) .
∵)02
3
23(，
，-===GD ， ∴点D 到平面PBG 的距离为⋅GD |n |＝23
.
(3)设F (0，y ，z )，则)23
23()02323()0(z y z y DF ，，，，，，
-=--=。

∵GC DF ⊥，∴0=⋅GC DF ，
即032)020()23
23(=-=⋅-y z y ，，，
，， ∴23=y , 又PC PF λ=，即(0，23
，z －4)＝λ(0，2，－4)， ∴z =1，
故F (0，
23，1) ，)1210()3230(-=-=，，，，，FC PF ，∴3PF
PC ==。

对于以下几类立体几何问题：(1) 共线与共面问题；(2) 平行与垂直问题；(3) 夹角问题；(4) 距离问题；(5) 探索性问题．
运用向量来解决它们有时会体现出一定的优势．用空间向量解题的关键步骤是把所求向量用某个合适的基底表示，本节主要是用单位正交基底表示，就是适当地建立起空间直角坐标系，把向量用坐标表示，然后进行向量与向量的坐标运算，最后通过向量在数量上的关系反映出向量的空间位置关系，从而使问题得到解决．在寻求向量间的数量关系时，一个基本的思路是列方程，解方程．
P
A
G
B
C
D
F
E
空间向量章节测试题
1．在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB=2，A A 1=1，则点A 到平面A 1BC 的距离为（
）
A ．
4
3 B ．
2
3 C ．
4
3
3 D ．3
2．在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB=2BB 1,则AB 1与C 1B 所成的角的大小为
A.60º
B. 90º
C.105º
D. 75º
3．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1与CC 1的中点，则直线ED 与D 1F 所成角的大小是
（
）
A ．15
B 。

13
C 。

12
D 3 4．
设E ，F 是正方体AC 1的棱AB 和D 1C 1的中点，在正方体的12条面
对角线中，与截面A 1ECF 成60°角的对角线的数目是
（
） A ．0
B ．2
C ．4
D ．6
5．棱长都为2的直平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，∠BAD=60°，则对角线A 1C 与侧面DCC 1D 1所成角的正弦值为
（
）
A ．2
2
B ．
21
C ．
4
3 D ．
8
3 6．
在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，O 是底面ABCD 的中心，
E 、
F 分别是1CC 、AD 的中点，那么异面直线OE 和1FD 所成的角的余弦值等于
（ ） A ．5
10
B ．
3
2
C ．
5
5
D ．
5
15 7．
棱长为a 的正四面体中，高为H ，斜高为h ，相对棱间的距离为d ，
则a 、H 、h 、d 的大小关系正确的是
（
）
A ．a >H>h >d
B ．a >d >h >H
C ．a >h >d >H
D ．a >h >H>d
8．将正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使平面ABD ⊥平面CBD ，E 是CD 中点，则AED ∠的大小为
（
）
A.45
B.30
C.60
D.90
9．三棱锥A —BCD 的高AH = 3a 3，H 是底面△BCD 的重心．若AB=AC ，二面角A —BC —D 为60°，G 是△ABC 的重心，则HG 的长为
（ ）
A ．a 5
B ．a 6
C ．a 7
D ．a 10
10．PA ，PB ，PC 是从P 引出的三条射线，每两条的夹角都是
60º，则直线PC 与平面PAB 所成的角的余弦值为
（
）
A ．
12
B
C D 11．已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的所有棱长都相等，D 是A 1C 1的中点，则直线AD 与平面B 1DC 所成角的正弦值为 。

12。

如图，正方体的棱长为1，C 、D
分别是两条棱的中点， A 、B 、M 是顶点，那么
点M 到截面ABCD 的距离是 .
13．正四棱锥P -ABCD 的所有棱长都相等，E 为PC 中点，则直线AC 与截面BDE 所成的角为 ．
14．已知边长为的正三角形ABC 中，E 、F 分别为BC 和AC 的中点，PA ⊥面ABC ，且PA=2，设平面α过PF 且与AE 平行，则AE 与平面α间的距离为 ．
15．如右下图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，已知AB = 4， AD =3， AA 1= 2．E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB = FB =1．
（1）求二面角C -DE -C 1的正切值； （2）求直线EC 1与FD 1所成的余弦值．
A
B
M
D C
A
E
D
C
B
A
F D C
B
A
B
C
D
P
16．如图，三棱锥P —ABC 中， PC ⊥平面ABC ，PC=AC=2，AB=BC ，D 是PB 上一点，且CD ⊥平面PAB ．
(I) 求证：AB ⊥平面PCB ；
(II) 求异面直线AP 与BC 所成角的大小； (III)求二面角C-PA-B 的大小的余弦值．
17．如图所示，已知在矩形ABCD 中，AB =1，BC =a （a >0），PA ⊥平面AC ，且PA =1．
（1）试建立适当的坐标系，并写出点P 、B 、D 的坐标； （2）问当实数a 在什么范围时，BC 边上能存在点Q ， 使得PQ ⊥QD ？
（3）当BC 边上有且仅有一个点Q 使得PQ ⊥QD 时， 求二面角Q -PD -A 的大小．
Q
P
D
C
B
A
空间向量章节测试题答案
1．B 。

2． B 。

3． A 。

4．
C 。

提示：以
D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴建立
空间直角坐标系，并设正方体的棱长为1，则A 1(1，0，0)，E (1，1
2
，0)，C (0，1，0)．设
平面A 1ECF 的法向量为n =(x ，y ，z )，则由1A E n =0及EC n =0，可得x =z =1
2
y ，于是可取
n =(1，1
2
，1)．
11(0,1,1)AB DC ==，11(1,1,0)D B DB ==，而且可计算得到这四个向量与向量n 所成的
角为30°，于是这四个向量与平面A 1ECF 所成的角为60°．而其它的面对角线所在的向量均不满足条件．
5 D 。

6． C 。

7． C 。

8．A 。

9． D 。

10． D
11．45。

12． 23 。

13．设AC 与BD 相交于点O ，则OE 与OC 所成的角即∠EOC 为所求．易得大小为45°． 14．
3
3
2 15．（1）如图，以A 为原点，1,,AA AD AB 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正向建立空间直角坐标系A -xyz ，则有D (0，3，0)、D 1(0，3，2)、E (3，0，0)、F (4，1，0)、C 1(4，3，2)．
于是，1(3,3,0),(1,3,2)DE EC =-=， 1(4,2,2)FD =-．
设向量(,,)x y z =n 与平面C 1DE 垂直，则有 1330
13202DE x y x y z x y z EC ⎫⊥-=⎫⎪⇒⇒==-⎬⎬++=⊥⎭
⎪⎭n n ．
A B
C D
P
x
y
z
∴(,,)(1,1,2),222
z z z
z =--=--n 其中z ＞0．
取n 0=(-1，-1，2)，则n 0是一个与平面C 1DE 垂直的向量． ∵向量1AA =（0，0，2）与平面CDE 垂直， ∴n 0与1AA 所成的角θ为二面角C -DE -C 1的平面角． ∵0101cos ||||1AA AA θ==
=
⨯n n ， ∴tan θ=
（2）设EC 1与FD 1所成角为β，则
1111cos ||||1EC FD EC FD β===
⨯． 16． (1) ∵PC ⊥平面ABC,⊂AB 平面ABC ， ∴PC ⊥AB.∵CD ⊥平面PAB ，⊂AB 平面PAB ， ∴CD ⊥AB ．又C CD PC = ，∴AB ⊥平面PCB ． ∴二面角C-PA-B 的大小的余弦值为
3
3
． (2) 由(I) AB ⊥平面PCB ，∵PC=AC=2， 又∵AB=BC ，可求得BC= 2 ．以B 为原点， 如图建立坐标系．则Ａ（０,2,０），Ｂ（0,0,0）， C （2,０,0），P （2,０,2）．
AP =(2,－2,2)，BC =(2,0,0)．
则AP BC ⋅=2×2+0+0=2．
cos AP,BC <>=AP BC
AP BC ⋅⋅=2222⨯= 21．
∴异面直线AP 与BC 所成的角为
3
π． （3）设平面PAB 的法向量为m = (x ，y ，z )．AB =(0, －2,0),AP =(2,－2,2)， 则AB 0,AP 0.⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即0,20.z ⎧=⎪+=解得0,y x =⎧⎪⎨=⎪⎩令z= -1,得 m = (2，0，-1)．
设平面PAC 的法向量为n =(x ', y ', z ').PC ＝(0,0,－2), AC =(2,－2,0)，
则PC 0,⎧⋅=⎪⎨⎪⎩n '''
20,0.z ⎧-=⎪=解得'
''0,
z x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 令x '=1, 得 n = (1，1，0)． cos ,<m n =∴二面角C-PA-B 的大小的余弦值为33． 17．（1）以A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 分 别为x 、y 、z 轴建立坐标系如图所示．
∵PA=AB=1，BC=a，
∴P（0，0，1），B（1，1，0），
D（0，a，0）．
（2）设点Q（1，x，0），则
(1,,0),(1,,1)
DQ x a QP x
=-=--．
由0
DQ QP
∙=，得x2-ax+1=0．
显然当该方程有实数解时，BC边上才存在点Q，使得PQ⊥QD，故⊿=a2-4≥0．
因a>0，故a的取值范围为a≥0．
（3）易见，当a=2时，BC上仅有一点满足题意，此时x=1，即Q为BC的中点．
取AD的中点M，过M作MN⊥PD，垂足为N，连结QM、QN．则M（0，1，0），P（0，0，1），D（0，2，0）．
∵D、N、P三点共线，
∴
(0,1,0)(0,1,1)(0,1,) 111
MD MP
MN
+λ+λ--λλ===
+λ+λ+λ
．
又(0,2,1)
PD=-，且0
MN PD
∙=，
故(0,1,)232
(0,2,1)0
113
-λλ-λ
∙-==⇒λ= +λ+λ
．
于是
22
(0,1,)12
33(0,,)
255
1
3
MN
-
==
+
．
故
12
(1,,)
55 NQ NM MQ MN AB
=+=-+=--．
∵
12
02()(1)()0
55
PD NQ
∙=+⨯-+-⨯-=，
∴PD NQ
⊥．
∴∠MNQ为所求二面角的平面角．
∵
6 cos
||||
NM NQ
MNQ
NM NQ
∙
∠==，
∴所求二面角为．。