2024北京北师大实验中学高二(上)期中数学(教师版)

2024北京北师大实验中学高二（上）期中
数 学
2024年11月
本试卷共4页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题，共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．已知直线l 的倾斜角为
2π
3
，则l 的斜率为（ ）
A.
3
C.3
−
D.
2．已知点P 在椭圆22
132
x y +=上，点()11,0F ，()21,0F −，则12PF PF +=（ ）
A.2
B.
C.
D.3．已知圆22
2610x y x y +−++=关于直线0x y m ++=对称，则实数m =（ ）
A.－2
B.－1
C.1
D.2
4．以()2,1为圆心，并且与x 轴相切的圆的方程为（ ） A.()()2
2
214x y −+−= B.()()22
211x y −+−= C.()()2
2
214x y +++=
D.()()2
2
211x y +++=
5．已知点Q 为直线l ∶210x y ++=上的动点，点P 满足()1,3QP =−，记P 的轨迹为E ，则（ ）
A.E 上的点到l
B.E 是一条与l 相交的直线
C.E
D.E 是两条平行直线
6．如图，三棱锥D ABC −中，DC ⊥平面ABC ，1DC =，且ABC △为边长等于2的正三角形，则DA 与平面DBC 所成角的正弦值为（ ）
A.
5
B.
5
C.
5
D.
25
7．已知点M 是直线250x y −+=上的动点，O 是坐标原点，则以OM 为直径的圆一定经过点（ ） A.()0,0和()1,1−
B.()0,0和()1,2−
C.()0,0和()2,2−
D.()0,0和()2,1−
8．已知椭圆C ：22
14x y m
+=的离心率为e ，则“3m =”是“12e =”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
9．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达·芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则点P 到平面QGC 的距离是（ ）
A.
1
2
B.
2
C.
2
D.1
10．如图，已知正方体1111ABCD A B C D −的棱长为1，点M 为棱AB 的中点，点P 在正方形11BCC B 的边界及其内部运动．以下四个结论中错误的是（ ）
A.存在点P 满足1PM PD +=
B.存在点P 满足π12
D PM ∠=
C.满足1AP D M ⊥的点P 的轨迹长度为
π4
D.满足1MP D M ⊥的点P 的轨迹长度为
4
第二部分 （非选择题，共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11．椭圆22
194
x y +=的离心率为______．
12．已知直线1l ：()210m x y +++=，2l ：()5210x m y +−+=．若12l l ∥，则实数m 的值为______．
13．在正三棱柱111ABC A B C −中，2AB =，1AA =
，则异面直线1AB 与1BC 所成角的大小为______．
14．已知点P 是圆()2
211x y −+=上的动点，直线1l ：3470x y −+=，2l ：340x y m −+=，记P 到直线1l ，2l 的距离分别为1d ，2d （若P 在直线上，则记距离为0）， （1）1d 的最大值为______；
（2）若当点P 在圆上运动时，12d d +为定值，则m 的取值范围是______．
15．伯努利双纽线（简称双纽线）是瑞士数学家伯努利（1654-1705）在1694年提出的．伯努利将椭圆的定义作了类比处理，指出是到两个定点距离之积为定值的点的轨迹是双纽线． 在平面直角坐标系xOy 中，到定点(),0A a −，(),0B a 的距离之积为()2
0a a >的点的轨迹C 就是伯努利
双纽线，C 的方程为(
)()2
2
22222x y a x y +=−，其形状类似于符号∞，若点()00,P x y 是轨迹C 上一点，
给出下列四个结论：
①曲线C 关于原点中心对称； ②00y x ≤恒成立；
③曲线C ； ④当0x a =时，0y 取得最大值或最小值． 其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题共6小题，共85分．解答题应写出文字说明、验算步骤或证明过程．
16．（13分）
已知直线l ：()()211510x y λλλ++−−−=，λ∈R ． （Ⅰ）当直线l 与直线20x y +=垂直时，求λ的值； （Ⅱ）设直线l 恒过定点P ，求P 的坐标； （Ⅲ）若对任意的实数λ，直线l 与圆()2
2
2
0x y r r +=>总有公共点，直接写出r 的取值范围．
17．（13分） 已知
C 经过点()0,2A −，()3,1B ，并且圆心C 在直线28y x =−上，
（Ⅰ）求
C 的方程；
（Ⅱ）设过点()2,0P 的直线l 与C 交于M ，N 两点，若MN =l 的方程．
18．（14分）
已知椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为()1F 和)
2
F ，长轴长为4．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设P 为椭圆C 上一点，()1,0M ．若存在实数λ使得12PF PF PM λ+=，求λ的取值范围． 19．（15分）
如图，在三棱台111ABC A B C −中，1A A ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，12AB AC AA ===，111A C =，N 为AB 的中点，M 为棱BC 上一动点（不包含端点）． （Ⅰ）若M 为BC 的中点，求证：1A N ∥平面1C MA ；
（Ⅱ）是否存在点M ，使得平面1C MA 与平面11ACC A 若存在，求出BM 的长度；若不存在，请说明理由．
20．（15分）
平面直角坐标系xOy 中，点M 到点()0,1F 的距离比它到x 轴的距离多1，记点M 的轨迹为C ． （Ⅰ）求轨迹C 的方程；
（Ⅱ）设斜率为k 的直线l 过定点()1,0P ，若直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点，求实数k 的取值范围． 21．（15分）
用一个矩形铁皮制作成一个直角圆形弯管（如图1）：将该矩形铁皮围成一个圆柱体（如图2），再用一个与圆柱底面所成45°的平面截圆柱，将圆柱截成两段，再将这两段重新拼接就可以得到直角圆形弯管． 现使用长为2π，宽为π的矩形铁皮制作一个直角圆形弯管，当得到的直角圆形弯管的体积最大时（不计拼接损耗部分），解答下列问题．
（Ⅰ）求该直角圆形弯管的体积；
（Ⅱ）已知在制造直角圆形弯管时截得的截口是一个椭圆，求该椭圆的离心率；
（Ⅲ）如图3，若将圆柱被截开的一段的侧面沿着圆柱的一条母线剪开，并展成平面图形（如图4），证明：该截口展开形成的图形恰好是某正弦型函数的部分图象，并指出该正弦型函数的最小正周期与振幅．
参开答案
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．D 2．C 3．D 4．B 5．A 6．B 7．D 8．A 9．B 10．C
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11
．
3
12．－3 13．π2 14．3，(],8−∞− 15．①②③
注：14题第一空3分，第二空2分；15题选对1个给3分，选对两个给4分，有错误不给分．
三、解答题共6小题，共85分．解答题应写出文字说明、验算步骤或证明过程．
16．解：（Ⅰ）直线l 的法向量为()21,1λλ+−， 由题知()()21,11,2410λλλ+−⋅=−=，解得1
4
λ=． （Ⅱ）直线l ：()1250x y x y λ−−++−=，
令10,250x y x y −−=⎧⎨+−=⎩，解得2,1,x y =⎧⎨=⎩
即点()2,1P ．
（Ⅲ）r ≥
17．解：（Ⅰ）由1AB k =，线段AB 中点为31,22⎛⎫
−
⎪⎝
⎭， 可知线段AB 的垂直平分线方程为10x y −=， 由圆的对称性知点C 在AB 的垂直平分线上，因此联立10,28,x y y x +−=⎧⎨
=−⎩解得3,
2,
x y =⎧⎨=−⎩即点()3,2C −．
又因为3AC =，所以，圆C ：()()2
2
329x y −++=．
（Ⅱ）当1l 的斜率不存在时，1l ：2x =
，此时，MN = 当1l 的斜率存在时，设1l ：()2y k x =−，即20kx y k −−=，
因为MN =C 到1l
1=，
1=，解得3
4
k =−，
此时，直线1l ：3460x y +−=，
综上，直线1l 的方程为2x =或3460x y +−=．
18．解：
（Ⅰ）由题知22224,,c a a b c ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩
解得2,1,a b c ⎧=⎪
=⎨⎪
=⎩
所以，C 的方程为2
214
x y +=．
（Ⅱ）由椭圆的定义可知124PF PF +=，
设点()00,P x y ，其中220014x y +=，()2
220
0022003342
1224
433
PM x y x x x ⎛⎫=−+=−+=
−+ ⎪⎝⎭， 因为022x −≤≤，所以，2293PM ≤≤
，即33
PM ≤≤ 当且仅当043x =
时，3
PM =，02x =−时，3PM =， 因为12
PF PF PM
λ+=
，所以，4,3
λ⎡∈⎢⎣．
综上所述，λ
的取值范围是4
3⎡⎢⎣．
19．解：（Ⅰ）连接MN ，由M ，N 分别为BC ，AB 的中点，知1
12
MN AC =
=且MN AC ∥， 因此，11NM AC =，且11MN A C ∥，所以，11MNA C 是平行四边形，故11C M A N ∥， 因为1C M ⊂面1C MA ，1A N ⊄1C MA ，所以，1A N ∥平面1C MA ． （Ⅱ）因为1A A ，AB ，AC 两两垂直，所以建立空间直角坐标系A xyz −，
则()10,1,2C ，()10,0,2A ，()2,0,0B ，()0,2,0C ，则()10,1,2AC =，()2,2,0CB =−， 因为AB ⊥平面11AA C C ，所以平面11AA C C 的法向量为()1,0,0AB =， 假设存在满足题意的点M ，且()01CM CB λλ=<<，则()2,22,0M λλ−， 设平面1AC M 的法向量为(),,n x y z =，
则有()120,2220,
n AC y z n AM x y λλ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+−=⎪⎩
不妨设2y λ=，得()22,2,n λλλ=−−
，所以，6
cos ,6
AB n AB n AB n
⋅=
=
， 两边平方，整理得2
3840λλ−+=，解得23λ=
或2λ=（舍），经检验，23
λ=满足题意，
因此，存在点M ，只需23CM CB =
，即3
BM =即可． 20．解：（Ⅰ）设点(),M x y
1y =+，
两边平方，并整理得2
4,0,
220,0,
y y x y y y ≥⎧=+=⎨
<⎩
所以，轨迹C 的方程为2
4,0,
0,0.
y y x y ≥⎧=⎨
<⎩．
（Ⅱ）直线l ：()1y k x =−，当0y ≥时，联立()21,
4,
y k x x y ⎧=−⎪⎨=⎪⎩
消去y 得2
440x kx k −+=，2
1616k k ∆=−，
当0∆=，即0k =或1k =时，有且仅有一个公共点且满足题意； 当0∆<，即01k <<时，无公共点； 当0y <时，令0x =，y k =−，
当0k ≤时，无公共点；当0k >时，有一个公共点； 综合以上可知当01k ≤<时，有且仅有一个公共点， 故k 的取值范围是[)0,1．
21．解：（Ⅰ）当矩形的宽作为圆柱的高时，体积最大，
此时，圆柱体的底面圆的半径为1，高为π，体积为2
2
π1ππ⨯=．
（Ⅱ）设该椭圆为()22
2210x y a b a b
+=>
>，
因此22a
b =
，即a
=，所以，2
e =
． （Ⅲ）以椭圆的短轴所在直线在底面的投影为x 轴建立平面直角坐标系， 设对于底面圆上一点()cos ,sin P αα，则()1,0与P 所连接的弧长为α，
假设短轴对应的高度为0，则点P 对应到椭圆上的点的高度为sin tan 45sin αα︒=， 所以，截口展开形成的图形的函数解析式为sin y x =， 最小正周期为2π，振幅为1．。