陕西省宝鸡市2019-2020学年中考第四次大联考数学试卷含解析

陕西省宝鸡市2019-2020学年中考第四次大联考数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．为了解某校初三学生的体重情况，从中随机抽取了80名初三学生的体重进行统计分析，在此问题中，样本是指（ ）
A ．80
B ．被抽取的80名初三学生
C ．被抽取的80名初三学生的体重
D ．该校初三学生的体重
2．如图，已知AB ∥CD ，DE ⊥AF ，垂足为E ，若∠CAB=50°，则∠D 的度数为（ ）
A ．30°
B ．40°
C ．50°
D ．60°
3．如图1，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，将△ADE 沿线段DE 向下折叠，得到图1．下列关于图1的四个结论中，不一定成立的是（ ）
A ．点A 落在BC 边的中点
B ．∠B+∠1+∠C=180°
C ．△DBA 是等腰三角形
D ．D
E ∥BC
4．如图是某个几何体的三视图，该几何体是（）
A ．三棱柱
B ．三棱锥
C ．圆柱
D ．圆锥
5．如图，在ABC ∆中，点D 为AC 边上一点，,6,3DBC A BC AC ∠=∠==则CD 的长为（ ）
A ．1
B ．12
C ．2
D ．32
6．把多项式ax 3﹣2ax 2+ax 分解因式，结果正确的是（ ）
A．ax（x2﹣2x）B．ax2（x﹣2）
C．ax（x+1）（x﹣1）D．ax（x﹣1）2
7．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a﹣b+c=0那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，则下列结论正确的是（）
A．方有两个相等的实数根B．方程有一根等于0
C．方程两根之和等于0 D．方程两根之积等于0
8．不等式组123
1
2 2
x
x
-<
⎧
⎪
⎨+
≤
⎪⎩
的正整数解的个数是()
A．5 B．4 C．3 D．2
9．如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”．将半径为5的“等边扇形”围成一个圆锥，则圆锥的侧面积为（）
A．
25
2
B．
25
2
πC．50 D．50π
10．如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=50°，AO∥DC，则∠B的度数为（）
A．50°B．55°C．60°D．65°
11．圆锥的底面半径为2，母线长为4，则它的侧面积为（）
A．8πB．16πC．43πD．4π
12．下列长度的三条线段能组成三角形的是
A．2，3，5 B．7，4，2
C．3，4，8 D．3，3，4
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．在今年的春节黄金周中，全国零售和餐饮企业实现销售额约9260亿元，比去年春节黄金周增长10.2%，将9260亿用科学记数法表示为_____________．
14．半径为2的圆中，60°的圆心角所对的弧的弧长为_____.
15．阅读下面材料：
数学活动课上，老师出了一道作图问题：“如图，已知直线l和直线l外一点P.用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥l于点Q．”
小艾的作法如下：
（1）在直线l上任取点A，以A为圆心，AP长为半径画弧．（2）在直线l上任取点B，以B为圆心，BP长为半径画弧．（3）两弧分别交于点P和点M
（4）连接PM，与直线l交于点Q，直线PQ即为所求．
老师表扬了小艾的作法是对的．
请回答：小艾这样作图的依据是_____．
16．如图，直线y=3x与双曲线y=k
x
交于A，B两点，OA=2，点C在x轴的正半轴上，若∠ACB=90°，
则点C的坐标为______．
17．直线AB，BC，CA的位置关系如图所示，则下列语句：①点A在直线BC上；②直线AB经过点C；
③直线AB，BC，CA两两相交；④点B是直线AB，BC，CA的公共点，正确的有_____（只填写序号）．
18．如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是____．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）某校开展“我最喜爱的一项体育活动”调查，要求每名学生必选且只能选一项，现随机抽查了m 名学生，并将其结果绘制成如下不完整的条形图和扇形图．
请结合以上信息解答下列问题：
（1）m=；
（2）请补全上面的条形统计图；
（3）在图2中，“乒乓球”所对应扇形的圆心角的度数为；
（4）已知该校共有1200名学生，请你估计该校约有名学生最喜爱足球活动．
20．（6分）计算（﹣1
2
）﹣2﹣（π﹣3）0+|3﹣2|+2sin60°；
21．（6分）为了解今年初三学生的数学学习情况，某校对上学期的数学成绩作了统计分析，绘制得到如下图表．请结合图表所给出的信息解答下列问题：
成绩频数频率
优秀45 b
良好 a 0.3
合格105 0.35
不合格60 c
（1）该校初三学生共有多少人？求表中a，b，c的值，并补全条形统计图．初三（一）班数学老师准备从成绩优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学做学习经验介绍，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
22．（8分）某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图所示，其中BA=CD，BC=20cm，BC、EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40cm、8cm．为使板凳两腿底端A、D之间的距离为50cm，
那么横梁EF应为多长？（材质及其厚度等暂忽略不计）．
23．（8分）每年的6月5日为世界环保日，为了提倡低碳环保，某公司决定购买10台节省能源的新设备，现有甲、乙两种型号的设备可供选购，经调查：购买了3台甲型设备比购买2台乙型设备多花了16万元，购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少花6万元.求甲、乙两种型号设备的价格；该公司经预算决定购买节省能源的新设备的资金不超过110万元，你认为该公司有几种购买方案；在（2）的条件下，已知甲型设备的产量为240吨/月，乙型设备的产量为180吨/月，若每月要求总产量不低于2040吨，为了节约资金，请你为该公司设计一种最省钱的购买方案.
24．（10分）如图所示，点C为线段OB的中点，D为线段OA上一点．连结AC、BD交于点P．
（问题引入）（1）如图1，若点P为AC的中点，求AD
DO
的值．
温馨提示：过点C作CE∥AO交BD于点E．
（探索研究）（2）如图2，点D为OA上的任意一点（不与点A、O重合），求证：PD AD PB AO
=．
（问题解决）（3）如图2，若AO=BO，AO⊥BO，
1
4
AD
AO
=，求tan∠BPC的值．
25．（10分）观察下列等式：
22﹣2×1＝12+1①
32﹣2×2＝22+1②
42﹣2×3＝32+1③
…第④个等式为；根据上面等式的规律，猜想第n个等式（用含n的式子表示，n是正整数），并说明你猜想的等式正确性．
26．（12分）解方程：
31
22 x x
=
-+
27．（12分）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：
如图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO=30°，∠OAC=75°，AO=33，BO：CO=1：3，求AB的长．
经过社团成员讨论发现，过点B 作BD ∥AC ，交AO 的延长线于点D ，通过构造△ABD 就可以解决问题（如图2）．
请回答：∠ADB= °，AB= ．请参考以上解决思路，解决问题：
如图3，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AC ⊥AD ，AO=33，∠ABC=∠ACB=75°，BO ：OD=1：3，求DC 的长．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．C
【解析】
【分析】
总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【详解】
样本是被抽取的80名初三学生的体重，
故选C ．
【点睛】
此题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
2．B
【解析】
试题解析：∵AB ∥CD ，且50CAB ∠=︒，
50ECD ∴∠=︒，
ED AE Q ，
⊥ 90CED ∴∠=︒，
∴在Rt CED V 中，905040D ．
∠=︒-︒=︒ 故选B ．
3．A
【解析】
【分析】
根据折叠的性质明确对应关系，易得∠A=∠1，DE 是△ABC 的中位线，所以易得B 、D 答案正确，D 是AB 中点，所以DB=DA ，故C 正确．
【详解】
根据题意可知DE 是三角形ABC 的中位线，所以DE ∥BC ；∠B+∠1+∠C=180°；∵BD=AD ，∴△DBA 是等腰三角形．故只有A 错，BA≠CA ．故选A ．
【点睛】
主要考查了三角形的内角和外角之间的关系以及等腰三角形的性质．还涉及到翻折变换以及中位线定理的运用．
（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．
（1）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件．通过折叠变换考查正多边形的有关知识，及学生的逻辑思维能力．解答此类题最好动手操作．
4．A
【解析】
试题分析：观察可得，主视图是三角形，俯视图是两个矩形，左视图是矩形，所以这个几何体是三棱柱，故选A ．
考点：由三视图判定几何体.
5．C
【解析】
【分析】
根据∠DBC=∠A ，∠C=∠C ，判定△BCD ∽△ACB
3=代入求值即可.
【详解】
∵∠DBC=∠A ，∠C=∠C ，
∴△BCD ∽△ACB ，
∴CD BC BC AC
=，
3
=
∴CD=2.
故选:C.
【点睛】
主要考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键.
6．D
【解析】
【分析】
先提取公因式ax，再根据完全平方公式把x2﹣2x+1继续分解即可.
【详解】
原式=ax（x2﹣2x+1）=ax（x﹣1）2，
故选D．
【点睛】
本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解.因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法. 因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止.
7．C
【解析】
试题分析：根据已知得出方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根x=1和x=﹣1，再判断即可．
解：∵把x=1代入方程ax2+bx+c=0得出：a+b+c=0，
把x=﹣1代入方程ax2+bx+c=0得出a﹣b+c=0，
∴方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根x=1和x=﹣1，
∴1+（﹣1）=0，
即只有选项C正确；选项A、B、D都错误；
故选C．
8．C
【解析】
【分析】
先解不等式组得到-1＜x≤3，再找出此范围内的正整数．
【详解】
解不等式1-2x＜3，得：x＞-1，
解不等式
1
2
x
≤2，得：x≤3，
则不等式组的解集为-1＜x≤3，
所以不等式组的正整数解有1、2、3这3个，
故选C．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式组的整数解，解题的关键是正确得出一元一次不等式组的解集. 9．A
【解析】
【分析】
根据新定义得到扇形的弧长为5，然后根据扇形的面积公式求解．
【详解】
解：圆锥的侧面积=1
2
•5•5=
25
2
．
故选A．
【点睛】
本题考查圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
10．D
【解析】
试题分析：连接OC，根据平行可得：∠ODC=∠AOD=50°，则∠DOC=80°，则∠AOC=130°，根据同弧所对的圆周角等于圆心角度数的一半可得：∠B=130°÷2=65°.
考点：圆的基本性质
11．A
【解析】
【详解】
解：底面半径为2，底面周长=4π，侧面积=1
2
×4π×4=8π，故选A．
12．D
【解析】
试题解析：A．∵3+2=5，∴2，3，5不能组成三角形，故A错误；B．∵4+2＜7，∴7，4，2不能组成三角形，故B错误；
C．∵4+3＜8，∴3，4，8不能组成三角形，故C错误；
D．∵3+3＞4，∴3，3，4能组成三角形，故D正确；
故选D．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．9.26×1011
【解析】试题解析: 9260亿=9.26×1011
故答案为: 9.26×1011
点睛: 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
14．2π3
【解析】
根据弧长公式可得：602
180
π
⨯⨯
=
2
3
π，
故答案为2
3π.
15．到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上或两点确定一条直线或sss或全等三角形对应角相等或等腰三角形的三线合一
【解析】
【分析】
从作图方法以及作图结果入手考虑其作图依据..
【详解】
解：依题意，AP＝AM，BP＝BM，根据垂直平分线的定义可知PM⊥直线l.因此易知小艾的作图依据是到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上;两点确定一条直线.故答案为到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上;两点确定一条直线.
【点睛】
本题主要考查尺规作图，掌握尺规作图的常用方法是解题关键.
16．（2，0）
【解析】
【分析】
根据直线x与双曲线y=k
x
交于A，B两点，OA=2，可得AB=2AO=4，再根据Rt△ABC中，
OC=1
2
AB=2，即可得到点C的坐标
【详解】如图所示，
∵直线3x与双曲线y=k
x
交于A，B两点，OA=2，
∴AB=2AO=4，又∵∠ACB=90°，
∴Rt△ABC中，OC=1
2
AB=2，
又∵点C在x轴的正半轴上，
∴C（2，0），
故答案为（2，0）．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，解决问题的关键是利用直角三角形斜边上中线的性质得到OC的长．
17．③
【解析】
【分析】
根据直线与点的位置关系即可求解．
【详解】
①点A在直线BC上是错误的；
②直线AB经过点C是错误的；
③直线AB，BC，CA两两相交是正确的；
④点B是直线AB，BC，CA的公共点是错误的．
故答案为③．
【点睛】
本题考查了直线、射线、线段，关键是熟练掌握直线、射线、线段的定义．
18．-5
【解析】
【分析】
根据数轴上点的特点和相关线段的长，利用勾股定理求出斜边的长，即知表示0的点和A之间的线段的长，
进而可推出A的坐标．
【详解】
∵直角三角形的两直角边为1，2，
∴斜边长为22
125
+=，
那么a的值是：﹣5．
故答案为-5.
【点睛】
此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，其中主要利用了：已知两点间的距离，求较大的数，就用较小的数加上两点间的距离．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（1）150，（2）36°，（3）1．
【解析】
【分析】
（1）根据图中信息列式计算即可；
（2）求得“足球“的人数=150×20%=30人，补全上面的条形统计图即可；
（3）360°×乒乓球”所占的百分比即可得到结论；
（4）根据题意计算即可．
【详解】
（1）m=21÷14%=150，
（2）“足球“的人数=150×20%=30人，
补全上面的条形统计图如图所示；
（3）在图2中，“乒乓球”所对应扇形的圆心角的度数为360°×15
150
=36°；（4）1200×20%=1人，
答：估计该校约有1名学生最喜爱足球活动．
故答案为150，36°，1．
【点睛】
本题考查了条形统计图，观察条形统计图、扇形统计图获得有效信息是解题关键．
20．1
【解析】
【分析】
原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【详解】
原式=4-1+2-3+3=1．
【点睛】
此题考查了实数的运算，绝对值，零指数幂、负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21．（1）300人（2）b=0.15，c=0.2；（3）1 6
【解析】
分析：(1)利用合格的人数除以该组频率进而得出该校初四学生总数;
(2)利用(1)中所求,结合频数÷总数=频率,进而求出答案;
(3)根据题意画出树状图,然后求得全部情况的总数与符合条件的情况数目;二者的比值就是其发生的概率. 详解：（1）由题意可得：该校初三学生共有：105÷0.35=300（人），
答：该校初三学生共有300人；
（2）由（1）得：a=300×0.3=90（人），
b==0.15，
c==0.2；
如图所示：
（3）画树形图得：
∵一共有12种情况，抽取到甲和乙的有2种，
∴P （抽到甲和乙）==．
点睛：此题主要考查了树状图法求概率以及条形统计图的应用,根据题意利用树状图得出所有情况是解题关键.
22．44cm
【解析】
解：如图，
设BM 与AD 相交于点H ，CN 与AD 相交于点G ，
由题意得，MH=8cm ，BH=40cm ，则BM=32cm ，
∵四边形ABCD 是等腰梯形，AD=50cm ，BC=20cm ， ∴()1AH AD BC 15cm 2
=-=． ∵EF ∥CD ，∴△BEM ∽△BAH ． ∴EM BM AH BH =，即EM 321540
=，解得：EM=1． ∴EF=EM ＋NF ＋BC=2EM ＋BC=44（cm ）．
答：横梁EF 应为44cm ．
根据等腰梯形的性质，可得AH=DG ，EM=NF ，先求出AH 、GD 的长度，再由△BEM ∽△BAH ，可得出EM ，继而得出EF 的长度．
23．（1）甲，乙两种型号设备每台的价格分别为12万元和10万元．（2）有6种购买方案．（3）最省钱的购买方案为，选购甲型设备4台，乙型设备6台．
【解析】
【分析】
(1)设甲、乙两种型号设备每台的价格分别为x 万元和y 万元，根据购买了3台甲型设备比购买2台乙型设备多花了16万元，购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少花6万元可列出方程组，解之即可；
(2)设购买甲型设备m 台，乙型设备()10m -台，根据购买节省能源的新设备的资金不超过110万元列不等式，解之确定m 的值，即可确定方案；
(3)因为公司要求每月的产量不低于2040吨，据此可得关于m 的不等式，解之即可由m 的值确定方案，然后进行比较，做出选择即可．
【详解】
(1)设甲、乙两种型号设备每台的价格分别为x 万元和y 万元，
由题意得：3216263x y x y -=⎧⎨+=⎩
， 解得：1210x y =⎧⎨=⎩
， 则甲，乙两种型号设备每台的价格分别为12万元和10万元；
(2)设购买甲型设备m 台，乙型设备()10m -台，
则()121010110m m +-≤，
∴5m ≤,
∵m 取非负整数，
∴0,1,2,3,4,5m =，
∴有6种购买方案；
(3)由题意：()240180102040m m +-≥，
∴4m ≥，
∴m 为4或5，
当4m =时，购买资金为：124106108⨯+⨯=(万元)，
当5m =时，购买资金为：125105110⨯+⨯=(万元)，
则最省钱的购买方案是选购甲型设备4台，乙型设备6台.
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，弄清题意，找准等量关系、不等关系列出方程组与不等式是解题的关键.
24．（1）
12；(2) 见解析；(3) 12
【解析】
【分析】 （1）过点C 作CE ∥OA 交BD 于点E ，即可得△BCE ∽△BOD ，根据相似三角形的性质可得CE BC OD BO
=，再证明△ECP ≌△DAP ，由此即可求得AD DO
的值；（2）过点D 作DF ∥BO 交AC 于点F ，即可得PD DF PB BC =，AD DF AO OC =，由点C 为OB 的中点可得BC=OC ，即可证得PD AD PB AO =；（3）由（2）可知PD AD PB AO ==14，设AD=t ，则BO=AO=4t ，OD=3t ，根据勾股定理求得BD=5t ，即可得PD=t ，PB=4t ，所以PD=AD ，从而得∠A=∠APD=∠BPC ，所以tan ∠BPC=tan ∠A=
12
OC OA =． 【详解】
（1）如图1，过点C作CE∥OA交BD于点E，
∴△BCE∽△BOD，
∴=，
又BC=BO，∴CE=DO．
∵CE∥OA，∴∠ECP=∠DAP，
又∠EPC=∠DPA，PA=PC，
∴△ECP≌△DAP，
∴AD=CE=DO，
即=；
（2）如图2，过点D作DF∥BO交AC于点F，
则=，=．
∵点C为OB的中点，
∴BC=OC，
∴=；
（3）如图2，∵=，
由（2）可知==．
设AD=t，则BO=AO=4t，OD=3t，
∵AO⊥BO，即∠AOB=90°，
∴BD==5t，
∴PD=t ，PB=4t ，
∴PD=AD ，
∴∠A=∠APD=∠BPC ，
则tan ∠BPC=tan ∠A==．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，准确作出辅助线，构造相似三角形是解决本题的关键，也是求解的难点．
25．（1）52﹣2×4＝42+1；（2）（n+1）2﹣2n ＝n 2+1，证明详见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据①②③的规律即可得出第④个等式；
（2）第n 个等式为（n+1）2﹣2n ＝n 2+1，把等式左边的完全平方公式展开后再合并同类项即可得出右边．
【详解】
（1）∵22﹣2×
1＝12+1① 32﹣2×2＝22+1②
42﹣2×3＝32+1③
∴第④个等式为52﹣2×4＝42+1，
故答案为：52﹣2×
4＝42+1， （2）第n 个等式为（n+1）2﹣2n ＝n 2+1．
（n+1）2﹣2n ＝n 2+2n+1﹣2n ＝n 2+1．
【点睛】
本题主要考查了整式的运算，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．
26．x=-4是方程的解
【解析】
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】 3122
x x =-+ ()()322x x +=-
∴x=-4，
当x=-4时，()()2020x x +≠-≠，
∴x=-4是方程的解
【点睛】
本题考查了分式方程的解法，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．
27．（1）75；43；（2）CD=413．
【解析】
【分析】
（1）根据平行线的性质可得出∠ADB=∠OAC=75°，结合∠BOD=∠COA可得出△BOD∽△COA，利用相似三角形的性质可求出OD的值，进而可得出AD的值，由三角形内角和定理可得出∠ABD=75°=∠ADB，由等角对等边可得出AB=AD=43，此题得解；
（2）过点B作BE∥AD交AC于点E，同（1）可得出AE=43，在Rt△AEB中，利用勾股定理可求出BE的长度，再在Rt△CAD中，利用勾股定理可求出DC的长，此题得解．
【详解】
解：（1）∵BD∥AC，
∴∠ADB=∠OAC=75°．
∵∠BOD=∠COA，
∴△BOD∽△COA，
∴
1
3 OD OB
OA OC
==．
又∵AO=33，
∴OD=1
3
AO=3，
∴AD=AO+OD=43．
∵∠BAD=30°，∠ADB=75°，
∴∠ABD=180°-∠BAD-∠ADB=75°=∠ADB，
∴AB=AD=43．
（2）过点B作BE∥AD交AC于点E，如图所示．
∵AC⊥AD，BE∥AD，
∴∠DAC=∠BEA=90°．
∵∠AOD=∠EOB，
∴△AOD∽△EOB，
∴BO EO BE DO AO DA
==．
∵BO：OD=1：3，
∴
1
3 EO BE
AO DA
==．
∵，
∴
∴
∵∠ABC=∠ACB=75°，
∴∠BAC=30°，AB=AC，
∴AB=2BE．
在Rt△AEB中，BE2+AE2=AB2，即（2+BE2=（2BE）2，
解得：BE=4，
∴AB=AC=8，AD=1．
在Rt△CAD中，AC2+AD2=CD2，即82+12=CD2，
解得：
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及平行线的性质，解题的关键是：（1）利用相似三角形的性质求出OD的值；（2）利用勾股定理求出BE、CD的长度．。