切线长定理课件20141021

A
O P
M B
C
小结：在解决有关圆的 切线长问题时，往往需 要我们构建基本图形。
反思：在解决有关圆 A 的切线长的问题时， 往往需要我们构建基 本图形。 。
O
P
B
（1）分别连结圆心和切点
（2）连结两切点 （3）连结圆心和圆外一点
数学探究 三角形的内切圆： 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆 三角形的内心： 三角形的内切圆的圆心叫 做三角形的内心
切于D、E、F，连结OD、OE、OF则 OA⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB。 在Rt△ABC中，BC＝3,AC＝4, ∴AB＝5 ∵ ⊙O与Rt△ABC的三边都相切 ∴AD＝AF,BE＝BF,CE＝CD
A
F D O
·
B
C E 由已知可得四边形ODCE为正方形，∴CD＝CE＝OD
设AD= x , BE= y ,CE＝ r x＋r＝4 则有 y＋r＝3 解得 r＝1 ∴ Rt△ABC的内切圆的 半径为1。 x＋ y＝ 5
（2）如图所示，设与BC、AC 相切的最大圆与BC、AC的切 点分别为B、D,连结OB、OD, 则四边形BODC为正方形。
A
∴OB＝BC＝3 ∴半径r的取值范围为0＜r≤3
D
O ·
几何问题代数化是 解决几何问题的一 种重要方法。
C
B
同学们要好好学习!
老师期盼你们快快进步！
反思：切线长定理为证明线段相等、角相 等提 供了新的方法
回顾我们学过的切线，常有 四个 三个 性质：
1、切线和圆只有一个公共点；
2、圆心到切线的距离等于圆的半径；
3、（1）过圆心（2）过切点（3）垂直于切线
任选两个为题设，另一个为结论都成立。
4、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等， 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
圆的内接四边形：角的关系
圆的外切四边形：边的关系
例1:△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于
点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm， 求AF、BD、CE的长.
解: ∵ ⊙O与△ABC的三边都相切
∴AF＝AE,BD＝BF,CE＝CD
设AF=x(cm), BD=y(cm),CE＝z(cm) 则有 x＋ y ＝ 9 y＋z＝14 x＋z＝13 x＝ 4 解得 y＝5 z＝9
A
D
O
E
三角形的内心是三角形三 条角平分线的交点，它到 三角形三边的距离相等。 B
F
C
三角形外接圆
C
三角形内切圆
C
． o
A B B
． o
A
外接圆圆心：三角形三边 垂直平分线的交点。
内切圆圆心：三角形三个 内角平分线的交点。 内切圆的半径：交点到三 角形任意一边的垂直距离。
外接圆的半径：交点到三 角形任意一个定点的距离。
（1）找出图中所有相等的线段 N D C DN=DP，AP=AL，BL=BM，CN=CM P O M
A
已知：四边形ABCD的边 AB，BC，CD，DA和圆O 分别相切于L，M，N，P。探索圆外切四边形边 的关系。
（2）填空：AB+CD = AD+BC B L （>,<,=) 结论：圆的外切四边形的两组对边和相等。 比较圆的内接四边形的性质：
问题:经过圆外一点P，可以作几条直线与圆 数学探究 相切?如何作已知⊙ A O的切线？
。
P
O
B
思考：假设切线PA已作出，A为切点， 则∠OAP=90°,连接OP，可知A在怎样 的圆上?
过⊙O外一点作⊙O的切线
A
O O·
P
B
一、切线长定义 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的 线段的长叫做这点到圆的切线长。
试用文字语言 叙述你所发现 的结论
∵ OA=OB，OP=OP ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL) ∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB
二、切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线， 它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分 两条切线的夹角。 B
。
O
P
A
几何语言: PA、PB分别切⊙O于A、B
PA = PB ∠OPA=∠OPB
∴ AF=4(cm), BD=5(cm),
CE=9(cm).
（1）Rt△的三边长与其内切圆半径间的关系
已知:如图,⊙O是Rt△ABC的内切圆,∠C 是直角,三边长分别是a,b,c. 求⊙O的半径r.
D
A
abc r . 2
●
O
┓
┗ F
B
E
C
(2)已知:如图,△ABC的面积为S,三边长分别为 a,b,c. A 求内切圆⊙O的半径r. D F
A· OP切线与切线长的区 别与联系：
B
（1）切线是一条与圆相切的直线； （2）切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长。
若从⊙O外的一点引两条切线PA，PB，切点 分别是A、B，连结OA、OB、OP，你能发现什么结 论？并证明你所发现的结论。
B
PA = PB
∠OPA=∠OPB
O
。
P
A 证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点 ∴OA⊥PA，OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90°
1 则S△ABC= lr 2
r B r O r C
如图，Rt△ABC中，∠C＝90°,BC＝3,AC＝4, ⊙O为 Rt△ABC的内切圆. （1）求Rt△ABC的内切圆的半径 . （2）若移动点O的位置，使⊙O保持与△ABC的边AC、 BC都相切，求⊙O的半径r的取值范围。
解：（1）设Rt△ABC的内切圆与三边相
例：如图所示PA、PB分别切圆O于A、B， CD与圆O切于点E,与PA、PB分别相交 于C、D，已知PA=7cm， (1)求△PCD的周长． (2) 如果∠P=46°,求∠COD的度数
A D P E ·O
C
B
随堂训练 如图，AC为⊙O的直径，PA、PB分别切⊙O于 点A、B，OP交⊙O于点M，连结BC。 (1)若OA=3cm, ∠APB=60°，则PO=______. (2)观察OP与BC的位置关系，并给予证明。
●
O
2S r . abc
1 S r a b c . 2
B
E
┓
C
试一试：如图△ABC中，∠C＝90，AC＝6， BC＝8，三角形三边与⊙O均相切，切点分别 是D、E、F，求⊙O的半径。
A F
D C E O B
这节课你学到了什么？
小结一下吧！
知识拓展
2、△ABC的内切圆半径为 r , △ABC的周长为 l , 求△ABC的面积。（提示：设内心为O，连接OA、 OB、OC。） 若△ABC的内切圆半径为 r , 周长为 l , A