2019-2020学年江苏省苏州市吴江区三区联考九年级(上)期末数学试卷

2019-2020学年江苏省苏州市吴江区三区联考九年级（上）
期末数学试卷
副标题
题号一二三四总分
得分
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.一元二次方程x2−kx+2=0的一个根为2，则k的值是()
A. 1
B. −1
C. 3
D. −3
2.抛物线y=2x2+c的顶点坐标为(0,1)，则抛物线的解析式为()
A. y=2x2+1
B. y=2x2−1
C. y=2x2+2
D. y=2x2−2
3.从√2，cos45°，π，0，1
7
五个数中，随机抽取一个数，抽到无理数的概率是()
A. 1
5B. 2
5
C. 3
5
D. 4
5
4.下列图形中，任意两个图形一定是相似图形的是()
A. 三角形
B. 平行四边形
C. 抛物线
D. 圆
5.如图，点A、B、C在⊙O上，若∠A=∠C=35o，则∠B的度数
等于()
A. 65°
B. 70°
C. 55°
D. 60°
6.如图是一斜坡的横截面，某人沿斜坡从M出发，走了13米
到达N处，此时在铅垂方向上上升了5米，那么该斜坡的
坡度是()
A. 1：5
B. 12：13
C. 5：13
D. 5：12
7.一组数据3，4，x，6，8的平均数是5，则这组数据的众数是()
A. 3
B. 4
C. 6
D. 8
8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=2
3
，BC=4，则AC的长为()
A. 6
B. 5
C. 2√5
D. √5
9.正方形外接圆的半径为2，则其内切圆的半径为()
A. 2√2
B. √2
C. 1
D. √2
2
10.抛物线y=ax2+bx+c(a>0)过点(1,0)和点(0,−3)，且顶点在第三象限，设m=
a−b+c，则m的取值范围是()
A. −6<m<0
B. −6<m<−3
C. −3<m<0
D. −3<m<−1
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11.抛物线y=−x2开口向______．
12.数据2，3，2，4，2，5，3的中位数是______．
13.已知△ABC∽，S△ABC：：4，若AB=2，则的长为______．
14.如图，在半径为3的⊙O中，随意向圆内投掷一个小球，经过
，则AB⏜
大量重复投掷后发现，小球落在阴影部分的概率稳定在1
6
的长约为______.(结果保留π)
15.母线长为4cm的圆锥侧面展开图是圆心角为90o的扇形，则圆锥底面圆的半径为
______cm．
16.若方程x2−4x+2=0的两个根为x1，x2，则x1(1+x2)+x2的值为______．
17.如图，点A，B，C为正方形网格中的3个格点，则
sin∠ACB=______．
18.如图，以AB为直径的半圆O内有一条AC，点P是弦AC上
一个动点，连接BP，并延长交半圆O于点D，若AB=10，
AC=8，则DP
的最大值是______．
BP
三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）
19.计算：√2sin45°+tan60°−2cos30°
四、解答题（本大题共9小题，共71.0分）
20.解方程：(1)(x−1)2−1=0(2)x(x−2)=2x+5
21.在一个不透明的口袋中有标号为1，2，3，4的四个小球，除数字不同外，小球没
有任何区别，摸球前先搅拌均匀，每次摸一个球
(1)摸出一个球，摸到标号为偶数的概率为______．
(2)从袋中不放回地摸两次，用列表或树状图求出两球标号数字为一奇一偶的概率．
22.为了解某校初三学生上周末使用手机的情况(选项：A.聊天；B.学习；C.购物；D.游
戏；E.其他)，随机抽查了该校初三若干名学生，对其上周末使用手机的情况进行统计(每个学生只选一个选项)，绘制了统计表和条形统计图．
选项人数频率
A150.3
B10m
C50.1
D n
E50.1
根据以上信息回答下列问题：
(1)这次调查的样本容量是______；
(2)统计表中m=______，n=______，补全条形统计图；
(3)若该校初三有540名学生，请估计该校初三学生上周末利用手机学习的人数．
23.若二次函数y=ax2+bx+1的图象经过点(1,0)和点(2,1)．
(1)求a、b的值；
(2)写出该二次函数的对称轴和顶点坐标．
24.如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏东70°方向上，轮
船从A处以每小时30海里的速度沿南偏东50°方向匀速
航行，1小时后到达码头B处，此时观测灯塔C位于北偏
东25°方向上，求灯塔C与码头B之间的距离(结果保留根号)．
25.某果农在其承包的果园中种植了60棵桔子树，每棵桔子树的产量是100kg，果农想
增加桔子树的棵数来增产，但增加果树会导致每棵树的光照减少，使得单棵果树产量减少，试验发现每增加1棵桔子树，单棵桔子树的产量减少0.5kg．
(1)在投入成本最低的情况下，增加多少棵桔子树时，可以使果园总产量达到6650kg？
(2)设增加x棵桔子树，考虑实际增加桔子树的情况，10≤x≤40，请你计算一下，
果园总产量最多为多少kg，最少为多少kg？
26.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以BC为直径的半圆⊙O交AC于点D，点E
是AB的中点，连接DE并延长，交CB延长线于点F．
(1)判断直线DF与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若CF=8，DF=4，求⊙O的半径和AC的长．
27.如图，已知二次函数y=−3
4x2+9
4
x+3的图象与x
轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C．
(1)求线段BC的长；
(2)当0≤y≤3时，请直接写出x的范围；
(3)点P是抛物线上位于第一象限的一个动点，连接CP，当∠BCP=90°时，求点P
的坐标．
28.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm.点P、Q是BC边上两个动点(点
Q在点P右边)，PQ=2cm，点P从点C出发，沿CB向右运动，运动时间为t秒．5s 后点Q到达点B，点P、Q停止运动，过点Q作QD⊥BC交AB于点D，连接AP，设△ACP与△BQD的面积和为S(cm2)，S与t的函数图象如图2所示．
(1)图1中BC=______cm，点P运动的速度为______cm/s；
(2)t为何值时，面积和S最小，并求出最小值；
(3)连接PD，以点P为圆心线段PD的长为半径作⊙P，当⊙P与△ABC的边相切
时，求t的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：把x=2代入x2−kx+2=0得4−2k+2=0，
解得k=3．
故选：C．
根据一元二次方程的解的定义，把x=2代入x2−kx+2=0得关于k的一次方程，然后解此一次方程即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
2.【答案】A
【解析】解：∵抛物线y=2x2+c的顶点坐标为(0,1)，
∴c=1，
∴抛物线的解析式为y=2x2+1，
故选：A．
根据顶点式的坐标特点，可得出c=1，即可得到抛物线的解析式为=2x2+1．
本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的顶点坐标式，此题难度不大．
3.【答案】C
五个数中，这五个数中随机抽取一个数，抽到的【解析】解：从√2，cos45°，π，0，1
7
无理数的有√2，cos45°，π，
抽到无理数的概率是3
．
5
故选：C．
直接利用概率公式计算得出答案．
此题主要考查了概率公式，正确得出无理数的个数是解题关键．
4.【答案】D
【解析】解：A、两个三角形不一定相似，故此选项错误；
B、两个平行四边形不一定相似，故此选项错误；
C、两条抛物线不一定相似，故此选项错误；
D、两个圆一定相似，故此选项正确；
故选：D．
根据相似图形的定义：形状相同的图形称为相似图形进行分析即可．
此题主要考查了相似图形，关键是掌握相似图形定义．
5.【答案】B
【解析】解：∵∠A=∠C=35o，
∴OA//BC，
∴∠B=∠AOB，
∵∠AOB=2∠C=70°，
∴∠B=70°．
故选：B．
先判断OA//BC得到∠B=∠AOB，然后利用圆周角定理求出∠AOB即可．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
6.【答案】D
【解析】解：过点N作HG⊥地面AB于G再做MH⊥NG于H，
由题意得，MN=13，NH=5，
由勾股定理得，MH=√MN2−NH2=√132−52=12，
∴该斜坡的坡度为5：12，
故选：D．
根据题意画出图形，根据勾股定理求出MH，根据坡度的概念解答．
本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握坡度平均价的概念是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：根据题意得(3+4+x+6+8)=5×5，
解得x=4，
则这组数据为3，4，4，6，8的平均数为5，
所以这组数据的众数是4．
故选：B．
先根据平均数的计算方法求出x，然后根据众数的定义求解．
本题考查了众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．也考查了平均数的定义．8.【答案】C
【解析】解：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=2
3
，BC=4，则
sinA=BC
AB =4
AB
=2
3
．
所以AB=6．
所以由勾股定理知，AC=√AB2−BC2=√62−42=2√5．
故选：C．
由锐角三角函数的定义求得AB的长度，然后根据勾股定理求得AC的长度．
考查了勾股定理和锐角三角函数的定义，注意：勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
9.【答案】B
【解析】解：如图所示，连接OA、OE，
∵AB是小圆的切线，
∴OE⊥AB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AE=OE，
∴△AOE是等腰直角三角形，
∴OE=√2
2
OA=√2．
故选：B．
根据题意画出图形，再由正方形及等腰直角三角形的性质求解即可．
本题考查的是正方形和圆、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是根据题意画出图形，利用勾股定理是解答此题的关键，属于中考常考题型．
10.【答案】A
【解析】解：∵抛物线y=ax2+bx+c(a>0)过点(1,0)和点(0,−3)，∴c=−3，a+b+c=0，
即b=3−a，
∵顶点在第三象限，
∴−b
2a <0，4ac−b2
4a
<0，
又∵a>0，
∴b>0，
∴b=3−a>0，即a<3，
b2−4ac=(−a−c)2−4ac=(a−c)2>0
∵a+b+c=0，
∴a−b+c=−2b<0，
∴a−b+c=−2b=2a−6，
∵0<a<3，
∴a−b+c=−2b=2a−6>−6，
∴−6<a−b+c<0．
∴−6<m<0．
故选：A．
先根据二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与坐标轴分别交于点(0,−3)和(1,0)，可以求出a、b、c之间的等量关系，再根据顶点在第三象限，可以求出a与b的关系．考查了二次函数图象与系数的关系，此题要求学生熟悉二次函数与一元二次方程的关系和图象与坐标轴交点的含义，并熟练运用．
11.【答案】下
【解析】解：抛物线y=−x2开口向下，
故答案为：下．
根据二次函数解析式可得a=−1<0，因此抛物线开口向下．
此题主要考查了二次函数的性质，关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象开口只与二次项系数a有关．
12.【答案】3
【解析】解：从小到大排列后，中间一个数为3，则中位数为3．
故答案为：3．
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数．
本题考查中位数的求法：给定n个数据，按从小到大排序，如果n为奇数，位于中间的那个数就是中位数；如果n为偶数，位于中间两个数的平均数就是中位数．任何一组数据，都一定存在中位数的，但中位数不一定是这组数据量的数．
13.【答案】4
【解析】解：∵△ABC∽，且S△ABC：：4，
∴AB：A′B′=1：2，
∵AB=2，
∴A′B′=4．
故答案为4．
已知两个相似三角形的面积比，由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求出
AB、A′B′的比例关系，AB的长已知，由此得解．
此题主要考查的是相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，对应边的比等于相似比．
14.【答案】π
【解析】解：∵圆的半径为3，
∴面积为9π，
∵大量重复投掷后发现，小球落在阴影部分的概率稳定在1
6
，
∴扇形的面积为9π
6=3
2
π，
设扇形的弧长为l，则1
2l×3=3π
2
，
解得：l=π，
∴AB⏜的长约为π，
故答案为：π．
首先利用概率公式求得阴影扇形的面积，然后利用扇形面积公式求解．
此题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．15.【答案】1
【解析】解：设圆锥的底面圆的半径为rcm，
根据题意得2π⋅r=90π×4
180
，
解得r=1．
故答案为：1．
设圆锥的底面圆的半径为rcm，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式进行计算．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
16.【答案】6
【解析】解：根据题意x1+x2=4，x1⋅x2=2，
x1(1+x2)+x2
=x1+x2+x1⋅x2
=4+2
=6．
故答案为：6．
欲求x1(1+x2)+x2=x1+x2+x1⋅x2的值，根据一元二次方程根与系数的关系，求得两根的和与积，代入数值计算即可．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是经常使用的一种解题方法．
17.【答案】√5
5
【解析】解：连接格点B、D
因为BC=AB=√12+32=√10，
CD=AD=√2
所以BD⊥AC．
在Rt△BCD中，
sin∠ACB=CD
BC
=
√2
√10
=
√5
5
故答案为：√5
5
利用格点和勾股定理，计算BC、AB、CD，再判断△CDB的形状，最后计算∠ACB的正弦值．
本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质及锐角三角函数．解决本题的关键是利用等腰三角形的性质，判断∠CDB是直角．
18.【答案】1
3
【解析】解：如图，过D作DE⊥AC于E，过O作OF⊥AC
于F，作OG⊥DE于G，
连接OD，BC，
则BC//DE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵AC=8，AB=10，
∴BC=√AB2−AC2=6，
∵DE//BC，
∴△PDE∽△PBC，
∴PD
PB =DE
BC
，
∵OF⊥AC，
∴AF=CF，
∴OF=1
2
BC=3，
∵∠OFE=∠FEG=∠G=90°，∴EG=OA=3，
∵DE+EG=DG≤OD=5，∴DE≤2，
∴DP
BP =DE
BC
≤2
6
=1
3
，
故DP
BP 的最大值是1
3
．
故答案为：1
3
过D作DE⊥AC于E，过O作OF⊥AC于F，作OG⊥DE于G，连接OD，BC，得到BC//DE，根据勾股定理得到BC=√AB2−AC2=6，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
19.【答案】解：√2sin45°+tan60°−2cos30°
=√2×√2
2
+√3+2×
√3
2
=1+√3−√3 =1．
【解析】本题涉及特殊角的三角函数值知识点．在计算时，需要针对这个知识点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值知识点的运算．
20.【答案】解：(1)∵(x−1)2−1=0，
(x−1)2=1，
∴x1=0，x2=2；
(2)∵x(x−2)=2x+5，
∴x2−4x−5=0，
∴(x+1)(x−5)=0，
∴x1=−1，x2=5；
【解析】(1)根据直接开方法即可求出答案；
(2)根据因式分解法即可求出答案．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
21.【答案】1
2
【解析】解：(1)∵标号为1，2，3，4的四个小球中，标号为偶数的是2号和4号，
∴摸出一个球，摸到标号为偶数的概率为2
4=1
2
，
故答案为：1
2
；(2)树状图如下所示，
∴P(两球标号为一奇一偶)=8
12=2
3
．
(1)根据一个不透明的口袋中有标号为1，2，3，4的四个小球，可知标号为偶数的有2个，从而可以求得摸出一个球，摸到标号为偶数的概率；
(2)根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以得到从袋中不放回地摸两次，两球标号数字为一奇一偶的概率．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意区分放回与不放回实验，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22.【答案】50 0.215
【解析】解：(1)这次调查的样本容量
是：15÷0.3=50，
故答案为：50；
(2)m=10÷50=0.2，n=50−
15−10−5−5=15，
故答案为：0.2，15，
补全的条形统计图如右图所示；
(3)540×0.2=108(人)，
答：该校初三学生上周末利用手机学习的约有108人．
(1)根据选A的人数和频率可以计算出这次调查的样本容量；
(2)根据(1)中的结果和统计表中的数据可以计算出m和n的值；
(3)根据统计表中的数据可以计算出该校初三学生上周末利用手机学习的人数．
本题考查条形统计图、频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
23.【答案】解：(1)把(1,0)和(2,1)代入y=ax2+bx+1得{a+b+1=0
4a+2b+1=1，
∴{a=1
b=−2，
∴y=x2−2x+1；
(2)∵y=x2−2x+1=(x−1)2
∴二次函数的对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1,0)．
【解析】(1)将两点的坐标代入二次函数的解析式求得a、b的值即可；
(2)确定二次函数的解析式后利用配方法确定顶点坐标即可．
考查了二次函数的性质，解题的关键是正确的确定二次函数的解析式，难度不大．24.【答案】解：过点B作BD⊥AC，交AC于点D
由题可知AB=30海里，∠DAB=60°，∠C=45°
在Rt△ABD中，∵sin∠DAB=DB
AB
，
∴sin60°=BD 30
∴BD=15√3海里
在Rt△BCD中，∵sin∠C=BD
BC
，
∴sin45°=15√3 BC
∴BC=15√6海里
答：灯塔C与码头B之间的距离为15√6海里．
【解析】根据方向角先确定∠DAB=60°，∠C=45°，再根据特殊角的三角函数解直角三角形即可求解．
本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义．25.【答案】解：(1)设增加x棵桔子树，
由题意得：(60+x)(100−0.5x)=6650，
解之得：x1=10，x2=130，
∵成本最少，∴x=10，
答：增加10棵桔子树时收益可以达到6650kg．
(2)设总的收益为W，
则W=(60+x)(100−0.5x)
=−0.5x2+70x+6000
=−1
2
(x−70)2+8450，
∵10≤x≤40
∴当x=10时，W min=6650，当x=40时，W max=8000，
答：果园最少产6650kg，最多产8000kg．
【解析】(1)利用产量乘以桔子树的棵树=6650，进而得出答案；
(2)直接利用二次函数的增减性进而得出答案．
此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用，正确应用二次函数的增减性是解题关键．
26.【答案】
解：(1)相切
证明：连接OD，OE
∵点E是AB中点，点O是BC中点
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE//AC
∴∠1=∠4，∠2=∠3
∵OC=OD，
∴∠3=∠4，
∴∠1=∠2
∵OB=OD，OE=OE，
∴△OBE≌△ODE
∴∠ODE=∠OBE=90°
∴OD⊥DE，
∴直线DF与⊙O相切．
(2)设⊙O半径为x，则OD=x，OF=8−x
在Rt△FOD中，
OD2+FD2=OF2，
∴x2+42=(8−x)2，∴x=3
∴⊙O半径为3；
∵∠FBE=∠FDO=90°，∠F=∠F，
∴△FBE∽△FDO，
∴BF
DF =BE
OD
，
∵BF=FC−BC=2，OD=3，DF=4，
∴BE=3
2
，
∵点E是AB中点，
∴AB=2BE=3
在Rt△ABC中，AC=√AB2+BC2=3√5．
【解析】(1)如图，连接OD，OE，先证明OBE≌△ODE，得到∠ODE=∠OBE=90°，于是得到结论；
(2)设设⊙O半径为x，则OD=x，OF=8−x，根据勾股定理和相似三角形的性质列方程即可得到结论．
本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点(即为半径)，再证垂直即可．也考查了勾股定理．
27.【答案】解：(1)当x=0时，y=3，
∴C(0,3)，
∴OC=3，
当y=0时−3
4x2+9
4
x+3=0，x1=−1，x2=4，
∴A(−1,0)，B(4,0)，
∴OA=1，OB=4，
在Rt△BOC中，BC=√OB2+OC2=5，
(2)由(1)可知y=0时，x=−1或4，
当y=3时，x=0或3，
观察图象可得当0≤y≤3时，x的取值范围是：−1≤x≤0，3≤x≤4．(3)过点P作PD⊥y轴，
设点P坐标为(x,−3
4x2+9
4
x+3)，则点D坐标为(0,−3
4
x2+9
4
x+3)，
∴PD=x，CD=−3
4x2+9
4
x+3−3=−3
4
x2+9
4
x，
∵∠BCP=90°，
∴∠PCD+∠BCO=90°，∵∠PCD+∠CPD=90°，∴∠BCO=∠CPD，
∵∠PDC=∠BOC=90°，∴△PDC∽△COB，
∴CD
OB =PD
OC
，
∴−3
4
x2+9
4
x
4
=x
3
，
∴x=11
9
或x=0(舍去)，
当x=11
9时，y=125
27
，
∴点P坐标为(11
9,125 27
).
【解析】(1)由抛物线解析式可求出点A，B，C的坐标，求出OA，OB，OC的长，根据勾股定理得BC的长；
(2)观察图象可得出答案；
(3)过点P作PD⊥y轴，设点P坐标为(x,−3
4x2+9
4
x+3)，则点D坐标为(0,−3
4
x2+
9
4
x+3)，证明△PDC∽△COB，可得比例线段求出x的值即可．
本题是二次函数综合题目，考查了二次函数与坐标轴的交点、相似三角形的判定与性质、坐标与图形性质、勾股定理．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
28.【答案】12 2
【解析】解：(1)由图2知，当t=5时，S的值为30，
则此时，QB=2，此时阴影面积为△ACP的面积，
即1
2
CP⋅AC=30，
∵AC=6，
∴CP=10，
∴BC=CP+PB=12cm，
10÷2=5cm/s，
故答案为：12，5；
(2)由题可知，PC=2t，BQ=10−2t，DQ=5−t
∴S=1
2
PC⋅AC+
1
2
BQ⋅DQ
=t2−4t+25 =(t−2)2+21，
根据二次函数的图象及性质可知，
∴当t=2时，面积和S最小，最小为21cm2；
(3)⊙P与BC边不可能相切，
①⊙P与AB边相切时，PD⊥AB，
∵DQ//AC，
∴△BDQ∽△BAC，
∴DQ
AC =BQ
BC
，
即DQ
6=10−2t
12
，
∴DQ=5−t，
∵∠B+∠DPB=90°，∠DPB+∠PDQ=90°，∴∠PDQ=∠B，
又∠DQP=∠C=90°，
∴△PQD∽△ACB，
∴PQ
AC =DQ
BC
，
∴2
6=5−t
12
，
∴t=1；
②⊙P与AC边相切时，PD=PC=2t 在Rt△PQD中，PQ2+QD2=QD2，
∴22+(5−t)2=2t 2，
∴t =−5+4√73或t =−5−4√73
(舍去)， 综上当t =1或−5+4√73时⊙P 与△ABC 的边相切．
(1)由图2知，当t =5时，S 的值为30，则此时，QB =2，此时阴影面积为△ACP 的面积，由此可求出CP 的长，进一步求出BC 的长；在求出BC 的长的基础上，速度可直接求出；
(2)由题可知，PC =2t ，BQ =10−2t ，DQ =5−t ，可用含t 的代数式表示出S 的值，并根据函数的图象及性质求出其最小值；
(3)分类讨论，⊙P 与BC 边不可能相切，当⊙P 与AB 边相切时，先证△BDQ∽△BAC ，
求出DQ 的长度，再证△PQD∽△ACB ，即可求出t 的值；
⊙P 与AC 边相切时，PD =PC =2t ，在Rt △PQD 中，用勾股定理即可求出t 的值．
本题考查了二次函数的运用，相似三角形的判定与性质等，解题关键是注意分类讨论思想的运用．。