(典型题)高中数学高中数学选修4-1第一章《直线,多边形,圆》检测(含答案解析)

一、选择题
1．过点(0,1)且倾斜角为3
π
的直线l 交圆2260x y y +-=于A ，B 两点，则弦AB 的长为（ ） A ．10
B ．210
C ．22
D ．42
2．已知O 为坐标原点，直线()
2
2:3234l y kx C x y =++-=，圆：．若直线l 与圆C
交于A ，B 两点，则△OAB 面积的最大值为（ ） A ．4
B ．23
C ．2
D ．3
3．已知双曲线的离心率为，则圆上的动点到双曲线的
渐近线的最短距离为 （ ） A ．23 B ．24 C ． D ．
4．已知圆截直线
所得的弦的长度为
，则等于（ ）
A ．
B ．
C ．或
D ．或
5．已知圆:
,过轴上的点
向圆
引切线，则切线长为
（ ） A ． B ．
C ．
D ．
6．若直线2=-y x 被圆4)()1(22=++-a y x 所截的的弦长为22，则实数a 的值（ ）
A 、－2或6
B 、0或4
C 、－1 或3
D 、－1或3 7．圆x 2+y 2﹣4x=0在点P （1，）处的切线方程为（ ）
A ．x+
y ﹣2=0 B ．x+
y ﹣4=0 C ．x ﹣
y+4=0 D ．x ﹣
y+2=0
8．已知圆C ：2240x y ax y ++-=的圆心在直线10x y -+=，则实数a 的值为（ ） A ．-2 B ．2
C ．-4
D ．4
9．设集合(){},|A x y y x a =
=+，集合(){}
2,|34B x y y x x ==-， 若A B ∅
⋂≠的概率为1，则a 的取值范围是（ ）
A ．122,122⎡-+⎣
B ．12,3⎡⎤⎣⎦
C ．1,122⎡⎤-+⎣⎦
D ．122,3⎡⎤-⎣⎦
10．（2015春•咸阳校级期中）若图中，PA 切⊙O 于点A ，PCB 交⊙O 于C 、B 两点，且PCB 过点O ，AE ⊥BP 交⊙O 于E ，则图中与∠CAP 相等的角的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
11．直线l 过圆22x-2)y 2)25++=（（内一点(2,2)M ，则l 被圆截得的弦长恰为整数的直线共有（ ）
A ．8条
B ．7条
C ．6条
D ．5条
12．从原点O 引圆m kx y m y m x 当的切线,1)2()(222=+=-+-变化时，切点P 的轨迹方程是 A ．32
2
=+y x B ．2)1(22
=+-y x C ．3)1()1(2
2=-+-y x D ．222
=+y x
二、填空题
13．若圆22(1)4x y +-=上恰有2
个不同的点到直线30x y m ++=的距离为1，则m 的取值范围为_______ 14．已知90o ABC
，PA ⊥平面ABC ，若1PA AB BC ===，则四面体PABC 的外
接球（顶点都在球面上）的表面积为_______．
15．如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D 使BC ＝CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E .若AB ＝6，ED ＝2，则BC ＝________.
16．经过圆22
230x x y ++-=的圆心C ，并且与直线10x y +-=垂直的直线方程是 ．
17．已知两点()()2,0,2,0-M N ，若直线()3y k x =-上存在四个点()1
,2,3,4=i P i ，使得MNP ∆是直角三角形，则实数k 的取值范围是______.
18．（几何证明选讲选做题）如图2所示AB 与CD 是O 的直径，AB ⊥CD ，P 是
AB 延长线上一点，连PC 交O 于点E ，连交AB 于点，若，则
．
19．（选修4-1：几何证明选讲）如图，AB 是⊙O 的直径，,C F 是⊙O 上的两点，
OC ⊥AB ，过点F 作⊙O 的切线FD 交AB 的延长线于点D ．连结CF 交AB 于点E ，3,3OA DB ==，则DE =_____．
20．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处,极轴与轴的正半轴重合,曲线
的参数方程为4cos {3sin x y θ
θ
==（θ为参数）,直线l 的极坐标方程为
.点
在曲
线
上,则点
到直线l 的距离的最小值为 .
三、解答题
21．（本小题满分12分）
已知过点)0,1(-A 的动直线l 与圆C ：4)3(22=-+y x 相交于P 、Q 两点，M 是PQ 中点，l 与直线m ：063=++y x 相交于N ． （１）求证：当l 与m 垂直时，l 必过圆心C ； （２）当32=PQ 时，求直线l 的方程；
（３）探索AN AM ⋅是否与直线l 的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由．
22．如图，CD 是圆O 的切线，切点为D ，CA 是过圆心O 的割线且交圆O 于点B ，过
B 作圆O 的切线交CD 于点E ，1
2
DE EC =
. 求证：3CA CD =.
23．已知圆()()2
2
:344C x y -+-=，直线l 过点()1,0A .
（1）若直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程；
（2）若圆D 的半径为3，圆心D 在直线2:20l x y +-=上，且与圆C 内切，求圆D 的方程.
24．（12分）已知圆过
，
两点，且圆心
在
上．
（1）求圆的方程； （2）设点
是直线
上的动点，
是圆
的两条切线，
为切
点，求四边形
面积的最小值．
25．已知圆的方程：，
（Ⅰ）求的取值范围； （Ⅱ）当圆与圆：相外切时，求直线:被圆，所截得
的弦的长.
26．一直线过直线和直线
的交点，且与直线垂
直．
(1)求直线的方程； (2)若直线与圆
相切，求．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．D 解析：D 【解析】 【分析】
写出直线l 的方程，求圆心到直线l 的距离，再利用弦长公式进行求解即可． 【详解】
过点()0,1且倾斜角为
3
π
的直线l 为10y -+=, ∵圆()2
2226039x y y x y +-=+-=即，∴圆心（0，3），半径r =3，
圆心到直线l 10y -+=的距离d =
312
-+=1，
∴直线被圆截得的弦长l
= 故选：D ． 【点睛】
本题考查了直线被圆截得的弦长公式l =
2．C
解析：C 【解析】 【分析】
由直线l ，可知D ，即点D 为OC 的中点，得出OAB ABC S S ∆∆=,设ACB θ∠=，得出1
sin 2sin 2
ABC S CA CB θθ∆==，再由圆的性质，即可求解。

【详解】
由圆的方程(2
2
4x y +-=可知圆心坐标C ，半径为2，
又由直线y kx =，可知D ，即点D 为OC 的中点， 所以OAB ABC S S ∆∆=,设ACB θ∠=，又由2CA CB r ===， 所以11
sin 22sin 2sin 22
ABC S CA CB θθθ∆=
=⨯⨯=，
又由当0k =，此时直线y =θ的最小角为3π
，即[,)3
πθπ∈ 当2
π
θ=
时，此时2sin ABC S θ∆=的最大值为2，故选C 。

【点睛】
本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用问题，其中解答中根据圆的性质，得出
OAB ABC S S ∆∆=，再由三角形的面积公式和正弦函数的性质求解是解答的关键，着重考查了
分析问题和解答问题的能力，属于中档试题。

3．C
解析：C
【解析】双曲线的离心率，则，双曲线的渐近线为
，
圆
的圆心坐标
，圆心坐标到一条渐近线
的距离
，故圆上动点到双曲线渐近线的最短距离为
.故选.
4．D
解析：D 【解析】
试题分析：圆心到直线的距离为
，由圆方程可知圆半径为，根据勾股定理可得，解得或
，故选D .
考点：圆的方程与性质及点到直线的距离公式.
5．B
解析：B
【解析】试题分析：圆的一般方程配方得，故圆心为
，半径为
，圆心与点
的距离为，故切线长为
.
考点：圆的方程、切线长．
6．D
解析：D 【解析】
试题分析：由圆的方程4)()1(2
2
=++-a y x 可知圆心为()1,a -,半径为2.
圆心()1,a -到直线2=-y x 的距离()
2
2
1212
11a a d +--=
=
+-.
由题意可得2
2
2
122222a ⎛⎫⎛-⎫+= ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
,解得3a =或1a =-.故D 正确. 考点：圆的弦长问题.
7．D
解析：D 【解析】
试题分析：本题考查的知识点为圆的切线方程．（1）我们可设出直线的点斜式方程，联立直线和圆的方程，根据一元二次方程根与图象交点间的关系，得到对应的方程有且只有一个实根，即△=0，求出k 值后，进而求出直线方程．（2）由于点在圆上，我们也可以切线的性质定理，即此时切线与过切点的半径垂直，进行求出切线的方程． 解：法一： x 2+y 2﹣4x=0 y=kx ﹣k+
⇒x 2﹣4x+（kx ﹣k+
）2=0．
该二次方程应有两相等实根，即△=0，解得k=．
∴y ﹣=
（x ﹣1），
即x ﹣y+2=0．
法二： ∵点（1，
）在圆x 2+y 2﹣4x=0上， ∴点P 为切点，从而圆心与P 的连线应与切线垂直． 又∵圆心为（2，0），∴•k=﹣1．
解得k=
，
∴切线方程为x ﹣y+2=0．
故选D
考点：圆的切线方程．
8．A
解析：A 【解析】 【分析】 写出圆的圆心(,2)2
a
-，代入直线10x y -+=，即可求出a . 【详解】
因为圆C ：2240x y ax y ++-=
所以圆心(,2)2
a
-
， 代入直线10x y -+=
102
a
--=，解得2a =- 故选A. 【点睛】
本题主要考查了圆的一般方程，圆心的坐标，属于中档题.
9．D
解析：D 【解析】 【分析】
先求出集合A 、集合B 表示的几何意义，然后结合题意中A B ∅⋂≠的概率为1转化为直线与圆相交，运用直线与圆的位置关系求出结果 【详解】
集合A 表示在直线y x a =+上的点，
化简234y x x =--，可得()()2
2
324y x -+-=
3y ≤，则集合B 表示半圆
A B ∅⋂≠的概率为1，
即直线与半圆有交点 如图：
将（0，3）代入可得：3a =
()
2
2
23d 211a -+=
≤+-，
即122a -≤122221a -≤≤，
综上，1223a -≤≤
则a 的取值范围是122,3⎡⎤-⎣⎦
故选D 【点睛】
本题较为综合考查了集合的运算、直线与圆的位置关系，解题关键是转化为直线与圆的位置关系，然后运用相关知识来求解，需要掌握此类题目解题方法。

10．C
解析：C 【解析】
试题分析：相等的角为弧AC 对应两个圆周角以及∠CAE ． 解：由题意，PCB 过点O ，AE ⊥BP 交⊙O 于E ， ∴AC=CE ，
∴∠CAE=∠CEA=∠ABC ， ∵PA 切⊙O 于点A ， ∴∠CAP=∠ABC ，
∴∠CAE=∠CEA=∠ABC=∠CAP ， 故选：C ．
考点：弦切角；圆周角定理．
11．A
解析：A 【解析】
试题分析：过点(2,2)M 的最长弦为直径10最短弦为6，所以l 被圆截得的弦长恰为整数的直线有8条，所以应选A ． 考点：圆的性质．
12．A
解析：A 【解析】
试题分析：设圆心为(),2C m ，切点(),P x y ，由题意知2
2
2
OP PC OC
+=；而
2
2
2
22222,4,1OP x y OC m PC r m =+=+==+，代入化简得322=+y x ，故选A ．
考点：1、圆的标准方程；2、直线与圆的位置关系．
二、填空题
13．或【解析】【分析】若圆上恰有2个点到直线的距离等于1则圆心到直线的距离d 满足1＜d ＜3代入点到直线的距离公式可得答案【详解】由圆C 的方程可得圆心C 为（01）半径为2若圆上恰有2个点到直线的距离等于1
解析：73m -<<-或15m 【解析】 【分析】
若圆上恰有2个点到直线的距离等于1，则圆心到直线的距离d 满足1＜d ＜3，代入点到直线的距离公式，可得答案． 【详解】
由圆C 的方程()2
2
14x y +-=，可得圆心C 为（0，1），半径为2,
若圆上恰有2个点到直线的距离等于1，
则圆心C 到直线30x y m ++=的距离d 满足1＜d ＜3， 由点到直线的距离公式可得01132
m
++<<， 解得73m -<<-或15m ， 故答案为：73m -<<-或15m ． 【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，其中分析出圆心到直线的距离的范围是解答此题的关键．
14．【解析】取的中点连接如下图由题意知又平面在同理因此四点在以为球心的球面上在在中球的半径因此球的表面积为考点：球的表面积公式【思路点睛】取的中点连结由线面垂直的判定与性质证出且得到与是具有公共斜边的直 解析：3π
【解析】 取
的中点
，连接
，如下图
由题意知
，又
，平面，
，在
，
，同理
，
，因此
四点在以为球心的球面上，在
，
，在
中，
，球
的半径
，因此球的表面积为
．
考点：球的表面积公式． 【思路点睛】取
的中点
，连结OA OB 、．由线面垂直的判定与性质，证出
BC PB ⊥且PA AC ⊥，得到PAC ∆与PBC ∆是具有公共斜边的直角三角形，从而得出1
2
OA OB OC OP PC ====
，所以P A B C 、、、四点在以为球心的球面上．根据题
中的数据，利用勾股定理算出长，进而得到球半径3
R =
，利用球的表面积公式加以计算，可得答案．
15．2【详解】方法一：因为AB 为圆O 的直径所以又BC ＝CD 所以是等腰三角形所以AD ＝AB ＝6因为CE 切圆O 于点C 所以又因为所以＝90°故故CD2＝DE·DA ＝2×6＝12所以BC ＝CD ＝2方法二：如图连
解析：23 【详解】
方法一：因为AB 为圆O 的直径，所以AC BC ⊥. 又BC ＝CD ，所以ABD 是等腰三角形， 所以AD ＝AB ＝6，DAC BAC ∠∠＝. 因为CE 切圆O 于点C ，所以ECA ABC ∠∠＝.
又因为90BAC ABC ∠+∠︒＝，所以DAC ECA ∠+∠＝90°， 故CE AD ⊥.
故CD 2＝DE ·DA ＝2×6＝12， 所以BC ＝CD ＝23.
方法二：如图，连接OC ，因为BO ＝OA ，BC ＝CD ，所以OC AD .
又因为CE 切圆O 于点C ，所以OC CE ⊥，所以AD CE ⊥. 因为AB 为圆O 的直径，所以AC BD ⊥. 又BC ＝CD ，所以ABD 是等腰三角形， 故ADB ABD ∠∠＝，所以ABC CDE ∽， 所以
AB CD
BC DE
＝，所以BC ·CD ＝AB ·DE ， 即2·6212BC AB DE ⨯＝＝＝， 所以BC ＝3
16．【解析】试题分析：由题设可知圆心的坐标为所求直线的斜率为则所求直线的方程为即考点：直线与圆的方程 解析：10x y -+=
【解析】
试题分析：由题设可知圆心C 的坐标为)0,1(-C ,所求直线的斜率为1,则所求直线的方程为
1+=x y ,即01=+-y x .
考点：直线与圆的方程．
17．【解析】【分析】讨论的直角顶点根据△MNP 是直角三角形转化为以MN 为直径的圆和直线y ＝k （x ﹣3）相交且k≠0然后利用直线和圆相交的等价条件进行求解即可【详解】当直角顶点为MN 时此时存在两个直角三角
解析：2525,00,55⎛⎫
⎛⎫
- ⎪ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭
⎝
⎭
【解析】 【分析】
讨论MNP ∆的直角顶点，根据△MNP 是直角三角形，转化为以MN 为直径的圆和直线y ＝k （x ﹣3）相交，且k ≠0，然后利用直线和圆相交的等价条件进行求解即可． 【详解】
当直角顶点为M,N 时，此时存在两个直角三角形， 当直角顶点为P 时，即MN 为直角三角形的斜边时，
要使直线()3y k x =-上存在四个点()1
,2,3,4i P i =，使得MNP ∆是直角三角形， 等价为以MN 为直径的圆和直线()3y k x =-相交，且0k ≠， 圆心O 到直线30kx y k --=的距离2
321k d k
-=
<+，
平方得()
22294144k k k <+=+，即254k <，即2
45k <
，得44
55
k -<<， 即2525
55
k -
<<
，又0k ≠， ∴实数k 的取值范围是2525,00,55⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【点睛】
本题主要考查直线和圆相交的位置关系的应用，根据条件结合△MNP 是直角三角形转化为直线和圆相交是解决本题的关键．
18．3【解析】由题设得∽∽所以则所以
解析：3 【解析】 由题设得
∽
∽
，所以
，则
所以
19．【解析】试题分析：连接OF 因为DF 切⊙O 于F 所以∠OFD=90°所以
∠OFC+∠CFD=90°因为OC=OF 所以∠OCF=∠OFC 因为CO ⊥AB 于O 所以∠OCF+∠CEO=90°所以∠CFD=∠CE 解析：33
【解析】 试题分析：连接OF
因为DF 切⊙O 于F ，所以∠OFD=90°．所以∠OFC+∠CFD=90°．因为OC=OF ，所以∠OCF=∠OFC ．因为CO ⊥AB 于O ，所以∠OCF+∠CEO=90°．所以∠CFD=∠CEO=∠DEF ，所以DF=DE ．因为DF 是⊙O 的切线，所以DF 2=DB•DA ．所以
.
考点：与圆有关的比例线段
20．【解析】试题分析：参数方程和极坐标方程为的普通方程分别为因此点到直线的距离为而所以点到直线的距离的最小值为考点：1极坐标与参数方程；2三角函数的图象和性质；3曲线的位置关系 解析：
【解析】
试题分析：参数方程4cos {
3sin x y θ
θ
==和极坐标方程为
的普通方程分别为
22
1,80169
x y x y +=-+=，因此点到直线l 的距离为43sin 8
5sin()8
2
2
cos θθθϕ-+++=
，而55sin()5θϕ-≤+≤，所以点
到直线l 的
距离的最小值为
.
考点：1.极坐标与参数方程；2.三角函数的图象和性质；3.曲线的位置关系.
三、解答题
21．（1）略
（2）直线l 的方程为1-=x 或0434=+-y x
（3）AN AM ⋅与直线l 的斜率无关，且5-=⋅AN AM ． 【解析】（１）∵l 与m 垂直，且3
1-=m k ， ∴3l k =，故直线l 方程为3(1)y x =+， 即330x y -+= …………………… …2分 ∵圆心坐标（0，3）满足直线l 方程，
∴当l 与m 垂直时，l 必过圆心C -----------------…3分
（２）①当直线l 与x 轴垂直时, 易知1-=x 符合题意…………………4分 ②当直线l 与x 轴不垂直时,∵32=PQ ，∴134=-=CM ，
则由11
|3|2=++-=
k k CM ，得3
4
=
k , ∴直线l ：0434=+-y x ． 故直线l 的方程为1-=x 或0434=+-y x --------------------------------6分 （３）∵CM MN ⊥,
∴ ()AM AN AC CM AN AC AN CM AN AC AN ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅------------8分 ①当l 与x 轴垂直时，易得5(1,)3N --，则5
(0,)3
AN =-,又(1,3)AC =,
∴5AM AN AC AN ⋅=⋅=----------------------------------------------------10分 当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为)1(+=x k y ， 则由⎩⎨
⎧=+++=0
63)
1(y x x k y ，
得N （
36,13k k --+k k 315+-）,则55(,)1313k
AN k k
--=++ ∴AM AN AC AN ⋅=⋅=
51551313k
k k
--+=-++ 综上所述，AN AM ⋅与直线l 的斜率无关，且5-=⋅AN AM ．-------------12分 22．见解析。

【解析】
试题分析：由切割线定理得 2CD CA CB =⋅，BE DE =，即得
1
2BE EC =
，再根据相似得1
2
OD OC =，即得3CA CB =，解得CA =. 试题
∵CD 是圆O 的切线，∴2CD CA CB =⋅， 连结OD ，则OD CD ⊥，
∵BE 是圆O 的切线，∴BE DE =， 又12DE EC =
，∴1
2
BE EC =，∴30C ∠=，
则1
2
OD OC =
， 而OB OD =，∴CB BO OD OA ===，∴3CA CB =， 由3CA CB =得13CB CA =
，代入2CD CA CB =⋅得21
3
CD CA CA =⋅， 故3CA CD =．
23．（1）1,3430x x y =--=；（2）()()2
2
319x y -++=或()()2
2
249x y ++-=. 【解析】
试题分析：（1）按直线1l 的斜率不存在与存在，两种情况分类讨论：当直线1l 的斜率不存在，易知直线是1x =；当直线1l 斜率存在，设直线1l 为()1y k x =-，即0kx y k --=，由圆C 的圆心到直线的距离等于圆的半径，建立关于k 的方程，解此方程求出k 值，从而即可求出直线的方程；
（2）依题意设(),2D a a -，又已知圆的圆心()3,4C ，由两圆外切，可知5CD =，可知
()()
22
3245a a -+--=，解此方程，求出a 的值，从而即可写出所求圆的方程.
试题
（1）①若直线1l 的斜率不存在，即直线是1x =，符合题意 ②若直线1l 斜率存在，设直线1l 为()1y k x =-，即0kx y k --=. 由题意知，圆心()3,4到已知直线1l 的距离等于半径2， 即
2
3421
k k k --=+
得3
4
k =
. 所求直线方程是1,3430x x y =--=
（2）依题意设(),2D a a -，又已知圆的圆心()3,4C ，2r =， 由两圆外切，可知5CD = ∴可知()()2
2
3245a a -+--=，
解得3a =，或2a =-， ∴()3,1D -或()2,4D -，
∴所求圆的方程为()()2
2
319x y -++=或()()2
2
249x y ++-=
考点：1、直线与圆的位置关系；2、圆与圆的位置关系． 24．(1) (x －1)2＋(y －1)2＝4. (2) S ＝2＝2
＝2
.
【解析】
试题分析：（1）设圆
的方程为
,将点
代入,再
将圆心代入解方程组可得的值. （2）分析可知,
而,其中是半径为定值,所以当最小时取得最小值,此时最小.的最小值即点到直线的距离.
试题
解：（1）设圆的方程为，
故所求圆的方程为
（2）圆的切线，
当PM与直线垂直时，
故四边形的面积的最小值为.
考点：1求圆的方程;2直线与圆相切.
25．（Ⅰ）;（Ⅱ）.
【解析】试题分析；(Ⅰ)根据圆的一般方程表示圆的条件即可求的取值范围;
(Ⅱ)根据圆与圆相切的等价条件求出的值,结合直线的弦长公式进行求解即可.
试题
（Ⅰ）圆的方程可化为
令,所以
（Ⅱ）圆,圆心,半径
圆圆心,半径
因为圆与圆相外切
所以
解得
圆心到直线的距离为
所以
26．(1) , (2)6
【解析】
试题分析（1）先根据两直线方程联立方程组，解方程组得交点坐标，再根据两直线垂直关
系得所求直线斜率，最后根据点斜式写出直线方程，（2）由直线与圆相切得圆心到直线距离等于半径，列方程，解出的值
试题
解：(1)由解得
又直线与直线垂直，故的斜率为
所以
即直线的方程为
(2) 由题设知,半径
因为直线与圆相切，
且到直线的距离为
得或(舍)
.。