福建省南平市浦城县2018届高三上学期期中质量检查数学

高三数学试题（理科） 第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项
是符合题目要求的.
1.若集合{}1,2A =，{}1,3B =，则集合A B 的真子集的个数为（ ）
A ．7
B ．8
C ．15
D ．16
2.已知函数()cos()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，R ϕ∈），则“()f x 是奇函数”是“2
π
ϕ=
”
的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
3.给出下列函数：
①()sin f x x =；②()tan f x x =；③2,1,(),11,2,1;x x f x x x x x -+>⎧⎪=-≤≤⎨⎪--<-⎩
④2,0,
()2,0,
x
x x f x x -⎧>⎪=⎨-<⎪⎩则它们
共同具有的性质是（ ） A ．周期性
B ．偶函数
C ．奇函数
D ．无最大值
4.已知实数x ，y 满足x
y
a a <（01a <<），则下列关系式恒成立的是（ ） A ．
2211
11
x y >++
B ．22ln(1)ln(1)x y +>+
C ．sin sin x y >
D ．33
x y >
5.两曲线sin y x =，cos y x =与两直线0x =，2
x π
=
所围成的平面区域的面积为（ ）
A ．20
(sin cos )x x dx π
-⎰ B ．40
2(sin cos )x x dx π
-⎰ C ．
20
(cos sin )x x dx π-⎰
D ．40
2
(cos sin )x x dx π-⎰
6.已知函数()f x （x R ∈）图象上任一点00(,)x y 处的切线方程为
20000(2)(1)()y y x x x x -=---，那么函数()f x 的单调减区间是（ ）
A ．[1,)-+∞
B ．(,2]-∞
C ．(,1)-∞-和(1,2)
D ．[2,)+∞
7.若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且8310S S -=，则11S 的值为（ ） A ．12
B ．18
C ．22
D ．44
8.已知向量i 与j 不共线，且AB i m j =+，AD ni j =+，若A ，B ，D 三点共线，则实数
m ，n 应该满足的条件是（ ）
A ．1mn =
B ．1mn =-
C ．1m n +=
D ．1m n +=-
9.已知命题p ：x R ∀∈，23x x <；命题q ：x R ∃∈，32
1x x =-，则下列命题中为真命题
的是（ ） A ．p q ∧
B ．()p q ⌝∧
C ．()p q ∧⌝
D ．()()p q ⌝∧⌝
10.已知函数1
()ln(1)f x x x
=
+-，则()y f x =的图象大致为（ ）
11.若A 为△ABC 的内角，且3sin 25
A =-，则cos()4
A π
+
等于（ ）
A ．5
-
B ．
5
C ．5-
D ．
5
12.已知函数2
()|ln |1||f x x x =-+与()2g x x =，则它们所有交点的横坐标之和为（ ） A ．0
B ．2
C ．4
D ．8
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.等比数列{}n a 中，1232a a a ++=，4564a a a ++=，则101112a a a ++= ． 14.已知圆O ：2
2
4x y +=与y 轴正半轴的交点为M ，点M 沿圆O 顺时针运动
2
π
弧长到达点N ，以x 轴的非负半轴为始边，ON 为终边的角记为α，则tan α= ． 15.若向量(1,3)OA =-，||||OA OB =，0OA OB ⋅=，则||AB = ．
16.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0,)+∞上单调递增，若实数b 满足
212
2(log )(log )3(1)f b f b f +≤，则实数b 的取值范围是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 1,
2sin ,x y αα=+⎧⎨=⎩
（α为参数）．以平面
直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为
4sin ρθ=．
（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程； （2）求曲线1C 和2C 公共弦的长度． 18.已知函数73()sin(2)cos(2)44
f x x x ππ
=+
+-，x R ∈． （1）求()f x 的最小正周期和单调增区间； （2）已知4cos()5βα-=
，4cos()5βα+=-，02
π
αβ<<≤，求()f β． 19.已知函数32()10f x x ax =-+．
（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程；
（2）在区间[]1,2内存在实数x ，使得()0f x <成立，求实数a 的取值范围．
20.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n a 是n S 与2的等差中项，数列{}n b 中，11b =，点
1(,)n n P b b +在直线20x y -+=上，*n N ∈．
（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项n a 和n b ； （2）求证：
1223341111112
n n b b b b b b b b +++++<…； （3）设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 21.已知函数()2sin f x x ω=（03ω<<）在,06π⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的最小值为()f x 的图象上所有的点向右平移
3
π
个单位后，得到函数()g x 的图象．
（1）求函数()g x 的解析式；
（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，若函数()g x 在y 轴右侧的第一个零点恰为A ，5a =，求△ABC 的面积S 的最大值． 22.已知函数()ln f x x mx =-（m R ∈），2
()2()gx f x x =+，2()ln h x x cx bx =--．
（1）求函数()f x 的单调区间；
（2
）当2m ≥
时，()g x 的两个极值点为1x ，2x （12x x <）． ①证明：12102
x x <
≤； ②若1x ，2x 恰为()h x 的零点，求12
12()'()2
x x y x x h +=-的最小值．
2018—2018学年第一学期期中测试高三数学试题（理科）答案 一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A
B
C
D
D
C
C
A
B
B
A
C
二、填空题
13.16 14.1 15.1
,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
三、解答题
17.解：（1）曲线1C 的参数方程为2cos 1
2sin x y αα
=+⎧⎨
=⎩（α为参数），消去参数α可得普通方程：
22(1)4x y -+=．
圆心
1(1,0)C 到公共弦所在的直线的距离d =
=
∴公共弦长== 18.解：（1）因为
73()sin(22)sin(2)442f x x x ππππ=+
-+-+sin(2)sin(2)2sin(2)444
x x x πππ=-+-=-，
所以T π=， 由2222
4
2
k x k π
π
π
ππ-
≤-
≤+
，得单调增区间为3,8
8k k π
πππ⎡
⎤
-
+
⎢⎥⎣
⎦
，k Z ∈． （2）∵4cos()5βα-=
，4
cos()5
βα+=-， ∴4cos cos sin sin 5βαβα+=，4
cos cos sin sin 5
βαβα-=-，
两式相加，得2cos cos 0βα=， ∵02
π
αβ<<≤
，∴2
π
β=
，
由（1
）知()2sin(2)4
f π
ββ=-
=
19.解：（1）当1a =时，2()32f x x x =-，(2)14f =， 曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线斜率'(2)8k f ==，
所以曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为148(2)y x -=-，即820x y --=．
（2）由已知得322
1010
x a x x x
+>=+，设210()g x x x =+（12x ≤≤），320'()1g x x =-， ∵12x ≤≤，∴'()0g x <，∴()g x 在[]1,2上是减函数，min 9
()(2)2
g x g ==， ∴92a >
，即实数a 的取值范围是9
(,)2
+∞． 20.解：（1）∵n a 是n S 与2的等差中项，∴22n n S a =-， ∴1122n n S a --=-，∴1122n n n n n a S S a a --=-=-， 又12a =，∴0n a ≠，
1
2n
n a a -=（2n ≥，*n N ∈）
， 即数列{}n a 是等比数列，2n n a =，
∵点1(,)n n P b b +在直线20x y -+=上，∴120n n b b +-+=，12n n b b +-=， 即数列{}n b 是等差数列，又11b =，∴21n b n =-． （2）∵
111111
()(21)(21)22121
n n b b n n n n +==--+-+， ∴
12233411111
n n b b b b b b b b +++++
…11111111(1)2
335572121n n =-+-+-++--+111
(1)2212
n =
-<+． （3）∵(21)2n
n c n =-，
∴1122n n n T a b a b a b =+++…23123252(21)2n n =⨯+⨯+⨯++-…， ∴2321232(23)2(21)2n n T n n =⨯+⨯++-+-…，
因此，23112(222222)(21)2n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--…， 即341112(222)(21)2n n n T n ++-=⨯++++--…， ∴1(23)26n n T n +=-+．
21.解：（1）∵函数()2sin f x x ω=（03ω<<）在,06π⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的最小值为
∴2sin()6
π
ω-
=2ω=，
把()f x 的图象上所有的点向右平移
3
π
个单位后，得到的函数()2sin 2()3g x x π⎡
⎤=-⎢⎥⎣
⎦22sin(2)3x π=-，
∴函数()g x 的解析式为2()2sin(2)3
g x x π
=-
． （2）∵函数()g x 在y 轴右侧的第一个零点恰为A ， 所以由22sin(2)03x π-=，解得223
x k ππ-=，k Z ∈， 可得，23k A ππ=+，k Z ∈，令0k =，可得3
A π=． ∵5a =，
∴由余弦定理可得2
2
2
2
252cos 2b c bc A b c bc bc bc bc =+-=+-≥-=，
∴11sin 252224
ABC S bc A ∆=
≤⨯⨯=，
故△ABC 的面积S ． 22.解：（1）∵函数()ln f x x mx =-，∴11'()mx f x m x x
-=
-=，0x >； 当0m >时，由10mx ->解得1x m <，即当1
0x m
<<时，'()0f x >，()f x 单调递增；
由10mx -<解得1x m >，即当1
x m
>时，'()0f x <，()f x 单调递减；
当0m ≤时，10mx ->，故'()0f x >，即()f x 在(0,)+∞上单调递增； ∴当0m >时，()f x 的单调增区间为1(0,
)m ，单调减区间为1
(,)m
+∞； 当0m ≤时，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞．
（2）①2
2
()2()2ln 2g x f x x x mx x =+=-+，则22(1)
'()x mx g x x
-+=，
∴'()g x 的两根1x ,2x 即为方程2
10x mx -+=的两根；
又∵2
m ≥
，∴2
40m ∆=->，12x x m +=，121x x = 令
1
2
x t x =（01t <<）
，由2212()x x m +=，得22212122x x x x m ++=， 因为121x x =，两边同时除以12x x ，得2
12t m t
++=
，且m ≥
， 故152t t
+≥
，解得12t ≤或2t ≥，∴102t <≤，即12102
x x <≤． ②∵1x ，2x 为2
()ln h x x cx bx =--的零点， ∴2111ln 0x cx bx --=，2222ln 0x cx bx --=， 两式相减得1
1212122
ln
()()()0x c x x x x b x x x --+--=， ∵1
'()2h x cx b x
=
--， ∴1212122()()y x x c x x b x x ⎡⎤=--+-⎢⎥+⎣⎦1
1212111222
2
1
2()ln 2ln 1
x x x x x x
x x x x x x --=
-=⋅-++， 令
1
2
x t x =（102t <≤），1()2
l n 1t Gt t t -=⋅-+，
则2
(1)'()0(1)
t G t t t --=<+，()y G t =在1(0,]2上是减函数，
∴min 12
()()ln 22
3G t G ==-+， 即1212()'()2x x y x x h +=-的最小值为2
ln 23
-+．。