[K12配套]2018年高中数学课时跟踪检测四导数的运算法则新人教A版选修2_2

课时跟踪检测（四） 导数的运算法则
层级一 学业水平达标
1．已知函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，则a 的值为( )
A ．1 B. 2 C ．－1
D ．0 解析：选A ∵f (x )＝ax 2＋c ，∴f ′(x )＝2ax ，
又∵f ′(1)＝2a ，∴2a ＝2，∴a ＝1.
2．函数y ＝(x ＋1)2(x －1)在x ＝1处的导数等于( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 解析：选D y ′＝[(x ＋1)2]′(x －1)＋(x ＋1)2(x －1)′＝2(x ＋1)·(x －1)＋(x ＋1)
2＝3x 2
＋2x －1，∴y ′|x ＝1＝4.
3．曲线f (x )＝x ln x 在点x ＝1处的切线方程为( )
A ．y ＝2x ＋2
B ．y ＝2x －2
C ．y ＝x －1
D ．y ＝x ＋1 解析：选C ∵f ′(x )＝l n x ＋1，∴f ′(1)＝1，又f (1)＝0，∴在点x ＝1处曲线f (x )的切线方程为y ＝x －1.
4. 已知物体的运动方程为s ＝t 2＋3t
(t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻t ＝2时的速度为( )
A.
194 B.174 C.154 D.134
解析：选D ∵s ′＝2t －3t 2，∴s ′|t ＝2＝4－34＝134
. 5．设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 解析：选D y ′＝a －
1x ＋1，由题意得y ′|x ＝0＝2，即a －1＝2，所以a ＝3. 6．曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程为________．
解析：∵y ′＝3x 2－1，∴y ′|x ＝1＝3×12
－1＝2.
∴切线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0.
答案：2x －y ＋1＝0
7．已知曲线y 1＝2－1x
与y 2＝x 3－x 2＋2x 在x ＝x 0处切线的斜率的乘积为3，则x 0＝________.
解析：由题知y ′1＝1x 2，y ′2＝3x 2－2x ＋2，所以两曲线在x ＝x 0处切线的斜率分别为1x 20
，3x 20－2x 0＋2，所以3x 20－2x 0＋2x 20
＝3，所以x 0＝1. 答案：1
8．已知函数f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4的值为________． 解析：∵f ′(x )＝－f ′⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4sin x ＋cos x ， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4×22＋22， 得f ′⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＝2－1. ∴f (x )＝(2－1)cos x ＋sin x .
∴f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＝1. 答案：1
9．求下列函数的导数：
(1)y ＝x sin 2x ；(2)y ＝e x
＋1e x －1； (3)y ＝x ＋cos x x ＋sin x
；(4)y ＝cos x ·sin 3x . 解：(1)y ′＝(x )′sin 2x ＋x (sin 2x )′
＝sin 2x ＋x ·2sin x ·(sin x )′＝sin 2x ＋x sin 2x . (2)y ′＝
e x ＋1′e x －1－e x ＋1e x －1′e x －12 ＝－2e
x e x －12 . (3)y ′＝
x ＋cos x ′x ＋sin x －x ＋cos x x ＋sin x ′x ＋sin x 2
＝
1－sin x x ＋sin x －x ＋cos x 1＋cos x x ＋sin x 2 ＝－x cos x －x sin x ＋sin x －cos x －1x ＋sin x 2
. (4)y ′＝(cos x ·sin 3x )′
＝(cos x )′sin 3x ＋cos x (sin 3x )′
＝－sin x sin 3x ＋3cos x cos 3x
＝3cos x cos 3x －sin x sin 3x .
10．偶函数f (x )＝ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e 的图象过点P (0,1)，且在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，求f (x )的解析式．
解：∵f (x )的图象过点P (0,1)，∴e ＝1.
又∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )．
故ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e ＝ax 4－bx 3＋cx 2－dx ＋e .
∴b ＝0，d ＝0.∴f (x )＝ax 4＋cx 2＋1.
∵函数f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，
∴切点为(1，－1)．∴a ＋c ＋1＝－1.
∵f ′(x )|x ＝1＝4a ＋2c ，∴4a ＋2c ＝1.
∴a ＝52，c ＝－92
. ∴函数f (x )的解析式为f (x )＝52x 4－92
x 2＋1. 层级二 应试能力达标
1．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( )
A ．－1
B ．－2
C ．2
D ．0 解析：选B ∵f ′(x )＝4ax 3＋2bx 为奇函数，∴f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2.
2．曲线y ＝x e
x －1在点(1,1)处切线的斜率等于( ) A ．2e
B ．e
C ．2
D ．1 解析：选C 函数的导数为f ′(x )＝e x －1＋x e x －1＝(1＋x )e x －1，
当x ＝1时，f ′(1)＝2，即曲线y ＝x e
x －1在点(1,1)处切线的斜率k ＝f ′(1)＝2，故选
C. 3．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，则f ′(e)＝( )
A ．e －1
B ．－1
C ．－e －1
D ．－e
解析：选C ∵f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，
∴f ′(x )＝2f ′(e)＋1x
， ∴f ′(e)＝2f ′(e)＋1e ，解得f ′(e)＝－1e
，故选C.
4．若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )＞0的解集为( )
A ．(0，＋∞)
B ．(－1,0)∪(2，＋∞)
C ．(2，＋∞)
D ．(－1,0) 解析：选C ∵f (x )＝x 2－2x －4ln x ，
∴f ′(x )＝2x －2－4x
＞0， 整理得x ＋
x －x ＞0，解得－1＜x ＜0或x ＞2，
又因为f (x )的定义域为(0，＋∞)，所以x ＞2.
5．已知直线y ＝2x －1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为________________． 解析：∵y ＝ln(x ＋a )，∴y ′＝1x ＋a
，设切点为(x 0，y 0)， 则y 0＝2x 0－1，y 0＝ln(x 0＋a )，且
1x 0＋a ＝2， 解之得a ＝12
ln 2. 答案：12
ln 2 6．曲线y ＝x 2x －1
在点(1,1)处的切线为l ，则l 上的点到圆x 2＋y 2＋4x ＋3＝0上的点的最近距离是____________．
解析：y ′＝－1
x －2，则y ′| x ＝1
＝－1，∴切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0，圆心(－2,0)到直线的距离d ＝22，圆的半径r ＝1，∴所求最近距离为22－1.
答案：22－1
7．已知曲线f (x )＝x 3
＋ax ＋b 在点P (2，－6)处的切线方程是13x －y －32＝0.
(1)求a ，b 的值；
(2)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线l ：y ＝－14
x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．
解：(1)∵f (x )＝x 3＋ax ＋b 的导数f ′(x )＝3x 2＋a ，
由题意可得f ′(2)＝12＋a ＝13，f (2)＝8＋2a ＋b ＝－6，
解得a ＝1，b ＝－16.
(2)∵切线与直线y ＝－14
x ＋3垂直， ∴切线的斜率k ＝4.
设切点的坐标为(x 0，y 0)，
则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，∴x 0＝±1.
由f (x )＝x 3＋x －16，可得y 0＝1＋1－16＝－14， 或y 0＝－1－1－16＝－18.
则切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18. 即y ＝4x －18或y ＝4x －
14.
8．设f n (x )＝x ＋x 2＋…＋x n －1，x ≥0，n ∈N ，n ≥2.
(1)求f n ′(2)；
(2)证明：f n (x )在⎝
⎛⎭⎪⎫0， 23内有且仅有一个零点(记为a n )，且0＜a n －12＜2n 3n ＋1. 解：(1)由题设f n ′(x )＝1＋2x ＋…＋nx
n －1. 所以f n ′(2)＝1＋2×2＋…＋(n －1)2
n －2＋n ·2n －1，① 则2f n ′(2)＝2＋2×22＋…＋(n －1)2
n －1＋n ·2n ，② ①－②得，－f n ′(2)＝1＋2＋22＋…＋2
n －1－n ·2n
＝1－2n 1－2
－n ·2n ＝(1－n )·2n －1， 所以f n ′(2)＝(n －1)·2n ＋1.
(2)因为f (0)＝－1＜0， f n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n 1－23
－1＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ≥1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＞0， 因为x ≥0，n ≥2.
所以f n (x )＝x ＋x 2＋…＋x n
－1为增函数，
所以f n (x )在⎝
⎛⎭⎪⎫0， 23内单调递增， 因此f n (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 23内有且仅有一个零点a n . 由于f n (x )＝x －x n ＋1
1－x
－1， 所以0＝f n (a n )＝a n －a n
＋1n 1－a n
－1， 由此可得a n ＝12＋12a n ＋1n ＞12，故12＜a n ＜23
.
所以0＜a n －12＝12a n ＋1n ＜12×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋1＝2n 3
n ＋1.。