南和县第一中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

南和县第一中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题
班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．如图，已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=4，P是双曲线右支上一点，直线PF2交y轴于点A，△AF1P的内切圆切边PF1于点Q，若|PQ|=1，则双曲线的渐近线方程为（）
A．y=±x B．y=±3x C．y=±x D．y=±x
2．在空间中，下列命题正确的是（）
A．如果直线m∥平面α，直线n⊂α内，那么m∥n
B．如果平面α内的两条直线都平行于平面β，那么平面α∥平面β
C．如果平面α外的一条直线m垂直于平面α内的两条相交直线，那么m⊥α
D．如果平面α⊥平面β，任取直线m⊂α，那么必有m⊥β
3．以的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（）
A．B．
C．D．
4．如右图，在长方体中，=11，=7，=12，一质点从顶点A射向点，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将次到第次反射点之间的线段记为，，将线段竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（）
A
B
C
D
5． 已知是虚数单位，若复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数的值可以是（ ）22ai
Z i
+=+A ．-2 B ．1
C ．2
D ．3
6． 如图所示，网格纸表示边长为1的正方形，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（
）
A ．4
B ．8
C ．12
D ．20
【命题意图】本题考查三视图、几何体的体积等基础知识，意在考查空间想象能力和基本运算能力．
7． 如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C 、B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为（
，﹣
），∠AOC=α，若|BC|=1，则
cos 2
﹣sin
cos
﹣
的值为（
）
A ．
B ．
C ．﹣
D ．﹣
8． 设函数对一切实数都满足，且方程恰有6个不同的实根，则这()y f x =x (3)(3)f x f x +=-()0f x =6个实根的和为（ ）A. B.
C.
D.181290【命题意图】本题考查抽象函数的对称性与函数和方程等基础知识，意在考查运算求解能力.9． 命题“∀a ∈R ，函数y=π”是增函数的否定是（ ）
A ．“∀a ∈R ，函数y=π”是减函数
B ．“∀a ∈R ，函数y=π”不是增函数
C ．“∃a ∈R ，函数y=π”不是增函数
D ．“∃a ∈R ，函数y=π”是减函数
10．函数在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为（ ）
sin()y A x ωϕ=+A ． B ． C ． D ．2sin(2)3
y x π
=+
22sin(23y x π=+
2sin()23x y π=-2sin(2)3
y x π
=-
11．若曲线f （x ）=acosx 与曲线g （x ）=x 2+bx+1在交点（0，m ）处有公切线，则a+b=（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
12．设集合
，则A ∩B 等于（
）
A ．{1，2，5}
B ．{l ，2，4，5}
C ．{1，4，5}
D ．{1，2，4}
二、填空题
13．已知过双曲线的右焦点的直线交双曲线于两点，连结，若
22
221(0,0)x y a b a b
-=>>2F ,A B 11,AF BF ，且，则双曲线的离心率为（ ）
1||||AB BF =190ABF ∠=︒
A ．
B
C ．
D 5-6-
【命题意图】本题考查双曲线定义与几何性质，意要考查逻辑思维能力、运算求解能力，以及考查数形结合思想、方程思想、转化思想．
14．已知数列{a n }满足a 1=1，a 2=2，a n+2=（1+cos 2
）a n +sin 2
，则该数列的前16项和为 ．
15．如图所示，正方体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′的棱长为1，E 、F 分别是棱AA ′，CC ′的中点，过直线EF 的平面分别与棱BB ′、DD ′交于M 、N ，设BM=x ，x ∈[0，1]，给出以下四个命题：①平面MENF ⊥平面BDD ′B ′；
②当且仅当x=时，四边形MENF 的面积最小；③四边形MENF 周长l=f （x ），x ∈0，1]是单调函数；④四棱锥C ′﹣MENF 的体积v=h （x ）为常函数；以上命题中真命题的序号为 ．
16．已知一个算法，其流程图如图，则输出结果是 ．
三、解答题
17．（本小题满分16分）
在互联网时代，网校培训已经成为青年学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量()h x （单位：千套）与销售价格（单位：元/套）满足的关系式()()()h x f x g x =+（37x <<，m 为常数），其中()f x 与()3x -成反比，()g x 与()7x -的平方成正比，已知销售价格为5元/套时，每日可售出套题21千套，销售价格为3.5元/套时，每日可售出套题69千套.（1） 求()h x 的表达式；
（2） 假设网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题3元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．（保留1位小数）
18．（本题满分12分）在中，已知角所对的边分别是，边，且ABC ∆,,A B C ,,a b c 7
2
c =
，又的面积为，求的值．tan tan tan tan A B A B +=A ABC ∆ABC S ∆=
a b +
19．（本小题满分10分）已知函数f （x ）＝|x －a |＋|x ＋b |，（a ≥0，b ≥0）．（1）求f （x ）的最小值，并求取最小值时x 的范围；（2）若f （x ）的最小值为2，求证：f （x ）≥＋.
a b 20．如图所示，两个全等的矩形和所在平面相交于，，，且
ABCD ABEF AB M AC ∈N FB ∈，求证：平面．
AM FN =//MN BCE
21．设集合{}
{}2|8150,|10A x x x B x ax =-+==-=．
（1）若1
5
a =
，判断集合A 与B 的关系；（2）若，求实数组成的集合C ．
A B B =
22．已知数列{a n}满足a1=，a n+1=a n+，数列{b n}满足b n=（Ⅰ）证明：b n∈（0，1）
（Ⅱ）证明：=
（Ⅲ）证明：对任意正整数n有a n．
南和县第一中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）
一、选择题
1．【答案】D
【解析】解：设内切圆与AP切于点M，与AF1切于点N，
|PF1|=m，|QF1|=n，
由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，即有m﹣（n﹣1）=2a，①
由切线的性质可得|AM|=|AN|，|NF1|=|QF1|=n，|MP|=|PQ|=1，
|MF2|=|NF1|=n，
即有m﹣1=n，②
由①②解得a=1，
由|F1F2|=4，则c=2，
b==，
由双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x，
即有渐近线方程为y=x．
故选D．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查切线的性质，运用对称性和双曲线的定义是解题的关键．
2．【答案】C
【解析】解：对于A，直线m∥平面α，直线n⊂α内，则m与n可能平行，可能异面，故不正确；
对于B，如果平面α内的两条相交直线都平行于平面β，那么平面α∥平面β，故不正确；
对于C，根据线面垂直的判定定理可得正确；
对于D，如果平面α⊥平面β，任取直线m⊂α，那么可能m⊥β，也可能m和β斜交，；
故选：C．
【点评】本题主要考查命题的真假判断与应用，考查了空间中直线与平面之间的位置关系、平面与平面之间的位置关系，同时考查了推理能力，属于中档题．
3．【答案】D
【解析】解：双曲线的顶点为（0，﹣2）和（0，2），焦点为（
0，﹣4）和（0，4）．
∴椭圆的焦点坐标是为（0，﹣2）和（0，2），顶点为（0，﹣4）和（0，4）．
∴椭圆方程为．
故选D ．
【点评】本题考查双曲线和椭圆的性质和应用，解题时要注意区分双曲线和椭圆的基本性质．
4． 【答案】C 【解析】根据题意有：
A 的坐标为：（0，0，0），
B 的坐标为（11，0，0），
C 的坐标为（11，7，0），
D 的坐标为（0，7，0）；A 1的坐标为：（0，0，12），B 1的坐标为（11，0，12），C 1的坐标为（11，7，12），D 1的坐标为（0，7，12）；
E 的坐标为（4，3，12）（1）l 1长度计算所以：l 1=|AE|==13。

（2）l 2长度计算
将平面A 1B 1C 1D 1沿Z 轴正向平移AA 1个单位，得到平面A 2B 2C 2D 2；显然有：
A 2的坐标为：（0，0，24），
B 2的坐标为（11，0，24），
C 2的坐标为（11，7，24），
D 2的坐标为（0，7，24）；
显然平面A 2B 2C 2D 2和平面ABCD 关于平面A 1B 1C 1D 1对称。

设AE 与的延长线与平面A 2B 2C 2D 2相交于：E 2（x E2，y E2，24）根据相识三角形易知：x E2=2x E =2×4=8，y E2=2y E =2×3=6，即：E 2（8，6，24）
根据坐标可知，E 2在长方形A 2B 2C 2D 2内。

5． 【答案】A 【解析】试题分析：
，对应点在第四象限，故，A 选项正确.()()()()2224(22)2225ai i ai a a i
i i i +-+++-==
++-40220
a a +>⎧⎨-<⎩考点：复数运算．6． 【答案】C
【解析】由三视图可知该几何体是四棱锥，且底面为长，宽的矩形，高为3，所以此四棱锥体积为62，故选C.123123
1=⨯⨯7． 【答案】 A
【解析】解：∵|BC|=1，点B 的坐标为（
，﹣），故|OB|=1，∴△BOC 为等边三角形，∴∠BOC=，
又∠AOC=α，∴∠AOB=
﹣α，∴cos （﹣α）=，﹣sin （﹣α）=﹣，∴sin （﹣α）=
．∴cos α=cos[﹣（
﹣α）]=cos cos （﹣α）+sin sin （﹣α）
=+=
，
∴sin α=sin[﹣（
﹣α）]=sin cos （﹣α）﹣cos sin （﹣α）
=﹣=
．
∴cos 2
﹣sin cos ﹣=（2cos 2﹣1）﹣sin α=cos α﹣sin α
=﹣=，故选：A ．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，三角恒等变换，属于中档题．
8． 【答案】A.
【解析】，∴的图象关于直线对称，
(3)(3)()(6)f x f x f x f x +=-⇔=-()f x 3x =∴个实根的和为，故选A.
63618⋅=9． 【答案】C
【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀a ∈R ，函数y=π”是增函数的否定是：“∃a ∈R ，函数y=π”不是增函数．
故选：C ．
【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．
10．【答案】B
【解析】
考点：三角函数的图象与性质．
()sin()f x A x ωϕ=+11．【答案】A
【解析】解：∵f （x ）=acosx ，g （x ）=x 2+bx+1，
∴f ′（x ）=﹣asinx ，g ′（x ）=2x+b ，
∵曲线f （x ）=acosx 与曲线g （x ）=x 2+bx+1在交点（0，m ）处有公切线，
∴f （0）=a=g （0）=1，且f ′（0）=0=g ′（0）=b ，
即a=1，b=0．
∴a+b=1．
故选：A ．
【点评】本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在某点处的导数，就是曲线上过该点的切线的斜率，是中档题．
12．【答案】B
【解析】解：∵集合
，
当k=0时，x=1；
当k=1时，x=2；
当k=5时，x=4；
当k=8时，x=5，
∴A ∩B={1，2，4，5}．
故选B ．
【点评】本题考查集合的交集的运算，是基础题．解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．
　二、填空题
13．【答案】B
【解析】
14．【答案】　546　．
【解析】解：当n=2k﹣1（k∈N*）时，a2k+1=a2k﹣1+1，数列{a2k﹣1}为等差数列，a2k﹣1=a1+k﹣1=k；
当n=2k（k∈N*）时，a2k+2=2a2k，数列{a2k}为等比数列，．
∴该数列的前16项和S16=（a1+a3+…+a15）+（a2+a4+…+a16）
=（1+2+...+8）+（2+22+ (28)
=+
=36+29﹣2
=546．
故答案为：546．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及前n项和公式、“分类讨论方法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
15．【答案】　①②④　．
【解析】解：①连结BD，B′D′，则由正方体的性质可知，EF⊥平面BDD′B′，所以平面MENF⊥平面BDD′B′，所以①正确．
②连结MN，因为EF⊥平面BDD′B′，所以EF⊥MN，四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使面积最小，则只需MN的长度最小即可，此时当M为棱的中点时，即x=时，此时MN长度最小，对应四边形MENF 的面积最小．所以②正确．
③因为EF⊥MN，所以四边形MENF是菱形．当x∈[0，]时，EM的长度由大变小．当x∈[，1]时，EM的长度由小变大．所以函数L=f（x）不单调．所以③错误．
④连结C ′E ，C ′M ，C ′N ，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以C ′EF 为底，以M ，N 分别为顶点的两个小棱锥．因为三角形C ′EF 的面积是个常数．M ，N 到平面C'EF 的距离是个常数，所以四棱锥C'﹣MENF 的体积V=h （x ）为常函数，所以④正确．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查空间立体几何中的面面垂直关系以及空间几何体的体积公式，本题巧妙的把立体几何问题和函数进行的有机的结合，综合性较强，设计巧妙，对学生的解题能力要求较高．
16．【答案】　5　．
【解析】解：模拟执行程序框图，可得
a=1，a=2
不满足条件a 2＞4a+1，a=3
不满足条件a 2＞4a+1，a=4
不满足条件a 2＞4a+1，a=5
满足条件a 2＞4a+1，退出循环，输出a 的值为5．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，依次正确写出每次循环得到的a 的值是解题的关键，属于基本知识的考查．
三、解答题
17．【答案】（1） ()()210473h x x x =+-- （37x <<）（2） 13 4.33
x =≈
试
题解析：（1） 因为()f x 与3x -成反比，()g x 与7x -的平方成正比，
所以可设：()13
k f x x =-，()()227g x k x =-，12.00k k ≠≠，，则()()()()21273
k h x f x g x k x x =+=+--则 ………………………………………2分因为销售价格为5元/套时，每日可售出套题21千套，销售价格为2.5元/套时，每日可售出套题69千套
所以，()()521, 3.569h h ==，即12124212492694
k k k k ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：12104k k =⎧⎨=⎩， ……………6分所以，()()210473
h x x x =+-- （37x <<） ………………………………………8分（2） 由（1）可知，套题每日的销售量()()210473
h x x x =+--，
答：当销售价格为4.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大.…………16分
考点：利用导数求函数最值
18．【答案】
．112
【解析】试
题解析：由tan tan tan A B A B +=
-A
可得，即.tan tan 1tan tan A B A B
+=-A tan()A B +=
∴，∴，∴tan()C π-=tan C -=tan C =∵，∴.
(0,)C π∈3C π
=
又的面积为，即.ABC ∆ABC S ∆=
1sin 2ab C =12ab =6ab =又由余弦定理可得，∴，2222cos c a b ab C =+-2227()2cos 23
a b ab π=+-∴，∴，∵，∴.122227()()32a b ab a b ab =+-=+-2121()4a b +=0a b +>112a b +=考点：解三角形问题．
【方法点晴】本题主要考查了解三角形问题，其中解答中涉及到两角和与两角差的正切函数公式、三角形的面积、正弦定理和余弦定理，以及特殊角的三角函数值等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，其中熟练掌握基本公式和灵活运用公式是解答本题的关键，属于中档试题．
19．【答案】
【解析】解：（1）由|x －a |＋|x ＋b |≥|（x －a ）－（x ＋b ）|
＝|a ＋b |得，
当且仅当（x －a ）（x ＋b ）≤0，即－b ≤x ≤a 时，f （x ）取得最小值，
∴当x ∈[－b ，a ]时，f （x ）min ＝|a ＋b |＝a ＋b .
（2）证明：由（1）知a ＋b ＝2，
（＋）2＝a ＋b ＋2≤2（a ＋b ）＝4，a b ab ∴＋≤2，
a b ∴f （x ）≥a ＋b ＝2≥＋，
a b 即f （x ）≥＋.
a b 20．【答案】证明见解析．
【解析】
考点：直线与平面平行的判定与证明．
21．【答案】（1）；（2）.
A B ⊆{}5,3,0=C 【解析】
考点：1、集合的表示；2、子集的性质.
22．【答案】
【解析】证明：（Ⅰ）由b n=，且a n+1=a n+，得，
∴，下面用数学归纳法证明：0＜b n＜1．
①由a1=∈（0，1），知0＜b1＜1，
②假设0＜b k＜1，则，
∵0＜b k＜1，∴，则0＜b k+1＜1．
综上，当n∈N*时，b n∈（0，1）；
（Ⅱ）由，可得，，
∴==．
故；
（Ⅲ）由（Ⅱ）得：
，
故．
由知，当n≥2时，
=．
【点评】本题考查了数列递推式，考查了用数学归纳法证明与自然数有关的命题，训练了放缩法证明数列不等式，对递推式的循环运用是证明该题的关键，考查了学生的逻辑思维能力和灵活处理问题的能力，是压轴题．　。