双星问题专题含答案

双星问题专题
【前置性学习】
1．甲、乙两名溜冰运动员m甲＝70kg，m乙＝35kg，面对面拉着弹簧秤做圆周运动的溜冰表演，如图所示，两人相距0.9m，弹簧秤的示数为21N，下列判断正确的是（）
A．两人的线速度相同，约为1m/s
B．两人的角速度相同，为1rad/s
C．两人的运动半径相同，为0.45m
D．两人的运动半径不同，甲为0.6m，乙为0.3m
★新知探究
一、“双星”问题：
两颗质量可以相比的恒星相互绕着旋转的现象，叫双星。

双星问题是万有引力定律在天文学上的应用的一个重要内容，现就这类问题的处理作简要分析。

1.要明确双星中两颗子星做匀速圆周运动的向心力来源
双星中两颗子星相互绕着旋转可看作匀速圆周运动，其向心力由两恒星间的万有引力提
供。

由于力的作用是相互的，所以两子星做圆周运动的向心力大小是相等的，利用万有引力定律可以求得其大小。

2.要明确双星中两颗子星匀速圆周运动的运动参量的关系
两子星绕着连线上的一点做圆周运动，所以它们的运动周期是相等的，角速度也是相等的，所以线速度与两子星的轨道半径成正比。

3.要明确两子星圆周运动的动力学关系。

设双星的两子星的质量分别为M1和M2，相距L，M1和M2的线速度分别为v1和v2，角速度分别为ω1和ω2，由万有引力定律和牛顿第二定律得：
M 1： 2
2121111121M M v G M M r L r ω== M 2： 2
2122222222M M v G M M r L r ω== 在这里要特别注意的是在求两子星间的万有引力时两子星间的距离不能代成了两子星做圆周运动的轨道半径。

4.“双星”问题的分析思路
质量m 1，m 2；球心间距离L ；轨道半径 r 1 ，r 2 ；周期T 1，T 2 ；角速度ω1，ω2 线速度V 1 V 2；周期相同：（参考同轴转动问题） T 1=T 2
角速度相同：（参考同轴转动问题）ω1 =ω2
向心力相同：Fn 1=Fn 2
（由于在双星运动问题中，忽略其他星体引力的情况下向心力由双星彼此间万有引力提供，可理解为一对作用力与反作用力）
轨道半径之比与双星质量之比相反：（由向心力相同推导）r 1：r 2=m 2：m 1
m 1ω2r 1=m 2ω2r 2
m 1r 1=m 2r 2 r 1:r 2=m 2:m 1
线速度之比与质量比相反：（由半径之比推导）
V 1:V 2=m 2:m 1
V 1=ωr 1 V 2=ωr 2
V 1:V 2=r 1:r 2=m 2:m 1
二、 “三星”问题 有两种情况：
第一种三颗星连在同一直线上，两颗星围绕中央的星（静止不动）在同一半径为R 的圆轨道上运行，周期相同；
第二种三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的外接圆轨道运行，三星运行周期相同。

M 1 M 2 ω1
ω2
L r 1 r 2
★例题精析
【例题1】在天体运动中，将两颗彼此相距较近的行星称为双星．它们在相互的万有引力作用下间距保持不变，并沿半径不同的同心圆轨道做匀速圆周运动．如果双星间距为L，质量分别为M1和M2，试计算：
（1）双星的轨道半径；
（2）双星的运行周期；
（3）双星的线速度．
【例题2】两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。

现测得两星中心距离为R，其运动周期为T，求两星的总质量。

【例题3】宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其它星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为 R 的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行．设三颗星质量相等，每个星体的质量均为m．（已知万有引力常量G）
（1）试求第一种情况下，星体运动的线速度和周期
（2）假设第二种情况下星体之间的距离为R，求星体运动的线速度和周期．
★自我测评
1．两颗靠得很近的天体称为双星，它们都绕两者连线上某点做匀速圆周运动，因而不至于由于万有引力而吸引到一起，以下说法中正确的是（）
A．它们做圆周运动的角速度之比与其质量成反比
B．它们做圆周运动的线速度之比与其质量成反比
C．它们做圆周运动的半径与其质量成正比
D．它们做圆周运动的半径与其质量成反比
2.如图所示，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中
心之间的距离为L．已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧，引力常数为G。

（1）求两星球做圆周运动的周期；
（2）在地月系统中，若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为T1．但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期记为T2．已知地球和月球的质量分别为5.98×1024 kg和7.35×1022 kg．求T2与T1两者平方之比。

（结果保留3位小数）
3.用天文望远镜长期观测，人们在宇宙中发现了许多双星系统，通过对它们的研究，使我们对宇宙中物质存在的形
式和分布有了较深刻的认识，双星系统是由两个星体构成，其中每个星体的线度都小于两星体间的距离，一般双星系统距离其它星体很远，可以当做孤立系统处理，现根据对某一双星系统的光度学测量确定，该双星系统中每个星体的质量都是M，两者相距L，它们正围绕两者连线的中点做圆周运动．万有引力常量为G．
（1）计算该双星系统的运动周期T计算．
（2）若实验上观测到的运动周期为T观测，且T观测：T计算＝1：（N＞1），为了解释T观测与T计算的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质，作为一种简化模型，我们假定在这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着暗物质，而不考虑其它暗物质的影响，试根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度．
4.神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律．天文学家
观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX﹣3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成．两星视为质点，不考虑其他天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示．引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T．
（1）可见星A所受暗星B的引力F A可等效为位于O点处质量为m′的星体（视为质点）对它的引力，设A 和B的质量分别为m1、m2，试求m′（用m1、m2表示）；
（2）求暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1之间的关系式；
（3）恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量m s的2倍，它将有可能成为黑洞．若可见星A的速率v＝2.7×105m/s，运行周期T＝4.7π×104s，质量m1＝6m s，试通过估算来判断暗星B有可能是黑洞吗？（G＝6.67×10﹣11N•m2/kg2，m s＝2.0×1030kg）
【课后反思】
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双星问题专题参考答案
【前置性学习】
1．【分析】分析甲、乙两名运动员，弹簧秤对各自的拉力提供向心力．共轴转动时角速度相同，根据牛顿第二定律和向心力公式求解．
【解答】解：弹簧秤对甲、乙两名运动员的拉力提供向心力，则根据牛顿第二定律得：
对甲有：F＝m甲R甲ω甲2
对乙有：F＝m乙R乙ω乙2
由于甲、乙两名运动员面对面拉着弹簧秤做圆周运动的溜冰表演，共轴转动，角速度相同，所以ω甲＝ω乙联立解得：＝＝。

又R甲+R乙＝0.9m，则得 R甲＝0.3m，R乙＝0.6m。

由于v＝Rω，知两人的线速度不等。

根据F＝m甲R甲ω甲2
解得：ω甲＝＝＝1rad/s。

故B正确，A、C、C错误。

故选：B。

【点评】解决本题的关键知道甲、乙两人角速度相等，靠弹簧的弹力提供向心力．运用向心力公式研究．
【例题1】【分析】双星靠相互间的万有引力提供向心力，抓住角速度相等，向心力相等求出轨道半径之比，进一步计算轨道半径大小；据万有引力提供向心力计算出周期；由线速度定义式可得线速度．
【解答】解：设行星转动的角速度为ω，周期为T．
（1）如图，对星球M1，由向心力公式可得：
＝M1ω2R1，
同理对星M2，有：＝M2ω2R2
两式相除得：
，（即轨道半径与质量成反比）
又因为L＝R1+R2
所以得：
R1＝，
R2＝．
（2）由上式得到ω＝，
因为T＝，
所以：．
（3）由可得双星线速度为：
＝，
＝．
答：（1）双星的轨道半径R1＝；R2＝；
（2）双星的运行周期；
（3）双星的线速度；．
【点评】解决本题的关键掌握双星模型系统，知道它们靠相互间的万有引力提供向心力，向心力的大小相等，角速度的大小相等．
【例题2】【分析】双星系统中，两颗星球绕同一点做匀速圆周运动，且两者始终与圆心共线，相同时间内转过相同的角度，即角速度相等，则周期也相等．但两者做匀速圆周运动的半径不相等．
【解答】解：
设两星质量分别为M1和M2，都绕连线上O点作周期为T的圆周运动，星球1和星球2到O的距离分别为l1和l2．
由万有引力提供向心力：
对 M1：G＝M1（）2 l1…①
对M2：G＝M2（）2 l2…②
由几何关系知：l1+l2＝R…③
三式联立解得：M总＝．
答：两星的总质量为
【点评】从动力学方程的三种表述中，可得到相应的天体质量的三种表达形式：
a．M＝．
b．M＝．
c．M＝．
上述三种表达式分别对应在已知环绕天体的线速度v，角速度ω，周期T时求解中心天体质量的方法．上各式中M表示中心天体质量，m表示环绕天体质量，r表示两天体间距离，G表示万有引力常量．利用以上方法只能求出中心天体的质量，而不能求出环绕天体的质量，因为环绕天体的质量同时出现在方程的两边，已被约掉．
处理双星问题必须注意两点：（1）、两颗星球运行的角速度、周期相等；（2）、轨道半径不等于引力距离（这一点务必理解）．弄清每个表达式中各字母的含义，在示意图中相应位置标出相关量，可以最大限度减少错误．
【例题3】5．【分析】（1）画出三颗星位置示意图．两侧的星由另外两个星的万有引力的合力提供向心力，列式求解线速度和周期．
（2）对于任意一个星体，由另外两个星体的万有引力的合力提供向心力，列式求解线速度和周期．
【解答】解：（1）第一种形式下，星体A探马星体B和星体C两个万有引力，它们的合力充当向心力，则：+＝m＝m R
解得，线速度 v＝，周期 T＝2πR
（2）第二种情形下，星体之间的距离为R，那么圆周运动的半径 r＝＝
星体A受的合力 F合＝2cos30°＝
故有＝m
联立解得，v＝，T＝＝2πR
答：（1）第一种情况下，星体运动的线速度是，周期为2πR．
（2）假设第二种情况下星体之间的距离为R，星体运动的线速度为，周期为2πR．
【点评】万有引力定律和牛顿第二定律是力学的重点，在本题中有些同学找不出什么力提供向心力，关键在于进行正确受力分析．
★自我测评
1．【分析】因为相互作用的吸引力为大小相等方向相反作用在同一条直线上，对于双星各自做匀速圆周运动，它们的向心力大小相等，运行周期相同，据此列方程可得相应的关系式．由图知：R1+R2＝L（两星间距）
【解答】解：
A、因为双星各自做匀速圆周运动的周期相同，根据角速度与周期的关系可知：ω＝，双星的角速度之比
为1：1，故A错误；
B、双星做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供，故大小相等方向相反：F向1＝F向2⇒＝
∴
∵⇒
∴即它们圆周运动的线速度之比与其质量成反比，故B正确
C、∵⇒，故C错误
D、∵⇒，故D正确
故选：BD。

【点评】了解双星运动中万有引力提供向心力，故双星的运动周期相等，向心力大小相等方向相反．
∵F万＝F向
∴＝
2．【分析】这是一个双星的问题，A和B绕O做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供各自的向心力，A和B 有相同的角速度和周期，结合牛顿第二定律和万有引力定律解决问题。

【解答】解：（1）设两个星球A和B做匀速圆周运动的轨道半径分别为r和R，相互作用的万有引力大小为F，运行周期为T．根据万有引力定律有：F＝G①
由匀速圆周运动的规律得F＝m（）2r ②
F＝M（）2R ③
由题意有 L＝R+r ④
联立①②③④式得：T＝2π⑤
（2）在地月系统中，由于地月系统旋转所围绕的中心O不在地心，由题意知，月球做圆周运动的周期可由⑤式得出
T1＝2π⑥
式中，M′和m′分别是地球与月球的质量，L′是地心与月心之间的距离。

若认为月球在地球的引力作用下绕地心做匀速圆周运动，则G＝m′（）2L′⑦
式中，T2为月球绕地心运动的周期。

由⑦式得：
T2＝2π⑧
由⑥⑧式得：（）2＝1+⑨
代入题给数据得：（）2＝1.012 ⑩
答：
（1）两星球做圆周运动的周期为2π；
（2）T2与T1两者平方之比为1.012。

【点评】对于双星问题，关键我们要抓住它的特点，即两星球的万有引力提供各自的向心力和两星球具有共同的周期。

3．【分析】（1）根据对称性可知，两颗星都绕系统中心做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力列式求解；
（2）暗物质引力和星星引力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解出暗物质的质量，再求解密度．【解答】解：
（1）双星均绕它们连线的中点做圆周运动，设运动的速率为v，得①
解得：②
则周期为：
T计算＝＝③
（2）根据观测结果，星体的运动周期：
④
这种差异是由双星内均匀分布的暗物质引起的，均匀分布在球体内的暗物质对双星系统的作用与一质量等于球内暗物质的总质量m′，位于中点O处的质点的作用相同．考虑暗物质作用后双星的速度即为观察到的速度v
，则有⑤
观测
解得：
⑥
因为在周长一定时，周期和速度成反比，由④式得⑦
把②⑥式代入⑦式得：
设所求暗物质的密度为ρ，则：
解得：
ρ＝
答：
（1）该双星系统的运动周期T计算＝；
（2）该星系间这种暗物质的密度为．
【点评】本题是双星问题，要抓住双星系统的条件：角速度与周期相同，运用牛顿第二定律采用隔离法进行研究，关键找出向心力来源，然后根据牛顿第二定律列方程求解，要细心，较难．
4．【分析】（1）抓住A、B做圆周运动的向心力相等，角速度相等，求出A、B轨道半径的关系，从而得知A、B距离为A卫星的轨道半径关系，可见星A所受暗星B的引力F A可等效为位于O点处质量为m′的星体（视为质点）对它的引力，根据万有引力定律公式求出质量m′．
（2）根据万有引力提供向心力求出暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1之间的关系式；
（3）根据第（2）问的表达式求出暗星B的质量，与太阳的质量进行比较，判断是否是黑洞
【解答】解：（1）设A、B圆轨道半径分别为r1、r2，由题意知，A、B做匀速圆周运动的角速度相同，设其为ω．由牛顿运动定律，有：
F A＝m1ω2r1，F B＝m2ω2r2，
又 F A＝F B
设A、B之间的距离为r，又r＝r1+r2，
由以上各式得r＝…①
由万有引力定律，有F A＝G
将①代入得：F A＝G，
令 F A＝G
比较可得：m′＝…②
（2）由牛顿第二定律，有G＝m1…③
又可见星A的轨道半径：r1＝…④
由②③④式解得：…⑤
（3）将m1＝6m s代入⑤式，得：
代入数据得：＝3.5m s …⑥
设m2＝nm s（n＞0），将其代入⑥式，得：…⑦
可见，的值随n的增大而增大，试令n＝2，得：＝0.125m＜3.5m s…⑧
若使⑦式成立，则n必大于2，即暗星B的质量m2必大于2m，由此得出结论：暗星B有可能是黑洞．答：（1）m′为；
（2）暗星B的质量m2与可见星A的速率v为、运行周期T和质量m1之间的关系式为
；
（3）暗星B有可能是黑洞
【点评】对于双星问题一定要抓住两个条件：一是周期相同；二是半径之和等于他们的距离，运用隔离法，由牛顿运动定律解题．。