高考数学压轴专题2020-2021备战高考《推理与证明》单元汇编含解析

【最新】高考数学《推理与证明》练习题
一、选择题
1．曾玉、刘云、李梦、张熙四人被北京大学、清华大学、武汉大学和复旦大学录取，他们分别被哪个学校录取，同学们做了如下的猜想
甲同学猜：曾玉被武汉大学录取，李梦被复旦大学录取
同学乙猜：刘云被清华大学录取，张熙被北京大学录取
同学丙猜：曾玉被复旦大学录取，李梦被清华大学录取
同学丁猜：刘云被清华大学录取，张熙被武汉大学录取
结果，恰好有三位同学的猜想各对了一半，还有一位同学的猜想都不对
那么曾玉、刘云、李梦、张熙四人被录取的大小可能是（ ）
A ．北京大学、清华大学、复旦大学、武汉大学
B ．武汉大学、清华大学、复旦大学、北京大学
C ．清华大学、北京大学、武汉大学 、复旦大学
D ．武汉大学、复旦大学、清华大学、北京大学
【答案】D
【解析】
【分析】
推理得到甲对了前一半，乙对了后一半，丙对了后一半，丁全错，得到答案.
【详解】
根据题意：甲对了前一半，乙对了后一半，丙对了后一半，丁全错，
曾玉、刘云、李梦、张熙被录取的大学为武汉大学、复旦大学、清华大学、北京大学 （另外武汉大学、清华大学、北京大学、复旦大学也满足）.
故选：D .
【点睛】
本题考查了逻辑推理，意在考查学生的推理能力.
2．观察下图：
1
2
343
45674
5678910L L
则第 行的各数之和等于22017（ ） A ．2017
B ．1009
C ．1010
D ．1011 【答案】B
【解析】
【分析】
由图可得：第n 行的第一个数为n ，有21n -个数，且这21n -个数成公差为1的等差数
列，利用等差数列求和公式算出即可
【详解】
由图可得：第n 行的第一个数为n ，有21n -个数
且这21n -个数成公差为1的等差数列
所以第n 行的各数之和为：()()()()22122211212n n n n n ---+
⨯=-
令212017n -=，得1009n =
故选：B
【点睛】
本题考查的是推理和等差数列的知识，较简单.
3．小正方形按照下图中的规律排列，每个图形中的小正方形的个数构成数列{}n a 有以下结论:①515a =；②{}n a 是一个等差数列；③数列{}n a 是一个等比数列；④数列{}
n a 的递堆公式11(),n n a a n n N *+=++∈其中正确的是（ ）
A ．①②④
B ．①③④
C ．①②
D ．①④
【答案】D
【解析】 由图形可得：a 1=1,a 2=1+2，…
∴()
1122n n n a n +=++⋯+= .
所以①a 5=15； 正确；
②an −a n −1= n ,所以数列{a n }不是一个等差数列；故②错误；
③数列{an }不是一个等比数列；③错误；
④数列{a n }的递推关系是a n +1=a n +n +1(n ∈N ∗).正确；
本题选择D 选项.
点睛： 数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．
4．某游泳馆内的一个游泳池设有四个出水量不同的出水口a ，b ，c ，d ，当游泳池内装满水时，同时打开其中两个出水口，放完水所需时间如下表：
则a ，b ，c ，d 四个出水口放水速度最快的是（ ）
A ．d
B ．b
C ．c
D ．a
【答案】A
【解析】
【分析】
利用所给数据，计算出每个出水口分别的放水时间，比较大小即可.
【详解】
由题易解得a ，b ，c ，d 放水时间分别为70，100，90，50，所以d 出水速度最快. 故选：A.
【点睛】
本题考查了方程的思想，属于基础题.
5．甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知．3人作出如下预测：甲说：我不是第三名；乙说：我是第三名；丙说：我不是第一名．若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第三名的是
A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．无法预测
【答案】A
【解析】
【分析】
若甲的预测正确，则乙、丙的预测错误，推出矛盾！若乙的预测正确，甲、丙的预测错误，推出矛盾！若丙的预测正确，甲、乙的预测错误，可推出三个人的名次。

【详解】
若甲的预测正确，乙、丙的预测错误，则丙是第一名，甲不是第三名，则甲是第二名，乙是第三名，矛盾！
若乙的预测正确，甲、丙的预测错误，则乙是第三名，甲的预测错误，那么甲是第三名，矛盾！
若丙的预测正确，则甲、乙的预测错误，则甲是第三名，乙不是第三名，丙是第一名，则乙是第二名。

因此，第三名是甲，故选：A 。

【点睛】
本题考查合情推理，突出假设法在推理中的应用，通过不断试错来推出结论，考查推理分析能力，属于中等题。

6．在等差数列{}n a 中，若0n a >，公差0d ≠，则有4637a a a a >.类比上述性质，在等比
数列{}n b 中，若0n b >，公比1q ≠，则关于5b ，7b ，4b ，8b 的一个不等关系正确的是（ ）
A ．5748b b b b >
B ．7845b b b b >
C ．5748b b b b +<+
D ．7845b b b b ++<
【答案】C
【解析】
【分析】
类比等差数列{}n a 与等比数列{}n b 各项均为正数，等差数列中的“和”运算类比到等比数列变为“积”运算，即可得到答案．
【详解】
在等差数列{}n a 中，由4637+=+时，有4637a a a a >，
类比到等比数列{}n b 中，由5748+=+时，有4857b b b b +>+，
因为4334857444444()(1)(1)b b b b b b q b q b q b q b q q +-+=+--=-+- 32244(1)(1)(1)(1)0b q q b q q q =--=-++>，
所以4857b b b b +>+成立．
故选：C
【点睛】
本题主要考查类比推理，同时考查观察、分析、类比能力及推理论证能力，属于中档题．
7．某单位实行职工值夜班制度，己知A ，B ，C ，D ，E 5名职工每星期一到星期五都要值一次夜班，且没有两人同时值夜班，星期六和星期日不值夜班，若A 昨天值夜班，从今天起B ，C 至少连续4天不值夜班，D 星期四值夜班，则今天是星期几
A ．二
B ．三
C ．四
D ．五
【答案】C
【解析】
分析：A 昨天值夜班，D 周四值夜班，得到今天不是周一也不是周五，假设今天是周二，则周二与周三B ，C 至少有一人值夜班，与已知从今天起B ，C 至少连续4天不值夜班矛盾；若今天是周三，则周五与下周一B ，C 至少有一人值夜班，与已知从今天起B ，C 至少连续4天不值夜班矛盾；由此得到今天是周四．
详解：∵A 昨天值夜班，D 周四值夜班，∴今天不是周一也不是周五，
若今天是周二，则周一A 值夜班，周四D 值夜班，则周二与周三B ，C 至少有一人值夜班，
与已知从今天起B ，C 至少连续4天不值夜班矛盾；
若今天是周三，则A 周二值夜班，D 周四值夜班，则周五与下周一B ，C 至少有一人值夜班，
与已知从今天起B ，C 至少连续4天不值夜班矛盾；
若今天是周四，则周三A 值夜班，周四D 值夜班，周五E 值夜班，符合题意．
故今天是周四．
故选：C．
点睛：本题考查简单的推理，考查合情推理等基础知识，考查推理论证能力，属于中档题．
8．学校艺术节对同一类的A、B、C、D四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：
甲说：“是C或D作品获得一等奖” 乙说：“B作品获得一等奖”
丙说：“A、D两项作品未获得一等奖” 丁说：“是C作品获得一等奖”
若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品为（）
A．C作品 B．D作品 C．B作品 D．A作品
【答案】C
【解析】分析：根据学校艺术节对同一类的A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，故假设A，B，C，D分别为一等奖，判断甲、乙、丙、丁的说法的正确性，即可判断．
详解：若A为一等奖，则甲，丙，丁的说法均错误，故不满足题意，
若B为一等奖，则乙，丙说法正确，甲，丁的说法错误，故满足题意，
若C为一等奖，则甲，丙，丁的说法均正确，故不满足题意，
若D为一等奖，则只有甲的说法正确，故不合题意，
故若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是B
故答案为：C.
点睛：本题考查推理的应用，意在考查学生的分析、推理能力．这类题的特点是：通过几组命题来创设问题情景，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.对于逻辑推理问题，应耐心读题，找准突破点，一般可以通过假设前提依次验证即可.
9．平面内的一条直线将平面分成2部分,两条相交直线将平面分成4部分,三条两两相交且不共点的直线将平面分成7部分,…则平面内的六条两两相交且任意三条不共点的直线将平面分成的部分数为( )
A．20B．21C．22D．23
【答案】C
【解析】
【分析】
一条直线可以把平面分成两部分,两条直线最多可以把平面分成4部分,三条直线最多可以把平面分成7部分,四条直线最多可以把平面分成11部分,可以发现,两条直线时多了2部分,三条直线比原来多了3部分,四条直线时比原来多了4部分,即可求得答案.
【详解】
f n个部分,
设画n条直线,最多可将面分成()
Q;
==+=
n f
1,(1)112
==+=;
2,(2)(1)24
n f f
3,(3)(2)37n f f ==+=;,
4,(4)(3)411n f f ==+=; ,
5,(5)(4)516n f f ==+=;
6,(6)(5)622n f f ==+=.
故选:C.
【点睛】
本题解题关键是掌握根据题意能写出函数递推关系,在求解中寻找规律,考查了分析能力和推理能力,属于中档题.
10．已知数组1
()1，12(,)21，123()321，，，…，121(,,,,)121
n n n n --L ，…，记该数组为1()a ，23(,)a a ，456(,,)a a a ，…，则200a =( ) A ．911 B ．1011 C ．1112 D ．910
【答案】B
【解析】
【分析】
设a 200在第n 组中，则()()1120022
n n n n -+≤＜（n ∈N *）， 由等差数列求和得：a 200在第20组中，前19组的数的个数之和为：
19202⨯=190， 再进行简单的合情推理得：a 20010102010111
=
=-+，得解． 【详解】 由题意有，第n 组中有数n 个，且分子由小到大且为1，2，3…n ，设a 200在第n 组中，则()()1120022
n n n n -+≤＜（n ∈N *）， 解得：n ＝20，
即a 200在第20组中，前19组的数的个数之和为：
19202⨯=190， 即a 200在第20组的第10个数，即为10102010111
=-+， a 2001011
=
， 故选B ．
【点睛】 本题考查了阅读理解及等差数列求和与进行简单的合情推理能力，属中档题．
11．用数学归纳法证明“l+2+3+…+n 3=63
2
n n +，n ∈N*”，则当n=k+1时，应当在n=k 时对应的等式左边加上（ ）
A ．k 3+1
B ．（k 3+1）+（k 3+2）+…+（k+1）3
C ．（k+1）3
D ．63(1)(1)2
k k +++ 【答案】B
【解析】 分析：当项数从n k =到1n k =+时，等式左边变化的项可利用两个式子相减得到。

详解：当n k = 时，等式左边3123....k =+++
当1n k =+时，等式左边33333123....(1)(2)(3)...(1)k k k k k =+++++++++ 所以增加的项为3333(1)(2)(3)...(1)k k k k +++++
所以选B
点睛：本题考查了数学归纳法的应用，当项数变化时分析出增加的项，属于简单题。

12．数列{}1212:1,(2)n n n n F F F F F F n --===+>，最初记载于意大利数学家斐波那契
在1202年所著的《算盘全书》.若将数列{}n F 的每一项除以2所得的余数按原来项的顺序构成新的数列{}n a ，则数列{}n a 的前50项和为（ ）
A ．33
B ．34
C ．49
D ．50
【答案】B
【解析】
【分析】
根据{}n a 为{}n F 除以2的余数，依次写出{}n F 的各项，从而可得{}n a 是按1,1,0的周期排列规律，即可求出结论.
【详解】
依次写出{}n F 的各项1234561,1,2,3,5,8F F F F F F ======L ， {}n a 为{}n F 除以2的余数，依次写出{}n a 各项为
1234561,1,0,1,1,0a a a a a a ======L ，
{}n a ∴各项是按1,1,0的周期规律排列，
1234950162234a a a a a +++++=⨯+=L .
故选：B.
【点睛】
本题考查归纳推理、猜想能力，考查分析问题、解决问题能力，属于中档题.
13．已知{}n b 为等比数列，52b =，则91292b b b L ⋅=．若{}n a 为等差数列，52a =，
则{}n a 的类似结论为（ ）
A ．912392a a a a =L
B ．912392a a a a ++++=L
C ．123929a a a a L =⨯
D ．123929a a a a ++++=⨯L
【答案】D
【解析】
【分析】
根据等差数列中等差中项性质推导可得.
【详解】
由等差数列性质，有19a a +＝28a a +＝…＝25a .易知选项D 正确．
【点睛】
等差中项和等比中项的性质是出题的热点,经常与其它知识点综合出题.
14．三角形面积为()12
S a b c r =++，a ，b ，c 为三角形三边长，r 为三角形内切圆半径，利用类比推理，可以得出四面体的体积为（ ）
A ．13V abc =
B ．13V Sh =
C ．()13V ab bc ac h =
++⋅（h 为四面体的高） D ．()123413
V s s s s r =+++⋅（其中1s ，2s ，3s ，4s 分别为四面体四个面的面积，r 为四面体内切球的半径，设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ）
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平面与空间的类比推理，由点类比直线，由直线类比平面，由内切圆类比内切球，由平面图形的面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比四面体的体积计算方法，即可求解．
【详解】
设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ，
根据三角形的面积的求解方法：利用分割法，将O 与四个顶点连起来，
可得四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥的体积之和， 即()123413
V s s s s r =+++⋅，故选D ． 【点睛】
本题主要考查了类比推理的应用，其中解答中类比推理是将已知的一类数学对象的性质类比到另一类数学对象上去，通常一般步骤：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；
（2）用一类事物的性质取推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题，本题属于基础题．
15．一场考试之后，甲、乙、丙三位同学被问及语文、数学、英语三个科目是否达到优秀时，甲说：有一个科目我们三个人都达到了优秀；乙说：我的英语没有达到优秀；丙说：乙达到优秀的科目比我多.则可以完全确定的是（ ）
A ．甲同学三个科目都达到优秀
B ．乙同学只有一个科目达到优秀
C ．丙同学只有一个科目达到优秀
D ．三位同学都达到优秀的科目是数学
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意推断出乙有两科达到优秀，丙有一科达到优秀，甲至少有一科优秀，从而得出答案.
【详解】
甲说有一个科目每个人都达到优秀，说明甲乙丙三个人每个人优秀的科目至少是一科，乙说英语没有达到优秀，说明他至多有两科达到优秀，而丙优秀的科目不如乙多，说明只能是乙有两科达到优秀，丙有一科达到优秀，故B 错误，C 正确；
至于甲有几个科目优秀，以及三人都优秀的科目到底是语文还是数学，都无法确定 故选：C
【点睛】
本题主要考查了学生的推理能力，属于中档题.
16．三角形的三个顶点的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，33(,)x y ，则该三角形的重心（三边中线交点）的坐标为123123,33x x x y y y ++++⎛⎫ ⎪⎝⎭
.类比这个结论，连接四面体的一个顶点及其对面三角形重心的线段称为四面体的中线，四面体的四条中线交于一点，该点称为四面体的重心.若四面体的四个顶点的空间坐标分别为111(,,)x y z ，222(,,)x y z ，333(,,)x y z ，444(,,)x y z ，则该四面体的重心的坐标为（ ）
A ．()123412341234,,x x x x y y y y z z z z +++++++++
B ．123412341234,,222x x x x y y y y z z z z +++++++++⎛⎫
⎪⎝⎭ C ．123413341234,,333x x x x y y y y z z z z +++++++++⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．123412341234,,444x x x x y y y y z z z z +++++++++⎛⎫ ⎪⎝⎭
【答案】D
【解析】
【分析】
首先根据题意，三角形的重心的坐标是三个顶点坐标的算术平均数，从平面扩展到空间，从三角形扩展到四面体，得到四面体的重心的坐标是四个顶点的算术平均数，从而得到答案.
【详解】
根据题意，三角形重心的坐标是三个顶点的坐标的算术平均数，
从平面扩展到空间，从三角形推广到四面体，
就是四面体重心的坐标是四个顶点的算术平均数，
故选D.
【点睛】
该题考查的是类比推理，由平面图形的性质类比猜想得出空间几何体的性质，一般思路是：点到线，线到面，或是二维到三维，属于简单题目.
17．三角形的面积为1()2
S a b c r =
++⋅，其中,,a b c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，则利用类比推理，可得出四面体的体积为（ ） A ．13V abc =
B ．13V Sh =
C ．1()3V ab bc ca h =
++，（h 为四面体的高） D ．()123413
V S S S S r =+++，（1234,,,S S S S 分别为四面体的四个面的面积，r 为四面体内切球的半径）
【答案】D
【解析】
【分析】
设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ，根据体积公式得到答案.
【详解】
设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ，将O 与四顶点连起来， 可得四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和， ∴V 13
=（S 1+S 2+S 3+S 4）r . 故选：D ．
【点睛】
本题考查了类比推理，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.
18．设x 、y 、0z >，1a x y =+，1b y z =+，1c z x =+，则a 、b 、c 三数（ ） A ．都小于2
B ．至少有一个不大于2
C ．都大于2
D ．至少有一个不小于2
【答案】D
【解析】
【分析】 利用基本不等式计算出6a b c ++≥，于此可得出结论.
【详解】 由基本不等式得
111111a b c x y z x y z y z x x y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++++=+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎝⎭
6≥=， 当且仅当1x y z ===时，等号成立，因此，若a 、b 、c 三数都小于2，则6a b c ++<与6a b c ++≥矛盾，即a 、b 、c 三数至少有一个不小于2，
故选D.
【点睛】
本题考查了基本不等式的应用，考查反证法的基本概念，解题的关键就是利用基本不等式求最值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
19．甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，回答如下： 甲说：丙没有考满分；乙说：是我考的；丙说：甲说的是真话.
事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．甲或乙
【答案】A
【解析】假设甲说的是假话,即丙考满分,则乙也是假话,不成立;假设乙说的是假话,即乙没有考满分,又丙没有考满分,故甲考满分;因此甲得满分,故选A.
20．设x ，y ，z ＞0，则三个数,,y y z z x x x z x y z y
+++ （ ） A ．都大于2
B ．至少有一个大于2
C ．至少有一个不小于2
D ．至少有一个不大于2
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】
假设这三个数都小于2，则三个数之和小于6，又y
x
＋
y
z
＋
z
x
＋
z
y
＋
x
z
＋
x
y
＝(
y
x
＋
x
y
)＋
(y
z
＋
z
y
)＋(
z
x
＋
x
z
)≥2＋2＋2＝6，当且仅当x＝y＝z时取等号，与假设矛盾，故这三个数
至少有一个不小于2.。