数学新导学同步人教A版选修2-3课件：1.2.2.1组合与组合数公式

性质 2：Cmn＋1＝Cnm＋Cmn －1. 特点是左端下标为 n＋1，右端下标都为 n，相差 1；左端的上
标与右端上标的一个一样，右端的另一个上标比它们少 1. 要注意性质 Cnm＋1＝Cmn ＋Cmn －1的顺用、逆用、变形用．顺用是将
一个组合数拆成两个；逆用则是“合二为一”；变形式 Cmn －1＝Cmn＋1 －Cmn 的使用，为某些项相互抵消提供了方便，在解题中要注意灵活 运用．
2．组合数的概念、公式、性质
组合数 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有不同组合的
定义 个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数
表示法 组合数
乘积式
Cmn Cmn ＝AAmnmm＝nn－1n－m2！…n－m＋1
公式 阶乘式
Cmn ＝m！nn！－m！
性质 备注
编后语
听课对同学们的学习有着非常重要的作用。课听得好好，直接关系到大家最终的学习成绩。如何听好课，同学们可以参考如下建议：
一、听要点。

一般来说，一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家，同学们对此要格外注意。例如在学习物
理课“力的三要素”这一节时，老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了，这节课就基本掌握了。
方法归纳 组合数公式①体现了组合数与相应排列数的关系，一般在计算 具体的组合数时会用到．组合数公式②的主要作用有： (1)计算 m，n 较大时的组合数； (2)对含有字母的组合数的式子进行变形和证明．
特别地，当 m>n2时计算 Cmn ，用性质 Cnm＝Cnn－m转化，减少计算 量.
跟踪训练 3 计算：(1)C212＝________； (2)C338n－n＋C32n1＋n＝________.
A．24 种 B．12 种 C．10 种 D．9 种
解析：第一步，为甲地选 1 名女老师，有 C21＝2 种选法；第二 步，为甲地选 2 名男教师，有 C42＝6 种选法；第三步，剩下的 3 名 教师到乙地，故不同的安排方案共有 2×6×1＝12(种)，故选 B.
答案：B
5．7 个朋友聚会，每两人握手 1 次，共握手________次．
跟踪训练 2 从 5 个不同元素 a，b，c，d，e 中取出 2 个，共 有多少种不同的组合？
解析：要想列出所有组合，先将元素按照一定顺序排好，然后 按顺序用图示的方法将各个组合逐个地标出来．如图所示．
由此可得所有的组合： ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，故共有 10 种.
【课标要求】
1.理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系. 2.理解排列数与组合数之间的联系，掌握组合数公式，能运用 组合数公式进行计算. 3.会解决一些简单的组合问题.
自主学习 基础认识
1．组合的定义 从 n 个不同元素中取出 m(n≥m)个元素合成一组，叫做从 n 个 不同元素中取出 m 个元素的一个组合．
|素养提升|
1．组合数公式的两种形式的适用范围
形式
适用范围
乘积式 含具体数字的组合数的求值
阶乘式 含字母的组合数的有关变形及证明
2.组合数的两个性质及其关注点 性质 1：Cmn ＝Cnn－m.
它反映了组合数的对称性．若 m>n2，通常不直接计算 Cnm，而 改为计算 Cnn－m，这样可以减少计算量．
解析：组合问题，共握手 C72＝21 次． 答案：21
课堂探究 互动讲练 类型一 组合的有关概念 [例 1] 判断下列问题是组合问题还是排列问题： (1)10 人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，共需握手 多少次？ (2)10 名同学分成人数相同的两个学习小组，共有多少种分法？ (3)从 1,2,3，…，9 九个数字中任取 3 个，然后把这三个数字相 加得到一个和，这样的和共有多少个？ (4)从 a，b，c，d 四名学生中选 2 名，去完成同一件工作，有 多少种不同的选法？
解析：(1)C212＝122××111＝66.
(2)由00≤ ≤338n－ ≤n2≤1＋3nn ，即1029≤≤nn≤≤22138
，
∴129≤n≤221，又 n∈N*，∴n＝10， ∴C338n－n＋C32n1＋n＝C2380＋C3301＝C230＋C311＝30×2 29＋31＝466. 答案：(1)66 (2)466
类型三 有关组合数的计算 [例 3] 计算：(1)C43＋C53＋C63＋…＋C310； (2)(C91800＋C91700)÷A1301.
【解析】 (1)C34＋C53＋C63＋…＋C130 ＝C44＋C34＋C35＋…＋C130－C44＝C45＋C35＋C36＋…＋C130－1 ＝…＝C141－1＝329. (2)(C91800＋C91700)÷A1301＝(C1200＋C1300)÷A1301 ＝C3101÷A3101＝16.
四、听方法。

在课堂上不仅要听老师讲课的结论而且要认真关注老师分析、解决问题的方法。比如上语文课学习汉字，一般都是遵循着“形”、“音”、“义”
的研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进
行叙述。这些都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法，如解数学题时，会用到反正法；换元法；待定系数法；配方法；消元
法；因式分解法等，掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。
优等生经验谈：听课时应注意学习老师解决问题的思考方法。同学们如果理解了老师的思路和过程，那么后面的结论自然就出现了，学习起来才能够举 一反三，事半功倍。
2019/7/9
最新中小学教学课件
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谢谢欣赏！
2019/7/9
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易错警示：在进行有关组合数的计算时要注意对公式 Cnm＝Cnn－m 的选择和应用．
|巩固提升|
1．下列问题
(1)从 1,3,5,9 中任取两个数相加，所得不同的和；
(2)从 1,3,5,9 中任取两个数相除，所得不同的商；
(3)从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加不同的两项活动．
其中是组合问题的有( )
Cmn ＝Cnn－m，Cmn＋1＝Cmn ＋Cmn －1 ①n，m∈N*且 m≤n，②规定：C0n＝1
|自我尝试|
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)从 a1，a2，a3 三个不同元素中任取两个元素组成一个组合， 所有组合的个数为 C32.( √ ) (2)从 1,3,5,7 中任取两个数相乘可得 C24个积．( √ ) (3)C35＝5×4×3＝60.( × ) (4)C22 001145＝C21 015＝2 015.( √ )
3．方程 Cx28＝C238x－8的解为(
)
A．4 或 9 B．4
C．9
D．其他
解析：当 x＝3x－8 时，解得 x＝4；当 28－x＝3x－8 时，解得 x＝9.
答案：A
4．将 2 名女教师，4 名男教师分成 2 个小组，分别安排到甲、 乙两所学校轮岗支教，每个小组由 1 名女教师和 2 名男教师组成， 则不同的安排方案共有( )
方法归纳 区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志 是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写 出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新 的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化， 即说明无顺序，是组合问题.
跟踪训练 1 判断下列各事件是排列问题，还是组合问题． (1)10 个人相互各写一封信，共写多少封信？ (2)10 个人相互通一次电话，共通了多少次电话？ (3)10 支球队进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可 能？
二、听思路。

思路就是我们思考问题的步骤。例如老师在讲解一道数学题时，首先思考应该从什么地方下手，然后在思考用什么方法，通过什么样的过程来进行
解答。听课时关键应该弄清楚老师讲解问题的思路。
三、听问题。
对于自己预习中不懂的内容，上课时要重点把握。在听讲中要特别注意老师和课本中是怎么解释的。如果老师在讲课中一带而过，并没有详细解答， 大家要及时地把它们记下来，下课再向老师请教。
类型二 写出问题的组合 [例 2] (1)已知 a，b，c，d 这 4 个元素，写出每次取出 2 个元 素的所有组合； (2)已知 A，B，C，D，E 这 5 个元素，写出每次取出 3 个元素 的所有组合．
【解析】 方法一(顺序后移法)： (1)可按 a→b→c→d 顺序写出，如图．由此可以写出所有的组 合：ab，ac，ad，bc，bd，cd.
【解析】 (1)两人之间相互握手，与顺序无关，故是组合问题； (2)分成的两个学习小组没有顺序，是组合问题； (3)取出 3 个数字之后，无论怎样改变这三个数字之间的顺序， 其和均不变，此问题只与取出元素有关，而与元素的安排顺序无关， 是组合问题； (4)2 名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题.
由此可以写出所有的组合：ABC，ABD，ABE，ACD，ACE， ADE，BCD，BCE，BDE，CDE.
方法归纳 (1)此类列举所有从 n 个不同元素中选出 m 个元素的组合，可 借助本例所示的“顺序后移法”(如方法一)或“树形图法”(如方 法二)，直观地写出组合做到不重复不遗漏． (2)由于组合与顺序无关．故利用“顺序后移法”时箭头向后逐 步推进，且写出的一个组合不可交换位置．如写出 ab 后，不必再 交换位置为 ba，因为它们是同一组合．画“树形图”时，应注意顶 层及下枝的排列思路．防止重复或遗漏.
(2)可按 AB→AC→AD→BC→BD→CD 顺序写出，如图．
由此可以写出所有的组合：ABC，ABD，ABE，ACD，ACE， ADE，BCD，BCE，BDE，CDE.