2018_2019学年高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和课件新人教A版必修5

-
1 2
������
.
(3)由(2)得 S1+S2+…+Sn
=83n-83
-12 1- -12 1- -12
=83n+89
1-
-
1 2
������ ������
.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究四 易错辨析
易错点:未讨论 q 是否为 1 致错 【典型例题 4】 已知等比数列{an}中,其前 n 项和为 Sn,a1=2,S3=6,求 a3 和 q. 错解:由等比数列的前 n 项和公式, 得 S3=������1(11--������������3) = 2(11--������������3)=6,
列{an}为等比数列,即 Sn=-Aqn+A⇔数列{an}为等比数列.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一 等比数列前 n 项和的基本计算
在等比数列{an}的五个量 a1,q,an,n,Sn 中,a1 与 q 是最基本的元素,已知其 中三个,求其余两个时,可利用通项公式与求和公式,列出方程组求解,即“知 三求二”.在解方程组时,要注意整体思想的运用,如 qn,1������-1������都可看作一个整体.
2.等比数列前 n 项和性质 (1)在等比数列{an}中,连续相同项数和也成等比数列, 即:Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…仍成等比数列. (2)当 n 为偶数时,偶数项之和与奇数项之和的比等于等比数列的公比, 即������������偶 奇=q.
(3)若一个非常数列{an}的前 n 项和 Sn=-Aqn+A(A≠0,q≠0,n∈N*),则数
2.利用等比数列前 n 项和公式时注意公比 q 的取值,同时对两种数列的 性质,要熟悉它们的推导过程,利用好性质,可降低题目的难度,解题时有时 还需利用条件联立方程组求解.
探究一
探究二
探究三
探究四
【典型例题 3】 已知 Sn 是无穷等比数列{an}的前 n 项和,且公比 q≠1,
已知 1 是12S2 和13S3 的等差中项,6 是 2S2 和 3S3 的等比中项. (1)求 S2 和 S3; (2)求此数列{an}的前 n 项和公式; (3)求数列{Sn}的前 n 项和.
������1(1-������������) 1-������
=
48,
①
������1(1-������2������) 1-������
=
60.
②
②÷①,得 1+qn=54,即 qn=14.③ ③代入①,得1������-1������=64.
故 S3n=������1(11--������������3������)=64×
30, = 155,
解得
������1 ������
= =
5, 5
或
从而
Sn=14×5n+1-54或
1
Sn=
080× 111
-56
������
.
������1 = 180,
������
=
-
5 6
,
(2)∵等比数列{an}中,a1=3,an=96,Sn=189,∴31-9-���6���������=189.∴q=2.
解得 q=-2.
故 a3=a1q2=2×(-2)2=8.
错因分析:在上面的求解过程中,没有讨论公比 q 是否为 1,就直接使用 了等比数列的前 n 项和公式 Sn=������1(11--������������������),从而出现漏解情况.
探究一
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正解:若 q=1,则 S3=3a1=6,符合题意. 此时,q=1,a3=a1=2.
∴an=a1qn-1.∴96=3×2n-1.∴n=5+1=6.
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探究二 等比数列前 n 项和的性质的应用
等比数列前 n 项和的性质是在等比数列的通项公式、前 n 项和公式及 等比数列的性质的基础上推得的,因而利用有关性质可以简化计算,但通项 公式、前 n 项和公式仍是解答等比数列问题的最基本的方法.
12345
3.等比数列{an}的前 5 项和 S5=10,前 10 项和 S10=50,则它的前 15 项和
S15=
.
解析:∵S5=10,S10=50,且{an}是等比数列,
∴S5=10,S10-S5=40,S15-S10=160.
∴S15=10+40+160=210. 答案:210
12345
4.已知等比数列{an}的前 n 项和 Sn=4n+a,则 a 的值等于
若 q≠1,则由等比数列的前 n 项和公式,
得 S3=������1(11--������������3) = 2(11--������������3)=6, 解得 q=1(舍去)或 q=-2. 此时,a3=a1q2=2×(-2)2=8. 综上所述,q=1,a3=2 或 q=-2,a3=8.
12345
又∵Sn=170+85=255,a1=1, ∴11--22������=255,即 2n=256,n=8. ∴数列的公比为 2,项数为 8.
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探究三 等差、等比数列的综合应用
1.等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点,特别是 等差、等比数列的通项公式、前 n 项和公式以及等差中项、等比中项问题 是历年命题的热点.
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【典型例题 1】 在等比数列{an}中,其前 n 项和为 Sn. (1)S2=30,S3=155,求 Sn; (2)若 Sn=189,a1=3,an=96,求 q 和 n.
思路分析:(1)和(2)可利用等比数列的求和公式列方程(组)求解.
解:(1)由题意知
������1
������1 (1 + q) = (1 + q + ������2)
1-
1 43
=63.
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解法二:∵{an}为等比数列, ∴Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 也成等比数列, ∴(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n), ∴S3n=(������2������������-������������������)2+S2n=(604-488)2+60=63.
解得
3S2=2S3=6,即
������2 ������3
= =
2, 3.
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(2)∵q≠1,则
������1 (1 + q) = ������1 (1 + q + ������2)
2, =
3.
可解得 q=-12,a1=4.
4
∴Sn=
1- -12 1+12
������
=
8 3
−
8 3
思路分析:先利用等差中项与等比中项求出 S2 与 S3,进而求出 a1 与公比
q,再写出 Sn,根据 Sn 的特点求{Sn}的前 n 项和.
解:(1)根据已知条件
1 2
������2
+
1 3
������3
=
2,
整理得
(2������2)(3������3) = 36.
3������2 + 2������3 = 12, (3������2)(2������3) = 36.
1.已知等比数列的公比为 2,且前 5 项和为 1,那么前 10 项的和等于( )
A.31
B.33
解析:∵S5=1,∴������1(11--225)=1,即 a1=311.
∴S10=������1(11--2210)=33.
答案:B
C.35
D.37
12345
2.已知{an}是由正数组成的等比数列,Sn 表示{an}的前 n 项的和.若
当
q≠1
时,Sn=������1(11--������������������)
=
������1-������������ 1-������
q.
名师点拨 1.推导等比数列前 n 项和的方法为错位相减法.
2.在运用等比数列的前 n 项和公式时,一定要注意对公比 q 的讨论(q=1
或 q≠1).
3.当 q≠1 时,若已知 a1 及 q,则用公式 Sn=������1(11--������������������)较好;若已知 an,则用公 式 Sn=������11--������������������q较好.
2.5 等比数列的前n项和
课程目标
1.理解并掌握等比数列前 n 项和公式 及其推导方法. 2.能利用等比数列的前 n 项和公式解 决有关问题. 3.掌握等比数列前 n 项和的性质及应 用.
学习脉络
1.等比数列的前 n 项和公式
数列{an}是公比为 q 的等比数列,则 当 q=1 时,Sn=na1;
=
85,
①
������(1-������2������) 1-������2
=
170.②
②÷①得 q=2.
又 S2n=85+170=255,a1=1,∴11-2-22������=255,22n=256,2n=8.
∴数列的公比为 2,项数为 8.
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解法二:由等比数列前 n 项和的性质知 S 偶=qS 奇. 又 S 偶=170,S 奇=85,∴q=2.
探究一
探究二
探究三
探究四
【典型例题 2】 (1)在等比数列{an}中,已知 Sn=48,S2n=60,求 S3n; (2)一个等比数列的首项为 1,项数是偶数,其奇数项的和为 85,偶数项和 为 170,求出数列的公比和项数.
思路分析:用求和公式直接求解或用性质求解.
(1)解法一:∵S2n≠2Sn,∴q≠1.由已知,得
a1=3,a2a4=144,则 S10 的值是( )
A.511
B.1 023
C.1 533 D.3 069
解析:设等比数列{an}的公比是 q,
所以 a2a4=(3q)(3q3)=9q4=144.
所以 q4=16,q=2.
所以 S10=������1(11--������������10) = 3(11--2210)=3 069. 答案:DLeabharlann .解析:等比数列的前
n
项和
Sn=������1(11--������������������)
=
������1 1-������
−
1������-1������·qn=A-Aqn
记������
=
������1 1-������
,∴
a=-1. 答案:-1
探究一
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探究三
探究四
(2)解法一:设原等比数列的公比为 q,项数为 2n(n∈N*),由已知
a1=1,q≠1,且有
85 170
=
������1(1-������2������ 1-������2
)
,
=
������2(1-������2������) 1-������2
即 ,
1-������2������ 1-������2