广东省湛江市第一中学高一数学上学期期中试题(1)

广东省湛江市第一中学2021-2021学年高一数学上学期期中试题
一、选择题：（本大题共10个小题，每题5分，总分值50分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的）
1. 设集合{}21,A x x k k Z ==+∈,5a =，那么有
A ．∈a A
B ．-∉a A
C ．{}∈a A
D ．{}⊇a A
2.设⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
-∈3,21,1,1α，那么使函数αx y =的概念域为R 且为奇函数的所有α的值为 A ．1 ，3 B ．1- ，1 C ．1- ，3 D ．1- ，1 3
3.设()833-+=x x f x ,用二分法求方程()2,10833在=-+x x 内近似解的进程中得
()()(),025.1,05.1,01<><f f f 那么据此可得该方程的有解区间是
A ．(1,1.25)
B ．(1.25,1.5)
C ．(1.5,2)
D ．不能确信
4.以下各组函数中，表示同一个函数的是
A ．1,x y y x
== B ． y y ==
C ．,log (0,1)x a y x y a a a ==>≠
D ． 2,y x y ==
5.已知67.0=a ，7.06=b ，6log 7.0=c ，那么c b a ,,的大小关系为
A. b c a <<
B. c b a <<
C. a b c <<
D. b a c <<
6.函数⎩
⎨⎧≤>=0,30,log )(2x x x x f x ，那么)]1([f f = A.0 B.
3
1 C.1 D.3 7.假设函数)(x f y =是函数x a y = 0(>a ，且)1≠a 的反函数，其图象通过点a (，a )，那么=)(x f A. x 2log B. x 2
1log C. x -2 D. 2
x 8.函数x x x f 4)(2-=在以下哪个区间上单调递增
A.)2,(-∞
B. ),2(+∞
C. ),4()0,(+∞⋃-∞
D. ),4(+∞
9.假设函数()log ()a f x x b =+（其中,a b 为常数）的图象如右图所示，那么函数()x g x a b =+ 的大致图象是
10.如图，点P 在边长为1的正方形ABCD 的边界上运动，设M 是CD
M C B A ,,,匀
速度运动时，点P 通过的路程x 为自变量，三角形APM 的面积为y 是
二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，总分值20分）
11. 函数12y x
=-的概念域为 12．已知9)(3
+=ax x f )(R a ∈，,3)2(=-f 则=)2(f 13．函数()()0,x f x a a x R =>∈的值域是区间(]0,1，那么()2f -与()1f 的大小关系是 .
14.假设函数)(x f 知足：存在非零常数T ，对概念域内的任意实数x ，有)()(x Tf T x f =+成立，那么称)(x f 为“T 周期函数”，那么有函数① x e x f =)( ②x e x f -=)( ③x x f ln )(= ④x x f =)( ，其中是“T 周期函数”的有 （填上所有符合条件的函数前的序号)
三、解答题（本大题共6小题，总分值80分。

解答须写出文字说明、证明进程和演算步骤）
15．（总分值12分）不用计算器计算：
（1）02log 3
)8.9(74lg 25lg 27log 7-++++ （2）252)008.0()949()827(325.032⨯+---
16．（总分值12分）已知1|
242x A x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，{}01>-=x x B （1）求A B 和A B ； （2）假设记符号{}
B x A x x B A ∉∈=-且,，
①在图中把表示“集合B A -”的部份用阴影涂黑；
②求A B -和B A -.
17.（总分值14分）某公司生产一种电子仪器的固定本钱为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益知足函数： 21400,0400()280000,400
x x x R x x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩（其中x 是仪器的月产量）． (1)将利润表示为月产量的函数)(x f ；
A B
16题图
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(利润=总收益-总成本)
18．（总分值14分）已知()y f x =是概念在R 上的偶函数，当0≥x 时，2
()2f x x x =- （1）求)2(),1(-f f 的值；
（2）求()f x 的解析式；并画出简图；
（3）利用图象．．．．
讨论方程()f x k =的根的情形。

（只需
写出结果，不要解答进程).
19.（总分值14分）设b a x f x x ++-=+122)(（b a ,为实常数）。

（1）当1==b a 时，证明：① )(x f 不是奇函数；
②()f x 是),(+∞-∞上的单调递减函数。

（2）设)(x f 是奇函数，求a 与b 的值。

20.（总分值14分）已知函数()f x ,(x D ∈)，假设同时知足以下条件：
①()f x 在D 上单调递减或单调递增；
②存在区间[,a b ]⊆D,使)(x f 在[,a b ]上的值域是[,a b ]，那么称()f x (x D ∈)为闭函数．
（1）求闭函数3()f x x =-符合条件②的区间[,a b ]；
（2）判定函数ln 36=+-y x x 是不是闭函数？假设是请找出区间[,a b ]；假设不是请说明理由；
（3）假设y k =k 的取值范围. （注：此题求解中涉及的函数单调性不用证明，直接指出是增仍是减函数即可）
湛江一中2021-----2021学年度第一学期期中考试
高一级数学科试卷参考答案
考试时刻：120分钟 总分值：150分 命题教师：张晓利
二、选择题：（本大题共10个小题，每题5分，总分值50分）
二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，总分值20分）
11. ),2()2,3[+∞⋃- 12. 15 13. )1()2(f f <- 14. ②
三、解答题（本大题共6小题，总分值80分）
15．（总分值12分）解：（1）原式323log 3lg(254)21=+⨯++ …………………3分
23
lg1032=++ ……………………………5分
3
13
2322=++= …………………………6分
（2）原式=22
133284910002
()()()279825-+⨯ ……………………9分
=252
2537
94
⨯+- ……………………11分
=91
2917
=+- …………………12分
（注：只要有正确的转换，都要给步骤分，不能只看结果） 17.（总分值14分）解：
（1）⎪⎩
⎪⎨⎧--+-=x x x x f 100600002000030021)(2 4004000>≤≤x x ……5分 (2)当4000≤≤x 时，
25000)300(2
1)(2+--=x x f ………………8分 ∴当300=x 时，)(x f 有最大值为25000 …………9分
当400>x 时，
x x f 10060000)(-=是减函数， ………………10分
250002000040010060000)(<=⨯-<x f ………………12分
∴当300=x 时，)(x f 的最大值为25000 ………………13分
答：每一个月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25000元． ………14分
②在),(+∞-∞上
任取21,x x 且21x x >，那么212121111212(),()1212
x x x x f x f x ++--==++……………5分 1222113(22)(12)(12)
x x x x ++-=++ ……………8分 因为21x x >，因此12220x x -<，又因为1211(12)(12)0x x ++++>，
因此21()()0f x f x -< ，即21()()f x f x < ……………9分
因此()f x 是),(+∞-∞上的单调递减函数。

……………10分
（2）（法一：）)(x f 是奇函数时，)()(x f x f -=-， 即b
a b a x x x x ++--=++-++--112222对概念域中的任意实数x 都成立， 化简整理得0)2(2)42(2)2(2=-+⋅-+⋅-b a ab b a x x ，这是关于x 的恒等式，
……………12分
因此⎩⎨⎧=-=-0
42,02ab b a 因此⎩⎨⎧-=-=21b a 或⎩⎨⎧==21b a ……………14分 （法二：）若0b ≥，那么由(0)0f =，得1a =
由(1)(1)f f -=-，解得：2b =；
经查验符合题意. ……………12分
若0b <，那么由120x b ++=，得2log ()1x b =--，因为奇函数的概念域关于原点对称，因此2log ()10b --=，因此2b =-，
由(1)(1)f f -=-，解得：1a =-；
经查验符合题意.
因此⎩⎨⎧-=-=21b a 或⎩⎨⎧==2
1b a ……………14分 20.（总分值14分）（1）
3y x =-在R 上单减，因此区间[,a b ]知足33a b a b b a <⎧⎪-=⎨⎪-=⎩ ……2分
解得1,1a b =-= ………3分
（2）不是．（反证法）假设ln 36=+-y x x 是闭函数，又因ln 36=+-y x x 在R 上单增，
………4分
因此存在区间[,a b ]使得36ln 36ln -+=⎧⎨-+=⎩
a a a
b b b ， ………5分 那么方程36ln x x x -+=有两不等实根，即26ln 0-+=x x 有两个不等的实根，等价于ln 26=+-y x x 至少有2个零点， ………7分
令()ln 26=+-g x x x ，那么易知()g x 为R 上单调递增函数，且0)2(<g ，(3)0>g ，因此()0g x =在(2,3)有零点，由()g x 在R 上单调递增，知()0g x =在R 上有且只有一个零点，矛盾。

因此假设不成立，即ln 36=+-y x x 不是闭函数。

………9分
（3）（法一）
易知y k =+在),2(+∞-上单调递增. ………10分 设知足条件②的区间为[,]a b ，那么方程组
k a k b
⎧=⎪⎨=⎪⎩有解， ………11分
即方程x k = 也即方程22(21)20x k x k -++-=有两个都不小于k 的不等根. ………12分 0
()021
2f k k k ⎧⎪∆>
⎪∴≥⎨⎪+⎪>⎩得924k -<
≤-，即为所求.
………14分。