广东省广州市财经职业高级中学2022年高一数学理期末试题含解析

广东省广州市财经职业高级中学2022年高一数学理期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 如图，M是正方体的棱的中点，给出命题
①过M点有且只有一条直线与直线、都相交；
②过M点有且只有一条直线与直线、都垂直；
③过M点有且只有一个平面与直线、都相交；
④过M点有且只有一个平面与直线、都平行.
其中真命题是（）
A.②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③
参考答案：
C
2. 若a、b是空间两条不同的直线，α、β是空间的两个不同的平面，则a⊥α的一个充分条件是()
A．a∥β，α⊥β B．a?β，α⊥β
C．a⊥b，b∥α D．a⊥β，α∥β
参考答案：
D 3. 某公司一年共购买某种货物吨，每次都购买吨，运费为每次4万元，一年的总存储费用为
万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次都购买
A．吨B．吨
C．吨D．吨
参考答案：
C
略
4. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若，则△ABC的面积是( )
A. B. C. D.
参考答案：
B
5. 下列四个图形中，不是以x为自变量的函数的图象是（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
【考点】函数的概念及其构成要素．
【分析】根据函数的定义中“定义域内的每一个x都有唯一函数值与之对应”判断．
【解答】解：由函数定义知，定义域内的每一个x都有唯一函数值与之对应，
A、B、D选项中的图象都符合；C项中对于大于零的x而言，有两个不同的值与之对应，不符合函数定义．
故选C．
6. 已知2﹣9，2a1，2a2，2﹣1成等比数列，2，log3b1，log3b2，log3b3，0成等差数列，则b2（a2﹣a1）=（）
A．﹣8 B．8 C．D．
参考答案：
B
【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．
【分析】运用等比数列的通项公式，可得公比q，再由等比数列的定义可得a2﹣a1，再由等差数列中项的性质，结合对数的运算性质可得b2，即可得到所求值．
【解答】解：设等比数列的公比为q，
由2﹣9，2a1，2a2，2﹣1成等比数列，可得：
q3==28，即有q=2，
即=q=2，
可得a2﹣a1=；
2，log3b1，log3b2，log3b3，0成等差数列，
可得2log3b2=2+0，
解得b2=3，
则b2（a2﹣a1）=3×=8．
故选：B．
7. 已知直线L经过点.则L的倾斜角是（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
8. 在正方体ABCD—中，下面四条直线中与平面平行的直线是( )
A. B. C.D.
参考答案：略
9. 已知正四面体内接于一个球，某人画出四个过球心的平面截球与正四面体所得的图形如下，则（）
A．以下四个图形都是正确的 B．只有②④是正确
的
C．只有④是正确的 D．只有①②是正确的
参考答案：
D
略
10. 在△ABC中，下列关系恒成立的是（）
（A）（B）
（C）（D）
参考答案：
D
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知，则
= ．
参考答案：
【考点】运用诱导公式化简求值．
【专题】计算题；规律型；函数思想；三角函数的求值．
【分析】直接利用诱导公式化简求解即可．
【解答】解：，则=．
故答案为：；
【点评】本题考查诱导公式的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力．
12. 下列说法中：
①若，满足，则的最大值为4；
②若，则函数的最小值为3
③若，满足，则的最小值为2
④函数的最小值为9
正确的有__________．（把你认为正确的序号全部写上）
参考答案：
③④
【分析】
①令，得出，再利用双勾函数的单调性判断该命题的正误；
②将函数解析式变形为，利用基本不等式判断该命题的正误；
③由得出，得出，利用基本不等式可判断该命题的正误；
④将代数式与代数式相乘，展开后利用基本不等式可求出
的最小值，进而判断出该命题的正误。

【详解】①由得，则，则，设，则，则，则上减函数，则上为增函数，
则时，取得最小值，当时，，故的最大值为，错误；
②若，则函数，
则，
即函数的最大值为，无最小值，故错误；
③若，满足，则，则，
由，得，
则
，
当且仅当，即得，即时取等号，
即的最小值为，故③正确；
④
，
当且仅当，即，即时，取等号，
即函数的最小值为，故④正确，故答案为：③④。

【点睛】本题考查利用基本不等式来判断命题的正误，利用基本不等式需注意满足“一正、二定、三相等”这三个条件，同时注意结合双勾函数单调性来考查，属于中等题。

13. 已知直线l1：（k﹣3）x+（4﹣k）y+1=0与l2：2（k﹣3）x﹣2y+3=0平行，则k的值是．
参考答案：
3或5
【考点】两条直线平行的判定． 【专题】计算题．
【分析】考查题意，不难发现x=3为所求，然后利用直线平行的条件解答即可． 【解答】解：当k=3时两条直线平行，
当k≠3时有，所以k=5,
故答案为：3或5．
【点评】本题考查直线与直线平行的条件，是基础题．
14. 如图1，一个底面是正三角形，侧棱与底面垂直的棱柱形容器，底面边长为，高为，内装水若干．将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，这时水面恰好为中截面（
分别是棱
的中点），则图1中容器内水面的高度为________．
参考答案：
15. 若函数在
上是增函数，则实数
的取值范围是 ．
参考答案：
a ≥ 3
16. 函数
在
上不存在反函数，则实数的取值范围为___________．
参考答案：
因为函数
在
上不存在反函数，所以。

17. 东方旅社有100张普通客床，每床每夜收租费10元，客床可以全部租出，若每床每夜收费提高1元，便减少5张床租出；再提高1元，又再减少5张床租出，依次变化下去，为了投资少而获利大，
每床每夜应提高租金 元
参考答案：
5
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，四边形
与
都是边长为a 的正方形，点E 是
的中点，
(1） 求证：
；
(2） 求证：平面
(3） 求体积
与
的比值。

参考答案：
（1）设BD 交AC 于M ，连结ME.
-
∵ABCD 为正方形，所以M 为AC 中点， 又∵E 为
的中点 ∴ME 为
的中位线
∴又∵
∴.
(2）∵ABCD为正方形∴
∵.
又
∵
∴.
(3）（要有计算过程）
19. 已知圆过，，且圆心在直线上．（Ⅰ）求此圆的方程．
（Ⅱ）求与直线垂直且与圆相切的直线方程．
（Ⅲ）若点为圆上任意点，求的面积的最大值．
参考答案：
（1）易知中点为，，
∴的垂直平分线方程为，即，
联立，解得．
则，
∴圆的方程为．……4分
（2）知该直线斜率为，不妨设该直线方程为，
由题意有，解得．∴该直线方程为或．……8分
（3），即，圆心到的距离．
∴
．……12分
20. 已知、均为锐角，，
（1）求的值；
（2）求的值.
参考答案：
（1）1；（2）.
【分析】
（1）先求出,再求的值；（2）利用求值得解.
【详解】（1）∵为锐角，∴,
则.
（2）∵，则，
则
.
【点睛】本题主要考查三角函数化简求值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力
.
21. 设函数f（x）=mx2﹣mx﹣1，g（x）=．
（1）若对任意x∈[1，3]，不等式f（x）＜5﹣m恒成立，求实数m的取值范围；
（2）当m=﹣时，确定函数g（x）在区间（3，+∞）上的单调性．
参考答案：
【考点】函数恒成立问题．
【分析】（1）利用f（x）＜5﹣m，推出m＜，设h（x）=，则当x∈[1，3]时，m ＜h（x）恒成立．利用二次函数的单调性求解m的取值范围．
（2）推出g（x）=﹣（+）．设x1＞x2＞3，则g（x1）﹣g（x2）=（x1﹣x2）
（﹣），利用函数的单调性的定义证明即可．
【解答】解：（1）由f（x）＜5﹣m，得mx2﹣mx﹣1＜5﹣m，即m（x2﹣x+1）＜6．
因为x2﹣x+1=（x﹣）2+＞0，则m＜．
设h（x）=，则当x∈[1，3]时，m＜h（x）恒成立．
因为y=x2﹣x+1在区间[1，3]上是增函数，
则h（x）在区间[1，3]上是减函数，h（x）min=h（3）=，
所以m的取值范围是（﹣∞，）．
（2）因为f（x）=mx（x﹣1）﹣1，则g（x）=mx﹣．
当m=﹣时，g（x）=﹣（+）．
设x1＞x2＞3，则g（x1）﹣g（x2）=﹣﹣=
=（x1﹣x2）（﹣）
因为x1﹣1＞x2﹣1＞2，则（x1﹣1）（x2﹣1）＞4，得＜，
又x1﹣x2＞0，则g（x1）﹣g（x2）＜0，
即g（x1）＜g（x2），所以g（x）在区间（3，+∞）上是减函数．
22. 已知角的终边经过点，且．
（1）求m的值；
（2）求值．
参考答案：
（1）；（2）
【分析】
（1）由利用任意角的三角函数的定义，列等式可求得实数的值；（2）由（1）可得
，利用诱导公式可得原式＝，根据同角三角函数的关系，可得结果. 【详解】（1）由三角函数的定义可知
（2）由（1）知可得
原式＝
＝
＝＝
【点睛】本题主要考查诱导公式的应用以及三角函数的定义，属于简单题.对诱导公式的记忆不但要正确理解“奇变偶不变，符号看象限”的含义，同时还要加强记忆几组常见的诱导公式，以便提高做题速度.。