2023年高考数学重难点复习：函数零点

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1．零点的判断与证明
例1：已知定义在()1,+∞上的函数()ln 2f x x x =--，
求证：()f x 存在唯一的零点，且零点属于()3,4．
【答案】见解析
【解析】()111x f x x x -'=-=，()1,x ∈+∞ ，()0f x '∴>，()f x ∴在()1,+∞单调递增，()31ln 30f =-< ，()42ln 20f =->，()()340f f ∴<，()03,4x ∴∃∈，使得()00f x =因为()f x 单调，所以()f x 的零点唯一．
2．零点的个数问题
例2：已知函数()f x 满足()()3f x f x =，当[)1,3x ∈，()ln f x x =，若在区间[)1,9内，函数()()g x f x ax =-有三个不同零点，则实数a 的取值范围是（）A．ln 31,3e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B．ln 31,93e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C．ln 31,92e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D．ln 3ln 3,9
3⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B
【解析】()()()33x f x f x f x f ⎛⎫=⇒= ⎪⎝⎭ ，当[)3,9x ∈时，()ln 33x x f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭
，所以()ln 13ln 393x x f x x x ≤<⎧⎪=⎨≤<⎪⎩，而()()g x f x ax =-有三个不同零点⇔()y f x =与y ax =有三
个不同交点，如图所示，可得直线y ax =应在图中两条虚线之间，所以可解得：
ln 3193e a <<。