求解任意图的最小支配集（MinimunDominatingSet）

求解任意图的最⼩⽀配集（MinimunDominatingSet）
给定⼀个⽆向图G =（V，E），其中V表⽰图中顶点集合，E表⽰边的集合。

G的最⼩控制顶点集合为V的⼀个⼦集S∈V；假设集合R表⽰V 排除集合S后剩余顶点集合，即R∩S=∅，R∪S=V；则最⼩控制顶点集合S满⾜约束条件：R中任意⼀个顶点⾄少与S的⼀个顶点直接相连。

给定⼀个图，求出最⼩控制集。

控制集定义：
控制集⼜称⽀配集（Minimun Dominating Set），⽀配集是图G中的顶点集合S ⊆ V,满⾜对于任何顶点v∈V，要么v∈S，要么v与集合S中⾄少⼀个顶点相邻。

最⼩控制集：
对于⽀配集S0,不存在任何⽀配集S1,使|S1|<|S0|,则称S0是图G的最⼩⽀配集，γ(G)=|S0|称为图G的⽀配数；
最⼩⽀配集的性质：
1）求最⼩⽀配集问题被证明属于NP完全问题,即对于给定问题域的输⼊规模,⽬前尚⽆⾜够的⼿段证明该问题能够被判定在多项式时间内求解。

2）在含n个点的任意图中，若任意点的度⼤于等于3，则该图的最⼩⽀配集⼩于等于3n/8。

3）对于特殊图，如树，可使⽤贪⼼或dp的⽅法解决问题。

将图论问题转化为数学问题：
为了⽅便说明，我们定义图中节点vi的闭邻集为N[vi]，若vi为⽀配点赋值为1，否则赋值为0。

根据⽀配集的定义，我们可以看出，图A中每个点要满⾜的条件即为N[i]的和⼤于等于⼀，也就是说，vi及其临集中⾄少含有⼀个⽀配点，⽽最⼩⽀配集则要求v1…vn的和最⼩，转化为数学公式，也就是特殊的0-1整数规划问题。

设计算法：
输⼊：⼀个任意图，格式为，第⼀⾏n表⽰n个节点，接下来任意⾏，每⾏两个数，a，b表⽰a到b有⼀条⽆向边。

输出：最⼩⽀配集（节点编号）
1）遍历邻接表，找出度为0的节点，直接加⼊⽀配集，度为1的节点，其相邻节点加⼊⽀配集，并加⼊⽀配集，度为1的节点记录为精确取值。

2）将邻接集合按从⼤到⼩排序，贪⼼选择最⼤的设为⽀配集，并动态维护邻接集合，直到⽀配集满⾜条件，将此⽀配集设为约束条件。

3）开始深度搜索，⾸先对该集合判断是否满⾜条件，若满⾜，和当前约束条件⽐较，若⼩于当前上界，代替约束条件。

4）按顺序遍历节点，若已经明确加⼊⽀配集则跳过该节点，若已经超过上界，返回，否则分别将该节点置为0和1，跳到步骤4。

这个算法的朴素时间复杂度是O（2^n）的，理论上⼀般要优于这个时间复杂度。

Grandoni算法的时间复杂度为O（2^0.61n）,有兴趣的可以去看看论⽂：路纲, 周明天, 唐勇,等. 任意图⽀配集精确算法回顾[J]. 计算机学报, 2010, 33(6):1073-1087.。