走向高考数学3-1

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【新高考】高三数学一轮复习知识点讲解3-1 函数的概念及其表示

专题3.1 函数的概念及其表示【考纲解读与核心素养】1．了解函数的概念，会求简单的函数的定义域和值域.2．理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法.3．了解简单的分段函数，会用分段函数解决简单的问题.4.本节涉及所有的数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等. 5．高考预测：（1）分段函数的应用,要求不但要理解分段函数的概念，更要掌握基本初等函数的图象和性质．（2）函数的概念，经常与函数的图象和性质结合考查.6.备考重点：（1）理解函数的概念、函数的定义域、值域、函数的表示方法；（2）以分段函数为背景考查函数的相关性质问题.【知识清单】1．函数的概念2．函数的定义域、值域(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数.3．分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.【典例剖析】高频考点一函数的概念【典例1】（2020·洪洞县第一中学高三期中（文））下面各组函数中是同一函数的是（） A ．32y x =-与2y x x =- B ．()2y x =与y x =C ．11y x x =+⋅-与()()11y x x =+-D ．()221f x x x =--与()221g t t t =-- 【答案】D 【解析】因为选项A 中，对应关系不同，选项B 中定义域不同，对应关系不同，选项C 中，定义域不同，选项D 中定义域和对应法则相同，故选D.【典例2】在下列图形中，表示y 是x 的函数关系的是________．【答案】①②【解析】由函数定义可知，自变量x 对应唯一的y 值，所以③④错误，①②正确．【规律方法】函数的三要素中，若定义域和对应关系相同，则值域一定相同．因此判断两个函数是否相同，只需判断定义域、对应关系是否分别相同．【变式探究】1.x R ∈，则()f x 与()g x 表示同一函数的是（） A. ()2f x x =， ()2g x x =B. ()1f x =， ()()01g x x =-C.()()2x f x x=， ()()2xg x x= D. ()293x f x x -=+， ()3g x x =-【答案】C【解析】A 中: ()2g x x =2x x =≠;B 中: ()()()0110g x x x =-=≠;C 中：， ()()2x f x x=1,0{1,0x x >=-< ， ()()2xg x x =1,0{ 1,0x x >=-<；D 中： ()()29333x f x x x x -==-≠-+,因此选C.2.（2018届江西省检测考试（二））设，，函数的定义域为，值域为，则的图象可以是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为定义域为，所以舍去A;因为值域为，所以舍去D;因为对于定义域内每一个x 有且只有一个y 值，所以去掉C ；选B. 【易混辨析】1.判断两个函数是否为相同函数，注意把握两点，一看定义域是否相等，二看对应法则是否相同．2.从图象看，直线x=a 与图象最多有一个交点. 高频考点二：求函数的定义域【典例3】（2019·江苏高考真题）函数276y x x =+-_____. 【答案】[1,7]-. 【解析】由已知得2760x x +-≥, 即2670x x --≤解得17x -≤≤，故函数的定义域为[1,7]-.【典例4】（2020·河南省郑州一中高二期中（文））已知函数(1)y f x =+定义域是[2,3]- ，则(21)y f x =-的定义域是（） A ．[0,52] B ．[1,4]- C ．[5,5]- D ．[3,7]-【答案】A 【解析】因为函数(1)y f x =+定义域是[2,3]- 所以114x -≤+≤所以1214x -≤-≤，解得：502x ≤≤ 故函数(21)y f x =-的定义域是[0,52] 故选：A【典例5】（2019·邵阳市第十一中学高一期中）已知函数(31)f x -的定义域是[]0,2,则函数()f x 的定义域是( ) A.[]0,2 B.1[1]3，C.[-15]，D.无法确定【答案】C 【解析】由已知02x ≤≤，1315x ∴-≤-≤，即函数()f x 的定义域是[-15]，，故选：C ．【规律方法】1.已知函数的具体解析式求定义域的方法(1)若f (x )是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集． (2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可． 2．抽象函数的定义域的求法(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由a ≤g (x )≤b 求出． (2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．【变式探究】1.（2019·山东省章丘四中高三月考）函数1()lg(1)f x x =++ ）A ．[2,2]-B ．[2,0)(0,2]-C ．(1,0)(0,2]-⋃D ．(-1,2]【答案】C 【解析】1011()lg(1)00(1,0)(0,2]lg(1)202x x f x x x x x x x +>⇒>-⎧⎪=++≠⇒≠⇒∈-⋃⎨+⎪-≥⇒≤⎩故答案选C2．（2020·福建省福州第一中学高三）已知函数()f x 的定义域为[0，2]，则()()21f xg x x =-的定义域为（）A ．[)(]0,11,2B ．[)(]0,11,4C ．[)0,1D ．(]1,4 【答案】C 【解析】函数()f x 的定义域是[0，2]，要使函数()()21f xg x x =-有意义,需使()2f x 有意义且10x -≠ .所以10022x x -≠⎧⎨≤≤⎩ 解得01x ≤< 故答案为C 【特别提醒】求函数的定义域，往往要解不等式或不等式组，因此，要熟练掌握一元一次不等式、一元二次不等式的解法、牢记不等式的性质，学会利用数形结合思想，借助数轴解题.另外，函数的定义域、值域都是集合，要用适当的表示方法加以表达或依据题目的要求予以表达．高频考点三：求函数的解析式【典例6】（2019·天津南开中学高一期中）设函数()f x 满足1()11xf x x-=++，则()f x 的表达式为（）A ．2211x x-+ B ．221x + C ．21x + D ．11x x -+ 【答案】C 【解析】设11x t x -=+，则11t x t -=+，所以12()111t f t t t -=+=++，所以2()1f x x=+，故选C ．【典例7】（2019·安徽省毛坦厂中学高三月考（理））已知二次函数()2f x ax bx c =++，满足()02f =，()()121f x f x x +-=-.（1）求函数()f x 的解析式；（2）求()f x 在区间[]1,2-上的最大值；（3）若函数()f x 在区间[],1a a +上单调，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）()222f x x x =-+；（2）5；（3）(][),01,-∞⋃+∞.【解析】（1）由()02f =，得2c =，由()()121f x f x x +-=-，得221ax a b x ++=-，故221a a b =⎧⎨+=-⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩，所以()222f x x x =-+.（2）由（1）得：()()222211f x x x x =-+=-+，则()f x 的图象的对称轴方程为1x =，又()15f -=，()22f =，所以当1x =-时()f x 在区间[]1,2-上取最大值为5. （3）由于函数()f x 在区间[],1a a +上单调，因为()f x 的图象的对称轴方程为1x =，所以1a ≥或11a +≤，解得：0a ≤或1a ≥，因此a 的取值范围为：(][),01,-∞⋃+∞. 【规律方法】1.已知函数类型，用待定系数法求解析式．2.已知函数图象，用待定系数法求解析式，如果图象是分段的，要用分段函数表示．3.已知()f x 求[()]f g x ，或已知[()]f g x 求()f x ，用代入法、换元法或配凑法．4.若()f x 与1()f x或()f x -满足某个等式，可构造另一个等式，通过解方程组求解． 5.应用题求解析式可用待定系数法求解．【变式探究】1.（2018届安徽省安庆市第一中学）已知单调函数，对任意的都有，则( )A. 2B. 4C. 6D. 8 【答案】C 【解析】设，则，且，令，则，解得，∴，∴．故选C ．2．（2020·江苏省高三专题练习）已知2()(1)()2f x f x f x +=+，(1)1f =，（x N +∈），()f x =__________．【答案】21x + 【解析】()()()212f x f x f x +=+11111111(1)1(1)(1)()2()(1)222x x x f x f x f x f +⇒=+⇒=+-⨯=+-⨯=⇒+ ()21f x x =+高频考点四：求函数的值域【典例8】（2019·浙江省镇海中学高一期中）函数()()10f x x x x=+<的值域为（）A ．[)2,+∞B ．(][),22,-∞+∞ C ．(],2-∞-D ．R【答案】C 【解析】当0x <时，0x ->，()12f x x x ⎛⎫∴=---≤-=- ⎪⎝⎭（当且仅当1x x -=-，即1x =-时取等号），()f x ∴的值域为(],2-∞-.故选：C .【典例9】（2020·甘肃省武威十八中高三期末（理））高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[]3.54-=-，[]2.12=，已知函数()112x xe f x e =-+，则函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域是__________ 【答案】{}1,0- 【解析】依题意()111111221x x xe f x e e +-=-=-++，由于11xe +>，故11112212x e -<-<+，即()f x 的值域为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域是{}1,0-. 故填：{}1,0-.【典例10】（2020·辽河油田第二高级中学高二月考）函数()f x x =的值域是________________．【答案】1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【解析】函数()f x x ，令0t t =≥则21122x t =-，则()2211112222f t t t t t =+-=+-()21112t =+-，0t ≥. 由二次函数性质可知，在[)0,t ∈+∞内单调递增，所以当0t =即12x =-时取得最小值，最小值为12-，因而()1,2x f ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，故答案为：1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 【规律方法】函数值域的常见求法： (1)配方法配方法是求“二次函数型函数”值域的基本方法，形如F (x )＝a [f (x )]2＋bf (x )＋c (a ≠0)的函数的值域问题，均可使用配方法． (2)数形结合法若函数的解析式的几何意义较明显，如距离、斜率等，可用数与形结合的方法． (3)基本不等式法：要注意条件“一正，二定，三相等”．（可见上一专题） (4)利用函数的单调性①单调函数的图象是一直上升或一直下降的，因此若单调函数在端点处有定义，则该函数在端点处取最值，即若y ＝f (x )在[a ，b ]上单调递增，则y 最小＝f (a )，y 最大＝f (b )；若y ＝f (x )在[a ，b ]上单调递减，则y 最小＝f (b )，y 最大＝f (a )．②形如y ＝ax ＋b ＋dx ＋c 的函数，若ad ＞0，则用单调性求值域；若ad ＜0，则用换元法．③形如y ＝x ＋k x (k ＞0)的函数，若不能用基本不等式，则可考虑用函数的单调性，当x ＞0时，函数y ＝x ＋kx (k ＞0)的单调减区间为(0，k ]，单调增区间为[k ，＋∞)．一般地，把函数y ＝x ＋kx (k ＞0，x ＞0)叫做对勾函数，其图象的转折点为(k ，2k )，至于x ＜0的情况，可根据函数的奇偶性解决． *(5)导数法利用导函数求出最值，从而确定值域．高频考点五：分段函数及其应用【典例11】（2019·永济中学高一月考）已知5,6()(2),6x xf xf x x-≥⎧=⎨+<⎩，则(3)f为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】(3)(32)(52)752f f f=+=+=-=故选：A【典例12】（2018届湖北省5月）设函数，若，则实数的值为（）A. B. C. 或 D.【答案】B【解析】因为，所以所以选B.【典例13】（2018年新课标I卷文）设函数，则满足的x的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】将函数的图象画出来，观察图象可知会有，解得，所以满足的x的取值范围是，故选D.【典例14】（2020·上海高三）若函数()6,23log ,2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩（0a >且1a ≠）的值域是[)4,+∞，则实数a 的取值范围是__________．【答案】(]1,2【解析】由于函数()()6,2{0,13log ,2a x x f x a a x x -+≤=>≠+>的值域是[)4,+∞，故当2x ≤时，满足()64f x x =-≥，当2x >时，由()3log 4a f x x =+≥，所以log 1a x ≥，所以log 2112a a ≥⇒<<，所以实数a 的取值范围12a <≤.【总结提升】1.“分段求解”是处理分段函数问题解的基本原则；2.数形结合往往是解答选择、填空题的“捷径”.【变式探究】1.（2020·辽宁省高三二模（理））设函数21log (2),1(),1x x x f x e x +-<⎧=⎨≥⎩，则(2)(ln 6)f f -+=（） A ．3B ．6C ．9D ．12 【答案】C【解析】由题意，函数21log (2),1(),1x x x f x e x +-<⎧=⎨≥⎩，则ln 62(2)(ln 6)1log [2(2)]1269f f e -+=+--+=++=.2.（2020·浙江省高三二模）已知函数()231,0,2,0,x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩若存在唯一的整数x ，使得()()0x f x a ⋅-<成立，则实数a 的取值范围是（）A ．12a ≤≤B ．01a ≤<或28a <≤C ．28a <≤D ．11a -<<或28a <≤ 【答案】B【解析】如图所示，画出函数()f x 图像，当0x >时，()()0x f x a ⋅-<，即()f x a <，故()()12f a f <≤，即23131a -<≤-，即28a <≤；当0x =时，易知不满足；当0x <时，()()0x f x a ⋅-<，即()f x a >，故()01a f ≤<-，即()011a f ≤<-=.综上所述：01a ≤<或28a <≤.故选：B.3.（2018届河北省唐山市三模）设函数则使得成立的得取值范围是__________．【答案】.由，得或，得或，即得取值范围是，故答案为. 4．（2020·江苏省高三月考）已知函数()2,0228,2x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩，若()()2f a f a =+，则1f a ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值是_____.【答案】2【解析】由2x ≥时，()28f x x =-+是减函数可知，当2a ≥，则()()2f a f a ≠+，所以02a <<，由()(+2)f a f a =得 22(2)8a a a +=-++，解得1a =，则21(1)112f f a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭. 故答案为：2.【易错提醒】因为分段函数在其定义域内的不同子集上其对应法则不同，而分别用不同的式子来表示，因此在求函数值时，一定要注意自变量的值所在子集，再代入相应的解析式求值．。

2025高考数学冲刺分层训练专题3-1、三角函数小题(一)

专题3-1、三角函数小题（一）一、单选题1．（2024·湖北·宜昌市一中校联考模拟预测）设1cos 3x =，则sin 2x π⎛⎫−= ⎪⎝⎭（）A ．13B ．13−C ．3D ．3−sin 2x π⎛− ⎝1cos 3x =sin x ⎛∴− ⎝故选：B2．（2024·湖南岳阳·统考二模）已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴查合，点A 是角α的终边与单位圆的交点，若点A 的横坐标为45−，则cos2α=（）A ．25−B ．25C ．725−D ．7253．（2024·江苏·统考一模）已知函数()()()sin 20πϕϕ=+<<f x x 的图象关于直线π6x =对称，则ϕ的值为（） A ．π12 B ．π6C ．π3D ．2π34．（2024·福建漳州·统考三模）已知πsin 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭5πsin 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．34−B ．34C ．4−D ．45．（2024·江苏泰州·统考一模）已知sin cos 65αα⎛⎫−+= ⎪⎝⎭，则cos 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．725−B ．725 C ．2425− D ．24256．（2024·福建泉州·统考三模）已知sin 0αα=，则cos 2=α（）A ．13−B ．0C ．13D7．（2024·山东·烟台二中校联考模拟预测）将函数()πcos 6f x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标缩短为原来的13，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（）．A ．()g x 在ππ,23⎡⎤−−⎢⎥⎣⎦上单调递增B ．()g x 在ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．()g x 在ππ,23⎡⎤−−⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．()g x 在ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减8．（2024·山东·烟台二中校联考模拟预测）已知πcos 243α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α=（）．A ．13B ．12C ．12−D ．13−【详解】sin α−=13α=−．9．（2024·湖北·校联考模拟预测）已知cos 0,,tan 222sin παααα⎛⎫∈= ⎪−⎝⎭，则cos α=（）A B C D10．（2024·湖北·统考模拟预测）已知cos 752α⎛⎫︒+= ⎪⎝⎭()cos 30α︒−的值为（）A ．13B ．13−C ．23D ．23−11．（2024·江苏·统考一模）在ABC 中，2π3BAC ∠=，BAC ∠的角平分线AD 交BC 于点D ，ABD △的面积是ADC △面积的3倍，则tan B =（） A B C D 【详解】1sin 21sin 2ABDADCAB AD BADAB AC AC AD CAD ⋅⋅∠==⋅⋅，在ABC 中，作sin b CAH AB AH ∠=+12．（2024·湖南·模拟预测）已知πsin 4sin 0,,21cos 4cos 2ααααα⎛⎫∈= ⎪+−⎝⎭，则tan 2α=（）ABCD【详解】α13．（2024·广东茂名·统考一模）下列四个函数中，最小正周期与其余三个函数不同的是（）A ．()2cos sin cos f x x x x =+B ．()1cos 22sin cos xf x x x−=C ．()ππcos cos 33f x x x ⎛⎫⎛⎫=++− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()ππsin cos 66f x x x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、多选题14．（2024·广东深圳·统考一模）已知函数()f x 的图象是由函数2sin cos y x x =的图象向右平移π6个单位得到，则（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 在区间ππ,63⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．()f x 的图象关于直线π3x =对称D ．()f x 的图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称15．（2024·浙江·校联考模拟预测）将函数π()2sin26f x x⎛⎫=−⎪⎝⎭的图象向左平移(0)θθ>个单位长度，得到函数()g x的图象，下列说法正确的是（）A．当5π6θ=时，()g x为偶函数B．当5π6θ=时，()g x在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C．当π4θ=时，()g x在ππ,66⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上的值域为D．当π4θ=时，点π,06⎛⎫−⎪⎝⎭是()g x的图象的一个对称中心16．（2024·浙江金华·浙江金华第一中学校考模拟预测）已知1 sin cos5θθ+=，()0,πθ∈，则（）A ． 12sin cos 25θθ=− B ． sin cos 1225θθ−=C ． 7sin cos 5θθ−=D ．4tan 3θ=−θcos θ0，所以sin ，解得4sin ,cos 5θ=17．（2024·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()222tan a c b B +−=，则B 的值为（）A ．6π B ．3π C ．56π D ．23π 18．（2024·山东潍坊·校考一模）将函数()π2cos 24f x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭的图象向右平移π8个单位长度得到()y g x =的图象，则（）A ．()y f x =在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数B ．ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫−=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()y g x =是奇函数D ．()1y g x =−在[]π,π−上有4个零点2sin 2x ，故0，得到sin 19．（2024·山东·河北衡水中学统考一模）已知函数()ππsin()0,0,22f A x A x ωϕωϕ⎛⎫=+>>−<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．当ππ,44x ⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦时，()f x 的值域为22⎡−⎢⎣⎦ C ．将函数()f x 的图象向右平移π12个单位长度可得函数()sin 2g x x =的图象 D ．将函数()f x 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点5π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称20．（2024·湖南湘潭·统考二模）将2sin 2y x =的图象向右平移π6个单位长度得到()f x 的图象，则（）A ．π()2sin 23f x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭B ．()f x 的图象关于直线π12x =对称 C ．()f x 的图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭内是增函数21．（2024·湖南邵阳·统考二模）若函数()()()2cos cos sin 10f x x x x ωωωω=−−>的最小正周期为π，则（）A ．π24f ⎛⎫−= ⎪⎝⎭B ．()f x 在π23π,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．()f x 在5π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有5个零点D ．()f x 在ππ,44⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上的值域为[]1,1−【答案】BCπ4x ⎫+⎪⎭三、填空题22．（2024·浙江·校联考模拟预测）已知5π2tan 43θ⎛⎫+=− ⎪⎝⎭，则tan θ=________.所以tan 5θ=−. 故答案为：5−.23．（2024·浙江·校联考三模）写出一个满足下列条件的正弦型函数，()f x =____________．①最小正周期为π； ②()f x 在π0,4⎡⎤⎢⎥上单调递增； ③,()2x f x ∀∈≤R 成立．24．（2024·江苏宿迁·江苏省沭阳高级中学校考模拟预测）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中2a =，sin sin sin sin sin sin A B A C B C +=，则b c +的最小值为_____________.25．（2024·山东淄博·统考一模）若sin 63θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，()0,πθ∈，则cos θ=______.【详解】()0,πθ∈π7π,66⎛⎫ ⎪⎝⎭，又ππ,62⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则π,π2⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，26．（2024·湖北武汉·统考模拟预测）锐角α满足sin 43α⎛⎫−= ⎪⎝⎭，则cos 2=α____________.27．（2024·湖南长沙·统考一模）已知函数()()()2sin 0f x x ωϕω=+>,若函数()f x 的图象关于点π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称,且关于直线π3x =轴对称,则ω的最小值为______．28．（2024·广东惠州·统考模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，角θ的终边经过点()1,2，则2cos sin 2θθ+=__________．【答案】1【分析】法一：利用三角函数的定义求出sin θ、cos θ的值，再利用二倍角的正弦公式计算可得结果；29．（2024·广东江门·统考一模）已知,02θ⎛⎫∈− ⎪⎝⎭，7cos29θ=，则sin θ的值为___________.30．（2024·广东湛江·统考一模）cos 70cos 20cos 65︒−︒=︒______．。

备战高考数学复习考点知识与题型讲解3---基本不等式

备战高考数学复习考点知识与题型讲解第3讲基本不等式一、知识梳理 1.基本不等式如果a ＞0，b ＞02a ＝b 时，等号成立.文字叙述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2.基本不等式与最值已知x ＞0，y ＞0，则(1)若x ＋y ＝S (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最大值S 24.(2)若xy ＝P (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值记忆口诀：两正数的和定积最大，两正数的积定和最小.常用结论几个重要的不等式1.a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号.2.ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. 3.a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. 4.b a ＋ab≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号. 二、教材衍化1.(人A 必修第一册P 46例3改编)设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A.80 B.77 C.81D.82解析：选C.因为x >0，y >0，所以x ＋y2≥xy ，即xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max ＝81.2.(人A 必修第一册P 46练习T 3改编)当x ＝________时，x 2＋1x2取得最小值，最小值是________.答案：±1 23.(人A 必修第一册P 46例3(2)改编)若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________.解析：设矩形的长为x m ，宽为y m ，则x ＋y ＝10，所以S ＝xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝25，当且仅当x ＝y ＝5时取等号.答案：25 m 2一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x ＋1x的最小值是2.( )(2)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22成立的条件是ab >0.( ) (3)“x >0且y >0”是“x y ＋y x≥2”的充要条件.( ) (4)若a >0，则a 3＋1a2的最小值是2a .( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 二、易错纠偏1.(多选)(忽视基本不等式求最值的条件致误)对于任意的a ，b ∈R ，下列不等式一定成立的是( )A.a 2＋b 2≥2abB.ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22C.b a ＋ab≥2 D.a ＋b 2≤a 2＋b 22解析：选ABD.因为a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，所以a 2＋b 2≥2ab 成立，故A 正确；因为(a ＋b )2－4ab ＝(a －b )2≥0，所以4ab ≤(a ＋b )2，即ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，故B 正确；当a ＝－1，b ＝1时，b a ＋ab＝－2<2，故C 不正确；因为a 2＋b 2≥2ab ，所以2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2，即a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋b 2≤a 2＋b 22，所以a ＋b 2≤a 2＋b 22，故D 正确.2.(求最值时不能灵活配凑致误)若x >1，则x ＋4x －1的最小值为________. 解析：x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5. 当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时等号成立.答案：53.(求最值时不能灵活配凑致误)设0<x <1，则函数y ＝2x (1－x )的最大值为________. 解析：y ＝2x (1－x )≤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝12. 当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时，等号成立.答案：12考点一利用基本不等式求最值(多维探究)复习指导：探索并了解基本不等式的证明过程，会用基本不等式求解最大(小)值问题.角度1 利用配凑法求最值(多选)下列说法正确的有( )A.若x <12，则2x ＋12x －1的最大值是－1B.若x >－2，则x ＋6x ＋2≥4 C.若x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最大值是2D.若x <1，则x 2－x ＋9x －1有最大值－5【解析】对于A ：因为x <12，所以2x －1<0，1－2x >0，所以2x ＋12x －1＝(2x －1)＋12x －1＋1＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（1－2x ）＋11－2x ＋1≤－2（1－2x ）·11－2x ＋1＝－1(当且仅当x ＝0时等号成立)，此时2x ＋12x －1有最大值为－1，故A 正确；对于B ：因为x >－2，所以x ＋2>0，所以x ＋6x ＋2＝x ＋2＋4x ＋2＝x ＋2＋4x ＋2≥2x ＋2·4x ＋2＝4，当且仅当x ＋2＝4x ＋2，即x ＝2时取等号，故B 正确；对于C ：因为x >0，y >0，所以x ·2y ≤(x ＋2y 2)2，即2xy ≤（x ＋2y ）24，因为x ＋2y＋2xy ＝8，所以2xy ＝8－(x ＋2y )，所以8－(x ＋2y )≤（x ＋2y ）24，整理得(x ＋2y )2＋4(x＋2y )－32≥0，解得x ＋2y ≤－8(舍去)或x ＋2y ≥4(当且仅当x ＝2y 时等号成立)，所以x ＋2y 的最小值为4，故C 错误；对于D ：x 2－x ＋9x －1＝（x －1）2＋（x －1）＋9x －1＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－()x －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－9x －1＋1≤－29＋1＝－5，当且仅当－(x －1)＝－9x －1，即x ＝－2时，等号成立.故D 正确.【答案】 ABD角度2 利用常数代换法求最值已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b 的最小值为________.【解析】⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a b ＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9.当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立.【答案】 91.若本例中的条件不变，则1a ＋1b的最小值为________.解析：因为a >0，b >0，a ＋b ＝1，所以1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·a b ＝4，即1a ＋1b的最小值为4，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立.答案：42.若本例条件变为：已知a >0，b >0，4a ＋b ＝4，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b 的最小值为________. 解析：由4a ＋b ＝4得a ＋b4＝1，⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b 4a⎝⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b4b＝⎝⎛⎭⎪⎫2＋b 4a ⎝ ⎛⎭⎪⎫54＋a b＝52＋2a b ＋5b 16a ＋14≥114＋258＝114＋102.当且仅当42a ＝5b 时，等号成立. 答案：114＋102角度3 利用消元法求最值已知x ＜0，且x －y ＝1，则x ＋12y ＋1的最大值是________. 【解析】因为x ＜0，且x －y ＝1，所以x ＝y ＋1，y ＜－1，所以x ＋12y ＋1＝y ＋1＋12y ＋1＝y ＋12＋12y ＋12＋12，因为y ＋12＜0，所以y ＋12＋12y ＋12＝－⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12＋12－⎝⎛⎭⎪⎫y ＋12≤－2，当且仅当y ＝－1＋22时等号成立，所以x ＋12y ＋1≤12－2，所以x ＋12y ＋1的最大值为12－ 2.【答案】12－ 2利用基本不等式求最值的关注点(1)前提：“一正”“二定”“三相等”.(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式.(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是配凑法.|跟踪训练|1.若a ，b ，c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝2，则4a ＋1＋1b ＋c的最小值是( ) A.2 B.3 C.4D.6解析：选B.因为a ，b ，c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝2，所以a ＋b ＋c ＋1＝3，且a ＋1＞0，b ＋c ＞0. 所以4a ＋1＋1b ＋c ＝13·(a ＋1＋b ＋c )·⎝⎛⎭⎪⎫4a ＋1＋1b ＋c ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋4（b ＋c ）a ＋1＋a ＋1b ＋c ≥13(5＋4)＝3. 当且仅当a ＋1＝2(b ＋c )，即a ＝1，b ＋c ＝1时，等号成立.故选B. 2.已知x ，y 为正实数，则4x x ＋3y ＋3yx的最小值为( ) A.53 B.103C.32D.3解析：选D.由题意得x >0，y >0，4x x ＋3y ＋3y x ＝4x x ＋3y ＋x ＋3yx－1≥24x x ＋3y ·x ＋3yx－1＝4－1＝3.当且仅当x ＝3y 时等号成立.3.已知x >0，y >0，xy ＝x ＋4y ＋12，求xy 的最小值.解：由xy ＝x ＋4y ＋12，移项得(x －4)y ＝x ＋12，显然x ≠4，所以y ＝x ＋12x －4，由y >0，得x >4，所以xy ＝x ·x ＋12x －4＝（x －4＋4）（x －4＋16）x －4＝（x －4）2＋20（x －4）＋64x －4＝x －4＋64x －4＋20≥2（x －4）·64x －4＋20＝36，当且仅当x ＝12，y ＝3时等号成立，所以xy 的最小值为36.考点二基本不等式的综合应用(多维探究)复习指导：1.利用基本不等式求最值及最值成立的条件，可确定某些参数的范围. 2.利用基本不等式建立数学模型，可以解决某些实际问题. 角度1 求参数问题(2022·安徽省阜阳市耀云中学期中)设0<m <12，若2m ＋21－2m≥k 恒成立，则k 的最大值为________.【解析】因为0<m <12，所以2m＋21－2m ＝2m ＋112－m ＝ 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤m ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋112－m ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋m 12－m ＋1－2m m ≥2⎝⎛⎭⎪⎫2m 12－m ×1－2mm＋3＝6＋42，当且仅当m 12－m ＝1－2mm，即m ＝2－22时等号成立. 所以k ≤6＋4 2. 【答案】 6＋4 2角度2 利用基本不等式解决实际问题某厂家拟在2023年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m (m ≥0)万元满足x ＝3－k m ＋1(k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件.已知2023年生产该产品的固定投入为8万元.每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).(1)将2023年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； (2)该厂家2023年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？【解】 (1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1，所以1＝3－k ⇒k ＝2，所以x ＝3－2m ＋1，每万件产品的销售价格为1.5×8＋16xx(万元)，所以2023年的利润y ＝1.5x ×8＋16xx－8－16x －m＝4＋8x －m ＝4＋8⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2m ＋1－m ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋（m ＋1）＋29(m ≥0).(2)因为m≥0时，16m＋1＋(m＋1)≥216m＋1·（m＋1）＝216＝8，所以y≤－8＋29＝21，当且仅当16m＋1＝m＋1，即m＝3时，ymax＝21.故该厂家2023年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元.(1)应用基本不等式解决实际问题的基本步骤①理解题意，设出变量，建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题；②在定义域内，利用基本不等式求出函数的最值；③还原为实际问题，写出答案.(2)利用基本不等式解决实际问题体现了数学建模的核心素养.|跟踪训练|1.(2022·北京海淀区二模)某公司购买了一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润s(单位：万元)与机器运转时间t(单位：年，t∈N*)的关系为s＝－t2＋23t－64，要使年平均利润最大，则每台机器运转的时间t为( )A.5B.6C.7D.8解析：选D.因为每台机器生产的产品可获得的总利润s(单位：万元)与机器运转时间t(单位：年，t∈N*)的关系为s＝－t2＋23t－64，所以年平均利润y＝st＝－t－64t＋23＝－⎝⎛⎭⎪⎫t＋64t＋23≤－2t·64t＋23＝7，当且仅当t ＝8时等号成立，故要使年平均利润最大，则每台机器运转的时间t 为8，故选D. 2.已知正实数x ，y 满足x ＋y ＝1， (1)则x 2＋y 2的最小值为________；(2)若1x ＋4y≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是________.解析：(1)因为x ＋y ＝1，有xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝14，所以x 2＋y 2＝(x ＋y )2－2xy ≥1－14×2＝12，即x 2＋y 2的最小值为12.(2)若a ≤1x ＋4y 恒成立，则a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y min ，因为1x ＋4y ＝⎝⎛⎭⎪⎫1x ＋4y (x ＋y )＝5＋y x ＋4xy ≥5＋2y x ·4xy＝9当且仅当2x ＝y 时等号成立，所以1x ＋4y的最小值为9，即a ≤9，故实数a 的取值范围是(－∞，9]. 答案：(1)12(2)(－∞，9][学生用书P390(单独成册)][A 基础达标]1.若x <0，则x ＋4x的最大值为( )A.－8B.－6C.－4D.－2解析：选C.因为x <0，则－x >0，则x ＋4x ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－x ）＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ≤－2（－x ）·（－4x）＝－4，当且仅当－x ＝－4x，即x ＝－2时取等号，此时取得最大值－4.2.(2022·连云港市灌南高级中学月考)已知函数f (x )＝4x ＋ax(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝( )A.6B.8C.16D.36解析：选D.因为f (x )＝4x ＋a x (x >0，a >0)，故4x ＋a x≥24x ·a x＝4a ，当且仅当4x ＝a x ，即x ＝a 2时取等号，故a2＝3，a ＝36.故选D.3.已知x ＞0，y ＞0，且x ＋2y ＝2，则xy ( ) A.有最大值为1 B.有最小值为1 C.有最大值为12D.有最小值为12解析：选C.因为x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＝2，所以x ＋2y ≥2x ·2y ，即2≥22xy ，所以xy ≤12，当且仅当x ＝2y ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立.所以xy 有最大值，且最大值为12. 4.若函数f (x )＝x ＋1x －2(x ＞2)在x ＝a 处取得最小值，则a ＝( ) A.1＋ 2B.1＋ 3C.3D.4解析：选C.当x >2时，x －2>0，f (x )＝x ＋1x －2＝x －2＋1x －2＋2≥4，当且仅当x －2＝1，即x ＝3时等号成立，所以a ＝3，故选C.5.(多选)(2022·连云港海头高级中学质量检测)已知a ，b >0，a ＋b ＝2，则一切满足条件的a ，b 恒成立的是( )A.ab ≤1B.a ＋b ≤2C.2a ＋1b ≥32＋2 2 D.a 2＋b 2≥2解析：选ABD.因为a ，b >0，a ＋b ＝2，所以ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1，当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立，A 正确；因为0<ab ≤1，所以a ＋b ＝（a ＋b ）2＝a ＋b ＋2ab ≤2＋2＝2，当且仅当ab ＝1，即a ＝b ＝1时，等号成立，B 正确；2a ＋1b ＝12(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝12⎝⎛⎭⎪⎫3＋2b a ＋a b ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋22ba ·ab ＝32＋2，当且仅当2b a ＝a b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4－22b ＝22－2时等号成立，C 不正确；因为0<ab ≤1，所以a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝4－2ab ≥2，当且仅当ab ＝1，即a ＝b ＝1时等号成立，D 正确.故选ABD.6.(2022·青岛检测)若∀x ∈(0，＋∞)，4x ＋x －1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围为________.解析：记f (x )＝4x ＋x －1，因为x ∈(0，＋∞)，所以f (x )＝4x ＋x －1≥24x ·x －1＝4，当且仅当4x ＝x －1，即x ＝12时等号成立，所以当x ＝12时，f (x )＝4x ＋x －1取得最小值4，因此实数a 的取值范围为(－∞，4].答案：(－∞，4]7.函数y ＝x 2x ＋1(x >－1)的最小值为________.解析：因为y ＝x 2－1＋1x ＋1＝x －1＋1x ＋1＝x ＋1＋1x ＋1－2(x >－1)，所以y ≥21－2＝0，当且仅当x ＝0时，等号成立.所以y ＝x 2x ＋1(x >－1)的最小值为0.答案：08.(2022·江苏省南京市联考)已知x >0，y >0，且满足(x ＋3)(y ＋1)＝18，则x ＋2y 的最小值为________.解析：因为x >0，y >0，所以x ＋3>0，y ＋1>0，因为(x ＋3)(y ＋1)＝18，所以x ＋2y ＝(x ＋3)＋2(y ＋1)－5 ≥2（x ＋3）×2（y ＋1）－5＝7，当且仅当x ＋3＝2(y ＋1)，即x ＝3，y ＝2时等号成立，所以x ＋2y 的最小值为7. 答案：79.已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求： (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值. 解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，又x >0，y >0，则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y＝8xy.得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立. 所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，则x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x ≥10＋22x y ·8y x＝18.当且仅当x ＝12，y ＝6时等号成立，所以x ＋y 的最小值为18.10.某人准备在一块占地面积为1 800平方米的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路(如图所示)，大棚占地面积为S 平方米，其中a ∶b ＝1∶2.(1)试用x ，y 表示S ；(2)若要使S 的值最大，则x ，y 的值各为多少？解：(1)由题意可得xy ＝1 800，b ＝2a ，则y ＝a ＋b ＋3＝3a ＋3，所以S ＝(x －2)a ＋(x －3)b ＝(3x －8)a＝(3x －8)·y －33＝1 808－3x －83y (x ＞3，y ＞3). (2)S ＝1 808－3x －83×1 800x＝1 808－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋4 800x ≤1 808－23x ×4 800x＝1 808－240＝1 568，当且仅当3x ＝4 800x ，即x ＝40时等号成立，S 取得最大值，此时y ＝1 800x＝45，所以当x ＝40，y ＝45时，S 取得最大值.[B 综合应用]11.(2022·福建龙岩一模)已知x >0，y >0，且1x ＋1＋1y ＝12，则x ＋y 的最小值为( )A.3B.5C.7D.9解析：选C.因为x >0，y >0.且1x ＋1＋1y ＝12，所以x ＋1＋y ＝2⎝⎛⎭⎪⎫1x ＋1＋1y (x ＋1＋y )＝2(1＋1＋yx ＋1＋x ＋1y)≥2(2＋2yx ＋1·x ＋1y )＝8，当且仅当y x ＋1＝x ＋1y，即x ＝3，y ＝4时取等号，所以x ＋y ≥7，故x ＋y 的最小值为7.12.(多选)(2022·齐齐哈尔五校期中联考)已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝2，若m m －1≤x ＋2yxy 对任意的x >0，y >0恒成立，则实数m 的可能取值为( ) A.14B.98C.127D.2解析：选ACD.mm －1≤x ＋2y xy ＝1y ＋2x ，即m m －1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋2x min ，1y ＋2x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋2x ()2x ＋y ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2x y ＋2y x ≥12⎝⎛⎭⎪⎫5＋22xy ·2y x ＝92，当且仅当2x y ＝2y x ，即x ＝y ＝23时等号成立，即m m －1≤92，m m －1－92≤0，即2(9－7m )(m －1)≤0且分母不为0，解得m ≥97或m <1，选项中满足条件的有ACD.13.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2a －c b ＝cos Ccos B ，b ＝4，则△ABC面积的最大值为( )A.4 3B.2 3C.3 3D. 3 解析：选A.因为2a －cb＝cos Ccos B，所以(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ，所以2sin A cos B ＝sin C cos B ＋sin B cos C ＝sin(B ＋C )＝sin A . 又sin A ≠0，所以cos B ＝12.因为0＜B ＜π，所以B ＝π3. 由余弦定理得b 2＝16＝a 2＋c 2－2ac cos π3＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ＝ac ，所以ac ≤16，当且仅当a ＝c ＝4时等号成立. 所以S △ABC ＝12ac sin π3≤12×16×32＝4 3.14.(2022·天津高一期中)已知x >0，y >0且x ＋y ＝2.则1x ＋9y的最小值为________；若8x ＋2－mxy ≥0恒成立，则m 的最大值为________.解析：1x ＋9y ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y ·(x ＋y )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫10＋y x ＋9x y ≥12(10＋29)＝8，当且仅当y ＝3x＝32时取到等号，故1x ＋9y 的最小值为8，即1x ＋9y ≥8⇔9x ＋yxy≥8，而8x ＋2－mxy ≥0⇔8x ＋x ＋y －mxy ≥0，即9x ＋yxy ≥m ，由9x ＋yxy≥8可知，m ≤8，故m 的最大值为8.答案：8 8[C 素养提升]15.(2020·高考江苏卷)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是________. 解析：因为5x 2y 2＋y 4＝1，所以y ≠0且x 2＝1－y 45y 2，所以x 2＋y 2＝1－y 45y 2＋y 2＝15y 2＋4y 25≥215y 2·4y 25＝45，当且仅当15y 2＝4y 25，即x 2＝310，y 2＝12时取等号.所以x 2＋y 2的最小值为45.答案：4516.一批货物随17列火车从A 市均以v 千米/时的速度匀速直达B 市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，每两列火车的间距不得小于⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202千米(火车的长度忽略不计)，那么这批货物全部运到B 市，最快需要几小时？解：设这批货物从A 市全部运到B 市需要的时间为t 小时，则t ＝400＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202v＝400v ＋16v400≥2400v ·16v 400＝8(小时)，当且仅当400v ＝16v400，即v ＝100时，等号成立，所以这批货物从A 市全部运到B 市最快需要8小时.。

2013走向高考,贾凤山,高中总复习,数学3-1

第3章
第一节
高考数学总复习
误区警示 1．引入弧度制后，角的表示要么采用弧度制，要么采用角度制，两者不可混用． 2．(1)相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差 360° 的整数倍．解三角方程时，一定要注意终边相同的角．
人教
A
版
第3章
第一节
高考数学总复习
三角函数与三角形
高考数学总复习
●备考指南 1．任意角的三角函数和三角恒等变换的复习，要立足于教材，弄清公式的来龙去脉及适用条件，掌握基本的三角变换，要注意对公式的正用、逆用、变形应用的训练，以增强变换的意识；同时，要归纳解题思路及解题规律，如在三角函数求值问题中，一般是用基本公式，把未知角变换为已知角来解；
(2)角的集合的表示形式不是惟一的，如：终边在y π 轴的负半轴上的角的集合可以表示为{x|x＝2kπ－，k∈ 2 3π Z}，也可以表示为{x|x＝2kπ＋，k∈Z}等． 2 3．在三角函数中，角和三角函数值的对应关系是多对一，即给定一个角，它的各个三角函数值是惟一确定的(不存在的情况除外)；反过来，给定一个三角函数值，有无穷多个角和它对应．
第3章第一节
人教
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高考数学总复习
人教
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α α 上图左是求的方法，上图右是求的方法． 3 4
第3章
第一节
高考数学总复习
θ 一般地，要确定n所在的象限，可以把各个象限都 n 等分，从 x 轴的非负半轴起，按逆时针方向把这 4n 个区域依次循环标上号码 1、2、3、4，则标号是几的区域， θ θ 就是 θ 为第几象限的角时，n终边落在的区域，n所在的象限就可直观地看出．

高考调研北师大版数学选修2-3-1-5-2高考调研精讲精练

二项式系数的性质
1．Cn＋1r＝Cnr＋Cnr－1. 2．对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等．
3．增减性：当k<
n＋2 1时，二项式系数逐渐增大，当k>
n＋1 2
时，二项式系数逐渐减小．
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高考调研 ·北师大版 ·数学（选修2-3）
4．最大值：在中间时取最大值． n为奇数，Cn＋2 1n，Cn－2 1n为最大值， n为偶数，Cn2n为最大值. 5．各个二项式系数的和等于2n.
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高考调研 ·北师大版 ·数学（选修2-3）
◎思考题3 写出(x－y)11的展开式中， (1)通项Tr＋1； (2)二项式系数最大的项； (3)项的系数绝对值最大的项； (4)项的系数最大的项； (5)项的系数最小的项； (6)二项式系数的和； (7)各项的系数的和．
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高考调研 ·北师大版 ·数学（选修2-3）
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高考调研 ·北师大版 ·数学（选修2-3）
(1)因为 n＝5，所以展开式共 6 项，其中二项式系数最大项为第三、四两项．
它们是 T3＝C52(3 x2)3·(3x2)2＝90x6.
T4＝C53(3
22 x2)2(3x2)3＝270x 3 .
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高考调研 ·北师大版 ·数学（选修2-3）
由①－2 ②，得 a1＋a3＋a5＋a7＝12[128－(－4)7]＝8 256.
①＋② (3)由 2 ，得
a0＋a2＋a4＋a6＝12[128＋(－4)7]＝－8
128.
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高考调研 ·北师大版 ·数学（选修2-3）
【点评】根据问题特点，分别对 x 赋值 0，1，－1，其中 0，1，－1 是我们解决该类题常赋的三个值，这种方法叫做赋值法．

【走向高考】(2013春季发行)高三数学第一轮总复习 2-1函数及其表示新人教A版

2-1函数及其表示基础巩固强化1.(2011·浙江嘉兴一中模拟)设集合M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，给出下列四个图形，其中能表示以集合M 为定义域，N 为值域的函数关系的是( )[答案] B[解析] 函数的定义要求定义域内的任一变量都有唯一的函数值与之对应，A 中x ∈(0,2]时没有函数值，C 中函数值不唯一，D 中的值域不是N ，所以选B.2．(文)(2011·广州市综合测试)函数y ＝1－2x 的定义域为集合A ，函数y ＝ln(2x ＋1)的定义域为集合B ，则A ∩B 等于( )A ．(－12，12B ．(－12，12)C ．(－∞，－12)D ．[12[答案] A[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ≥0，2x ＋1>0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤12x >－12.∴－12<x ≤12，故A ∩B ＝(－12，12．(理)(2010·湖北文，5)函数y ＝1log 0.54x －3的定义域为( )A.⎝⎛⎭⎫34，1 B.⎝⎛⎭⎫34 C ．(1，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫341∪(1，＋∞) [答案] A[解析] log 0.5(4x －3)>0＝log 0.51，∴0<4x －3<1， ∴34<x <1. 3．(2011·山东潍坊模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x，x ≥3，f x ＋1，x <3.则f (log 23)的值是( )A.112B.124C ．24D ．12[答案] A[解析] ∵1<log 23<2，∴3<log 23＋2<4， ∴f (log 23)＝f (log 23＋1) ＝f (log 23＋2)＝f (log 212) ＝(12)log 212＝112.4．(2011·福建文，8)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a的值等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3[答案] A[解析] ∵f (1)＝21＝2，∴由f (a )＋f (1)＝0知 f (a )＝－2. 当a >0时 2a＝－2不成立．当a <0时a ＋1＝－2，a ＝－3.5．(文)(2010·广东六校)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x x ∈－∞，2]，log 2x x ∈2，＋∞.则满足f (x )＝4的x 的值是( )A ．2B ．16C ．2或16D ．－2或16[答案] C[解析] 当f (x )＝2x 时.2x ＝4，解得x ＝2.当f (x )＝log 2x 时，log 2x ＝4，解得x ＝16. ∴x ＝2或16.故选C.(理)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x －1 x <1，lg x x ≥1.若f (x 0)>1，则x 0的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(10，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(－1,10)D ．(0,10) [答案] A[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x 0<1，21－x 0－1>1，或⎩⎪⎨⎪⎧x 0≥1，lg x 0>1.⇒x 0<0或x 0>10.6．(2012·山东聊城市质检)具有性质f (1x)＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”交换的函数，下列函数：①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x，x >1.中满足“倒负”变换的函数是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．只有①[答案] B[解析] ①f (1x )＝1x－x ＝－f (x )满足．②f (1x )＝1x＋x ＝f (x )不满足．③0<x <1时，f (1x)＝－x ＝－f (x )，x ＝1时，f (1x)＝0＝－f (x )，x >1时，f (1x )＝1x＝－f (x )满足．故选B.7．(文)(2011·济南模拟)已知函数f (x )＝x －1x ＋1f (x )＋f (1x)＝________. [答案] 0[解析] ∵f (1x )＝1x－11x＋1＝1－x 1＋x ， ∴f (x )＋f (1x )＝x －1x ＋1＋1－x1＋x＝0.(理)若f (a ＋b )＝f (a )·f (b )且f (1)＝1，则f 2f 1＋f 3f 2＋f 4f 3＋…＋f 2012f 2011＝________.[答案] 2011 [解析] 令b ＝1，则f a ＋1f a ＝f (1)＝1，∴f 2f 1＋f 3f 2＋f 4f 3＋…＋f 2012f 2011＝2011.8．(文)(2011·武汉模拟)已知f (2x＋1)＝lg x ，则f (x )＝________. [答案] lg2x －1(x >1) [解析] 令2x ＋1＝t ，∵x >0，∴t >1，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，f (x )＝lg 2x －1(x >1)． (理)对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是__________．[答案] 1[解析] 结合f (x )与g (x )的图象，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x 0<x ≤2－x ＋3 x >2，易知h (x )的最大值为h (2)＝1.9．(文)(2011·广东文，12)设函数f (x )＝x 3cos x ＋1.若f (a )＝11，则f (－a )＝________.[答案] －9[解析] 令g (x )＝x 3cos x ，则f (x )＝g (x )＋1，g (x )为奇函数．f (a )＝g (a )＋1＝11，所以g (a )＝10，f (－a )＝g (－a )＋1＝－g (a )＋1＝－9.(理)(2011·安徽省淮南市高三第一次模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足：f (x )·f (x ＋2)＝13，若f (1)＝2，则f (2011)＝________.[答案]132[解析] ∵f (x ＋4)＝13f x ＋2＝1313f x f (x )，∴函数f (x )的周期为4，所以f (2011)＝f (4×502＋3)＝f (3)＝13f 1＝132. 10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋12，－1<x <0，e x －1 x ≥0.若f (1)＋f (a )＝2，求a 的值．[解析] ∵f (1)＝e 1－1＝1，又f (1)＋f (a )＝2， ∴f (a )＝1.若－1<a <0，则f (a )＝a 2＋12＝1，此时a 2＝12，又－1<a <0，∴a ＝－22. 若a ≥0，则f (a )＝e a －1＝1，∴a ＝1. 综上所述，a 的值是1或－22. 能力拓展提升11.(文)(2011·天津一中)若函数f (x )＝x －4mx 2＋4mx ＋3R ，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，＋∞)B ．(0，34)C ．(34，＋∞)D ．[0，34)[答案] D[解析] ①m ＝0时，分母为3，定义域为R . ②由⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0，Δ<0得0<m <34.综上得0≤m <34.(理)(2011·黑龙江哈尔滨模拟)如果函数f (x )对于任意实数x ，存在常数M ，使得不等式|f (x )|≤M |x |恒成立，那么就称函数f (x )为有界泛函．下面有4个函数：①f (x )＝1; ②f (x )＝x 2； ③f (x )＝(sin x ＋cos x )x; ④f (x )＝xx 2＋x ＋1.其中有两个属于有界泛函，它们是( ) A ．①② B ．②④ C ．①③ D ．③④[答案] D[解析] 由|f (x )|≤M |x |对x ∈R 恒成立，知|f x x|max ≤M . ①中⎪⎪⎪⎪f x x ＝|1x|∈(0，＋∞)，故不存在常数M 使不等式恒成立； ②中⎪⎪⎪f x x ＝|x |∈[0，＋∞)，故不存在常数M 使不等式恒成立； ③中⎪⎪⎪⎪f x x ＝|sin x ＋cos x |＝2|sin(x ＋π4)|≤2，故存在M 使不等式恒成立；④中⎪⎪⎪⎪f x x ＝⎪⎪⎪⎪1x 2＋x ＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x ＋122＋34≤43 故存在M 使不等式恒成立．[点评] 作为选择题判断①后即排除A 、C ，判断②后排除B ，即可选出D.12．(文)(2011·海南海口模拟)对a ，b ∈R ，记min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a a <b ，b a ≥b ，函数f (x )＝min{12x ，－|x －1|＋2}(x ∈R )的最大值为________．[答案] 1[解析] y ＝f (x )是y ＝12x 与y ＝－|x －1|＋2两者中的较小者，数形结合可知，函数的最大值为1.(理)(2011·山东烟台模拟)设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，f x ≤K ，K ， f x >K .取函数f (x )＝a －|x |(a >1)．当K ＝1a时，函数f K (x )在下列区间上单调递减的是( )A ．(－∞，0)B ．(－a ，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)[答案] D[解析] 当K ＝1a 时，f K(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －|x |，a －|x |≤1a ，1a ，a －|x |>1a.＝⎩⎪⎨⎪⎧1a |x |，x ≤－1或x ≥1，1a ，－1<x <1.∵a >1，∴0<1a<1，如图，作出函数f K (x )的图象可得其单调减区间为(1，＋∞)．13．(文)(2011·上海交大附中月考)函数f (x )＝x 2x 2＋1，则f (14)＋f (13)＋f (12)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝________.[答案]72[解析] f (1)＝12，f (x )＋f (1x )＝x 2x 2＋1＋1x 21x2＋1＝x 2x 2＋1＋11＋x 2＝1，则f (14)＋f (13)＋f (12)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝3＋12＝72.(理)(2011·襄樊检测)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2， x >0.若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] C[解析] 法一：若x ≤0，则f (x )＝x 2＋bx ＋c . ∵f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－42＋b ·－4＋c ＝c ，－22＋b ·－2＋c ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝2.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2，x ≤0，2， x >0.当x ≤0时，由f (x )＝x ，得x 2＋4x ＋2＝x ，解得x ＝－2，或x ＝－1；当x >0时，由f (x )＝x ，得x ＝2. ∴方程f (x )＝x 有3个解．法二：由f (－4)＝f (0)且f (－2)＝－2，可得f (x )＝x 2＋bx ＋c 的对称轴是x ＝－2，且顶点为(－2，－2)，于是可得到f (x )的简图(如图所示)．方程f (x )＝x 的解的个数就是函数y ＝f (x )的图象与y ＝x 的图象的交点的个数，所以有3个解．14．(2011·洛阳模拟)已知函数f (x )＝4|x |＋2－1的定义域是[a ，b ](a ，b ∈Z )，值域是[0,1]，则满足条件的整数数对(a ，b )共有________个．[答案] 5 [解析] 由0≤4|x |＋2－1≤1，即1≤4|x |＋2≤2得0≤|x |≤2，满足条件的整数数对有(－2,0)，(－2,1)，(－2,2)，(0,2)，(－1,2)共5个．[点评] 数对(a ，b )的取值必须能够使得|x |的取值最小值为0，最大值为2，才能满足f (x )的值域为[0,1]的要求．15．(文)已知函数f (x )＝x ax ＋b(ab ≠0)，f (2)＝1，又方程f (x )＝x 有唯一解，求f (x )的解析式．[解析] 由f (2)＝1得22a ＋b ＝1，即2a ＋b ＝2；由f (x )＝x 得xax ＋b＝x ，变形得x (1ax ＋b－1)＝0，解此方程得x ＝0或x ＝1－ba，又因方程有唯一解，∴1－ba＝0，解得b ＝1，代入2a ＋b ＝2得a ＝12，∴f (x )＝2x x ＋2. (理)(2011·广东普宁模拟)已知函数f (x )＝lg(x ＋a x－2)，其中a 是大于0的常数． (1)求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈(1,4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值； (3)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a 的取值范围．[解析] (1)由x ＋a x －2>0，得x 2－2x ＋ax >0，a >1时，x 2－2x ＋a >0恒成立，定义域为(0，＋∞)． a ＝1时，定义域为{x |x >0且x ≠1}，0<a <1时，定义域为{x |0<x <1－1－a 或x >1＋1－a }．(2)设g (x )＝x ＋a x －2，当a ∈(1,4)，x ∈[2，＋∞)时，g ′(x )＝1－a x 2＝x 2－ax2>0恒成立，∴g (x )＝x ＋ax－2在[2，＋∞)上是增函数． ∴f (x )＝lg(x ＋a x －2)在[2，＋∞)上是增函数．∴f (x )＝lg(x ＋ax －2)在[2，＋∞)上的最小值为f (2)＝lg a2. (3)对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，即x ＋a x－2>1对x ∈[2，＋∞)恒成立． ∴a >3x －x 2，而h (x )＝3x －x 2＝－(x －32)2＋94在x ∈[2，＋∞)上是减函数，∴h (x )max ＝h (2)＝2，∴a >2.16．某自来水厂的蓄水池存有400t 水，水厂每小时可向蓄水池中注水60t ，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t h 内供水总量为1206t t ，(0≤t ≤24)．(1)从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？ (2)若蓄水池中水量少于80t 时，就会出现供水紧张现象，请问在一天的24h 内，有几小时出现供水紧张现象．[解析] (1)设t h 后蓄水池中的水量为y t ，则y ＝400＋60t －1206t (0≤t ≤24)令6t ＝x ，则x 2＝6t 且0≤x ≤12，∴y ＝400＋10x 2－120x ＝10(x －6)2＋40(0≤x ≤12)； ∴当x ＝6，即t ＝6时，y min ＝40，即从供水开始到第6h 时，蓄水池水量最少，只有40t. (2)依题意400＋10x 2－120x <80，得x 2－12x ＋32<0，解得4<x <8，即4<6t <8，∴83<t <323；∵323－83＝8，∴每天约有8h 供水紧张．1．(2011·江西文，3)若f (x )＝1log 122x ＋1f (x )的定义域为( )A ．(－12，0)B ．(－12，＋∞)C ．(－12，0)∪(0，＋∞)D ．(－12，2)[答案] C[解析] 要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1>02x ＋1≠1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x >－12x ≠0.故选C.2．值域为{2,5,10}，对应关系为y ＝x 2＋1的函数个数为( ) A ．1 B ．8 C ．27 D ．39[答案] C[解析] 本题的关键是寻找满足条件的定义域有多少种情况．当y ＝2，即x 2＝1时，x ＝1，－1或±1有三种情况，同理当y ＝5,10时，x 的值各有三种情况，由分步乘法计数原理知，共有3×3×3＝27种可能．故选C.3．水池有2个进水口，1个出水口，每个水口的进出水速度如下图(1)(2)所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如下图(3)所示(至少打开一个水口)．给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则一定正确的论断是( )A ．①B ．①②C ．①③D ．①②③[答案] A[解析] 由(1)、(2)两图得到每一个进水口的速度是出水口的速度的一半，在(3)图中从0点到3点进了6个单位水量，因此这段时间是只进水不出水，故①对；从3点到4点水量下降了1个单位，故应该是一个进水口开着，一个出水口开着，故②不正确；从4点到6点蓄水量保持不变，一种情况是不进水不出水，另一种情况是2个进水口与1个出水口同时开着，进水量和出水量相同，故③不一定正确．4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ， x >0，log 12－x ， x <0.若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1) [答案] C[解析] 解法1：由图象变换知函数f (x )图象如图，且f (－x )＝－f (x )，即f (x )为奇函数，∴f (a )>f (－a )化为f (a )>0，∴当x ∈(－1,0)∪(1，＋∞)，f (a )>f (－a )，故选C.解法2：当a >0时，由f (a )>f (－a )得，log 2a >log 12a ，∴a >1；当a <0时，由f (a )>f (－a )得，log 12(－a )>log 2(－a )，∴－1<a <0，故选C.5．a 、b 为实数，集合M ＝{ba，1}，N ＝{a,0}，f 是M 到N 的映射，f (x )＝x ，则a ＋b 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1 [答案] C[解析] ∵f (x )＝x ，∴f (1)＝1＝a ，若f (b a )＝1，则有b a＝1，与集合元素的互异性矛盾，∴f (b a)＝0，∴b ＝0，∴a ＋b ＝1.6．(2011·温州十校二模)某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )A ．y ＝[x10] B ．y ＝[x ＋310] C ．y ＝[x ＋410]D ．y ＝[x ＋510][答案] B[解析] 当x 除以10的余数为0,1,2,3,4,5,6时，由题设知y ＝[x10]，且易验证此时[x 10]＝[x ＋310]．当x 除以10的余数为7,8,9时，由题设知y ＝[x10＋1，且易验证知此时[x10]＋1＝[x ＋310]．综上知，必有y ＝[x ＋310]．故选B.7．设函数f (x )、g (x )的定义域分别为F 、G ，且F G .若对任意的x ∈F ，都有g (x )＝f (x )，且g (x )为偶函数，则称g (x )为f (x )在G 上的一个“延拓函数”．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x(x ≤0)，若g (x )为f (x )在R 上的一个延拓函数，则函数g (x )的解析式为( )A ．g (x )＝2|x |B ．g (x )＝log 2|x |C ．g (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x |D ．g (x )＝log 12|x |[答案] A[解析] 由延拓函数的定义知，当x ≤0时，g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，当x >0时，－x <0，∴g (－x )＝⎝⎛⎭⎫12－x ＝2x ， ∵g (x )为偶函数，∴g (x )＝2x，故g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x x ≤02x x >0，即g (x )＝2|x |.8．(2011·合肥模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 21－x ，x ≤0，f x －1＋1，x >0.则f (2011)等于( )A ．2008B ．2009C ．2010D ．2011[答案] D[解析] 当x >0时，f (x )－f (x －1)＝1，∴f (2011)＝[f (2011)－f (2010)]＋[f (2010)－f (2009)]＋…＋[f (1)－f (0)]＋f (0) ＝1＋1＋…＋12011个＋f (0)＝2011＋log 21＝2011. 9.如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f(l)的图象大致是( )[答案] C[解析] 函数在[0，π]上的解析式为 d ＝12＋12－2×1×1×cos l ＝2－2cos l ＝4sin 2l 2＝2sin l 2.在[π，2π]上的解析式为d ＝2－2cos 2π－l ＝2sin l2d ＝2sin l2，l∈[0,2π]．[点评] 这类题目解决的基本方法通过分析变化趋势或者一些特殊的点，采用排除法；或求函数解析式．10．某西部山区的某种特产由于运输的原因，长期只能在当地销售，当地政府通过投资对该项特产的销售进行扶持，已知每投入x 万元，可获得纯利润P ＝－1160(x －40)2＋100万元(已扣除投资，下同)，当地政府拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的销售，其规划方案为：在未来10年内对该项目每年都投入60万元的销售投资，其中在前5年中，每年都从60万元中拨出30万元用于修建一条公路，公路5年建成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的5年中，该特产既在本地销售，也在外地销售，在外地销售的投资收益为：每投入x 万元，可获纯利润Q ＝－159160(60－x)2＋1192·(60－x)万元，问仅从这10年的累积利润看，该规划方案是否可行？[解析] 在实施规划前，由题设P ＝－1160(x －40)2＋100(万元)，知每年只需投入40万，即可获得最大利润100万元，则10年的总利润为W 1＝100×10＝1000(万元)．实施规划后的前5年中，由题设P ＝－1160(x －40)2＋100知，每年投入30万元时，有最大利润P max ＝7958(万元)，前5年的利润和为7958×5＝39758(万元)．设在公路通车的后5年中，每年用x 万元投资于本地的销售，而剩下的(60－x)万元用于外地区的销售投资，则其总利润为 W 2＝[－1160(x －40)2＋100]×5＋(－159160x 2＋1192x)×5＝－5(x －30)2＋4950. 当x ＝30时，W 2＝4950(万元)为最大值，从而10年的总利润为39758＋4950(万元)．∵39758＋4950>1000， ∴该规划方案有极大实施价值．。

新教材2023年高考数学总复习考案3阶段测试一集合常用逻辑不等式及函数的概念与性质课件

11．给出下列结论，其中正确的结论是( BC )
A．函数 y＝12－x2+1的最大值为12 B．若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)内有100个零点，则函数 f(x)有201个零点 C．在同一平面直角坐标系中，函数y＝2x与y＝log2x的图象关于直线 y＝x对称 D．已知函数y＝loga(2－ax)(a>0且a≠1)在(0，1)上是减函数，则实数a的取值范围是(1，2)
二、多选题(本题共4个小题，每个小题5分，共20分．在每个小题给出的四个选项中有多项是正确的，全部选对得5分，部分选对得2分，错选得0分)
9．(2022·湖北华中师大一附中检测)给出以下说法，其中正确的是
( ACD ) A．“x>1”是“x>2”的必要不充分条件 B．“a>b”是“a2>b2”的充分不必要条件 C．命题“存在n∈N*，n2<2n”的否定为假命题 D．满足命题“∃x∈[0，1]，x＋a≤0”是假命题的a的取值范围为
[解析] 对 A，y＝12－x2+1＝2x2－1，故当 x＝0 时，x2－1 取得最小值－1，y＝12－x2+1＝2x2－1 取得最小值12，故 A 错误；对 B，若定义在 R 上的奇函数 f(x)在(－∞，0)内有 100 个零点，则函数 f(x)在(0，＋∞)内有 100 个零点，又 f(0)＝0，故 f(x)有 201 个零点，故 B 正确；对 C，因为函数 y ＝2x 与 y＝log2x 互为反函数，故图象关于直线 y＝x 对称，故 C 正确；对 D，函数 y＝loga(2－ax)(a>0 且 a≠1)在(0，1)上是减函数，则因为 y＝2 －ax 为减函数，故 a>1.又由定义域，y＝2－ax 在(0，1)上恒为正，故 2 －a≥0，解得 a≤2，故数 a 的取值范围是(1，2]，故 D 错误．故选 BC.

《创新设计》2022高考数学(浙江专用理科)二轮专题精练：专题三数列3-1 Word版含解析

专题三数列第1讲等差、等比数列的基本问题(建议用时：60分钟) 一、选择题1．在等差数列{a n }中，若a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＝6，则a 9＋a 10等于 ( )．A ．9B ．10C ．11D ．12解析设等差数列{a n }的公差为d ，则有(a 4＋a 5)－(a 2＋a 3)＝4d ＝2，所以d ＝12.又(a 9＋a 10)－(a 4＋a 5)＝10d ＝5，所以a 9＋a 10＝(a 4＋a 5)＋5＝11. 答案 C2．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1等于 ( )．A.13 B ．－13 C.19 D ．－19解析设等比数列{a n }的公比为q ，由S 3＝a 2＋10a 1得a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1，即a 3＝9a 1，∴q 2＝9，又a 5＝a 1q 4＝9，所以a 1＝19. 答案 C3．(2021·杭州模拟)在等比数列{a n }中，若a 4，a 8是方程x 2－4x ＋3＝0的两根，则a 6的值是 ( )．A. 3 B ．－ 3 C ．±3 D ．±3解析依题意得，a 4＋a 8＝4，a 4a 8＝3，故a 4>0，a 8>0，因此a 6>0(注：在一个实数等比数列中，奇数项的符号相同，偶数项的符号相同)，a 6＝a 4a 8＝ 3. 答案 A4．在正项等比数列{a n }中，3a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 2021＋a 2022a 2011＋a 2022等于( )． A ．3或－1 B ．9或1 C ．1D ．9解析依题意，有3a 1＋2a 2＝a 3，即3a 1＋2a 1q ＝a 1q 2，解得q ＝3，q ＝－1(舍去)，a 2021＋a 2022a 2011＋a 2022＝a 1q 2022＋a 1q 2021a 1q 2010＋a 1q 2011＝q 2＋q 31＋q ＝9. 答案 D5．在等差数列{a n }中，a 1＝－2 014，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2 014的值等于( )． A ．－2 011 B ．－2 012 C ．－2 014 D ．－2 013解析依据等差数列的性质，得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，依据已知可得这个数列的首项S 11＝a 1＝－2 014，公差d ＝1，故S 2 0142 014＝－2 014＋(2 014－1)×1＝－1，所以S 2 014＝－2 014. 答案 C6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m 等于 ( )．A ．3B ．4C ．5D ．6解析由S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，得a m ＝2，a m ＋1＝3，所以d ＝1，由于S m ＝0，故ma 1＋m (m －1)2d ＝0，故a 1＝－m －12，由于a m ＋a m ＋1＝5，故a m ＋a m ＋1＝2a 1＋(2m －1)d ＝－(m －1)＋2m －1＝5，即m ＝5.。

【走向高考】(2013春季发行)高三数学第一轮总复习 6-3等比数列新人教A版

6-3等比数列基础巩固强化1.(2012·哈尔滨质检)已知等比数列{a n }中，a 5，a 95为方程x 2＋10x ＋16＝0的两根，则a 20·a 50·a 80的值为( )A ．256B ．±256C ．64D ．±64 [答案] D[解析] 由韦达定理可得a 5a 95＝16，由等比中项可得a 5a 95＝(a 50)2＝16，故a 50＝±4，则a 20a 50a 80＝(a 50)3＝(±4)3＝±64.2．(2012·沈阳质检)已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则该数列的通项a n ＝( )A ．4×(23)n －1B ．4×(23)nC ．4×(32)nD ．4×(32)n －1[答案] D[解析] 据前三项可得(a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)，解得a ＝5，故等比数列的首项为4，q＝a 2a 1＝32，故a n ＝4×(32)n －1.3．(文)(2011·青岛一模)在等比数列{a n }中，若a 2＝9，a 5＝243，则数列{a n }的前4项和为( )A ．81B ．120C ．168D ．192[答案] B[解析] 设等比数列{a n }的公比为q ，根据题意及等比数列的性质可知：a 5a 2＝27＝q 3，所以q ＝3，所以a 1＝a 2q ＝3，所以S 4＝31－341－3＝120.(理)(2011·吉林长春模拟)已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列{1a n}的前5项和为( )A.8532B.3116C.158D.852[答案] B[解析] ∵9S 3＝S 6，∴8(a 1＋a 2＋a 3)＝a 4＋a 5＋a 6， ∴8＝q 3，∴q ＝2， ∴a n ＝2n －1，∴1a n ＝(12)n －1，∴{1a n }的前5项和为1－1251－12＝3116，故选B. 4．(2011·江西抚州市高三模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 1、S 3、S 2成等差数列，则{a n }的公比等于( )A ．1 B.12 C ．－12D.1＋52[答案] C[解析] 2S 3＝S 1＋S 2，即2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)＝a 1＋a 1＋a 1q ，得q ＝－12，故选C.5．(文)(2011·哈尔滨九中模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n－1，则数列{a n }的奇数项的前n 项和为( )A.2n ＋1－13B.2n ＋1－23C.22n－13D.22n－23[答案] C[解析] 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n－2n －1＝2n －1.∴a n ＝2n －1(n ∈N *)，则数列{a n }的奇数项的前n 项和为1－22n1－22＝22n－13，故选C. (理)(2011·泉州市质检)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1，a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝2，S n ＝15，则项数n 为( )A ．12B ．14C ．15D ．16[答案] D[解析]a 5＋a 6＋a 7＋a 8a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝q 4＝2，由a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1.得a 1(1＋q ＋q 2＋q 3)＝1，即a 1·1－q 41－q＝1，∴a 1＝q －1，又S n ＝15，即a 11－q n 1－q＝15，∴q n＝16，又∵q 4＝2，∴n ＝16.故选D.6．(2011·安徽皖南八校联考)设{a n }是公比为q 的等比数列，令b n ＝a n ＋1(n ＝1,2，…)，若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则q 等于( )A ．－43B ．－32C ．－23或－32D ．－34或－43[答案] C[解析] 集合{－53，－23,19,37,82}中的各元素减去1得到集合{－54，－24,18,36,81}，其中－24，36，－54,81或81，－54,36，－24成等比数列，∴q ＝－32或－23.7．已知f (x )是一次函数，若f (3)＝5，且f (1)、f (2)、f (5)成等比数列，则f (1)＋f (2)＋…＋f (100)的值是________．[答案] 10000[解析] 设f (x )＝kx ＋b ，f (3)＝3k ＋b ＝5，由f (1)、f (2)、f (5)成等比数列得(2k ＋b )2＝(k ＋b )·(5k ＋b )，可得k ＝2，b ＝－1.∴f (n )＝2n －1，则f (1)＋f (2)＋…＋f (100)＝100×1＋100×992×2＝10000.8．(文)(2010·浙江金华)如果一个n 位的非零整数a 1a 2…a n 的各个数位上的数字a 1，a 2，…，a n 或适当调整次序后能组成一个等比数列，则称这个非零整数a 1a 2…a n 为n 位“等比数”．如124,913,333等都是三位“等比数”．那么三位“等比数”共有________个．(用数字作答)[答案] 27[解析] 适当调整次序后能组成一个三位“等比数”的非零整数可分为以下几类：(1)111,222，…，999；(2)124,248,139.其中第(1)类“等比数”有9个；第(2)类“等比数”有3×6＝18个；因此，满足条件的三位“等比数”共有27个．(理)(2012·北京东城练习)已知等差数列{a n }首项为a ，公差为b ，等比数列{b n }首项为b ，公比为a ，其中a 、b 都是大于1的正整数，且a 1<b 1，b 2<a 3，那么a ＝________；若对于任意的n ∈N *，总存在m ∈N *，使得b n ＝a m ＋3成立，则a n ＝________.[答案] 2 5n －3[解析] 由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧a <b ，ab <a ＋2b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a <b ，a －2b <a ，若a ＝2，显然符合条件；若a >2，则a <b <aa －2，解得a <3，即2<a <3，即不存在a 满足条件，由此可得a ＝2.当a ＝2时，a n ＝2＋(n －1)b ，b n ＝b ×2n －1，若存在m ∈N *，使得b n ＝a m ＋3成立，则b ×2n－1＝2＋(m －1)b ＋3，即得b ×2n －1＝bm ＋5－b ，当b ＝5时，方程2n －1＝m 总有解，此时a n ＝5n －3.9．(2011·锦州模拟)在等比数列{a n }中，若公比q >1，且a 2a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7＝________.[答案] 23[解析] ∵a 2a 8＝6，∴a 4a 6＝6，又∵a 4＋a 6＝5，且q >1，∴a 4＝2，a 6＝3，∴a 5a 7＝a 4a 6＝23. 10．(文)(2012·北京东城练习)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝4a n －3(n ∈N *)． (1)证明：数列{a n }是等比数列；(2)若数列{b n }满足b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，且b 1＝2，求数列{b n }的通项公式． [解析] (1)证明：因为S n ＝4a n －3，所以n ＝1时，a 1＝4a 1－3，解得a 1＝1. 因为S n ＝4a n －3，则S n －1＝4a n －1－3(n ≥2)，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4a n －4a n －1，整理得a n ＝43a n －1.又a 1＝1≠0，所以{a n }是首项为1，公比为43的等比数列．(2)因为a n ＝(43)n －1，b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，所以b n ＋1－b n ＝(43)n －1.可得b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝2＋1－43n －11－43＝3·(43)n －1－1(n ≥2)，当n ＝1时符合上式，∴b n ＝3·(43)n －1－1.(理)(2012·浙江绍兴质量调测)已知数列{a n }中，a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，且对任意n ∈N *，有a n ＋1＝kS n ＋1(k 为常数)．(1)当k ＝2时，求a 2、a 3的值；(2)试判断数列{a n }是否为等比数列？请说明理由． [解析] (1)当k ＝2时，a n ＋1＝2S n ＋1，令n ＝1得a 2＝2S 1＋1，又a 1＝S 1＝1，得a 2＝3；令n ＝2得a 3＝2S 2＋1＝2(a 1＋a 2)＋1＝9，∴a 3＝9. ∴a 2＝3，a 3＝9.(2)由a n ＋1＝kS n ＋1，得a n ＝kS n －1＋1，两式相减，得a n ＋1－a n ＝ka n (n ≥2)，即a n ＋1＝(k ＋1)a n (n ≥2)，且a 2a 1＝k ＋11＝k ＋1，故a n ＋1＝(k ＋1)a n .故当k ＝－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝10.n ≥2此时，{a n }不是等比数列；当k ≠－1时，a n ＋1a n＝k ＋1≠0，此时，{a n }是首项为1，公比为k ＋1的等比数列．综上，当k ＝－1时，{a n }不是等比数列；当k ≠－1时，{a n }是等比数列.能力拓展提升11.(2011·浙江温州质检)一个直角三角形的三内角的正弦成等比数列，其最小角的正弦值为( )A.5－12 B.12 C.5－14D.5＋14[答案] A[解析] 设三内角A <B <C ， ∵sin A 、sin B 、sin C 成等比数列， ∴a 、b 、c 成等比数列，∴b 2＝ac ， ∴c 2－a 2＝ac ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋a c－1＝0. ∵a c >0，∴a c ＝5－12＝sin A ，故选A. [点评] 在△ABC 中，由正弦定理a ＝2R sin A 、b ＝2R sin B 可知，a <b ⇔A <B ⇔sin A <sin B . 12．(文)(2012·深圳二调)已知等比数列{a n }满足a n >0，n ＝1,2，…，且a 5·a 2n －5＝22n(n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝( )A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2[答案] C[解析] 设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，∵a 5·a 2n －5＝a 1q 4·a 1q2n －6＝22n ，即a 21·q2n－2＝22n⇒(a 1·qn －1)2＝22n⇒a 2n ＝(2n )2，∵a n >0，∴a n ＝2n ，∴a 2n －1＝22n －1，∴log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝log 22＋log 223＋…＋log 222n －1＝1＋3＋…＋(2n －1)＝1＋2n －12·n ＝n 2，故选C.(理)(2011·辽宁沈阳二中检测，辽宁丹东四校联考)已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－5B ．－15C ．5 D.15[答案] A[分析] 根据数列满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)．由对数的运算法则，得出a n ＋1与a n的关系，判断数列的类型，再结合a 2＋a 4＋a 6＝9得出a 5＋a 7＋a 9的值．[解析] 由log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)得，a n ＋1＝3a n ，∵a n >0，∴数列{a n }是公比等于3的等比数列，∴a 5＋a 7＋a 9＝(a 2＋a 4＋a 6)×33＝35， ∴log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝－log 335＝－5.13．(文)(2011·长春模拟)已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，b n ＝a 3na 2n ＋1，且{b n }的前n 项和为T n ，若对一切正整数n 都有S n >T n ，则数列{a n }的公比q 的取值范围是( )A ．0<q <1B ．q >1C ．q > 2D ．1<q < 2[答案] B[解析] 由于{a n }是等比数列，公比为q ，所以b n ＝a 3na 2n ＋1＝1q 2a n ，于是b 1＋b 2＋…＋b n ＝1q2(a 1＋a 2＋…＋a n )，即T n ＝1q 2·S n .又S n >T n ，且T n >0，所以q 2＝S n T n>1.因为a n >0对任意n ∈N *都成立，所以q >0，因此公比q 的取值范围是q >1.(理)(2011·榆林模拟)在等比数列{a n }中，a n >0(n ∈N ＋)，公比q ∈(0,1)，且a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，又a 3与a 5的等比中项为2，b n ＝log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，则当S 11＋S 22＋…＋S nn最大时，n 的值等于( )A ．8B ．9C ．8或9D ．17[答案] C[解析] ∵a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25， ∴a 23＋2a 3a 5＋a 25＝25，又a n >0，∴a 3＋a 5＝5，又q ∈(0,1)，∴a 3>a 5， ∵a 3a 5＝4，∴a 3＝4，a 5＝1，∴q ＝12，a 1＝16，a n ＝16×(12)n －1＝25－n，b n ＝log 2a n ＝5－n ，b n ＋1－b n ＝－1，∴{b n }是以b 1＝4为首项，－1为公差的等差数列， ∴S n ＝n 9－n 2，∴S n n ＝9－n 2，∴当n ≤8时，S nn>0；当n ＝9时，S n n＝0；当n >9时，S n n<0， ∴当n ＝8或9时，S 11＋S 22＋…＋S nn最大．14．(2012·江苏，6)现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．[答案] 35[解析] 本题考查等比数列及古典概型的知识．等比数列的通项公式为a n ＝(－3)n －1.所以此数列中偶数项都为负值，奇数项全为正值．若a n ≥8，则n 为奇数且(－3)n －1＝3n －1≥8，则n －1≥2，∴n ≥3，∴n ＝3,5,7,9共四项满足要求．∴p ＝1－410＝35.[点评] 直接考虑情况较多时，可以从其对立面来考虑问题．15．(2011·新课标全国文，17)已知等比数列{a n }中，a 1＝13，公比q ＝13.(1)S n 为{a n }的前n 项和，证明：S n ＝1－a n2；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{b n }的通项公式． [解析] (1)因为a n ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝13，S n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n 1－13＝1－13n 2，所以S n ＝1－a n2.(2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n ) ＝－n n ＋12.所以{b n }的通项公式为b n ＝－n n ＋12.16．(文)(2011·山东淄博一模)设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝7，且a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…，求数列{b n }的前n 项和T n . [解析] (1)设数列{a n }的公比为q (q >1)，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1＋3＋a 3＋42＝3a 2，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1－6a 2＋a 3＝－7，⎩⎪⎨⎪⎧a 11＋q ＋q 2＝7，a 11－6q ＋q 2＝－7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2.故数列{a n }的通项为a n ＝2n －1.(2)由(1)得a 3n ＋1＝23n，∴b n ＝ln a 3n ＋1＝ln23n＝3n ln2，又b n ＋1－b n ＝3ln2，∴{b n }是以b 1＝3ln2为首项，以3ln2为公差的等差数列． ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n b 1＋b n 2＝n 3ln2＋3n ln22＝3n n ＋1ln22即T n ＝3n n ＋12ln2.(理)(2011·安庆模拟)已知数列{a n }中，a 1＝12，点(n,2a n ＋1－a n )在直线y ＝x 上，其中n ＝1,2,3….(1)令b n ＝a n ＋1－a n －1，求证数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项．[解析] (1)由已知得2a n ＋1＝a n ＋n ，又a 1＝12，∴a 2＝34，b 1＝a 2－a 1－1＝34－12－1＝－34，又∵b n ＝a n ＋1－a n －1，∴b n ＋1＝a n ＋2－a n ＋1－1， ∴b n ＋1b n ＝a n ＋2－a n ＋1－1a n ＋1－a n －1 ＝a n ＋1＋n ＋12－a n ＋n2－1a n ＋1－a n －1＝a n ＋1－a n －12a n ＋1－a n －1＝12.∴{b n }是以－34为首项，以12为公比的等比数列．(2)由(1)知，b n ＝－34×(12)n －1＝－3×(12)n ＋1∴a n ＋1－a n ＝1－3×(12)n ＋1，∴a 2－a 1＝1－3×(12)2a 3－a 2＝1－3×(12)3……a n －a n －1＝1－3×(12)n各式相加得a n ＝n －1－3×[(12)2＋(12)3＋…＋(12)n ]＋12＝n －12－3×14×[1－12n －1]1－12＝32n ＋n －2.1．已知数列{a n }的前n 项的和S n 满足S n ＝2n －1(n ∈N *)，则数列{a 2n }的前n 项的和为( )A ．4n－1 B.13(4n－1) C.43(4n－1) D ．(2n－1)2[答案] B[解析] n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n －1)－(2n －1－1)＝2n －1，又a 1＝S 1＝21－1＝1也满足，∴a n ＝2n －1(n ∈N *)．设b n ＝a 2n ，则b n ＝(2n －1)2＝4n －1，∴数列{b n }是首项b 1＝1，公比为4的等比数列，故{b n }的前n 项和T n ＝1×4n－14－1＝13(4n－1)． 2．等比数列的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为( )A ．4B ．6C ．8D ．10[答案] C[解析] 由题意知，85q ＝170，∴q ＝2， ∴85＋170＝1×2n－12－1，∴n ＝8.3．(2011·山东济南模拟)已知各项不为0的等差数列{a n }，满足2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8等于( )A ．2B ．4C ．8D ．16[答案] D[解析] 由题意可知，a 27＝2(a 3＋a 11)＝4a 7.∵a 7≠0，∴a 7＝4，∴b 6b 8＝b 27＝a 27＝16. 4．已知等比数列{a n }的公比q >0，其前n 项的和为S n ，则S 4a 5与S 5a 4的大小关系是( )A ．S 4a 5<S 5a 4B ．S 4a 5>S 5a 4C ．S 4a 5＝S 5a 4D ．不确定 [答案] A[解析] (1)当q ＝1时，S 4a 5－S 5a 4＝4a 21－5a 21＝－a 21<0.(2)当q ≠1且q >0时，S 4a 5－S 5a 4＝a 211－q (q 4－q 8－q 3＋q 8)＝a 21q 31－q (q －1) ＝－a 21q 3<0.[点评] 作差，依据前n 项和与通项公式化简后判断符号是解决这类问题的基本方法，应注意对公比分类讨论．5．(2012·广州一模)两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．如下图中的实心点个数1,5,12,22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a 1＝1，第2个五角形数记作a 2＝5，第3个五角形数记作a 3＝12，第4个五角形数记作a 4＝22，…，若按此规律继续下去，则a 5＝________，若a n ＝145，则n ＝________.[答案] 35 10[解析] a 2－a 1＝4，a 3－a 2＝7，a 4－a 3＝10，观察图形可得，数列{a n －a n －1}(n ≥2，n ∈N *)构成首项为4，公差为3的等差数列，所以a 5－a 4＝13，所以a 5＝35，a n －a n －1＝3n －2(n ≥2，n ∈N *)，应用累加法得a n －a 1＝4＋7＋10＋…＋(3n －2)＝n －13n ＋22，所以a n ＝n －13n ＋22＋1(n ≥2，n ∈N *)，当a n ＝145时，n －13n ＋22＋1＝145，解得n ＝10.6．已知{a n }是首项为a 1、公比q (q ≠1)为正数的等比数列，其前n 项和为S n ，且有5S 2＝4S 4，设b n ＝q ＋S n .(1)求q 的值；(2)数列{b n }能否是等比数列？若是，求出a 1的值；若不是，请说明理由．[解析] (1)由题意知5S 2＝4S 4，S 2＝a 11－q 21－q ，S 4＝a 11－q 41－q， ∴5(1－q 2)＝4(1－q 4)，又q >0，∴q ＝12. (2)∵S n ＝a 11－q n 1－q ＝2a 1－a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，于是b n ＝q ＋S n ＝12＋2a 1－a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，若{b n }是等比数列，则12＋2a 1＝0， ∴a 1＝－14.此时，b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1. ∵b n ＋1b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＝12，∴数列{b n }是等比数列．所以存在实数a 1＝－14，使数列{b n }为等比数列． 7．已知数列{a n }和{b n }，数列{a n }的前n 项和记为S n .若点(n ，S n )在函数y ＝－x 2＋4x 的图象上，点(n ，b n )在函数y ＝2x的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n b n }的前n 项和T n .[解析] (1)由已知得S n ＝－n 2＋4n ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－2n ＋5，又当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，符合上式．∴a n ＝－2n ＋5.(2)由已知得b n ＝2n ，a n b n ＝(－2n ＋5)2n . T n ＝3×21＋1×22＋(－1)×23＋…＋(－2n ＋5)×2n ， 2T n ＝3×22＋1×23＋…＋(－2n ＋7)×2n ＋(－2n ＋5)×2n ＋1，两式相减可得， T n ＝－6＋(23＋24＋…＋2n ＋1)＋(－2n ＋5)×2n ＋1 ＝231－2n －11－2＋(－2n ＋5)×2n ＋1－6 ＝(7－2n )×2n ＋1－14.。

2013走向高考,贾凤山,高中总复习,数学3-3

人教
减区间 [2kπ ，在(kπ－π， kπ A 2 版单调 2kπ＋π] π π 减区间 [2kπ ＋， 2kπ ＋ 2 增区间 [2kπ －＋ 2 )(k∈Z)上区间 3π π，2kπ](k∈Z) 是增函数 ](k∈Z) 2
第3章
第三节
高考数学总复习
误区警示 1．用五点法画函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0)在一个周期 π 3π 内的图象时，应使 ωx＋φ 取五个值 0、、π、、2π 算出 2 2 对应的 x 的值和 y 值如表.
个单位． (2)周期变换：y＝sin(x＋φ)→y＝sin(ωx＋φ)，把 y＝
伸长缩短 sin(x＋φ)图象上各点的横坐标____(0＜ω＜1)或____(ω＞
人教
A
版
1 1)到原来的ω倍(纵坐标不变)．
第3章
第三节
高考数学总复习
(3)振幅变换：y＝sin(ωx＋φ)→y＝Asin(ωx＋φ)，把 y
5．函数 y＝sinx、y＝cosx 的图象的对称轴经过图象的最高点或最低点． 6．y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间的确定： (1)当 A>0，ω>0 时，由于 U＝ωx＋φ 是增函数，故 y ＝AsinU 单增(减)时，复合函数 y＝Asin(ωx＋φ)单增(减)．从 π π 而解不等式 2kπ－ ≤ωx＋φ≤2kπ＋ (k∈Z)求出 x 的取值 2 2 π 范围，即该函数的增区间，解不等式 2kπ＋ ≤ωx＋φ≤2kπ 2 3π ＋ (k∈Z)可得该函数的单调减区间． 2
高考数学总复习
人教
A
版
第3章
三角函数与三角形
高考数学总复习
第三节
三角函数的图象与性质

高考数学一轮复习全套课时作业3-3-1导数的应用--极值与最值

题组层级快练3.3.1导数的应用--极值与最值一、单项选择题1．(2021·辽宁沈阳一模)设函数f(x)＝xe x＋1，则()A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x)的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的极小值点2．(2021·河北邯郸一中月考)若函数f(x)＝ae x－sinx在x＝0处有极值，则a的值为() A．－1B．0C．1D．e3．函数f(x)＝12x－sinx在0，π2上的最小值和最大值分别是()A.π6－32，0 B.π4－1，0 C.π6－32，π4－1D．－12，124．(2021·杭州学军中学模拟)函数f(x)＝xe－x，x∈[0，4]的最小值为()A．0 B.1e C.4e4D.2e25．若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是()A．(－2，2)B．[－2，2]C．(－∞，－1)D．(1，＋∞)6．若函数y＝ax3＋bx2取得极大值和极小值时的x的值分别为0和13，则()A．a－2b＝0B．2a－b＝0C．2a＋b＝0D．a＋2b＝07．设二次函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是()二、多项选择题8．已知函数f(x)＝x3－ax－1，以下结论正确的是()A．当a＝0时，函数f(x)的图象的对称中心为(0，－1)B．当a≥3时，函数f(x)在(－1，1)上为单调递减函数C．若函数f(x)在(－1，1)上不单调，则0<a<3D．当a＝12时，f(x)在[－4，5]上的最大值为159．(2021·山东临沂期末)已知函数f(x)＝x＋sinx－xcosx的定义域为[－2π，2π)，则()A．f(x)为奇函数B．f(x)在[0，π)上单调递增C．f(x)恰有4个极大值点D．f(x)有且仅有4个极值点三、填空题与解答题10．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则f(2)的值为________．11．(2021·内蒙古兴安盟模拟)已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)，在[－2，2]上有最大值3，那么此函数在[－2，2]上的最小值为________．12．(2018·江苏)若函数f(x)＝2x3－ax2＋1(a∈R)在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则f(x)在[－1，1]上的最大值与最小值的和为________．13．(2021·广东省高二期末)已知函数f(x)＝13x3－4x＋3.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在区间[－3，5]上的最大值与最小值．14．已知函数f(x)＝(x2－2x)e x(x∈R，e为自然对数的底数)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在区间[0，m]上的最大值和最小值．15．(2021·天水一中诊断)若函数f(x)＝ax22－(1＋2a)·x＋2lnx(a>0)a的取值范围是()B．(1，＋∞)C．(1，2)D．(2，＋∞)16．(2016·北京)设函数f(x)3－3x，x≤a，2x，x>a.(1)若a＝0，则f(x)的最大值为________；(2)若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是________．17．(2020·衡水中学调研卷)已知函数f(x)＝xlnx.(1)求函数f(x)的极值点；(2)设函数g(x)＝f(x)－a(x－1)，其中a∈R，求函数g(x)在区间[1，e]上的最小值．(其中e为自然对数的底数)．3.3.1导数的应用--极值与最值参考答案1．答案D解析由f(x)＝xe x ＋1，可得f ′(x)＝(x ＋1)e x ，令f ′(x)>0可得x>－1，即函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递增；令f ′(x)<0可得x<－1，即函数f(x)在(－∞，－1)上单调递减，所以x ＝－1为f(x)的极小值点．故选D.2．答案C解析f ′(x)＝ae x －cosx ，若函数f(x)＝ae x －sinx 在x ＝0处有极值，则f ′(0)＝a －1＝0，解得a ＝1，经检验a ＝1符合题意．故选C.3．答案A解析函数f(x)＝12x －sinx ，f ′(x)＝12－cosx ，令f ′(x)>0，解得π3＜x ≤π2，令f ′(x)<0，解得0≤x<π3，所以f(x)在0，π2上单调递增，所以f(x)min ＝＝π6－32，而f(0)＝0，＝π4－1<0，故f(x)在区间0，π2上的最小值和最大值分别是π6－32，0.故选A.4．答案A解析f ′(x)＝1－xe x，当x ∈[0，1)时，f ′(x)>0，f(x)单调递增，当x ∈(1，4]时，f ′(x)<0，f(x)单调递减，因为f(0)＝0，f(4)＝4e 4>0，所以当x ＝0时，f(x)有最小值，且最小值为0.故选A.5．答案A解析f ′(x)＝3x 2－3，令f ′(x)＝0，得x ＝±1.三次方程f(x)＝0有3个根⇔f(x)极大值>0且f(x)极小值<0.∵x ＝－1为极大值点，x ＝1为极小值点，（－1）＝2＋a>0，（1）＝a －2<0，∴－2<a<2.故选A.6．答案D解析y ′＝3ax 2＋2bx ，据题意，0，13是方程3ax 2＋2bx ＝0的两根，∴－2b 3a ＝13，∴a ＋2b ＝0.故选D.7．答案C解析由f(x)在x ＝－2处取得极小值可知，当x<－2时，f ′(x)<0，则xf ′(x)>0；当－2<x<0时，f ′(x)>0，则xf ′(x)<0；当x ＞0时，f ′(x)＞0，则xf ′(x)＞0.故选C.8．答案ABC解析本题考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值．y ＝x 3为R 上的奇函数，其图象的对称中心为原点，当a ＝0时，根据平移知识，函数f(x)的图象的对称中心为(0，－1)，A 正确；由题意知f ′(x)＝3x 2－a ，因为当－1<x<1时，3x 2<3，又a ≥3，所以f ′(x)<0在(－1，1)上恒成立，所以函数f(x)在(－1，1)上为单调递减函数，B 正确；f ′(x)＝3x 2－a ，当a ≤0时，f ′(x)≥0，f ′(x)不恒等于0，此时f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，不符合题意，故a>0.令f ′(x)＝0，解得x ＝±3a3.因为f(x)在(－1，1)上不单调，所以f ′(x)＝0在(－1，1)上有解，所以0<3a3<1，解得0<a<3，C 正确；令f ′(x)＝3x 2－12＝0，得x ＝±2.根据函数的单调性，f(x)在[－4，5]上的最大值只可能为f(－2)或f(5)．因为f(－2)＝15，f(5)＝64，所以最大值为64，D 错误．故选ABC.9．答案ABD解析A 显然正确；∵f(x)＝x ＋sinx －xcosx ，∴f ′(x)＝1＋cosx －(cosx －xsinx)＝1＋xsinx.当x ∈[0，π)时，f ′(x)>0，则f(x)在[0，π)上单调递增．显然f ′(0)≠0，令f ′(x)＝0，得sinx ＝－1x ，分别作出函数y＝sinx ，y ＝－1x的图象如图．由图可知，这两个函数的图象在区间[－2π，2π)上共有4个公共点，且两图象在这些公共点上都不相切，故f(x)在区间[－2π，2π)上有4个极值点，且只有2个极大值点．10．答案18解析f ′(x)＝3x 2＋2ax ＋b 1）＝10，1）＝0，2＋a ＋b ＋1＝10，＋b ＋3＝0，＝4，＝－11＝－3，＝3.当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x)＝3(x －1)2≥0，f(x)无极值，故舍去．当a ＝4，b ＝－11时，令f ′(x)＝0，得x 1＝1，x 2＝－113.当x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：∴f(x)＝x 3＋4x 2－11x ＋16，f(2)＝18.11．答案－37解析由已知可得，f ′(x)＝6x 2－12x ，由6x 2－12x ≥0得x ≥2或x ≤0，因此当x ∈[2，＋∞)，(－∞，0]时f(x)单调递增，当x ∈[0，2]时f(x)单调递减，又因为x ∈[－2，2]，所以当x ∈[－2，0]时f(x)单调递增，当x ∈[0，2]时f(x)单调递减，所以f(x)max ＝f(0)＝m ＝3，故有f(x)＝2x 3－6x 2＋3，所以f(－2)＝－37，f(2)＝－5.因为f(－2)＝－37＜f(2)＝－5，所以函数f(x)的最小值为f(－2)＝－37.12．答案－3解析令f(x)＝2x 3－ax 2＋1＝0⇒a ＝2x ＋1x2.令g(x)＝2x ＋1x 2(x>0)，g ′(x)＝2－2x 3>0⇒x>1⇒g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．∵有唯一零点，∴a ＝g(1)＝2＋1＝3⇒f(x)＝2x 3－3x 2＋1.求导可知在[－1，1]上，f(x)min ＝f(－1)＝－4，f(x)max ＝f(0)＝1，∴f(x)min ＋f(x)max ＝－3.13．答案(1)函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)，单调递减区间为(－2，2)(2)函数f(x)在区间[－3，5]上的最大值为743，最小值为－73思路(1)求导后，利用导数的符号可得函数的单调区间；(2)由(1)知，函数f(x)在[－3，－2)上单调递增，在[－2，2]上单调递减，在(2，5]上单调递增，根据单调性可得最大最小值．解析(1)f ′(x)＝x 2－4，由f ′(x)>0，得x>2或x<－2；由f ′(x)<0，得－2<x<2，所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)，单调递减区间为(－2，2)．(2)由(1)知，函数f(x)在[－3，－2)上单调递增，在(－2，2)上单调递减，在(2，5]上单调递增，因为f(－3)＝13×(－3)3－4×(－3)＋3＝6，f(2)＝13×23－4×2＋3＝－73，f(－2)＝13×(－2)3－4×(－2)＋3＝253，f(5)＝13×53－4×5＋3＝743，所以函数f(x)在区间[－3，5]上的最大值为743，最小值为－73.14．答案略解析(1)f(x)＝(x 2－2x)e x ，求导得f ′(x)＝e x (x 2－2)．因为e x >0，令f ′(x)＝e x (x 2－2)>0，即x 2－2>0，解得x<－2或x> 2.令f ′(x)＝e x (x 2－2)<0，即x 2－2<0，解得－2<x< 2.所以函数f(x)在(－∞，－2)和(2，＋∞)上单调递增，在(－2，2)上单调递减．即函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)，单调递减区间为(－2，2)．(2)①当0<m ≤2时，因为f(x)在(－2，2)上单调递减，所以f(x)在区间[0，m]上的最大值为f(0)＝0，f(x)在区间[0，m]上的最小值为f(m)＝(m 2－2m)e m .②当2<m ≤2时，因为f(x)在(－2，2)上单调递减，f(x)在(2，＋∞)上单调递增，且f(0)＝f(2)＝0，所以f(x)在[0，m]上的最大值为f(0)＝0，f(x)在区间[0，m]上的最小值为f(2)＝(2－22)e 2.③当m>2时，因为f(x)在(－2，2)上单调递减，f(x)在(2，＋∞)上单调递增，且f(m)>0＝f(0)，所以f(x)在[0，m]上的最大值为f(m)＝(m 2－2m)·e m ，f(x)在区间[0，m]上的最小值为f(2)＝(2－22)e 2.15．思路把函数f(x)题，然后再通过分离参数的方法求出参数a 的取值范围．答案C 解析由f(x)＝ax 22－(1＋2a)x ＋2lnx(a>0，x ＞0)，得导数f ′(x)＝ax －(1＋2a)＋2x(x ＞0)，∵函数f(x)＝ax 22－(1＋2a)x ＋2lnx(a>0)∴方程ax －(1＋2a)＋2x＝0∴a ＝1x 在区间故a ＝1x∈(1，2)，则a 的取值范围是(1，2)．故选C.评说涉及函数的极值问题，往往要使用导数这个解题的工具，在解题时要注意运用等价转化的解题思想．16．答案(1)2(2)(－∞，－1)解析(1)若a ＝0，则f(x)3－3x ，x ≤0，2x ，x>0，当x>0时，－2x<0；当x ≤0时，f ′(x)＝3x 2－3＝3(x ＋1)·(x－1)，令f ′(x)>0，得x<－1，令f ′(x)<0，得－1<x ≤0，所以函数f(x)在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，0]上单调递减，所以函数f(x)在(－∞，0]上的最大值为f(－1)＝2.综上可得，函数f(x)的最大值为2.(2)函数y ＝x 3－3x 与y ＝－2x 的大致图象如图所示，由图可知当f(x)无最大值时，a ∈(－∞，－1)．17．答案(1)极小值点为x ＝1e，无极大值点(2)当a ≤1时，g(x)min ＝0，当1<a<2时，g(x)min ＝a －e a －1，当a ≥2时，g(x)min ＝a ＋e －ae 解析(1)f ′(x)＝lnx ＋1，x>0，由f ′(x)＝0，得x ＝1e .所以f(x)所以x ＝1e 是函数f(x)的极小值点，极大值点不存在．(2)g(x)＝xlnx －a(x －1)，则g ′(x)＝lnx ＋1－a ，由g ′(x)＝0，得x ＝e a －1.所以在区间(0，e a －1)上，g(x)单调递减，在区间(e a －1，＋∞)上，g(x)单调递增．当e a －1≤1，即a ≤1时，在区间[1，e]上，g(x)单调递增，所以g(x)的最小值为g(1)＝0.当1<e a－1<e，即1<a<2时，g(x)的最小值为g(e a－1)＝a－e a－1.当e a－1≥e，即a≥2时，在区间[1，e]上，g(x)单调递减，所以g(x)的最小值为g(e)＝a＋e－ae.综上，当a≤1时，g(x)的最小值为0；当1<a<2时，g(x)的最小值为a－e a－1；当a≥2时，g(x)的最小值为a＋e－ae.。

2015届高考数学一轮总复习 3-1导数的概念及运算

2015届高考数学一轮总复习 3-1导数的概念及运算基础巩固强化一、选择题1．(文)(2012·烟台调研)设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( )A ．2B ．－2C ．－12D.12[答案] B[解析] ∵f ′(x )＝(x －1)－(x ＋1)(x －1)2＝－2(x －1)2， ∴f ′(3)＝－12，由条件知，－12×(－a )＝－1，∴a ＝－2.(理)(2012·山西省联合模拟)曲线y ＝x ln x 在点(e ，e)处的切线与直线x ＋ay ＝1垂直，则实数a 的值为( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－12[答案] A[解析] ∵y ′＝1＋ln x ，∴y ′|x ＝e ＝1＋lne ＝2， ∴－1a×2＝－1，∴a ＝2，选A.2．(2013·河北教学质量监测)若函数f (x )＝2x ＋ln x ，且f ′(a )＝0，则2a ln2a ＝( ) A ．1 B ．－1 C ．－ln2 D ．ln2[答案] B[解析] f ′(x )＝2x ln2＋1x ，由f ′(a )＝2a ln2＋1a ＝0，得2a ln2＝－1a ，则a ·2a ·ln2＝－1，即2a ln2a＝－1.3．(2013·乌鲁木齐一中月考)已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围为( )A ．[0，π4)B ．[π4，π2)C ．(π2，3π4]D ．[3π4，π)[答案] D[解析] y ′＝－4e x (e x ＋1)2＝－4e xe 2x ＋2e x ＋1＝－4e x＋1e x ＋2≥－1，故－1≤tan α<0，又α∈[0，π)，所以3π4≤α<π.4．(文)直线y ＝12x ＋b 与曲线y ＝－12x ＋ln x 相切，则b 的值为( )A ．－2B ．－1C ．－12D ．1[答案] B[解析] 设切点(a ，－12a ＋ln a )，y ′＝－12＋1x，∴－12＋1a ＝12，a ＝1，故切点(1，－12)在直线y ＝12x ＋b 上，有－12＝12＋b ，∴b ＝－1.(理)已知f (x )＝log a x (a >1)的导函数是f ′(x )，记A ＝f ′(a )，B ＝f (a ＋1)－f (a )，C ＝f ′(a ＋1)，则( )A ．A >B >C B ．A >C >B C ．B >A >CD ．C >B >A [答案] A[解析] 记M (a ，f (a ))，N (a ＋1，f (a ＋1))，则由于B ＝f (a ＋1)－f (a )＝f (a ＋1)－f (a )(a ＋1)－a，表示直线MN 的斜率，A ＝f ′(a )表示函数f (x )＝log a x 在点M 处的切线斜率；C ＝f ′(a ＋1)表示函数f (x )＝log a x 在点N 处的切线斜率．所以，A >B >C .5．(文)若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象的顶点在第二象限，则函数f ′(x )的图象是( )[答案] C[解析] 由题意可知⎝⎛⎭⎫－b 2，4c －b 24在第二象限，∴⎩⎨⎧－b2<0，4c －b 24>0.∴b >0，又f ′(x )＝2x ＋b ，故选C.(理)(2013·山东东营一模)设曲线y ＝sin x 上任一点(x ，y )处切线的斜率为g (x )，则函数y ＝x 2g (x )的部分图象可以为( )[答案] C[解析] 根据题意得g (x )＝cos x ，∴y ＝x 2g (x )＝x 2cos x 为偶函数．又x ＝0时，y ＝0，故选C.6．(2013·杭州模拟)若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或－38C ．－74或－2564D ．－74或7[答案] A[解析] 设过(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30，又(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32，当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564；当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－1，所以选A.本题常犯的错误是，不对点(1,0)的位置作出判断，直接由y ＝x 3，得出y ′|x ＝1＝3，再由y ＝ax 2＋154x －9，得y ′|x ＝1＝2a ＋154＝3求出a ＝－38，错选B. 二、填空题7．(文)(2013·广东理，10)若曲线y ＝kx ＋ln x 在点(1，k )处的切线平行于x 轴，则k ＝________. [答案] －1[解析] y ′＝k ＋1x，y ′|x ＝1＝k ＋1＝0，∴k ＝－1.(理)(2013·湖北黄冈一模)已知函数f (x )＝x (x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)，则f ′(0)＝________. [答案] －120[解析] f ′(x )＝(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)＋x [(x －1)(x －2)(x －3)(x －4x )(x －5)]′， ∴f ′(0)＝(－1)×(－2)×(－3)×(－4)×(－5)＝－120.8．(文)(2013·广州一模)已知函数f (x )＝f ′(π2)sin x ＋cos x ，则f (π4)＝________.[答案] 0[解析] 由条件知，f ′(x )＝f ′(π2)cos x －sin x .∴f ′(π2)＝－1，∴f (x )＝－sin x ＋cos x ，∴f (π4)＝0.(理)(2013·江西理，13)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________. [答案] 2[解析] ∵f (e x )＝x ＋e x ， ∴f (x )＝x ＋ln x ，f ′(x )＝1＋1x ，∴f ′(1)＝1＋1＝2.9．(2013·贵阳一模)曲线y ＝ln x 在与x 轴交点处的切线方程为________． [答案] x －y －1＝0[解析] 由y ＝ln x 得，y ′＝1x ，∴y ′|x ＝1＝1，∴曲线y ＝ln x 在与x 轴交点(1,0)处的切线方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.三、解答题10．(文)已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程． [解析] y ＝13x 3＋43，则y ′＝x 2.(1)由题意可知点P (2,4)为切点， y ′|x ＝2＝22＝4，所以曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0. (2)由题意可知点P (2,4)不一定为切点，故设切点为(x 0，13x 30＋43)， y ′|x ＝x 0＝x 20，1342所以4－(13x 30＋43)＝x 20(2－x 0)， x 30－3x 20＋4＝0⇔(x 30＋1)－3(x 20－1)＝0⇔(x 0＋1)(x 20－4x 0＋4)＝0.解得x 0＝－1或x 0＝2，即切点为(－1,1)或(2,4)．所以曲线过点P (2,4)的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0.(理)(2014·高州月考)设函数y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象与y 轴交点为P ，且曲线在P 点处的切线方程为12x －y －4＝0. 若函数在x ＝2处取得极值0，试确定函数的解析式.[解析] ∵y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象与y 轴的交点为P (0，d )，又曲线在点P 处的切线方程为y ＝12x －4，P 点坐标适合方程，从而d ＝－4；又切线斜率k ＝12，故在x ＝0处的导数y ′|x ＝0＝12而y ′|x ＝0＝c ，从而c ＝12；又函数在x ＝2处取得极值0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ y ′|x ＝2＝0，f (2)＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧12a ＋4b ＋12＝0，8a ＋4b ＋20＝0. 解得a ＝2，b ＝－9，所以所求函数解析式为y ＝2x 3－9x 2＋12x －4.能力拓展提升一、选择题11．(文)(2013·宁波期末)等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，f ′(x )为函数f (x )的导函数，则f ′(0)＝( )A ．0B ．26C ．29D ．212[答案] D[解析] ∵f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，∴f ′(x )＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋x ·[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]′， ∴f ′(0)＝a 1a 2…a 8＝(a 1a 8)4＝84＝212.(理)(2013·武汉中学月考)已知曲线f (x )＝x n ＋1(n ∈N *)与直线x ＝1交于点P ，设曲线y ＝f (x )在点P处的切线与x 轴交点的横坐标为x n ，则log 2013x 1＋log 2013x 2＋…＋log 2013x 2012的值为( )A ．1B ．－1C ．2013D ．－2013[答案] B[解析] f ′(x )＝(n ＋1)x n ，k ＝f ′(1)＝n ＋1，点P (1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，得x ＝1－1n ＋1＝n n ＋1，即x n ＝nn ＋1， ∴x 1·x 2·…·x 2012＝12×23×34×…×20112012×20122013＝12013，则log 2013x 1＋log 2013x 2＋…＋log 2013x 2012＝log 2013(x 1·x 2·…·x 2012)＝log 201312013＝－1.12．(2013·山东理，11)抛物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M ，若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( )A.316B.38C.233D.433[答案] D[解析] 由已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为A (0，p 2)，双曲线x 23－y 2＝1的右焦点为B (2,0)，渐近线方程为y ＝±33x .设M (x 0，y 0)，则y 0＝x 202p ，由k MA ＝k AB 得x 202p －p 2x 0＝p 2－2，(1)由y ＝x 22p 知，y ′＝x p ，则y ′|x ＝x 0＝x 0p ＝33，代入(1)式中消去x 0并解之得p ＝433.13．(2013·潍南二模)若曲线f (x )＝13ax 3＋12bx 2＋cx ＋d (a ，b ，c >0)上存在斜率为0的切线，则f ′(1)b －1的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)[答案] A[解析] 因为函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数f (x )图象上不存在斜率为0的切线，也就是f ′(x )＝0无解，故Δ＝b 2－4ac <0，即ac >b 24，所以a ＋c b ≥2ac b >2b 24b＝1，即f ′(1)b －1＝a ＋cb的取值范围是(1，＋∞)．14．(文)已知函数f (x )＝x p ＋qx ＋r ，f (1)＝6，f ′(1)＝5，f ′(0)＝3，a n ＝1f (n )，n ∈N ＋，则数列{a n }的前n 项和是( )A.n n ＋1B.n n ＋2C.n ＋12n ＋4D.n 2n ＋4[解析] ∵f ′(x )＝px p －1＋q ，由条件知⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋q ＋r ＝6，p ＋q ＝5，q ＝3.∴⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝3，r ＝2.∴f (x )＝x 2＋3x ＋2.∴a n ＝1f (n )＝1n 2＋3n ＋2＝1(n ＋1)(n ＋2)＝1n ＋1－1n ＋2∴{a n }的前n 项和为S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2＝n 2n ＋4.(理)定义方程f (x )＝f ′(x )的实数根x 0叫做函数f (x )的“新驻点”，若函数g (x )＝x ，h (x )＝ln(x ＋1)，φ(x )＝x 3－1的“新驻点”分别为α、β、γ，则α、β、γ的大小关系为( )A ．α>β>γB ．β>α>γC ．γ>α>βD ．β>γ>α[答案] C[解析] 由g (x )＝g ′(x )得，x ＝1，∴α＝1，由h (x )＝h ′(x )得，ln(x ＋1)＝1x ＋1，故知1<x ＋1<2，∴0<x <1，即0<β<1，由φ(x )＝φ′(x )得，x 3－1＝3x 2，∴x 2(x －3)＝1， ∴x >3，故γ>3，∴γ>α>β. [点评] 对于ln(x ＋1)＝1x ＋1，假如0<x ＋1<1，则ln(x ＋1)<0，1x ＋1>1矛盾；假如x ＋1≥2，则1x ＋1≤12，即ln(x ＋1)≤12，∴x ＋1≤e ，∴x ≤e －1与x ≥－1矛盾．二、填空题15．(文)若曲线f (x )＝ax 3＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________． [答案] (－∞，0)[解析] 由题意，可知f ′(x )＝3ax 2＋1x ，又因为存在垂直于y 轴的切线，所以3ax 2＋1x ＝0⇒a ＝－13x 3(x >0)⇒a ∈(－∞，0)． (理)设函数f (x )＝cos(3x ＋φ)(0<φ<π)，若f (x )＋f ′(x )为奇函数，则φ＝________. [答案] π6[解析] f ′(x )＝－3sin(3x ＋φ)，由条件知cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－3x －φ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋φ－π6为奇函数，且0<φ<π，∴φ＝π6.16．求下列函数的导数： (1)y ＝15x 5－43x 3＋3x 2＋2；(2)y ＝(3x 3－4x )(2x ＋1)； (3)y ＝3x e x －2x ＋e ； (4)y ＝ln x x 2＋1；(5)y ＝x cos x －sin x ； (6)(理)y ＝cos 32x ＋e x ； (7)(理)y ＝lg 1－x 2.[解析] 可利用导数公式和导数运算法则求导． (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫15x 5′－⎝⎛⎭⎫43x 3′＋(3x 2)′＋(2)′ ＝x 4－4x 2＋6x .(2)∵y ＝(3x 3－4x )(2x ＋1)＝6x 4＋3x 3－8x 2－4x ， ∴y ′＝24x 3＋9x 2－16x －4，或y ′＝(3x 3－4x )′(2x ＋1)＋(3x 3－4x )(2x ＋1)′ ＝(9x 2－4)(2x ＋1)＋(3x 3－4x )·2 ＝24x 3＋9x 2－16x －4.(3)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋(e)′＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′＝3x ln3·e x ＋3x e x －2x ln2 ＝(ln3＋1)·(3e)x －2x ln2.(4)y ′＝(ln x )′(x 2＋1)－ln x ·(x 2＋1)′(x 2＋1)2＝1x ·(x 2＋1)－ln x ·2x (x 2＋1)2＝x 2＋1－2x 2·ln x x (x 2＋1)2. (5)y ′＝(x cos x )′－(sin x )′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x . (6)(理)y ′＝3cos 22x ·(cos2x )′＋e x ＝－6sin2x ·cos 22x ＋e x .(7)(理)y ′＝⎝⎛⎭⎫12lg (1－x 2)′＝12·lge 1－x 2·(1－x 2)′ ＝x lge x 2－1.考纲要求1．了解导数概念的实际背景．2．理解导数的几何意义．3．能根据导数定义求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x 的导数．4．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．补充说明1．注意一个区别——曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别：前者P (x 0，y 0)为切点，而后者P (x 0，y 0)不一定为切点；走出一个误区——直线与曲线相切不一定仅有一个公共点，除切点外还可以有其他公共点．2．准确理解导数及其几何意义思考题函数f (x )＝|x |(1＋x )在点x ＝0处是否有导数？若有，求出来，若没有，说明理由.[解析] f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 2(x ≥0)，－x －x 2(x <0).的图象如图所示，显然在点x ＝0处曲线的切线不存在，故f (x )在x ＝0处导数不存在．3．注意f ′(x 0)与(f (x 0))′的区别，f ′(x 0)是f ′(x )在x ＝x 0时的函数值，而(f (x 0))′＝0. 备选习题1．二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且它的导函数y ＝f ′(x )的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y ＝f (x )的图象的顶点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 [答案] C[解析] 由题意可设f (x )＝ax 2＋bx ，f ′(x )＝2ax ＋b ，由于f ′(x )图象是过第一、二、三象限的一条直线，故2a >0，b >0，则f (x )＝a (x ＋b 2a )2－b 24a ，顶点(－b 2a ，－b 24a)在第三象限，故选C.2．已知y ＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，当y ′＝2时，x 等于( ) A.π3 B.23π C.π4 D.π6[解析] y ′＝(tan x )′＝⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝1cos 2x ＝2，∴cos 2x ＝12，∴cos x ＝±22， ∵x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴x ＝π4. 3．已知函数f (x )＝x 2＋bx 的图象在点A (1，f (1))处的切线l 与直线3x －y ＋2＝0平行，若数列{1f (n )}的前n 项和为S n ，则S 2014的值为( )A.20122013B.20132014C.20142015D.20112012 [答案] C[解析] ∵f (x )＝x 2＋bx ，∴f ′(x )＝2x ＋b ，由条件知f ′(1)＝3，∴b ＝1.∴f (x )＝x 2＋x ，∴1f (n )＝1n 2＋n ＝1n －1n ＋1，∴S n ＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)＝n n ＋1， ∴S 2014＝20142015.4．函数f (x )＝x cos x 的导函数f ′(x )在区间[－π，π]上的图象大致为( )[答案] A[解析] ∵f (x )＝x cos x ， ∴f ′(x )＝cos x －x sin x ，∴f ′(－x )＝f ′(x )，∴f ′(x )为偶函数，排除C ； ∵f ′(0)＝1，排除D ；由f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－π2<0，f ′(2π)＝1>0，排除B ，故选A. 5．若函数f (x )＝e x sin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( ) A.π2 B ．0 C ．钝角 D ．锐角[答案] C[解析] y ′|＝＝(e x sin x ＋e x cos x )|＝＝e 4(sin4＋cos4)＝2e 4sin(4＋π)<0，故倾斜角为钝角，选C.6．(2013·大连模拟)若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为( )A ．1 B. 2 C.22 D. 3[答案] B[解析] 设P (x 0，y 0)到直线y ＝x －2的距离最小，则y ′|x ＝x 0＝2x 0－1x 0＝1. 得x 0＝1或x 0＝－12(舍)． ∴P 点坐标(1,1)．∴P 到直线y ＝x －2距离为d ＝|1－1－2|1＋1＝ 2. 7．(2013·黄山三校联考)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝3x 2＋2xf ′(2)，则f ′(5)＝________.[答案] 6[解析] f ′(x )＝6x ＋2f ′(2)，将x ＝2代入得f ′(2)＝12＋2f ′(2)，即f ′(2)＝－12，故f ′(x )＝6x －24，所以f ′(5)＝6.8．对正整数n ，设曲线y ＝x n (1－x )在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1的前n 项和是________．[答案] 2n ＋1－2 [解析] ∵y ＝x n (1－x )，∴y ′＝(x n )′(1－x )＋(1－x )′·x n ＝n ·x n －1(1－x )－x n . f ′(2)＝－n ·2n －1－2n ＝(－n －2)·2n －1. 在点x ＝2处点的纵坐标为y ＝－2n .∴切线方程为y ＋2n ＝(－n －2)·2n －1(x －2)．令x ＝0得，y ＝(n ＋1)·2n ，∴a n ＝(n ＋1)·2n ，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1的前n 项和为2(2n－1)2－1＝2n ＋1－2. 9．(2013·宁波四中月考)给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′.若f ″(x )<0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在(0，π2)上不是凸函数的是________(把你认为正确的序号都填上)．①f (x )＝sin x ＋cos x; ②f (x )＝ln x －2x ；③f (x )＝－x 3＋2x －1; ④f (x )＝x e x .[答案] ①②③[解析] 对于①，f ′(x )＝cos x －sin x ，f ″(x )＝－sin x －cos x ＝－2sin(x ＋π4)<0在区间(0，π2)上恒成立；②中，f ′(x )＝1x －2(x >0)，f ″(x )＝－1x 2<0在区间(0，π2)上恒成立；③中，f ′(x )＝－3x 2＋2，f ″(x )＝－6x 在区间(0，π2)上恒小于0.故①②③为凸函数．④中，f ′(x )＝e x ＋x e x ，f ″(x )＝2e x ＋x e x ＝e x (x ＋2)>0在区间(0，π2)上恒成立，故④中函数不是凸函数．。

高考数学第一章空间向量与立体几何3-1空间直角坐标系练习含解析新人教A版选择性必修第一册

空间直角坐标系学习目标 1.了解空间直角坐标系.2.能在空间直角坐标系中写出所给定点、向量的坐标．知识点一空间直角坐标系 1．空间直角坐标系及相关概念(1)空间直角坐标系：在空间选定一点O 和一个单位正交基底{}i ，j ，k ，以O 为原点，分别以i ，j ，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz .(2)相关概念：O 叫做原点，i ，j ，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy 平面、Oyz 平面、Ozx 平面，它们把空间分成八个部分． 2．右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．思考空间直角坐标系有什么作用？答案可以通过空间直角坐标系将空间点、直线、平面数量化，将空间位置关系解析化．知识点二空间一点的坐标在空间直角坐标系Oxyz 中，i ，j ，k 为坐标向量，对空间任意一点A ，对应一个向量OA →，且点A 的位置由向量OA →唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使OA →＝x i ＋y j ＋z k .在单位正交基底 {i ，j ，k }下与向量 OA →对应的有序实数组(x ，y ，z )叫做点A 在此空间直角坐标系中的坐标，记作A (x ，y ，z )，其中x 叫做点A 的横坐标，y 叫做点A 的纵坐标，z 叫做点A 的竖坐标．思考空间直角坐标系中，坐标轴上的点的坐标有何特征？答案 x 轴上的点的纵坐标、竖坐标都为0，即(x ，0,0)．y 轴上的点的横坐标、竖坐标都为0，即(0，y ，0)． z 轴上的点的横坐标、纵坐标都为0，即(0,0，z )．知识点三空间向量的坐标在空间直角坐标系Oxyz 中，给定向量a ，作OA →＝a .由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使a ＝x i ＋y j ＋z k .有序实数组(x ，y ，z )叫做a 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标，上式可简记作a ＝(x ，y ，z )．思考空间向量的坐标和点的坐标有什么关系？答案点A 在空间直角坐标系中的坐标为(x ，y ，z )，那么向量 OA →的坐标也为(x ，y ，z )．1．空间直角坐标系中，在x 轴上的点的坐标一定是(0，b ，c )的形式．( × ) 2．空间直角坐标系中，在xOz 平面内的点的坐标一定是(a ，0，c )的形式．( √ ) 3．关于坐标平面yOz 对称的点其纵坐标、竖坐标保持不变，横坐标相反．( √ )一、求空间点的坐标例1 (1)画一个正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，若以A 为坐标原点，以棱AB ，AD ，AA 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系，则 ①顶点A ，C 的坐标分别为________________； ②棱C 1C 中点的坐标为________；③正方形AA 1B 1B 对角线的交点的坐标为________．答案 ①(0,0,0)，(1,1,0) ②⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12 ③⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12(2)已知正四棱锥P －ABCD 的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标．解 ∵正四棱锥P －ABCD 的底面边长为4，侧棱长为10， ∴正四棱锥的高为223.以正四棱锥的底面中心为原点，平行于BC ，AB 所在的直线分别为x 轴、y 轴，垂直于平面ABCD 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则正四棱锥各顶点的坐标分别为A (2，－2,0)，B (2,2,0)，C (－2,2,0)，D (－2，－2,0)，P (0,0,223)．答案不唯一．反思感悟 (1)建立空间直角坐标系的原则 ①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面． ②充分利用几何图形的对称性． (2)求某点M 的坐标的方法作MM ′垂直平面xOy ，垂足M ′，求M ′的横坐标x ，纵坐标y ，即点M 的横坐标x ，纵坐标y ，再求M 点在z 轴上射影的竖坐标z ，即为M 点的竖坐标z ，于是得到M 点的坐标(x ，y ，z )．跟踪训练1 在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是D 1D ，BD 的中点，G 在棱CD 上，且CG ＝14CD ，H 为C 1G 的中点，试建立适当的坐标系，写出E ，F ，G ，H 的坐标．解建立如图所示的空间直角坐标系．点E 在z 轴上，它的横坐标、纵坐标均为0，而E 为DD 1的中点，故其坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12. 由F 作FM ⊥AD ，FN ⊥CD ，垂足分别为M ，N ，由平面几何知识知FM ＝12，FN ＝12，故F 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0.因为CG ＝14CD ，G ，C 均在y 轴上，故G 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34，0. 由H 作HK ⊥CG ，可得DK ＝78，HK ＝12，故H 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，78，12.(答案不唯一) 二、空间点的对称问题例2 在空间直角坐标系中，已知点P (－2,1,4)． (1)求点P 关于x 轴对称的点的坐标； (2)求点P 关于xOy 平面对称的点的坐标；(3)求点P 关于点M (2，－1，－4)对称的点的坐标．解 (1)由于点P 关于x 轴对称后，它在x 轴的分量不变，在y 轴，z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P 1(－2，－1，－4)．(2)由点P 关于xOy 平面对称后，它在x 轴，y 轴的分量不变，在z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P 2(－2,1，－4)．(3)设对称点为P 3(x ，y ，z )，则点M 为线段PP 3的中点，由中点坐标公式，可得x ＝2×2－(－2)＝6，y ＝2×(－1)－1＝－3，z ＝2×(－4)－4＝－12，所以P 3的坐标为(6，－3，－12)．反思感悟空间点对称问题的解题策略(1)空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．(2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论．跟踪训练2 已知点P (2,3，－1)关于坐标平面xOy 的对称点为P 1，点P 1关于坐标平面yOz 的对称点为P 2，点P 2关于z 轴的对称点为P 3，则点P 3的坐标为________．答案 (2，－3,1)解析点P (2,3，－1)关于坐标平面xOy 的对称点P 1的坐标为(2,3,1)，点P 1关于坐标平面yOz 的对称点P 2的坐标为(－2,3,1)，点P 2关于z 轴的对称点P 3的坐标是(2，－3,1)．三、空间向量的坐标例3 已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1＝4，M 为BC 1的中点，N 为A 1B 1的中点，建立适当的空间直角坐标系，求向量AB →，AC 1—→，BC 1—→的坐标．解建立如图所示的空间直角坐标系，设14AB →＝i ，14AC →＝j ，14AA 1→＝k ，AB →＝4i ＋0j ＋0k ＝(4,0,0)，AC 1—→＝AA 1—→＋AC →＝0i ＋4j ＋4k ＝(0,4,4)， ∴BC 1—→＝BC →＋CC 1—→ ＝BA →＋AC →＋CC 1—→ ＝－4i ＋4j ＋4k ＝(－4,4,4)．反思感悟向量坐标的求法(1)点A 的坐标和向量 OA →的坐标形式完全相同； (2)起点不是原点的向量的坐标可以通过向量的运算求得．跟踪训练3 已知A (3,5，－7)，B (－2,4,3)，设点A ，B 在yOz 平面上的射影分别为A 1，B 1 ，则向量A 1B 1—→的坐标为__________．答案 (0，－1,10)解析点A (3,5，－7)，B (－2,4,3)在yOz 平面上的射影分别为 A 1 (0,5，－7), B 1 (0,4,3)， ∴向量A 1B 1—→的坐标为(0，－1,10)．1．点P (2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是在( ) A ．y 轴上 B ．xOy 面上 C ．xOz 面上 D ．yOz 面上答案 C2．在空间直角坐标系中，点P (1,3，－5)关于平面xOy 对称的点的坐标是( ) A ．(－1,3，－5) B ．(1,3,5) C ．(1，－3,5) D ．(－1，－3,5) 答案 B3．在空间直角坐标系中，点P (－1，－2，－3)到平面yOz 的距离是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D.14 答案 A4．点P (1,1,1)关于xOy 平面的对称点P 1的坐标为______；点P 关于z 轴的对称点P 2的坐标为________．答案 (1,1，－1) (－1，－1,1)解析点P (1,1,1)关于xOy 平面的对称点P 1的坐标为(1,1，－1)，点P 关于z 轴的对称点P 2的坐标为(－1，－1,1)．5．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若D (0,0,0)，A (4,0,0)，B (4,2,0)，A 1(4,0,3)，则向量AC 1—→的坐标为________．答案 (－4,2,3)解析 AC 1—→＝AD →＋DC 1—→＝AD →＋DC →＋CC 1—→＝－4i ＋2j ＋3k ＝(－4,2,3)．1．知识清单：(1)空间直角坐标系的概念． (2)点的坐标． (3)向量的坐标．2．方法归纳：数形结合、类比联想．3．常见误区：混淆空间点的坐标和向量坐标的概念，只有起点在原点的向量的坐标才和终点的坐标相同．1.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则点B1的坐标是( )A．(1,0,0)B．(1,0,1)C．(1,1,1)D．(1,1,0)答案 C解析点B1到三个坐标平面的距离都为1，易知其坐标为(1,1,1)，故选C.2．点A(0，－2,3)在空间直角坐标系中的位置是( )A．在x轴上B．在xOy平面内C．在yOz平面内D．在xOz平面内答案 C解析∵点A的横坐标为0，∴点A(0，－2,3)在yOz平面内．3．在空间直角坐标系中，P(2,3,4)，Q(－2，－3，－4)两点的位置关系是( )A．关于x轴对称B．关于yOz平面对称C．关于坐标原点对称D．以上都不对答案 C解析当三个坐标均相反时，两点关于原点对称．4．在空间直角坐标系中，已知点P(1，2，3)，过点P作平面yOz的垂线PQ，则垂足Q 的坐标为( )A．(0，2，0) B．(0，2，3)C．(1,0，3) D．(1，2，0)答案 B解析由于垂足在平面yOz 上，所以纵坐标，竖坐标不变，横坐标为0.5．如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，B 1E ＝14A 1B 1，则BE →等于( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14，－1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14，1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，－1 答案 C解析 BE →＝BB 1—→＋B 1E —→＝k －14j ＝⎝⎛⎭⎪⎫0，－14，1.6．点P (1,2，－1)在xOz 平面内的射影为B (x ，y ，z )，则x ＋y ＋z ＝________. 答案 0解析点P (1,2，－1)在xOz 平面内的射影为B (1,0，－1)，∴x ＝1，y ＝0，z ＝－1， ∴x ＋y ＋z ＝1＋0－1＝0.7．已知A (3,2，－4)，B (5，－2,2)，则线段AB 中点的坐标为________．答案 (4,0，－1)解析设中点坐标为(x 0，y 0，z 0)，则x 0＝3＋52＝4，y 0＝2－22＝0，z 0＝－4＋22＝－1，∴中点坐标为(4,0，－1)．8．已知空间直角坐标系中三点A ，B ，M ，点A 与点B 关于点M 对称，且已知A 点的坐标为(3,2,1)，M 点的坐标为(4,3,1)，则B 点的坐标为________．答案 (5,4,1)解析设B 点的坐标为(x ，y ，z )，则有x ＋32＝4，y ＋22＝3，z ＋12＝1，解得x ＝5，y ＝4，z＝1，故B 点的坐标为(5,4,1)．9.建立空间直角坐标系如图所示，正方体DABC －D ′A ′B ′C ′的棱长为a ，E ，F ，G ，H ，I ，J 分别是棱C ′D ′，D ′A ′，A ′A ，AB ，BC ，CC ′的中点，写出正六边形EFGHIJ 各顶点的坐标．解正方体DABC －D ′A ′B ′C ′的棱长为a ，且E ，F ，G ，H ，I ，J 分别是棱C ′D ′，D ′A ′，A ′A ，AB ，BC ，CC ′的中点，∴正六边形EFGHIJ 各顶点的坐标为E ⎝⎛⎭⎪⎫0，a 2，a ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，a ，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，0，a 2，H ⎝⎛⎭⎪⎫a ，a 2，0，I ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a ，0，J ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a ，a 2.10.如图所示，过正方形ABCD 的中心O 作OP ⊥平面ABCD ，已知正方形的边长为2，OP ＝2，连接AP ，BP ，CP ，DP ，M ，N 分别是AB ，BC 的中点，以O 为原点，⎩⎨⎧⎭⎬⎫OM →，ON →，12OP →为单位正交基底建立空间直角坐标系．若E ，F 分别为PA ，PB 的中点，求点A ，B ，C ，D ，E ，F 的坐标．解由题意知，点B 的坐标为(1,1,0)．由点A 与点B 关于x 轴对称，得A (1，－1,0)，由点C 与点B 关于y 轴对称，得C (－1,1,0)，由点D 与点C 关于x 轴对称，得D (－1，－1,0)．又P (0,0,2)，E 为AP 的中点，F 为PB 的中点，所以由中点坐标公式可得E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，1，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1.11．已知空间中点A (1,3,5)，点A 与点B 关于x 轴对称，则向量点B 的坐标为________．答案 (1，－3，－5)12．在空间直角坐标系中，点M (－2,4，－3)在xOz 平面上的射影为点M 1，则点M 1关于原点对称的点的坐标是________．答案 (2,0,3)解析由题意，知点M 1的坐标为(－2,0, －3)，所以点M 1关于原点对称的点的坐标是(2,0,3)．13．如图，正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为2，则图中的点M 关于y 轴的对称点的坐标为________．答案 (－1，－2，－1)解析因为D (2，－2,0)，C ′(0，－2,2)，所以线段DC ′的中点M 的坐标为(1，－2,1)，所以点M 关于y 轴的对称点的坐标为(－1，－2，－1)．14.如图是一个正方体截下的一角P －ABC ，其中PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c .建立如图所示的空间直角坐标系，则△ABC 的重心G 的坐标是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，b 3，c3 解析由题意知A (a ，0,0)，B (0，b ，0)，C (0,0，c )．由重心坐标公式得点G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，b 3，c3.15．已知向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(2,1，－1)，则p 在基底{2a ，b ，－c }下的坐标为________；在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标为________．答案 (1,1,1) ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，－1 解析由题意知p ＝2a ＋b －c ，则向量p 在基底{2a ，b ，－c }下的坐标为(1,1,1)．设向量p 在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标为(x ，y ，z )，则p ＝x (a ＋b )＋y (a －b )＋z c ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b ＋z c ，又∵p ＝2a ＋b －c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝1，z ＝－1，解得x ＝32，y ＝12，z ＝－1，∴p 在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，－1. 16．如图，在空间直角坐标系中，BC ＝2，原点O 是BC 的中点，点D 在平面yOz 内，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，求点D 的坐标．解过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E .在Rt△BDC 中，∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，BC ＝2，得|BD →|＝1，|CD →|＝3， ∴|DE →|＝|CD →|sin 30°＝32，|OE →|＝|OB →|－|BE →|＝|OB →|－|BD →|cos 60°＝1－12＝12，∴点D 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－12，32.。

【走向高考】2015高考数学(通用版)二轮复习课件专题3 第1讲等差、等比数列的通项、性质与前n项和

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[解析]
( 1 ) 证明：因为
Sn＝4an－p(n∈N*)，
则 Sn－1＝4an－1－p(n∈N*，n≥2 )，所以当 n≥2 时， an＝Sn－Sn－1＝4an－4an－1， 4 整理得 an＝3an－1. p 由 Sn＝4an－p，令 n＝1，得 a1＝4a1－p，解得 a1＝3. 4 p 所以 {an}是首项为 3，公比为 3的等比数列．
数列与函数的关系，巧妙利用an与Sn的关系进行转化，细辨应用问题中的条件与结论是通项还是前 n项和，集中突破数列求和的五种方法(公式法、倒序相加法、错位相减法、分组求和法、裂项相消法).
专题三第一讲
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1．应用an与Sn的关系，等比数列前n项和公式时，注意分类讨论．
2．等差、等比数列的性质可类比掌握．注意不要用混．
3．讨论等差数列前n项和的最值时，不要忽视n为整数的条件和an＝0的情形． 4．等比数列{an}中，公比q≠0，an≠0.
专题三第一讲
走向高考 ·二轮专题复习 ·新课标版 ·数学
命题热点突破
专题三第一讲
走向高考 ·二轮专题复习 ·新课标版 ·数学
[ 答案]
D
专题三第一讲
走向高考 ·二轮专题复习 ·新课标版 ·数学
[解析]
依题意得a6＝S6－S5<0,2a3－3a4＝2(a1＋2d)－3(a1
＋ 3d) ＝－ (a1 ＋ 5d) ＝－ a6>0,2a3>3a4 ； 5a5 － (a1 ＋ 6a6) ＝ 5(a1 ＋ 4d)－a1－6(a1＋5d)＝－2(a1＋5d)＝－2a6>0,5a5>a1＋6a6；a5＋

高中数学高考27第一部分板块三第1讲集合、复数与常用逻辑用语

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
6.(2019·洛阳模拟)若复数z为纯虚数，且(1＋i)z＝a－i(其中a∈R)，则|a＋z|等于
√A. 2
C.2
B. 3 D. 5
解析复数z为纯虚数，(1＋i)z＝a－i，
z＝a1－＋ii＝a1－＋ii11－－ii＝a－1－2a＋1i，根据题干得到a－2 1＝0 且－a＋2 1≠0⇒a＝1， ∴z＝－i，|a＋z|＝1＋z＝1－i＝ 2.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
8.(2019·晋中模拟)已知集合A＝{x|y＝log2x－1}，集合B＝{x∈N|x2－2x－3≤0}，
则A∩B等于
A.{1,2,3}
√B.{2,3}
C.{x|0<x≤3}
D.{x|1<x≤3}
解析由题意，集合 A＝x|y＝log2x－1＝{x|x>1}，集合 B＝{0,1,2,3}，根据集合的交集的运算，可得A∩B＝{2,3}.
5.(2019·全国Ⅱ)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是
A.α内有无数条直线与β平行
√B.α内有两条相交直线与β平行
C.α，β平行于同一条直线
D.α，β垂直于同一平面
解析对于A，α内有无数条直线与β平行，当这无数条直线互相平行时，α与β可能相交，所以A不正确；对于B，根据两平面平行的判定定理与性质知，B正确，对于C，平行于同一条直线的两个平面可能相交，也可能平行，所以C不正确；对于D，垂直于同一平面的两个平面可能相交，也可能平行，如长方体的相邻两个侧面都垂直于底面，但它们是相交的，所以D不正确，综上可知选B.
A.② C.②③

2013走向高考,贾凤山,高中总复习,数学(北师大),3-1导数及导数的运算

＝
fx0＋Δx－fx0 lim Δx Δx→0
.
第3章第一节
高考数学总复习
②几何意义函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y＝ f(x)上点在(x0，f(x0)) 处的
切线的斜率
(瞬
时速度就是位移函数 s(t)对时间 t 的导数)．相应地，切线方程为．
北师大版
第3章
第一节
高考数学总复习
2．(2011· 江西文，4)曲线 y＝ex 在点 A(0,1)处的切线斜率为 ( ) A．1 C．e B. 2 1 D. e
北师大版
第3章
第一节
高考数学总复习
[答案] A
[解析] 本题主要考查导数的意义． y′＝e ′＝ex，所以 k＝e0＝1.
b －2<0 ⇒ 4c－b2 >0 4
⇒b>0，又 f ′(x)＝2x＋b，故选 C.
第3章
第一节
高考数学总复习
sinθ 3 3cosθ 2 ( 理 ) 设函数 f(x) ＝ x ＋ x ＋ tanθ ，其中 θ ∈ 3 2
5π 0，，则导数 12
f′(1)的取值范围为(
第3章第一节
北师大版
高考数学总复习
北师大版
第3章
第一节
高考数学总复习
导数的概念
fx0－k－fx0 [例 1] (1)若 f ′(x0)＝2，则lim 的值为 2k k→ 0 ________； fa＋Δx－fa－Δx (2)若 f ′(x0)＝A，则lim ＝________. Δx Δx→0
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ex
f(x)＝logax

高考数学第一轮复习各个知识点攻破3-1 数列的概念课件新人教B版

解：(1)观察各项的特点：每一项都比 2 的方幂多 1，所以 an＝2n＋1.
(2)数列的符号规律为(－1)n，由第二、三、四项特
点，可将第一项看作－33，这样，先不考虑符号，则分母为 3,5,7,9，…，可归纳为 2n＋1，分子为 3,8,15,24，…，将其每一项加 1 后变为 4,9,16,25，…，可归纳为(n＋1)2，综上，数列的通项公式为
• 此命题为假命题． • 事实上，设xn＝1，n∈N*，易知数列{xn}是B－数列．但
Sn＝n，|Sn＋1－Sn|＋|Sn－Sn－1|＋…＋|S2－S1|＝n. • 由n的任意性知，数列{Sn}不是B－数列．
• (3)若数列{an}，{bn}是B－数列，则存在正数M1，M2，对任意的n∈N*，有|an＋1－an|＋|an－an－1|＋…＋|a2－ a1|≤M1；|bn＋1－bn|＋|bn－bn－1|＋…＋|b2－b1|≤M2.
命题探究
1.数列是高中数学的重要内容之一，主要考查两个方面：一方面是数列的基本概念，另一方面是数列的运算．对这部分内容的考查除了基础知识的考查外，重点考查运用数列的知识和方法解决问题的能力，在高考中可能会出现新的命题背景，如与日常生活联系密切的教育贷款，购房贷款，增长率等问题．
2.本章以考查数列内容为背景，综合运用函数、方程、不等式等知识，通过运用递推思想、函数与方程、归纳与猜想、等价转化、分类讨论等各种数学思想方法，同时还要注意与解析几何、导数结合的创新题型.
• 已知数列{an}满足a1＝1，an＝3n－1＋an－1(n≥2)，求通项公式an.
解法 2：由 an＝3n－1＋an－1 得 an＝3n－1＋an－1＝3n－1＋3n－2＋an－2＝3n－1＋3n－2＋3n－3＋

第三章第一讲数列

命题意图：先观察各项的特点，然后归纳出通项公式．解析：(1)符号问题可通过(－1)n 或(－1)n＋1 表示，其
《走向高考》高考总复习 · ( ) 数学配统编教材版
各项的绝对值的排列规律为：后面数的绝对值总比前面数
的绝对值大3，故通项公式为an＝(－1)n(3n－2)．
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2010福建卷17题、天津卷22题、重庆卷16题等)
4．数列与解析几何知识结合的题目及数列的应用问题也要引起足够的重视．
)
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第三章
数列
备考指南：
1．数列部分的复习要分为三个方面：(1)重视函数与
数列的联系，重视方程思想在数列中的应用．(2)掌握等差数列、等比数列的基础知识以及可化为等差、等比数列的简单问题，同时要重视等差、等比数列性质的灵活运用．(3)要设计一些新颖题目，尤其是通过探索性题目，
第三章
数列
3．数列{an}的前 n 项和 Sn 满ห้องสมุดไป่ตู้ log2(n2＋Sn)＝2，则 an＝______________________.
3，n＝1 答案： 1－2n，n≥2
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三、忽略n的条件出现错误 4．判断正误，若在数列{an}中a1 ＝1，an＋1 ＝3Sn(n≥1)，则数列{an}
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第三章
数列
8 8 8 (2)将数列变形为 (1－0.1)， (1－0.01)， (1－0.001)，„，《 9 9 9 走 8 1 ∴an＝9(1－10n)． (3)各项的分母分别为 21,22,23,24，„易看出第 2,3,4 项的分 2－3 子分别比分母少 3.因此把第 1 项变为－ 2 ，至此原数列已化 21－3 22－3 23－3 24－3 为－ 21 ， 22 ，－ 23 ， 24 ，„， 2n－3 ∴an＝(－1)n· 2n .

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第三章三角函数与三角形
人教 A 版数学
第三章三角函数与三角形
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第三章三角函数与三角形
重点难点重点：①终边相同的角、轴线角和象限角的表示方法； ②角度数与弧度数的换算； ③三角函数的定义； ④各三角函数值在每个象限的符号； ⑤同角三角函数的关系公式； π ⑥－α，π±α，2π－α， ±α 的诱导公式． 2
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把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫 1 弧度的
角．以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制，它的单位符号是rad，通常略去不写．
第三章三角函数与三角形
5．度与弧度的换算关系
∴180°＝ π rad,1°
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6．弧度制下弧长公式和扇形面积公式扇形弧长l＝ |α|·r ，扇形面积S＝
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为解斜三角形的问题，并注意边角关系与解析几何、立体
几何的联系问题．注意加强化简、求值或判断三角形的形状等问题的训练和立体几何中的计算、与向量的结合等方面的练习．
第三章三角函数与三角形
3．本章试题多以选择题、填空题的形式出现，因此复习中要重视选择题、填空题的一些特殊解题方法训练，如：
π π 在－2，2上的性质(如单调性、最大和最小值、图象与
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x轴
交点等)．
第三章三角函数与三角形
④理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1， sinx ＝tanx. cosx ⑤结合具体实例，了解 y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义；能借助计算器或计算机画出 y＝Asin(ωx＋φ)的图象，观察参数 A，ω，φ 对函数图象变化的影响． ⑥会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．
＝ tanα ；
＝ cotα
；
(3)平方关系：sin2α＋cos2α＝； 1
第三章三角函数与三角形
11．三角函数的诱导公式
(1)诱导公式的内容
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－α
π－α
π＋α
2π－α
sin
－sinα
sinα
－sinα
－sinα
sinα
cosα
cos
cosα
－cosα
－cosα
cosα
cosα
三、解三角形
1．通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问
题．
2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．
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第三章三角函数与三角形
●命题趋势
从近几年的全国高考试卷看，试题内容主要有两个方面：一是重点考查三角函数的图象和性质，尤其是图象变换、周期、最值，题型多为选择题、填空题，但也出现中档的解答题；二是考查三角函数式的恒等变形，利用公式求值，解决简单综合问题，难度为中等；三是简单的应用
第三章三角函数与三角形
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第三章三角函数与三角形
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第三章三角函数与三角形
一、任意角的三角函数 1．任意角、弧度了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互
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化．
第三章三角函数与三角形
2．三角函数 ①借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切) 的定义． π ②借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式(2±α， π±α 的正弦、余弦、正切)，能画出 y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx 的图象，了解三角函数的周期性． ③借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]，正切函数
7．任意角的三角函数的定义
lr.
直角坐标系中任意大小的角 α 终边上一点 P 的坐标(x， y)， y x y P 到原点的距离是 r(r＞0)，那么 sinα＝r ，cosα＝r ，tanα＝x分别叫做角 α 的正弦、余弦、正切．
第三章三角函数与三角形
8．正弦、余弦、正切函数的定义域
三角函数 sinα cosα tanα 定义域 R R π {α|α≠kπ＋，k∈Z} 2
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三角函数的性质和图象主要考查三角函数的概念、周
期性、单调性、有界性、对称性及图象的平移和伸缩变换等，多以小而活的选择题和填空题的形式出现，有时也会出现以函数性质为主、结合图象的综合题．尤其是y＝ Asin(ωx＋φ)的图象与性质考查较多．
第三章三角函数与三角形
三角函数的化简求值及最值问题，主要考查同角三角
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与不等式、平面向量、数列、解析几何、立体几何等都可
能结合起来，重点仍是与平面向量的结合．
第三章三角函数与三角形
●备考指南 1．任意角的三角函数和三角恒等变换的复习，要立足
于教材，弄清公式的来龙去脉及适用条件，掌握基本的三
角变换，要注意对公式的正用、逆用、变形应用的训练，以增强变换的意识；同时，要归纳解题思路及解题规律，如在三角函数求值问题中，一般是用基本公式，把未知角变换为已知角来解；在求最值、周期问题中，其思路是合
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正、余弦定理判断三角形的形状的选择、填空题，一般为
容易题；四是将三角函数的图象与性质，三角恒等变换，平面向量及不等式等融合在一起，有一定的综合性的大题．
第三章三角函数与三角形
角的概念的考查多结合三角函数的基础知识进行．对
求角的集合的交、并等计算技能的考查，有一定综合性，涉及的知识点较多，不过多比较浅显．三角函数的意义与三角函数的符号一般在最基本的层面上用选择、填空题的形式考查．
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理运用公式把已知表达式化为一个角的一种三角函数式来
求解，由于新课标对三角变换的要求降低了很多，因此复习时选题不宜太难，注重通性通法，要重视对有关结论的掌握，不要刻意追求特别技巧．
第三章三角函数与三角形
2．解三角形的复习应弄清应用正弦定理和余弦定理解
决三角形问题的基本题型与思路，会应用面积公式，注意解的讨论．体会如何用代数方法解决几何问题，学习将实际问题中的长度、角度看成三角形中的边和角，将实际问题转化
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第三章三角函数与三角形
难点：①三角函数定义及符号． ②弧度制． ③公式的综合运用．
知识归纳
1．角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形，按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫做负
第三章三角数与三角形
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第三章三角函数与三角形
一、构造思想
[例 1]
π 已知：α∈0，2，求证：sinα<α<tanα.
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分析：构造单位圆，利用单位圆中的三角函数线及三角形和扇形的面积来证明．
第三章三角函数与三角形
证明：设角 α 与单位圆交于 P，则 MP＝sinα，AT＝tanα，如图所示， PA 的长 l＝α.连结 AP. 1 1 △POA 的面积＝2OA· MP＝2sinα. 1 1 扇形 OAP 的面积＝2l· OA＝2α. 1 1 △OAT 的面积＝ OA· AT＝ tanα. 2 2 1 1 1 ∵S△POA<S 扇形 OAP<S△OAT，即2sinα<2α<2tanα. ∴sinα<α<tanα.
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第三章三角函数与三角形
9.各象限内角的三角函数值的符号如下图所示：
三角函数正值口诀：Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ两切，Ⅳ余弦．
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第三章三角函数与三角形
10．同角三角函数的基本关系 (1)倒数关系：tanα·cotα＝1；
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(2)商数关系：
sinα
第三章三角函数与三角形
(2)诱导公式的规律 kπ 诱导公式概括为： ± α(k∈Z)的正弦、余弦值，当 k 2 为偶数时，得角 α 的同名三角函数值；当 k 为奇数时，得角 α 相应的余函数值，然后放上把角 α 看成锐角时原函数所在象限的符号；可概括为“奇变偶不变，符号看象限． ”
注意用“是否是同角”来区分和选用公式．
第三章三角函数与三角形
9．在应用诱导公式进行三角式的化简、求值时，应注意公式中符号的选取．应用公式时把角α看成锐角，如果出现kπ±α的形式时，常对k值是奇数还是偶数进行分类讨论，教以确定角所在的象限．
A 版数学人
10．下列概念应注意区分
小于90°的角；锐角；第一象限的角；0°～90°的角．
第三章三角函数与三角形
π 4．正切函数 y＝tanx 的定义域是{x∈R|x≠kπ＋2， k∈Z}，不是 R. 5．判断三角函数值的符号时，应特别注意角所在象限的确定，不要忽略角的终边落在坐标轴上的情况． 6．三角函数定义中，角 α 的三角函数值仅仅与角 α 的终边位置有关，而与终边上点 P 的位置无关．
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第三章三角函数与三角形
7．已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余3种三角函数值时，如果应用平方关系，就要进行分类讨论，先确定角的终边所在的象限，再确定三角函数值的符号．要注意公式的合理选择和方法的灵活性．
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8．在利用同角三角函数的基本关系化简、求值时，要
(2) 正化主：当已知角是大于 360° 的角时，可用 k·360°＋α 的诱导公式把这个角的三角函数值化为主区间 (0°，360°)上的角的三角函数值；
第三章三角函数与三角形