相似三角形提高练习系列二
3.3(第10课时)相似三角形的性质和判定(提高练习2)(备用)
BC
提示： (1)△ABE∽△ACD
D E B
分析：△AED不可能与△DBC相似； (2)△AED∽△ABC。
C
6、如图, 在△ABC中, ∠C＝ 90°， BC＝ 8cm， 4AC－3BC＝ 0,点P从B点出发,沿BC方向以2cm/s速度 移动.点Q 从C点出发,沿CA方向以1cm/s速度移动.若 P,Q分别从B,C同时出发,经过多少秒时, △CPQ与 A △CBA相似? 提示： (1)△CPQ∽△CBA Q
A
A 图2 K G H B B E D F C B E D F C E n个 K A
H
K
G
图1 H
…
G
D
F
C
综合练习1(变式2）
12、如图，矩形FGHN内接于△ABC，FG在BC上，NH分别在AB、AC上，且AD⊥BC于D，交 NH于E，AD=8cm,BC=24cm, (1) △ABC∽ △ANH成立吗？试说明理由； (2)设矩形的一边长NF=x,求矩形FGHN 的面积y与x的关系式。
相似三角形判定方法
知识回顾1
1、(定义法)三个角对应相等,且三条边对应成比例的 两个三角形叫作相似三角形. 2、（判定定理1）三边对应成比例的两个三角形相似。 常 3、（判定定理2）两角对应相等的两个三角形相似。 用 4、（判定定理3）两边对应成比例且夹角相等的两 个
三角形相似 5、（特殊）斜边与一直角边对应成比例的两个直角三 角形相似
提示： (2)△CQP∽△CBA
B P C
6、如图, 在△ABC中, ∠C＝ 90°， BC＝ 8cm， 4AC－3BC＝ 0,点P从B点出发,沿BC方向以2cm/s速度 移动.点Q 从C点出发,沿CA方向以1cm/s速度移动.若 P,Q分别从B,C同时出发,经过多少秒时, △CPQ与 A △CBA相似? 提示： (1)△CPQ∽△CBA Q
相似三角形的性质提高题及答案.docx
相似三角形的性质知识精要相似三角形对应边的比称为这两个三角形的相似比，形似比用字母k表示。
AR RC CA如厶ABa△ A'R'C',贝U =C=C =k,注意：相似比具有方向性，若写A' B' B'C' C'A'1作厶ABC' ABC则相似比为丄。
k根据合比容易得到“相似三角形的周长比等于相似比”,记厶ABC^n△ A'B'C'的周长分别为C ABC 和 C A'B'C',则C ABC : CA B C ' ^k.类型一相似比与周长比在有关相似三角形的计算问题中，通过对应边的比例式建立方程式常用的方法。
例题精解例1如图，已知等边三角形ABC的边长为6,过重心G作DE//BC,分别交AB,AC 于点D,E.点P在BC上，若△ BDP与厶CEP相似，求BP的长。
解T f；的丑心,BE // ↑∖t∖Λ n M LAn rT . AH - 61Λ HD2.同理CE= 2#T ZB = ZC.A翌便ZXBDP 似，杠曲种情况主(i) 设BP =工，则？= 9Jr i一6工+ 4 =广；*BP CE X 2工=：3 ±岳*— = V BD K CE.A BP = PC = 3. IiP PCΛBp = 3 +√5或3—岳或3时，△月DF与ACEP相亂点评：这是一类常见的有关三角形相似的分类讨论的问题。
图中只能确定一组相等的角（∠ B=∠ C）为对应角，但“这个角的两组夹边对应成比例”的比例式排列顺序还不能完全确定，因此要分为两种情况进行讨论。
【举一反三】1、如图，△ ABC中，CD是角平分线，E在AC上，CD=CB- CE.(1)求证：△ ADE^△ ACD(2)如果AD=6 AE=4 DE=5 求BC的长。
点评：先根据判定定理2得到△ BCD^△ DCE再根据判定定理1得到△ ADE^△ ACD这种类似于“二次全等”的“二次相似”是证明相似三角形常用的方法。
相似三角形专项训练_提高题
E FDAB CFEA BC D 相似三角形专项训练 提高题1、已知：在三角形ABC 中，D 为AB 中点，E 为AC 上一点，且ECAE=2，BE 、CD 相交于点F ，求EFBF的值 FDE ABC取AE 中点F ，连接DF ，2、已知：在三角形ABC 中，AD=31AB ，延长BC 到F ，使CF=31BC ，连接FD 交AC 于点E ，求证：（1）DE=EF ，（2）AE=2CE作CG//AB 交EF 于点G ，则ΔFCG ∽ΔFBD→CG/BD=FC/FB=1/4；∴CG=1/4BD=1/2AD.∴CG/AD=1/2, .ΔCEG ∽ΔAED→CE/AE=CG/AD=1/2→AE=2CE. CG//AB→FG/GD=FC/CB=1/3→GD=3FG→DE+EG=3FG ∵EG/DE=CE/AE=1/2∴EG=1/2DE ∴DE+1/2DE=3FG →FG=1/2DE ∴EF=EG+FG=1/2DE+1/2DE=DE.3、已知：D 、E 为三角形ABC 中AB 、BC 边上的点，连接DE 并延长交AC 的延长线于点F ，BD ：DE=AB ：AC ，求证：三角形ABC 为等腰三角形过A 作AG 平行DE 交BC 于GDE:AG=BD:AB,即BD:DE=AB:AG 又BD ：DE=AB ：AC AG=AC又AG 平行DE 即AG 平行EF AG ：EF=AC ：FC EF=FCEFC 是等腰三角形4、已知：AB//CD//PQ 求证：PQAB CD 111=+ DQACBPAB ‖CD ‖PQ=>CP/CA=PQ/AB,AP/CA=PQ/CD=>CP/CA+AP/CA=PQ/AB+PQ/CD =>1=PQ/AB+PQ/CD =>1/PQ=1/AB+1/CD 即1/CD+1/AB=1//PQ77、已知：在正三角形ABC 中，点D 、E 分别是AB 、BC 延长线上的点，且BD=CE ，直线CD 与AE 相交于点F 求证：(1) DC=AE ； (2) DF DC AD 2∙=15、已知：直角梯形ABCD 中，AB//CD ，∠ABC=90度， AB=2CD ，对角线B D ⊥AC ，垂足为F ， 过点F 作EF//AB 交AD 于E ，CF=4 （1）求证：三角形DAB 为等腰三角形 （2）求AE 的长ED BFACF EAB C D9．(2009武汉)如图1，在Rt 中，90BAC ∠=°，AD BC ⊥于点D ，点O 是AC边上一点，连接BO 交AD 于F ，交BC 边于点E ．（1）求证：ABF COE △∽△；（2）当O 为AC 边中点，2AC AB =时，如图2，求OFOE 的值； （3）当O 为AC 边中点，AC n AB =时，请直接写出OFOE的值．【关键词】相似三角形的判定和性质【答案】解：（1）AD BC ⊥，90DAC C ∴∠+∠=°．90BAC BAF C ∠=∴∠=∠ °，．90OE OB BOA COE ∴∠+∠= ⊥，°，，ABF COE ∴∠=∠．ABF COE ∴△∽△；（2）解法一：作OG AC ⊥，交AD 的延长线于G ．2AC AB = ，O 是AC 边的中点，AB OC OA ∴==．由（1）有ABF COE △∽△，，BF OE ∴=．BADE C OF GBBAACOE D DEC O F 图1图2F90BAD DAC ∠+∠= °，90DAB ABD DAC ABD ∠+∠=∴∠=∠°，，又90BAC AOG ∠=∠=°，AB OA =．ABC OAG ∴△≌△，2OG AC AB ∴==．，AB OG ∴∥，ABF GOF ∴△∽△，OF OGBF AB∴=，．解法二：902BAC AC AB AD BC ∠== °，，⊥于D ， ．2AD ACBD AB∴==． 设1AB =，则252AC BC BO ===，，，21155525AD BD AD ∴===，． 90BDF BOE BDF BOE ∠=∠=∴ °，△∽△， BD BODF OE∴=． 由（1）知，设OE BF x ==，1525DF x∴=，10x DF ∴=． 在DFB △中2211510x x =+，23x ∴=． 2422233OF OB BF ∴=-=-=．4232223OF OE ∴==．（3）OFn OE=．BAD E C OF5、（2010年教育联合体）如图，点P 是菱形ABCD 的对角线BD 上一点，连结CP 并延长，交AD 于E ，交BA 的延长线点F ．问：(1) 图中△APD 与哪个三角形全等？并说明理由．[来源:学|科|网] (2) 求证：△APE ∽△FPA ．(3) 猜想：线段PC 、PE 、PF 之间存在什么关系？并说明理由．(1) △APD ≌△CPD理由： ∵四边形ABCD 菱形∴AD=CD, ∠ADP=∠CDP又∵PD=PD[来源:学科网ZXXK] ∴△APD ≌△CPD(2) 证明：∵△APD ≌△CPD ∴∠DAP=∠DCP ∵CD ∥BF ∴∠DCP=∠F ∴∠DAP= ∠F 又∵∠APE=∠FPA ∴△APE ∽△FPA(3) 猜想：PF PE PC ∙=2 理由: ∵△APE ∽△FPA∴PA PE FPAP =∴ PF PE PA ∙=2 ∵△APD ≌△CPD∴PA=PC ∴PF PE PC ∙=26、如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，连接DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE ＝∠B.(1) 求证：△ADF ∽△DEC(2) 若AB ＝4,AD ＝33,AE ＝3,求AF 的长.（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形∴∠B+∠C=180°，且AD ∥BC 则：∠ADE=∠DEC （两直线平行，同位角相等） ∵∠AFE=∠B ，且∠AFE+∠AFD=180° ∴∠AFD=∠DCE ∴△ADF ∽△DEC（2）∵DC=AB=4（平行四边形对边相等）。
三角形相似练习题
三角形相似练习题三角形相似练习题在数学中，三角形相似是一个重要的概念。
相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的三角形。
相似三角形之间存在着特殊的比例关系，这对于解决各种几何问题非常有用。
在本文中，我将给出一些三角形相似的练习题，帮助读者熟练掌握这一概念。
练习题一：已知两个三角形ABC和DEF，且∠A=∠D，∠B=∠E，AB/DE=2/3。
问是否可以得出这两个三角形相似？解答：根据相似三角形的定义，我们需要满足两个条件：对应角相等，对应边成比例。
在这个问题中，已经给出∠A=∠D和∠B=∠E，所以只需要验证对应边是否成比例。
已知AB/DE=2/3，我们可以通过交叉相乘的方式得到AB/DE=BC/EF。
由此可得AB/BC=DE/EF=2/3。
因此，根据对应边成比例的条件，我们可以得出三角形ABC和DEF相似。
练习题二：已知三角形ABC和DEF相似，且AB/DE=3/5，AC/DF=4/7。
若BC=8，求EF的长度。
解答：根据相似三角形的定义，我们可以得知AB/DE=BC/EF。
已知AB/DE=3/5，BC=8，所以可以得到3/5=8/EF。
通过交叉相乘的方式可以得到3EF=40，因此EF=40/3。
练习题三：已知三角形ABC和DEF相似，且AC/DF=5/9，AB/DE=3/5，BC=12。
求EF的长度。
解答：根据相似三角形的定义，我们可以得知AC/DF=BC/EF。
已知AC/DF=5/9，BC=12，所以可以得到5/9=12/EF。
通过交叉相乘的方式可以得到5EF=108，因此EF=108/5。
练习题四：已知三角形ABC和DEF相似，且AB/DE=3/5，BC/EF=4/7，AC/DF=6/11。
求三角形ABC和DEF的周长比。
解答：根据相似三角形的定义，我们可以得知AB/DE=BC/EF=AC/DF。
已知AB/DE=3/5，BC/EF=4/7，AC/DF=6/11。
我们可以通过求这些比例的平均值来得到周长比。
初中数学相似三角形题型归类——成比例线段专项练习2(附答案详解)
初中数学相似三角形题型归类——成比例线段专项练习 2（附答案详解）
1．已知线段 a 2cm ， b 8cm ，它们的比例中项 c 是（ ）
A． 4cm
B． 4cm
C．16cm
D． 16cm
2．下列各组线段（单位：cm）中，成比例线段的是（ ）
A．1、2、2、3
B．1、2、3、4
C．1、2、2、4 D．3、5、9、13
金分割点( AP2 P1P2 ),点 P3 是线段 AP2 的黄金分割点( AP3 P2P3 ),..,依此类推,则线段
AP2020 的长度是（
）
A． (3 5 )2020 2
B． ( 5 1)2020 2
C． ( 1)2020 2
D． ( 5 2)1010
11．爱好骑行的小明想知道从淮北到首都北京的距离大约是多少，因此他从一张比例尺
AB AC AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点，AC 与 AB 的比叫做黄金比．请
计算黄金比．
22．已知 x y z ，且 2x+3y﹣z＝18，求 4x+y﹣3z 的值． 234
23．阅读理解：
如图①，点 C 将线段 AB 分成两部分，若 AC = BC ，则点 C 为线段 AB 的黄金分割点． AB AC
相似三角形练习题及答案
相似三角形练习题及答案在初中数学中，相似三角形是一个很重要的概念。
相似三角形具有相同的形状，但是尺寸不同。
理解相似三角形的性质对于解决几何问题和计算三角形的边长和角度非常有帮助。
下面是一些相似三角形的练习题，帮助你巩固对该概念的理解，并附有答案供参考。
练习题一：已知△ABC和△DEF相似，且AB = 6cm，AC = 8cm，BC = 12cm。
若DE = 9cm，求DF和EF的长度。
练习题二：△ABC和△PQR中，∠B = ∠Q，AB = 5cm，BC = 8cm，PQ = 6cm，若AC = 10cm，求PR的长度。
练习题三：已知△ABC和△DEF相似，DE = 4.5cm，EF = 6cm，BC = 12cm，若AC = 8cm，求△ABC和△DEF的周长比。
练习题四：在△ABC中，∠B = 90°，AB = 9cm，BC = 12cm。
点D是BC的中点，于BC上作DE ⊥ BC，DE = 3cm。
求△ADE和△ABC的周长比。
练习题五：已知△ABC和△DEF相似，AB = 10cm，BC = 12cm，AC = 15cm，EF = 6cm，若△DEF的面积为18平方厘米，求△ABC的面积。
答案及解析如下：练习题一：由相似三角形的性质可知，相似三角形的边长之比相等。
设DF = x，EF = y。
根据题意可写出比例：AB/DE = AC/EF = BC/DF代入已知值，得到：6/9 = 8/y = 12/x解得：x = 16cm，y = 12cm因此，DF = 16cm，EF = 12cm。
练习题二：由相似三角形的性质可知，相似三角形的边长之比相等。
设PR = x。
根据题意可写出比例：AB/PQ = AC/PR = BC/QR代入已知值，得到：5/6 = 10/x = 8/(6 + x)解得：x = 15cm因此，PR = 15cm。
练习题三：由相似三角形的性质可知，相似三角形的边长之比相等。
相似三角形提高练习
C DBPBCA相似三角形提高练习一、 三角形角平分线有关内容： (一)角平分线的性质: 1、三角形一个内角的平分线分对边所成的两条线段和这个角的两边对应成比例。
如图，已知△ABC 中，AD 平分∠BAC 。
求证：BD ：CD=AB ：AC2、三角形一个角的外角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。
如图，已知AP 是△ABC 的∠BAC 外角平分线。
求证PC ：PB=AC ：AB(二)例题讲解：例1、若PA ＝PB ，∠APB ＝2∠ACB ，AC 与PB 相交于点D ，且PB ＝4，PD ＝3。
求A D ·DC 的值。
BAB例2、在△ABC 中，∠C ＝900，CD 是∠C 的平分线，且CA ＝3，CB ＝4，点P 是BC上的一个动点，CP=x 。
（1）设PE=y ，求y 关于x 的函数解析式；（2）当x 为何值时，△CPE ∽△ADE 。
例3、Rt △ABC 中，∠ACB ＝900，CD ⊥AB 于D ，AF 平分∠CAB 交CD 于E ，交CB 于F ，且EG ∥AB 交CB 于G 。
试确定CF 与GB 的大小关系。
ACEC (三)针对练习:1、在直角三角形ABC 中，∠C=90，AD 平分∠A ，且BD ：DC=2:1.求∠B 的度数。
2、在Rt △ABC 中，∠C=90，CD 是斜边上的高，CE 平分∠C ，若AE ：EB=2：3，求AD ：DB 的值。
3、已知，在Rt △ABC 中，∠C=90，CD ⊥AB ，AE 平分∠CAB 交CD 与点M ，CN 平分∠DCB 交AB 与点N 。
求证（1）MN ∥BC ；（2）MN ：NB=AC ：BCABAC4、在△ABC中，∠B的平分线交AC与点D，∠C的平分线交AB与点E，且BE=CD，求证AB=AC5、在△ABC中，AC=3AB，∠A的平分线交BC与点D，DE∥AC，DF∥AB，分别交AB、AC与点E、F，FE的延长线交CB的延长线与点G。
中考数学总复习《相似三角形综合压轴题》专项提升练习(附答案)
中考数学总复习《相似三角形综合压轴题》专项提升练习(附答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题．【证明体验】如图1，在四边形ABCD 中点P 为AB 上一点90DPC A B ∠=∠=∠=︒，求证：AD BC AP BP ⋅=⋅． 【思考探究】（2）如图2，在四边形ABCD 中点P 为AB 上一点，当DPC A B β∠=∠=∠=时，上述结论是否依然成立？说明理由． 【拓展延伸】（3）请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图3，在ABC 中22AB =45B ∠=︒以点A 为直角顶点作等腰Rt ADE △，点D 在BC 上，点E 在AC 上，点F 在BC 上，且45EFD ∠=︒，若5CE =CD 的长．2．综合实践问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．如图1，在ABC 中90,4B AB BC ∠=︒==分别取AB ，AC 的中点D ，E ，作ADE ．如图2所示，将ADE 绕点A 逆时针旋转，连接BD ，CE ．(1)探究发现旋转过程中线段BD 和CE 的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明． (2)性质应用如图3，当DE 所在直线首次经过点B 时，求CE 的长． (3)延伸思考如图4，在Rt ABC △中90,8,6ABC AB BC ∠=︒==，分别取AB ，BC 的中点D ，E ．作BDE ，将BDE 绕点B 逆时针旋转，连接AD ，CE ．当边AB 平分线段DE 时，求tan ECB ∠的值．3．如图，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，DME A B α∠=∠=∠=且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于G ．(1)写出图中两对相似三角形；(2)连接FG ，如果45α=︒，42AB =3AF =，求FG 的长．4．如图，在ABC 中6cm AB =，12cm BC =和90B ．点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm /s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm /s 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，设移动时间为()s t ．(1)当2t =时，求PBQ 的面积； (2)当t 为多少时，PBQ 的面积是28cm ？ (3)当t 为多少时，PBQ 与ABC 是相似三角形？5．下面是小新同学在“矩形折叠中的相似三角形”主题下设计的问题，请你解答．如图，已知在矩形ABCD 中点E 为边AB 上一点（不与点A 、点B 重合），先将矩形ABCD 沿CE 折叠，使点B 落在点F 处，CF 交AD 于点H ．(1)观察发现：写出图1中一个与AEG △相似的三角形：______．（写出一个即可）(2)迁移探究：如图2，若4AB =，6BC =当CF 与AD 的交点H 恰好是AD 的中点时，求阴影部分的面积． (3)如图③，当点F 落在边AD 上时，延长EF ，与FCD ∠的角平分线交于点M ，CM 交AD 于点N ，当FN AF ND =+时，请直接写出ABBC的值．6．【阅读】如图1，若ABD ACE ∽，且点B 、D 、C 在同一直线上，则我们把ABD △与ACE △称为旋转相似三角形．(1)【理解】如图2，ABC 和ADE 是等边三角形，点D 在边BC 上，连接CE ．求证：ABD △与ACE △是旋转相似三角形．(2)【应用】如图3，ABD △与ACE △是旋转相似三角形AD CE ，求证：③ABC ADE △△∽；③AC DE =；(3)【拓展】如图4，AC 是四边形ABCD 的对角线90,D B ACD ∠=︒∠=∠，25,20BC AC ==和16AD =，试在边BC 上确定一点E ，使得四边形AECD 是矩形，并说明理由．7．综合与实践如图1，已知纸片Rt ABC △中90BAC ∠=︒，AD 为斜边BC 上的高（AD BC ⊥于点D ）． 观察发现（1）请直接写出图中的一组相似三角形．（写出一组即可）实践操作第一步：如图2，将图1中的三角形纸片沿BE 折叠（点E 为AC 上一点），使点A 落在BC 边上的点F 处； 第二步：BE 与AD 交于点G 连接GF ，然后将纸片展平． 猜想探究（2）猜想四边形AEFG 是哪种特殊的四边形，并证明猜想． （3）探究线段GF ，BE ，GE 之间的数量关系，并说明理由．8．如图1，已知AD 是ABC 的角平分线，可证AB BDAC CD=．证明思路是如图2，过点C 作CE AB ∥，交AD 的延长线于点E ，构造相似三角形来证明AB BDAC CD=．(1)利用图2证明AB BDAC CD=； (2)如图3，在Rt ABC △中90BAC ∠=︒，D 是边BC 上一点．连接AD ，将ACD 沿AD 所在直线折叠，点C 恰好落在边AB 上的E 点处．若1AC =，AB=2，求DE 的长．9．【教材原题】如图③，在ABC 中DE BC ∥，且3AD =，2DB =图中的相似三角形是__________，它们的相似比为__________ ；【改编】将图③中的ADE 绕点A 按逆时针方向旋转到如图③所示的位置，连接BD 、CE ．求证：ABD ACE ∽△△；【应用】如图③，在ABC 和ADE 中90BAC DAE ∠=∠=︒，30ABC ADE ∠=∠=︒点D 在边BC 上，连接CE ，则ACE △与ABD △的面积比为__________．10．问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD 是ABC 的角平分线，可证AB BDAC CD=小慧的证明思路是：如图2，过点C 作CE AB ∥，交AD 的延长线于点E ，构造相似三角形来证明．(1)尝试证明：请参照小慧提供的思路，利用图2证明AB BDAC CD=； (2)基础训练：如图3，在Rt ABC △中90BAC ∠=︒，D 是边BC 上一点．连接AD ，将ACD 沿AD 所在直线折叠，点C 恰好落在边AB 上的E 点处．若1AC =，2AB =求DE 的长；(3)拓展升华：如图4，ABC 中6AB = ，AC=4，AD 为BAC ∠的角平分线，AD 的中垂线EF 交BC 延长线于F ，当3BD =时，求AF 的长．11．定义：两个相似三角形，如果它们的一组对应角有一个公共的顶点，那么把这两个三角形称为“阳似三角形”、如图1，在ABC 与AED △中ABC AED ∽△△．所以称ABC 与AED △为“阳似三角形”，连接EB DC ，，则DCEB为“阳似比”．(1)如图1，已知R ABC 与Rt AED △为“阳似三角形”，其中90CBA DEA ∠=∠=︒，当30BAC ∠=︒时，“阳似比”DCEB=______； (2)如图2，二次函数234y x x =-++交x 轴于点A 和B 两点，交y 轴于点C ．点M 为直线12y x =在第一象限上的一个动点，且OMB △与CNB 为“阳似三角形”，连接CM ③当点N 落在二次函数图象上时，求出线段OM 的长度； ③若32CN =34BM MC +的最小值．12．已知在Rt ABC △中90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ．(1)在图1中写出其中的两对相似三角形．(2)已知1BD =，DC=2，将CBD △绕着点D 按顺时针方向进行旋转得到C BD '，连接AC '，BC ． ③如图2，判断AC '与BC 之间的位置及数量关系，并证明； ③在旋转过程中当点A ，B ，C '在同一直线上时，求BC 的长．13．定义：若一个四边形能被其中一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“和谐四边形”，这条对角线叫“和谐线”．(1)如图1，在44⨯的正方形网格中有一个网格Rt ABC △和两个网格四边形ABCD 与四边形ABCE ，其中是被AC 分割成的“和谐四边形”的是______．(2)如图2，BD 平分ABC ∠，43BD =10BC =，四边形ABCD 是被BD 分割成的“和谐四边形”，求AB 长； (3)如图3，A 为抛物线24y x =-+的顶点，抛物线与x 轴交于点B ，C ．在线段AB 上有一个点P ，在射线BC 上有一个点Q ．P 、Q 5/秒，5个单位/秒的速度同时从B 出发分别沿BA ，BC 方向运动，设运动时间为t ，当其中一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．在第一象限的抛物线上是否存在点M ，使得四边形BQMP 是以PQ 为和谐线分割的“和谐四边形”，若存在，请直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．14．【阅读理解】小白同学遇到这样一个问题：ABC 中D 是BC 的中点，E 是AB 上一点，延长DE 、CA 交于点F ，DE=EF ，AB=5，求AE 的长．小白的想法是：过点E 作EH BC ∥交AC 于H ，再通过相似三角形的性质得到AE 、BE 的比，从而得出AE 的长．请你按照小白的思路完成解答．【解决问题】请借助小白的解题经验，完成下面问题：ABC 中AD 平分BAC ∠交BC 于D ，E 为AB 边上一点，AE=AD ，H 、Q 为BC 上两点，CQ DH =和DQ mDH =，G 为AC 上一点，连接EQ 交HG 、AD 于F 、P ，180EFG EAD ∠+∠=︒猜想并验证EP 与GH的数量关系．15．【温故知新】（1）九（1）班数学兴趣小组认真探究了课本P 91第13题：如图1，在正方形ABCD 中E 是AD 的中点，F 是CD 上一点，且3CF DF =，图中有哪几对相似三角形?把它们表示出来，并说明理由．③小华很快找出ABE DEF △△∽，他的思路为：设正方形的边长4AB a =，则2,AE DE a DF a ===，利用“两边分别成比例且夹角相等的两个三角形相似”即可证明，请你结合小华的思路写出证明过程； ③小丽发现图中的相似三角形共有三对，而且可以借助于ABE 与DEF 中的比例线段来证明EBF △与它们都相似．请你根据小丽的发现证明其中的另一对三角形相似；【拓展创新】（2）如图2，在矩形ABCD 中E 为AD 的中点，EF EC ⊥交AB 于F ，连结FC ．()AB AE > ③求证：AEF ECF ∽△△；③设2,BC AB a ==，是否存在a 值，使得AEF △与BFC △相似．若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由．参考答案：1．（3）52．(1)2BD CE =(2)6CE =(3)1tan 2ECB ∠=3．(1)DMG ③DBM △，EMF ③EAM △ (2)53FG =4．(1)8(2)2秒或4秒(3)当t 为3或1.2秒钟，使PBQ 与ABC 相似．5．(1)FHG △或DHC （写出一个即可）(2)阴影部分的面积是23 (3)AB BC 的值为357．（1）ABC DBA ∽ ABC CAD ∽ DBA DAC ∽（其中一个即可，答案不唯一）；（2）四边形AEFG是菱形，（3）212GF GE BE =⋅ 8． 5 9．【教材原题】ADE ABC △△∽，35【应用】13 10．5(3)611．23105337 12．(1)BCD ACD ∽ BCD BAC ∽△△ CAD BAC △∽△（任写两对即可）(2)③2AC BC '= AC BC '⊥ ③BC 2595+2595-+13．(1)四边形ABCE ；(2)10AB =或245； (3)1118t = 2881t = 1825t = 180169t =．14．阅读理解 54AE =；解决问题，猜想：12EP m GH m +=+． 15．③存在 3。
初二数学《相似三角形》拔高专项训练题
相像三角形专项训练 提升题1、已知： P 为平行四边形 ABCD 对角线 AC 上一点，过点 P 的直线与 AD 、BC ， CD 的延伸线， AB 的延伸线分别订交于点 E 、 F 、 G 、 H求证： PE PHPFPGGDCEPFABHAE 2、已知：在三角形 ABC 中， D 为 AB 中点， E 为 AC 上一点，且EC求BF的值=2， BE 、 CD 订交于点 F ，EFADFEBC3、已知：在三角形1 AB ，延伸 BC 到 F ，使 CF=1 ABC 中， AD= BC ，连结 FD 交 AC 于点 E ，33求证：（ 1） DE=EF ，（ 2） AE=2CEADEBCF4、已知： D 、 E 为三角形 ABC 中 AB 、 BC 边上的点，连结DE 并延伸交 AC 的延伸线于点F ，BD ： DE=AB ：AC ，求证：三角形 ABC 为等腰三角形ADCEF11 15、已知： AB//CD//PQ求证：CD AB PQDBQA P C6、如图， Rt 三角形 ABC 中，∠ BAC=90 度， AB=AC=2 ，点 D 在 BC 上运动（不可以经过B、 C），过 D 作∠ ADE=45 度， DE 交 AC 于 E。
（1）图中有无与三角形 ABD 必定相像的三角形，如有，请指出来并加以说明（2）设 BD=x,AE=y, 求 y 与 x 的函数关系，并写出其定义域；（3）若三角形 ADE 恰为等腰三角形，求 AE 的长AEB DC7、如图， DE//BC ，S ADE =1，S BDE =1求：S[三角形ABC]AD EBC8、 PD//AB 交 AC 于 D，联络 PA，设 BP=x, S ADP =y求：（ 1） y 与 x 之间的函数关系式并写出定义域；（4 2）当 x 为什么值时， y= ?3CD PA B9、如图， D 是等边三角形ABC 的 BC 上的一个动点，DE⊥ AB ， DF⊥AC ， E、F 是垂足（1）求证：三角形 BD E～三角形 CDE；（2）求证：S BDF = S CDE；（3）设 AB=1 ，BD=x , 求三角形 BDF 的面积 y 对于 x 的函数分析式AFEBD C10、已知：角A=90 度，矩形DGFE 的 D 、E 分别在 AB 、 AC 上， G、 F 在 BC 上（1）假如 DGFE 为正方形， BG=2sqrt(2) ， FC=sqrt(2) ，求正方形 DGFE 的边长；（2）若 AB=12cm,AC=5cm ， DGFE 的面积为 y 平方厘米 ,写出 y 对于 x 的函数分析式，并求由矩形面积为10 平方厘米时 , 求 AD 的长AD EB CG F11、已知：三角形ABC 中，角 ACB=90 度， AB=10 ， BC=8 ， D 点在 BC 上运动（ B 、 C）除外，DE//AC ，交 AB 于 E，设 BD=x ，三角形 ADE 的面积为 y。
相似三角形提高训练题
相似三角形提高训练题一．解答题（共30小题）1．把正方形OFGE纸板按如图①方式放置在正方形纸板ABCD上，顶点G在对角线AC，并把正方形OFGE绕顶点A沿逆时针方向旋转，旋转角为a．（1）如图②，当a＝90°时，请直接写出线段DE与BF的数量关系和位置关系；（2）如图③，当0°＜a＜90°时，（1）中的结论是否发生改变？若不变，请给出证明；若发生改变，请举例说明；（3）如图④，将图①、图③中的两个正方形都改为相似矩形，其他条件不变，设AB＝kAD（k＞0），当0°＜a＜90°时，（1）中的结论是否发生改变？若不变，请给出证明；若发生改变，请写出改变后的新结论，并给出证明．2．如图，点M、N分别是平行四边形ABCD的DC、CB边的中点，连接AM、AN，分别交平行四边形ABCD的对角线BD于E、F点，（1）求证：点E、F是线段BD的三等分点；（2）若▱ABCD的面积为S，求△AMN的面积．3．已知：如图，正方形DEFG内接入Rt△ABC，EF在斜边BC上，EH⊥AB于H．求证：（1）△ADG≌△HED；（2）EF2＝BE•FC．4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝50，AC＝30，D、E、F分别是AC、AB、BC 的中点．点P从点D出发沿折线DE﹣EF﹣FC﹣CD以每秒7个单位长的速度匀速运动；点Q从点B出发沿BA方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，点P、Q同时出发，当点Q运动到点A时停止，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）D、F两点间的距离等于；（2）以点D为圆心，DC长为半径作圆交DE于M，能否在弧CM上找一点N，使直线QN切⊙D于N，且四边形CDEF分成面积相等的两部分？若能，求出t的值．若不能，说明理由；（3）作射线QK⊥AB，交折线BC﹣CA于点G，当t为何值时，点P恰好落在射线QK 上；（4）连接PG，当PG∥AB时，直接写出t的值．5．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，AB＝2DC，对角线AC⊥BD，垂足为F，过点F作EF∥AB，交AD于点E，CF＝4cm．（1）求证：四边形ABFE是等腰梯形；（2）求AE的长．6．如图1，正方形ABCD和正方形QMNP，M是正方形ABCD的对称中心，MN交AB于F，QM交AD于E．（1）猜想：ME与MF的数量关系；（2）如图2，若将原题中的“正方形”改为“菱形”，且∠M＝∠B，其它条件不变，探索线段ME与线段MF的数量关系，并加以证明；（3）如图3，若将原题中的“正方形”改为“矩形”，且AB：BC＝1：2，其它条件不变，探索线段ME与线段MF的数量关系，并说明理由；（4）如图4，若将原题中的“正方形”改为平行四边形，且∠M＝∠B，AB：BC＝m，其它条件不变，求出ME：MF的值．（直接写出答案）7．已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，EA⊥AD，FD⊥AD，AE＝DF，AB＝DC．BF，CE相交于点O．（1）求证：∠ACE＝∠DBF；（2）若点B是AC的中点，∠E＝60°，AE＝4，求△OBC的面积．8．如图，在平行四边形ABCD中，过B作BE⊥CD，垂足为点E，连接AE，F为AE上一点，且∠BFE＝∠C．（1）求证：△ABF∽△EAD；（2）若AB＝4，∠BAE＝30°，求AE的长；（3）在（1）（2）的条件下，若AD＝3，求BF的长．（计算结果可含根号）9．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB＝8，AD＝6，AF＝4，求DE的长．10．（1）如图1，AB＝AC，∠BAC＝60°，点D是平面内一点，连接BD，且BD＜AB，将线段BD绕点D递时针旋转60°得到线段DE，连接AD，CE，则的值为；（2）如图2，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是平面内一点，连接BD，且BD＜AB，将线段BD绕点D递时针旋转90°得到线段DE，连接AD，CE．①求的值；②若AB＝2，BD＝1，当点C，D，E在同一直线上时，直接写出线段AD的长．11．在直角坐标系中，点A（5，0）关于原点O的对称点为点C．（1）请直接写出点C的坐标；（2）若点B在第一象限内，∠OAB＝∠OBA，并且点B关于原点O的对称点为点D．①试判断四边形ABCD的形状，并说明理由；②现有一动点P从B点出发，沿路线BA﹣AD以每秒1个单位长的速度向终点D运动，另一动点Q从A点同时出发，沿AC方向以每秒0.4个单位长的速度向终点C运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．已知AB＝6，设点P、Q的运动时间为t秒，在运动过程中，当动点Q在以P A为直径的圆上时，试求t的值？12．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，设锐角∠DOC＝α，将△DOC按逆时针方向旋转得到△D′OC′（0°＜旋转角＜90°）连接AC′、BD′，AC′与BD′相交于点M．（1）当四边形ABCD是矩形时，如图1，请猜想AC′与BD′的数量关系以及∠AMB 与α的大小关系，并证明你的猜想；（2）当四边形ABCD是平行四边形时，如图2，已知AC＝kBD，请猜想此时AC′与BD′的数量关系以及∠AMB与α的大小关系，并证明你的猜想；（3）当四边形ABCD是等腰梯形时，如图3，AD∥BC，此时（1）AC′与BD′的数量关系是否成立？∠AMB与α的大小关系是否成立？不必证明，直接写出结论．13．1．若方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围．2．如图，已知四边形ABCD是边长为2的正方形，以对角线BD为边作正三角形BDE，过E作DA的延长线的垂线EF，垂足为F．（1）找出图中与EF相等的线段，并证明你的结论；（2）求AF的长．14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝nAC，CD⊥AB于D，点P为AB边上一动点，PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别为E、F．（1）若n＝2，则＝；（2）当n＝3时，连EF、DF，求的值；（3）当n＝时，＝（直接写出结果，不需证明）．15．已F知：如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC与∠BCD的角平分线的交点E恰好在边AD上，延长BE交CD的延长线交于点F，求证：AE＝FC．16．已知▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E是边CD所在直线上一点．（1）如图1，当点E是线段CD的中点时，求证：△DOE∽△BDA；（2）如图2，当点E在CD的延长线上时，连接OE交AD于点F．已知AC⊥AB，∠ABC ＝60°，BC＝8，DE＝3，求DF的长．17．已知在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥BC于点E，且AD＝DE．连接AC交DE 于点F，作DG⊥AC于点G．（1）如图1，若，AF＝，求DG的长；（2）如图2，作EM⊥AC于点M，连接DM，求证：AM﹣EM＝2DG．18．如图，在直角坐标平面内有点A（6，0），B（0，8），C（﹣4，0），点M、N分别为线段AC和射线AB上的动点，点M以2个单位长度/秒的速度自C向A方向做匀速运动，点N以5个单位长度/秒的速度自A向B方向做匀速运动，MN交OB于点P．（1）求证：MN：NP为定值；（2）若△BNP与△MNA相似，求CM的长；（3）若△BNP是等腰三角形，求CM的长．19．如图，在平行四边形ABCD中，∠CAD＝90°，点E、F为AC边上两点，且AE＝AD．（1）如图1，若∠FDC＝∠FDA，延长DF交AB于点G，FH⊥CD且AB＝5，AG＝3，求线段EF的长度；（2）如图2，若FH⊥ED于点P，AH⊥DF于点Q，且DF＝AH，求证：AF＝FH．20．如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，∠DAE的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F．设＝λ（λ＞0）．（1）若AB＝2，λ＝1，求线段CF的长．（2）连接EG，若EG⊥AF，①求证：点G为CD边的中点．②求λ的值．21．如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝3，∠ABC＝120°，D是AB上一点，且D与A、B 不重合，过B、C、D三点的⊙O交AC于点E，连接DE（1）证明：△ABC∽△AED；（2）设AD＝x，CE＝y，求y与x的函数关系式和x的取值范围；（3）当方程x2﹣mx+9＝0只有整数根，AD的长是该方程的根时，求m的值和四边形BCED 的面积．22．如图所示，△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，点D是AB上的一个动点，∠B＝∠EDC，，设CD＝x，△EDC的周长为y，求y与x的函数关系式，并求自变量的取值范围．23．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，P为DC延长线上一点，AP分别交BD，BC 于点M，N．（1）图中相似三角形共有对；（2）证明：AM2＝MN•MP；（3）若AD＝6，DC：CP＝2：1，求BN的长．24．操作：在△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点．图1，2，3是旋转三角板得到的图形中的3种情况．研究：（1）三角板绕点P旋转，观察线段PD和PE之间有什么数量关系，并结合图2加以证明；（2）三角板绕点P旋转，△PBE是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能，请说明理由；（3）若将三角板的直角顶点放在斜边AB上的M处，且AM：MB＝1：3，和前面一样操作，试问线段MD和ME之间有什么数量关系？并结合图4加以证明．25．教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．例2 如图①，在△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相交于点G，求证：．证明连结ED．结论应用：在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为边BC的中点，AE、BD交于点F．（1）如图②，若ABCD为正方形，且AB＝6，则OF的长为．（2）如图③，连结DE交AC于点G，若四边形OFEG的面积为2，则▱ABCD的面积为．26．在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，且∠ADF+∠DEC＝180°，∠AFE ＝∠BDE．（1）如图1，当DE＝DF时，图1中是否存在与AB相等的线段？若存在，请找出，并加以证明；若不存在，说明理由；（2）如图2，当DE＝kDF（其中0＜k＜1）时，若∠A＝90°，AF＝m，求BD的长（用含k，m的式子表示）．27．已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB交BC于点D，过点C作CE⊥AD，垂足为E，CE的延长线交AB于点F，过点E作EG∥BC交AB于点G，AE•AD＝16，．（1）求AC的长；（2）求EG的长．28．如图1，在△ABC和△ADE中，AC＝AB，AE＝AD，∠BAC＝∠DAE＝α，CE、DB交于点F，连接AF．（1）如图2，当α＝90°时，猜想线段AF、BF、CF的数量关系，并证明你的结论；（2）若AF＝kBF，求的值．（用含k、α的式子表示）．29．已知：△ABC与△EDF都是腰长为9的等腰直角三角形，如图1摆放．固定△ABC，将△DEF绕点A顺时针旋转，当DE与AB重合时，旋转中止．在旋转过程中，设DE、DF（或它们的延长线）分别交直线BC于G、H，如图2．（1）请写出图2中所有与△AGC相似的三角形：，选择其一说明理由；（2）当△AGH为等腰三角形时，请直接写出CG的长．30．教材呈现：如下是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．如图23.4.2，在△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点．根据画出的图形，可以猜想：DE∥BC，且DE＝BC．对此，我们可以用演绎推理给出证明．请结合图①，写出完整的证明过程．结论应用：（1）如图②，在△ABC中，∠C＝45°，BC＝6，S△ABC＝12．D、E、F分别为AB、AC、AE的中点，则DF＝；（2）如图③，在（1）的条件下，延长FD、CB相交于点G，则S△DGB＝．。
三角形相似练习(中等50道+提高30道) 含答案
三角形相似(中等50道+提高30道)含答案一．中等题（共50小题）1．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AD＝3，BD＝6，求CD的长．2．如图，是一块三角形材料，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝6．用这块材料剪出一个矩形DECF，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，要使剪出的矩形DECF面积最大，点D应该选在何处？3．如图，BD，CE是△ABC的高．求证：BA•AE＝AC•AD．4．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．求证：DC2＝DA•DB．5．已知：如图所示，直线AE、BD、CF相交于点O，AC∥EF，BC∥DF，求证：AB∥DE．6．如图，在矩形ABCD中，已知AD＞AB．在边AD上取点E，连结CE．过点E作EF⊥CE，与边AB的延长线交于点F．（1）证明：△AEF∽△DCE．（2）若AB＝3，AE＝4，AD＝10，求线段BF的长．7．如图，已知AB∥MN，BC∥NG．（1）求证：；（2）在此图中你还有什么发现？请直接写出2个结论．8．如图，矩形CDEF两边EF、FC的长分别为8和6，现沿EF、FC的中点A、B截去一角成五边形ABCDE，P是线段AB上一动点，试确定AP的长为多少时，矩形PMDN的面积取得最大值．9．如图，在△ABC中，DE∥AC，DF∥AE，BD：DA＝3：2，BF＝6，DF＝8，（1）求EF的长；（2）求EA的长．10．如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C＝∠E，AD：DE＝3：5，AE＝16，BD＝8，（1）求证：△ACD∽△BED；（2）求DC的长．11．如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，将△ABE沿BC方向平移，使点E与点C重合，得△GFC．（1）求证：BE＝DG；（2）若∠B＝60°，且四边形AECG是正方形时，求的值．12．如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且∠BEF＝90°，延长EF交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△EGB；（2）若AB＝4，求CG的长．13．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF经过O，分别交AB、CD于点E、F，EF的延长线交CB的延长线于M．（1）求证：OE＝OF；（2）若AD＝4，AB＝6，BM＝1，求BE的长．14．如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，延长AB至点E，使BE＝AB，连接DE，分别交BC，AC交于点F，G．（1）求证：BF＝CF；（2）若BC＝6，DG＝4，求FG的长．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作⊙O的切线交BC 于点E，连接OE．（1）求证：△DBE是等腰三角形；（2）求证：△COE∽△CAB．16．如图，在▱ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，求△BEF与△DCB的面积比．17．如图，在▱ABCD中，E是BC延长线上的一点，AE与CD交于点F．求证：△ADF∽△EBA．18．如图，在△ABC中，点D在BC边上，BC＝3CD，分别过点B，D作AD，AB的平行线，并交于点E，且ED交AC于点F，AD＝3DF．（1）求证：△CFD∽△CAB；（2）求证：四边形ABED为菱形；（3）若DF＝，BC＝9，求四边形ABED的面积．19．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，F为AD上一点，且BF＝BD．BF的延长线交AC 于点E．（1）求证：AB•AD＝AF•AC；（2）若∠BAC＝60°．AB＝4，AC＝6，求DF的长；（3）若∠BAC＝60°，∠ACB＝45°，直接写出的值．20．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，D为BC上一点，DE⊥AC于E．（1）求证：△ADC∽△BEC；（2）若点D为BC的中点，AB＝4，求BE的长．21．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连接DE．过点A作AF⊥DE，垂足为F，⊙O经过点C、D、F，与AD相交于点G．（1）求证：△AFG∽△DFC；（2）若正方形ABCD的边长为8，AE＝2，求⊙O的半径．22．已知：AB为⊙O的直径，延长AB到点P，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接AC，且∠A＝30°．（1）求证：AC＝PC；（2）若点D是弧AB的中点，连接CD交AB于点E，且DE•DC＝18，求⊙O的面积．23．如图，已知圆内接四边形ABCD的两边AB、DC的延长线相交于点E，DF过圆心O交AB于F，AF＝FB，连接AC．（1）求证：△ACD∽△EAD；（2）若圆O的半径为5，AF＝2BE＝4，求证：AC＝AD．24．如图，已知四边形ABCD的外接圆⊙O的半径为4，弦AC与BD的交点为E，OA与BD相交于点F，AB＝AD．（1）求证：AB2＝AE•AC；（2）若AE＝EC，AF＝2，求△BCD的面积．25．如图，已知四边形ABCD是菱形，点E是对角线AC上一点，连接BE并延长交AD于点F，交CD的延长线于点G，连接DE．（1）求证：△ABE≌△ADE；（2）求证：EB2＝EF•EG；（3）若菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，AE：EC＝1：3，求BG的长．26．如图，点D，E在线段BC上，△ADE是等边三角形，且∠BAC＝120°（1）求证：△ABD∽△CAE；（2）若BD＝2，CE＝8，求BC的长．27．如图，已知CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点D作AC的平行线，过点C作CD的垂线，两线相交于点E．（1）求证：△ABC∽△DEC；（2）若CE＝2，CD＝4，求△ABC的面积．28．如图，已知AB∥CD，AC与BD相交于点E，∠ABE＝∠ACB．（1）求证：△ABE∽△ACB；（2）如果AB＝6，AE＝4，求CD的长．29．已知：如图，在正方形ABCD中，Q是CD的中点，PQ⊥AQ．求证：BP＝3CP．30．如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，点P在BC的延长线上，AP与DE、CD分别交于点G、F．DF＝2CF，AB＝6，求DG的长．31．已知，在Rt△ABC中，以斜边AB上的高CD为直径作了一个圆，圆心为点O，这个圆交线段BC于E 点，点G为BD的中点．（1）求证：GE为⊙O的切线；（2）若＝，GE＝6，求AD的长．32．如图，▱ABCD中，E是AB中点，AC与DE交于点F．（1）求证：△DFC∽△EF A．（2）若AC⊥DE，AB＝2，AF＝2，求DF长．33．已知四边形ABCD中，AB＝AD，AC平分∠DAB，过点C作CE⊥AB于点E，点F为AB上一点，且EF＝EB，△DGC∽△ADC．（1）求证：CD＝CF；（2）H为线段DG上一点，连结AH，若∠ADC＝2∠HAG，AD＝5，DC＝3，求的值．34．如图，⊙O中弦AB与CD交于M点．（1）求证：DM•MC＝BM•MA；（2）若∠D＝60°，⊙O的半径为2，求弦AC的长．35．已知：如图，在△ABC中，D在边AB上．（1）若∠ACD＝∠ABC，求证：AC2＝AD•AB；（2）若E为CD中点，∠ACD＝∠ABE，AB＝3，AC＝2，求BD的长．36．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，AD上，EF⊥CE于点E（1）求证：△AEF∽△BCE．（2）若，求的值．37．如图，已知▱ABCD，点E在边BC延长线上，连接AE，如果∠EAC＝∠D．（1）求证：△EAC∽△EBA；（2）若＝，求的值．38．如图，E是边长为4的正方形ABCD的边AB上的点，且AE＝1，EF⊥DE交BC于点F，求线段CF 的长．39．如图，AB∥CD∥EF，点C在AE上，点G在EF上，AF、BG交于点D，已知CD＝5米，EG＝6米，GF＝9米，求AB的长．40．已知：如图，△ABC中，AD是角平分线，点E在AC上，∠ADE＝∠B，求证：AD2＝AE•AB．41．如图，在矩形ABCD中，点M是CD的中点，MN⊥BM交AD于N，连BN；（1）求证：BM平分∠NBC；（2）若＝，求的值．42．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AB上，且∠ADE＝60°．求证：△ADC∽△DEB．43．如图，△ABC中，DE∥BC，△ADE的面积等于6，△DEC的面积等于9，OE＝4，求BE的长．44．如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上的一点，且∠1＝∠2＝∠3．（1）求证：DE•AB＝BC•AE；（2）求证：∠AEB＝∠ADC．45．已知：如图，在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点E，∠BED＝60°，DE＝OE＝4．求：（1）CE的长；（2）⊙O的半径．46．如图，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD．（1）判断直线CD和⊙O的位置关系，并说明理由；（2）过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若BE＝5，CD＝8，求⊙O的半径．47．如图，点C，P均在⊙O上，且分布在直径AB的两侧，BE⊥CP于点E．（1）求证：△EPB∽△CAB；（2）若BP＝5，BE＝4，AB＝10，求CE的长．48．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，弦AD与OC相交于点E，与BC相交于点F，AE＝DE．（1）求证：∠CBD＝∠OCB；（2）若⊙O的半径为2，BC＝8，求DF的长．49．如图（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：如图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO ＝20°，∠OAC＝80°，AO＝，BO：CO＝1：3，求AB的长．经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2），请回答：∠ADB＝°，AB＝．（2）请参考以上思路解决问题：如图3，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC⊥AD，AO＝6，∠ABC＝∠ACB＝75°，BO：OD＝1：3，求DC的长．50．如图，在△ABC中，∠C＝90°，F为射线BA上一点，且满足CB2＝CE•CA，过B作BD⊥DF于D，交AC边于E．证明：∠BFD＝2∠CBD．二．提高30道1．如图，A，B，C三点在⊙O上，直径BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB交弦BC于点E，在BC的延长线上取一点F，使得EF＝DE．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）连接AF交DE于点M，若AD＝4，DE＝5，求DM的长．2．如图，A，B，C三点在⊙O上，直径BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB交弦BC于点E，过点D作⊙O 的切线交BC的延长线于点E．（1）求证：EF＝DE；（2）若AD＝4，DE＝5，求BD的长．3．如图，A，B，C三点在⊙O上，直径BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB交弦BC于点E，过点D作⊙O 的切线交BC的延长线于点F．（1）求证：EF＝ED；（2）如果半径为5，cos∠ABC＝，求DF的长．4．如图，△ABC是⊙O的内接圆，且AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，BD平分∠ABC交AC于点E，DF⊥BC交BC延长线于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线．（2）若BD＝4，sin∠DBF＝，求DE的长．5．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交⊙O的切线BE于点E，过点D作DF⊥AC，交AC的延长线于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若DF＝3，DE＝2①求值；②求图中阴影部分的面积．6．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交⊙O的切线BE于点E，过点D作DF⊥AC，交AC的延长线于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若DF＝3，DE＝2，求的值．7．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝m（m＞1），点E是AD边上一定点，且AE＝1．（1）当m＝3时，AB上存在点F，使△AEF与△BCF相似，求AF的长度．（2）如图②，当m＝3.5时．用直尺和圆规在AB上作出所有使△AEF与△BCF相似的点F．（不写作法，保留作图痕迹）（3）对于每一个确定的m的值，AB上存在几个点F，使得△AEF与△BCF相似？8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，D、E分别是AC、AB的中点，连接DE．点P 从点D出发，沿DE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s．解答下列问题：（1）当t为何值时，以点E、P、Q为顶点的三角形与△ADE相似？（2）当t为何值时，△EPQ为等腰三角形？（直接写出答案即可）．9．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE ＝∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB＝4，AD＝，AE＝3，求AF的长．10．如图，等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，使AE＝CF，连接AF，BE相交于点P．（1）求证：AF＝BE，并求∠APB的度数；（2）若AE＝2，试求AP•AF的值．11．如图，AB为⊙O直径，C是⊙O上一点，CO⊥AB于点O，弦CD与AB交于点F．过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点E，过点A作⊙O的切线交ED的延长线于点G．（1）求证：△EFD为等腰三角形；（2）若OF：OB＝1：3，⊙O的半径为3，求AG的长．12．已知：AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，AB＝4，CD＝6，BC＝14，点P在BC上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，求PB的长？13．如图所示，要在底边BC＝160cm，高AD＝120cm的△ABC铁皮余料上，截取一个矩形EFGH，使点H 在AB上，点G在AC上，点E、F在BC上，AD交HG于点M．（1）设矩形EFGH的长HG＝y，宽HE＝x，确定y与x的函数关系式；（提示：S△ABC＝S△AHG+S梯形BCGH）（2）设矩形EFGH的面积为S，确定S与x的函数关系式；（3）当x为何值时，矩形EFGH的面积S最大？14．如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且BD＝CE，AD与BE相交于点F．（1）试说明△ABD≌△BCE；（2）△EAF与△EBA相似吗？说说你的理由．15．如图，在矩形ABCD中对角线AC、BD相交于点F，延长BC到点E，使得四边形ACED是一个平行四边形，平行四边形对角线AE交BD、CD分别为点G和点H．（1）证明：DG2＝FG•BG；（2）若AB＝5，BC＝6，则线段GH的长度．16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，点E在BC的延长线上，且∠DEC＝∠BAC．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AC∥DE，当AB＝8，CE＝2时，求AC的长．17．（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：如图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO＝30°，∠OAC＝75°，AO＝，BO：CO＝1：3，求AB的长．经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2）．请回答：∠ADB＝°，AB＝．（2）请参考以上解决思路，解决问题：如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，AO＝，∠ABC＝∠ACB＝75°，BO：OD＝1：3，求DC的长．18．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BAC＝36°，过点A作AD∥BC，与∠ABC的平分线交于点D，BD与AC交于点E，与⊙O交于点F．（1）求∠DAF的度数；（2）求证：AE2＝EF•ED；（3）求证：AD是⊙O的切线．19．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连接DE．过点A作AF⊥DE，垂足为F，⊙O经过点C、D、F，与AD相交于点G．（1）求证：△AFG∽△DFC；（2）若正方形ABCD的边长为4，AE＝1，求⊙O的半径．20．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．（1）求证：△ABM∽△EF A；（2）若AB＝12，BM＝5，求DE的长．21．如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F．（1）△ABE与△ADF相似吗？请说明理由．（2）若AB＝6，AD＝12，BE＝8，求DF的长．22．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点F，点E在BD上，且＝＝．（1）试问：∠BAE与∠CAD相等吗？为什么？（2）试判断△ABE与△ACD是否相似？并说明理由．23．已知，如图，在四边形ABCD中，∠ADB＝∠ACB，延长AD、BC相交于点E．求证：（1）△ACE∽△BDE；（2）BE•DC＝AB•DE．24．如图，在△ABC中，AC＝8厘米，BC＝16厘米，点P从点A出发，沿着AC边向点C以1cm/s的速度运动，点Q从点C出发，沿着CB边向点B以2cm/s的速度运动，如果P与Q同时出发，经过几秒△PQC 和△ABC相似？25．已知：如图，MN为⊙O的直径，ME是⊙O的弦，MD垂直于过点E的直线DE，垂足为点D，且ME 平分∠DMN．求证：（1）DE是⊙O的切线；（2）ME2＝MD•MN．26．如图，⊙O是△ABC的外接圆，O点在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）求证：△PBD∽△DCA；（3）当AB＝6，AC＝8时，求线段PB的长．27．如图，已知Rt△ABC，∠C＝90°，D为BC的中点，以AC为直径的⊙O交AB于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AE：EB＝1：2，BC＝6，求AE的长．28．如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，且DF＝BE，EF与CD交于点G．（1）求证：BD∥EF；（2）若＝，BE＝4，求EC的长．29．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F．（1）求证：△ACD∽△BFD；（2）当tan∠ABD＝1，AC＝3时，求BF的长．30．如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E、H分别在AB、AC上，已知BC＝40cm，AD＝30cm．（1）求证：△AEH∽△ABC；（2）求这个正方形的边长与面积．31．如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，点E为OB的中点，连接CE并延长交⊙O于点F，点F恰好落在的中点，连接AF并延长与CB的延长线相交于点G，连接OF．（1）求证：OF＝BG；（2）若AB＝4，求DC的长．参考答案与试题解析一．中等题（共50小题）1．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AD＝3，BD＝6，求CD的长．【解】由射影定理得，CD2＝AD•DB＝3×6＝18，∴CD＝＝3．2．如图，是一块三角形材料，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝6．用这块材料剪出一个矩形DECF，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，要使剪出的矩形DECF面积最大，点D应该选在何处？【解】∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴BC＝AB＝3，由勾股定理得，AC＝＝＝3，在Rt△ADF中，∠A＝30°，∴AD＝2DF，AF＝DF，∴CF＝AC﹣AF＝3﹣DF，则矩形DECF面积＝DF×（3﹣DF）＝﹣DF2+3DF＝﹣（DF﹣）2+，当DF＝时，剪出的矩形DECF面积最大，则AD＝2DF＝3，∴使剪出的矩形DECF面积最大，点D应该选在AB的中点．3．如图，BD，CE是△ABC的高．求证：BA•AE＝AC•AD．【解】∵BD，CE是△ABC的高∴∠ADB＝∠AEC＝90°又∵∠A＝∠A∴△ADB∽△AEC∴＝∴AD•AC＝AE•AB即BA•AE＝AC•AD．4．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．求证：DC2＝DA•DB．【解】证明：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠CDB＝90°，∴∠DCB+∠B＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠DCB+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠B，又∠ADC＝∠CDB＝90°，∴△ACD∽△CBD，∴＝，∴DC2＝DA •DB．5．已知：如图所示，直线AE、BD、CF相交于点O，AC∥EF，BC∥DF，求证：AB∥DE．【解】证明：∵AC∥EF，∴＝，∵BC∥DF，∴＝，∴＝，∵∠AOB＝∠DOE，∴AB ∥DE．6．如图，在矩形ABCD中，已知AD＞AB．在边AD上取点E，连结CE．过点E作EF⊥CE，与边AB的延长线交于点F．（1）证明：△AEF∽△DCE．（2）若AB＝3，AE＝4，AD＝10，求线段BF的长．【解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，∴∠AEF+∠F＝90°∵EF⊥CE，∴∠CED+∠AEF＝90°∴∠CED＝∠F，∴△AFE∽△DEC．（2）∵△AFE∽△DEC．∴，∵AB＝CD＝3，AE＝4，AD＝10，∴DE＝6，∴，∴BF＝5．答：线段BF的长为5．7．如图，已知AB∥MN，BC∥NG．（1）求证：；（2）在此图中你还有什么发现？请直接写出2个结论．【解】证明：（1）如图所示：∵AB∥MN，∴△AOB～△MON，∴，又∵BC∥NG，∴△BOC～△NOG，∴，∴；（2）△AOB～△MON，△BOC～△NOG，△AOC∽MOG 等，证明过程见第（1）的步骤．8．如图，矩形CDEF两边EF、FC的长分别为8和6，现沿EF、FC的中点A、B截去一角成五边形ABCDE，P是线段AB上一动点，试确定AP的长为多少时，矩形PMDN的面积取得最大值．【解】延长MP，交EF于点Q．如图所示：设AP的长x，矩形PMDN的面积为y．∵四边形CDEF为矩形，∴∠C＝∠E＝∠F＝90°．∵四边形PMDN为矩形，∴∠PMD＝∠MPN＝∠PND＝90°．∴∠PMC＝∠QPN＝∠PNE＝90°．∴四边形CMQF、PNEQ为矩形．∴MQ＝CF，PN＝QE，且PQ∥BF．∵EF、FC 的中点分别为A、B，且EF＝8，CF＝6，∴AF＝4，BF＝3，∴AB＝＝5，∵PQ∥BF，∴△APQ ∽△ABF．∴＝＝．即＝＝．解得：AQ＝x，PQ＝x．∴PN＝QE＝AQ+AE＝x+4，PM＝MQ﹣PQ＝6﹣x．∴y＝PN•PM＝（x+4）（6﹣x）＝﹣x2+x+24．当x＝﹣＝时，y取得最大值．即当AP＝时，矩形PMDN的面积取得最大值．9．如图，在△ABC中，DE∥AC，DF∥AE，BD：DA＝3：2，BF＝6，DF＝8，（1）求EF的长；（2）求EA的长．【解】（1）∵DF∥AE，∴＝，即＝，解得，EF＝4；（2）∵DF∥AE，∴△BDF∽△BAE，∴＝，即＝，解得，EA＝．10．如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C＝∠E，AD：DE＝3：5，AE＝16，BD＝8，（1）求证：△ACD∽△BED；（2）求DC的长．【解】（1）∵∠C＝∠E，∠ADC＝∠BDE，∴△ACD∽△BED；（2）∵△ACD∽△BED，∴＝，又∵AD：DE＝3：5，AE＝16，∴AD＝6，DE＝10，∵BD＝8，∴＝，即＝．∴DC＝．11．如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，将△ABE沿BC方向平移，使点E与点C重合，得△GFC．（1）求证：BE＝DG；（2）若∠B＝60°，且四边形AECG是正方形时，求的值．【解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB＝CD，∠B＝∠D，由平移的性质得：AE∥GC，∵AE是BC边上的高，∴AE⊥BC，∠AEB＝90°，∴GC⊥AD，∴∠CGD＝90°，在△ABE和△CDG中，，∴△ABE≌△CDG（AAS），∴BE＝DG；（2）解：∵∠AEB＝90°，∠B＝90°，∴∠BAE＝30°，∴BE＝AB，AE＝BE，∵四边形AECG是正方形，∴CE＝AE＝BE，∴BC＝CE+BE＝（+1）BE，∴＝＝．12．如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且∠BEF＝90°，延长EF交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△EGB；（2）若AB＝4，求CG的长．【解】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，且∠BEG＝90°，∴∠A＝∠BEG，∵∠ABE+∠EBG＝90°，∠G+∠EBG＝90°，∴∠ABE＝∠G，∴△ABE∽△EGB；（2）∵AB＝AD＝4，E为AD的中点，∴AE＝DE＝2，在Rt△ABE中，BE＝＝＝2，由（1）知，△ABE∽△EGB，∴＝，即：＝，∴BG＝10，∴CG＝BG﹣BC＝10﹣4＝6．13．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF经过O，分别交AB、CD于点E、F，EF的延长线（1）求证：OE＝OF；（2）若AD＝4，AB＝6，BM＝1，求BE的长．交CB的延长线于M．【解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，AB∥CD，BC＝AD，∴∠OAE＝∠OCF，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF；（2）解：过点O作ON ∥BC交AB于N，则△AON∽△ACB，∵OA＝OC，∴ON＝BC＝2，BN＝AB＝3，∵ON∥BC，∴△ONE∽△MBE，∴＝，即＝，解得，BE＝1．14．如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，延长AB至点E，使BE＝AB，连接DE，分别交BC，AC交于点F，G．（1）求证：BF＝CF；（2）若BC＝6，DG＝4，求FG的长．【解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴△EBF∽△EAD，∴＝＝，∴BF＝AD＝BC，∴BF＝CF；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CF，∴△FGC∽△DGA，∴＝，即＝，解得，FG＝2．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作⊙O的切线交BC于点E，连接OE．（1）求证：△DBE是等腰三角形；（2）求证：△COE∽△CAB．【解】证明：（1）连接OD，如图所示：∵DE是⊙O的切线，∴∠ODE＝90°，∴∠ADO+∠BDE＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠CBA＝90°，∵OA＝OD，∴∠CAB＝∠ADO，∴∠BDE＝∠CBA，∴EB＝ED，∴△DBE是等腰三角形；（2）∵∠ACB＝90°，AC是⊙O的直径，∴CB是⊙O的切线，∵DE是⊙O 的切线，∴DE＝EC，∵EB＝ED，∴EC＝EB，∵OA＝OC，∴OE∥AB，∴△COE∽△CAB．16．如图，在▱ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，求△BEF与△DCB的面积比．【解】在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，∵E是AB的中点，∴BE＝AB＝CD，∵AB∥CD，∴△BEF∽△DCF，∴，∴，又∵，∴．17．如图，在▱ABCD中，E是BC延长线上的一点，AE与CD交于点F．求证：△ADF∽△EBA．【解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，AB∥CD，∴∠DF A＝∠BAE，∴△ADF∽△EBA．18．如图，在△ABC中，点D在BC边上，BC＝3CD，分别过点B，D作AD，AB的平行线，并交于点E，且ED交AC于点F，AD＝3DF．（1）求证：△CFD∽△CAB；（2）求证：四边形ABED为菱形；（3）若DF＝，BC＝9，求四边形ABED的面积．【解】（1）证明：∵EF∥AB，∴∠CFD＝∠CAB，又∵∠C＝∠C，∴△CFD∽△CAB；（2）证明：∵EF ∥AB，BE∥AD，∴四边形ABED是平行四边形，∵BC＝3CD，∴BC：CD＝3：1，∵△CFD∽△CAB，∴AB：DF＝BC：CD＝3：1，∴AB＝3DF，∵AD＝3DF，∴AD＝AB，∴四边形ABED为菱形；（3）解：连接AE交BD于O，如图所示：∵四边形ABED为菱形，∴BD⊥AE，OB＝OD，∴∠AOB＝90°，∵△CFD ∽△CAB，∴AB：DF＝BC：CD＝3：1，∴AB＝3DF＝5，∵BC＝3CD＝9，∴CD＝3，BD＝6，∴OB＝3，由勾股定理得：OA＝＝4，∴AE＝8，∴四边形ABED的面积＝AE×BD＝×8×6＝24．19．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，F为AD上一点，且BF＝BD．BF的延长线交AC于点E．（1）求证：AB•AD＝AF•AC；（2）若∠BAC ＝60°．AB＝4，AC＝6，求DF的长；（3）若∠BAC＝60°，∠ACB＝45°，直接写出的值．【解】（1）∵AD平分∠BAC∴∠BAF＝∠DAC又∵BF＝BD∴∠BFD＝∠FDB∴∠AFB＝∠ADC∴△AFB∽△ADC∴．∴AB•AD＝AF•AC（2）作BH⊥AD于H，作CN⊥AD于N，则BH＝AB＝2，CN＝AC ＝3∴AH＝BH＝2，AN＝CN＝3∴HN＝∵∠BHD＝∠CDN∴△BHD∽△CND∴∴HD＝又∵BF＝BD，BH⊥DF∴DF＝2HD＝（3）由（1）得①，易证△ABD，△AEF，△BFD均为顶角为30°的等腰三角形∴AB＝AD，AE＝AF，BF＝BD易证△ABD∽△AEF∴②∴①×②得＝＝，过F作FG⊥AB于G，设FG＝x，则AF＝2x，BF＝x，AG＝x，BG＝x∴AB＝（+1）x，∴＝＝4﹣220．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，D为BC上一点，DE⊥AC于E．（1）求证：△ADC∽△BEC；（2）若点D为BC的中点，AB＝4，求BE的长．【解】（1）∵在四边形ABDE中，∠ABD+∠AED＝180°，∴∠BAE+∠BDE＝180°，∴点A、B、D、E 四点共圆，∴∠DAE＝∠DBE．又∠C＝∠C，∴△ADC∽△BEC；（2）∵AB＝4，∠C＝30°，∠ABC＝90°，∴BC＝．∵D为BC中点，∴BD＝DC＝2．在Rt△ABD中，AD＝．在Rt△CDE 中，∠C＝30°，CD＝2，所以CE＝3．∵△ADC∽△BEC，∴，即，解得BE＝．所以BE长为．21．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连接DE．过点A作AF⊥DE，垂足为F，⊙O经过点C、D、F，与AD相交于点G．（1）求证：△AFG∽△DFC；（2）若正方形ABCD的边长为8，AE＝2，求⊙O的半径．【解】（1）∵∠GAF+∠ADF＝90°，∠CDF+∠ADF＝90°，∴∠GAF＝∠CDF．∵⊙O经过点C、D、G、F，∴∠FCD+∠FGD＝180°．又∵∠AGF+∠FGD＝180°，∴∠AGF＝∠DCF．∴△AFG∽△DFC；（2）在Rt△AED和Rt△AFD中tan∠ADF＝．∵△AFG∽△DFC，∴，即，解得AG ＝2．∴GD＝8﹣2＝6．连接GC，∵∠GDC＝90°，∴GC为直径．在Rt△GDC中，GC＝＝10，所以⊙O的半径为5．22．已知：AB为⊙O的直径，延长AB到点P，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接AC，且∠A＝30°．（1）求证：AC＝PC；（2）若点D是弧AB的中点，连接CD交AB于点E，且DE•DC＝18，求⊙O的面积．【解】（1）证明：连接OC，∵PC为⊙O的切线，∴∠OCP＝90°，即∠COP+∠P＝90°，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝30°，∵∠COP是△AOC的一个外角，∴∠COP＝2∠CAO＝60°，∴∠P＝∠CAO＝30°，∴AC＝PC；（2）解：连接AD，∵D为的中点，∴∠ACD＝∠DAE，又∠ADC＝∠EDA，∴△ACD ∽△EAD，∴＝，即AD2＝DC•DE，∵DC•DE＝18，∴AD＝3，∵＝，∴AD＝BD＝3，∵AB是⊙O的直径，∴△ADB为等腰直角三角形，∴AB＝6，∴OA＝AB＝3，∴S⊙O＝π•OA2＝9π．23．如图，已知圆内接四边形ABCD的两边AB、DC的延长线相交于点E，DF过圆心O交AB于F，AF＝FB，连接AC．（1）求证：△ACD∽△EAD；（2）若圆O的半径为5，AF＝2BE＝4，求证：AC＝AD．【解】（1）∵DF过圆心O交AB于F，AF＝FB，∴DF垂直平分AB．∴弧AD＝弧BD，∴∠DCA＝∠DAB．又∵∠ADC＝∠EDA，∴△ACD∽△EAD；（2）连结OA，在Rt△AFO中，OF＝3，DF＝8，在Rt△DEF中，EF＝6，∴DE＝10．∵AE＝10，∴DE＝AE．∴∠ADE＝∠DAE．∴弧AC＝弧BD．∴AC＝BD．又弧AD ＝弧BD，∴AD＝BD．∴AC＝AD．24．如图，已知四边形ABCD的外接圆⊙O的半径为4，弦AC与BD的交点为E，OA与BD相交于点F，AB＝AD．（1）求证：AB2＝AE•AC；（2）若AE＝EC，AF＝2，求△BCD的面积．【解】（1）证明：∵AB＝AD∴∠ABD＝∠ADB又∵∠ADB＝∠ACB∴∠ABD＝∠ACB而∠BAE＝∠CAB∴△ABE∽△ACB∴即：AB2＝AE•AC得证．（2）连接OB，如下图所示∵AE＝EC∴S△BAE＝S△BCE，S△DAE＝S△DCE∴S△BCD＝S△BAD又∵AB＝AD∴OA⊥BD且BF＝DF∵AF＝2，OA＝OB ＝4∴BF＝DF＝2∴BD＝4∴S△BAD＝×BD×AF＝×4×2＝4而S△BCD＝S△BAD故△BCD的面积为4．25．如图，已知四边形ABCD是菱形，点E是对角线AC上一点，连接BE并延长交AD于点F，交CD的延长线于点G，连接DE．（1）求证：△ABE≌△ADE；（2）求证：EB2＝EF•EG；（3）若菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，AE：EC＝1：3，求BG的长．【解】（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，又AE＝AE，∴△ABE≌△ADE（SAS）；（2）∵AB∥CG，∴∠ABG＝∠EGD，由（1）得△ABE≌△ADE，∴ED＝EB，∠ABG＝∠ADE，∴∠EGD ＝∠ADE，∵∠FED＝∠DEG，∴△EDF∽△EGD，∴，所以ED2＝EF•EG；∴EB2＝EF•EG；（3）∵AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形．∴AC＝AB＝4．连接BD交AC于O，则AC⊥BD，OA＝OC＝2，OB＝2，∵AE：EC＝1：3，∴AE＝OE＝1．∴BE＝．∵AD∥BC，∴，∴EF＝BE＝．由（2）得EB2＝EF•EG，∴EG＝，∴BG＝BE+EG＝4．26．如图，点D，E在线段BC上，△ADE是等边三角形，且∠BAC＝120°（1）求证：△ABD∽△CAE；（2）若BD＝2，CE＝8，求BC的长．【解】（1）证明：∵∠BAC＝120°，∴∠BAD+∠EAC＝60°，∵△ADE是等边三角形，∴∠ADE＝∠AED ＝60°，∴∠BAD+∠B＝60°，∠ADB＝∠AEC＝120°，∴∠B＝∠EAC，又∠ADB＝∠AEC，∴ABD∽△CAE；（2）解：∵ABD∽△CAE，∴＝，即AD2＝BD•CE＝16，解得，AD＝4，则DE＝4，∴BC＝BD+DE+EC＝14．27．如图，已知CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点D作AC的平行线，过点C作CD的垂线，两线相交于点E．（1）求证：△ABC∽△DEC；（2）若CE＝2，CD＝4，求△ABC的面积．【解】证明：（1）∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴CD＝AB＝AD，∴∠A＝∠ACD．∵DE∥AC，∴∠CDE＝∠ACD＝∠A，又∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴△ABC∽△DEC．（2）在Rt△DEC中，DE＝，△CDE的面积为×2×4＝4．∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴AB＝2CD＝8．∵△ABC∽△DEC，∴，即，∴△ABC的面积为．28．如图，已知AB∥CD，AC与BD相交于点E，∠ABE＝∠ACB．（1）求证：△ABE∽△ACB；（2）如果AB＝6，AE＝4，求CD的长．【解】证明：（1）∵∠ABE＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ABE∽△ACB；（2）∵△ABE∽△ACB，∴，即，解得AC＝9．∴CE＝9﹣AE＝5．∵AB∥CD，∴△ABE∽△CDE，∴，即，解得CD＝．29．已知：如图，在正方形ABCD中，Q是CD的中点，PQ⊥AQ．求证：BP＝3CP．【解】证明：∵PQ⊥AQ，∴∠AQD+∠PQC＝90°．∵∠C＝∠D＝90°，∴∠DAQ+∠AQD＝90°．∴∠DAQ＝∠PQC．∴△DAQ∽△CQP．∵Q是CD的中点，∴．∴，∴AD＝4CP．．∵AD＝BC，∴BC＝4CP，∴BP＝3CP．30．如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，点P在BC的延长线上，AP与DE、CD分别交于点G、F．DF＝2CF，AB＝6，求DG的长．【解】在正方形ABCD中，有△PCF∽△PBA∴而DF＝2CF，即CF＝CD∴＝∴＝即而AB＝BC＝6，∴PC＝3又∵点E是BC的中点∴DE＝3，PE＝6∵AD∥EP∴△PGE∽△AGD ∴而PE＝AD＝6，∴GE＝GD＝故DG的长为．31．已知，在Rt△ABC中，以斜边AB上的高CD为直径作了一个圆，圆心为点O，这个圆交线段BC于E点，点G为BD的中点．（1）求证：GE为⊙O的切线；（2）若＝，GE＝6，求AD的长．【解】（1）证明：连接OE、DE、OG，∵CD为⊙O的直径，∴∠CED＝90°，∵点G为BD的中点，∴GE＝BD＝DG，在△GEO和△GDO中，，∴△GEO≌△GDO（SSS）∴∠GEO＝∠GDO＝90°，∴GE为⊙O的切线；（2）解：∵∠ACB＝90°，∠CDA＝90°，∴∠ACD＝∠B，∴tan B＝＝，∴tan∠ACD＝＝，∴AD＝CD＝GE＝3．32．如图，▱ABCD中，E是AB中点，AC与DE交于点F．（1）求证：△DFC∽△EF A．（2）若AC⊥DE，AB＝2，AF＝2，求DF长．【解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，AB＝CD，∴△DFC∽△EF A；（2）解：∵E 是AB中点，∴AE＝AB＝，∵AC⊥DE，∴∠AFE＝90°，∴FE＝＝1，∵△DFC∽△EF A，∴＝＝，∴DF＝2EF＝2．33．已知四边形ABCD中，AB＝AD，AC平分∠DAB，过点C作CE⊥AB于点E，点F为AB上一点，且EF＝EB，△DGC∽△ADC．（1）求证：CD＝CF；（2）H为线段DG上一点，连结AH，若∠ADC＝2∠HAG，AD＝5，DC＝3，求的值．【解】（1）证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠BAC，在△ADC和△ABC中，∴△ADC ≌△ABC（SAS），∴CD＝CB，∵CE⊥AB，EF＝EB，∴CF＝CB，∴CD＝CF；（2）解：∵△DGC∽△ADC，∴∠DGC＝∠ADC，∵∠ADC＝2∠HAG，∴∠DCG＝2∠HAG，∵∠DGC＝∠HAG+∠AHG，∴∠HAG＝∠AHG，∴HG＝AG，∵∠GDC＝∠DAC＝∠F AG，∠DGC＝∠AGF，∴△DGC∽△AGF，∴△AGF∽△ADC，∴＝＝，即＝．34．如图，⊙O中弦AB与CD交于M点．（1）求证：DM•MC＝BM•MA；（2）若∠D＝60°，⊙O的半径为2，求弦AC的长．【解】（1）证明：∵＝，∴∠D＝∠B，又∵∠DMA＝∠BMC，∴△DMA∽△BMC，∴＝，∴DM•MC＝BM•MA；（2）连接OA，OC，过O作OH⊥AC于H点，∵∠D＝60°，∴∠AOC＝120°，∠OAH＝30°，AH＝CH，∵⊙O半径为2，∴AH＝∵AC＝2AH，∴AC＝2．35．已知：如图，在△ABC中，D在边AB上．（1）若∠ACD＝∠ABC，求证：AC2＝AD•AB；（2）若E为CD中点，∠ACD＝∠ABE，AB＝3，AC＝2，求BD的长．【解】（1）在△ABC和△ACD中，∠ACD＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ACD，故，即AC2＝AD⋅AB，（2）过C作CF∥EB交AB的延长线于F，由于E为CD中点，故BF＝BD，∠F＝∠ABE，而∠ACD＝∠ABE，∴∠ACD＝∠F，∴在△AFC和△ACD中，∠ACD＝∠F，∠A＝∠A，∴△AFC∽△ACD，∴，∴AC2＝AD•AF，又∵AB＝3，AC＝2，∴22＝（3﹣BD）（3+BD），∴BD＝．36．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，AD上，EF⊥CE于点E（1）求证：△AEF∽△BCE．（2）若，求的值．【解】（1）∵∠A＝∠B＝90°，∠FEC＝90°，∴∠AEF+∠AFE＝90°，∠AEF+∠CEB＝90°．∴∠AFE ＝∠CEB．∴△AEF∽△BCE；（2）由，设BE＝x，则AE＝2x，AB＝3x＝BC．∵△AEF∽△BCE，∴＝．37．如图，已知▱ABCD，点E在边BC延长线上，连接AE，如果∠EAC＝∠D．（1）求证：△EAC∽△EBA；（2）若＝，求的值．【解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，∵∠EAC＝∠D，∴∠EAC＝∠B，又∠E ＝∠E，∴△EAC∽△EBA；（2）解：△EAC∽△EBA，＝，∴＝＝＝，∴EC＝EA，EB ＝EA，则＝．38．如图，E是边长为4的正方形ABCD的边AB上的点，且AE＝1，EF⊥DE交BC于点F，求线段CF的长．【解】∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝90°，∴∠ADE+∠AED＝90°，∵EF⊥DE，∴∠BEF+∠AED＝90°，∴∠ADE＝∠BEF，∴△ADE∽△BEF，∴＝，即＝，解得，BF＝，∴CF＝BC﹣BF＝．39．如图，AB∥CD∥EF，点C在AE上，点G在EF上，AF、BG交于点D，已知CD＝5米，EG＝6米，GF＝9米，求AB的长．【解】∵CD∥EF，∴△ACD∽△AEF，∴＝，即＝＝，∴＝，∵AB∥EF，∴△ADB ∽△FDG，∴＝，即＝，解得，AB＝4.5（米）．40．已知：如图，△ABC中，AD是角平分线，点E在AC上，∠ADE＝∠B，求证：AD2＝AE•AB．【解】证明：∵AD是角平分线，∴∠BAD＝∠DAC，又∵∠ADE＝∠B，∴△ABD∽△ADE，∴＝，∴AD2＝AE•AB．41．如图，在矩形ABCD中，点M是CD的中点，MN⊥BM交AD于N，连BN；（1）求证：BM平分∠NBC；（2）若＝，求的值．【解】（1）证明：延长BM交AD的延长线于H，在△BMC和△HMD中，，∴△BMC≌△HMD，∴BM＝MH，又MN⊥BM，∴NB＝NH，∴∠NBM＝∠NHM，∵AH∥BC，∴∠MBC＝∠NHM，∴∠MBC＝∠NBM，即BM平分∠NBC；（2）解：设DN＝a，则DC＝AB＝4a，∴DM＝MC＝2a，由勾股定理得，MN＝＝a，由（1）得，∠BNM＝∠MND，∠BMN＝∠MDN，∴△BMN∽△MDN，∴＝＝，∴BM＝2a，由勾股定理得，BN＝＝5a，则AN＝＝3a，∴＝＝．42．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AB上，且∠ADE＝60°．求证：△ADC∽△DEB．【解】证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∴∠ADB＝∠CAD+∠C＝∠CAD+60°，∵∠ADE＝60°，∴∠ADB＝∠BDE+60°，∴∠CAD＝∠BDE，∴△ADC∽△DEB．43．如图，△ABC中，DE∥BC，△ADE的面积等于6，△DEC的面积等于9，OE＝4，求BE的长．【解】∵△ADE的面积等于6，△DEC的面积等于9，∴＝，∴＝＝，∵DE∥BC，∴△ADE ∽△ABC，∴＝＝＝，∵DE∥BC，∴△DOE∽△COB，∴＝＝，∴OB＝10，∴BE＝OB+OE＝14．44．如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上的一点，且∠1＝∠2＝∠3．（1）求证：DE•AB＝BC•AE；（2）求证：∠AEB＝∠ADC．【解】（1）证明：∵∠1＝∠2，∴∠BAC＝∠EAD，∵∠AED＝∠1+∠ABD，∠ABC＝∠3+∠ABD，∠1＝∠3，∴∠ABC＝∠AED，∴△ABC∽△AED，∴＝，∴DE•AB＝BC•AE；（2）证明：∵△ABC∽△AED，∴＝，∴＝，∵∠1＝∠2，∴△ABE∽△ACD，∴∠AEB＝∠ADC．45．已知：如图，在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点E，∠BED＝60°，DE＝OE＝4．求：（1）CE的长；（2）⊙O的半径．【解】（1）作OF⊥CD于F，如图1所示：则CF＝DF，∠OFC＝∠OFE＝90°，∵∠OEF＝∠BED＝60°，∴∠EOF＝30°，∴EF＝OE＝2，∴CF＝DF＝DE+EF＝4+2＝6，∴CE＝CF+EF＝6+2＝8；（2）连接OC，如图2所示：∵∠EOF＝30°，∴OF＝EF＝2，由勾股定理得：OC＝＝＝4，即⊙O的半径为4．46．如图，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD．（1）判断直线CD和⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若BE＝5，CD＝8，求⊙O的半径．【解】（1）直线CD和⊙O的位置关系是相切，理由如下：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°，∵∠CDA＝∠CBD，∴∠DAB+∠CDA＝90°，∵OD＝OA，∴∠DAB＝∠ADO，∴∠CDA+∠ADO＝90°，即∠CDO＝90°，∴OD⊥CE，∴直线CD是⊙O的切线；（2）∵CD是⊙O的切线，BE是⊙O的切线，∴DE＝BE＝5，∠CBE＝90°＝∠CDO，∴CE＝CD+DE＝13，∴BC＝＝＝12，∵∠C＝∠C，∴△COD∽△CEB，∴＝，即＝，解得：OC＝，∴OB＝BC﹣OC＝，即⊙O的半径为．47．如图，点C，P均在⊙O上，且分布在直径AB的两侧，BE⊥CP于点E．（1）求证：△EPB∽△CAB；（2）若BP＝5，BE＝4，AB＝10，求CE的长．【解】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，BE⊥CP，∴∠ACB＝∠BEP＝90°，∵∠CAB＝∠BPC，∴△EPB ∽△CAB；（2）解：∵△EPB∽△CAB，∴＝，即：＝，解得：BC＝8，∴CE＝＝＝4．48．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，弦AD与OC相交于点E，与BC相交于点F，AE＝DE．（1）求证：∠CBD＝∠OCB；（2）若⊙O的半径为2，BC＝8，求DF的长．【解】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即BD⊥AD，∵AE＝DE，∴OE⊥AD，∴OE∥BD，∴∠CBD＝∠OCB；（2）解：连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ACD中，AC＝＝＝4，∵OE⊥AD，∴＝，∴∠CAD＝∠ABC，又∠ACF＝∠BCA，∴△ACF∽△BCA，∴＝，即＝，解得，CF＝2，∴BF＝BC﹣CF＝8﹣2＝6，∵∠ABC＝∠CBD，∠ACB＝∠FDB，∴△ABC∽△FBD，∴＝，即＝，解得，DF＝．49．如图（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：如图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO＝20°，∠OAC＝80°，AO＝，BO：CO＝1：3，求AB的长．经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2），请回答：∠ADB＝80°，AB＝8．（2）请参考以上思路解决问题：如图3，在四边形ABCD 中，对角线AC、BD相交于点O，AC⊥AD，AO＝6，∠ABC＝∠ACB＝75°，BO：OD＝1：3，求DC的长．【解】（1）∵BD∥AC，∴∠ADB＝∠OAC＝80°，∵∠BOD＝∠COA，∴△BOD∽△COA，∴＝＝，∵AO＝6，∴OD＝AO＝2，∴AD＝AO+OD＝6+2＝8，∵∠BAD＝20°，∠ADB＝80°，∴∠ABD＝180°﹣∠BAD﹣∠ADB＝80°＝∠ADB，∴AB＝AD＝8，故答案为：80，8；（2）过点B 作BE∥AD交AC于点E，如图3所示：∵AC⊥AD，BE∥AD，∴∠DAC＝∠BEA＝90°，∵∠AOD＝∠EOB，∴△AOD∽△EOB，∴＝＝，∵BO：OD＝1：3，∴＝＝，∵AO＝6，∴EO＝AO ＝2，∴AE＝AO+EO＝6+2＝8，∵∠ABC＝∠ACB＝75°，∴∠BAC＝30°，AB＝AC，∴AB ＝2BE，在Rt△AEB中，BE2+AE2＝AB2，即（8）2+BE2＝（2BE）2，解得：BE＝8，∴AB＝AC＝16，AD＝3BE＝24，在Rt△CAD中，AC2+AD2＝DC2，即162+242＝DC2，解得：DC＝8．50．如图，在△ABC中，∠C＝90°，F为射线BA上一点，且满足CB2＝CE•CA，过B作BD⊥DF于D，交AC边于E．证明：∠BFD＝2∠CBD．【解】证明：如图，作AH⊥BD于H点，∵CB2＝CE•CA，即．又∠BCE＝∠ACB，∴△BCE∽△ACB．∴∠CBD＝∠CAB．∵∠BCE＝∠AHE＝90°，∠CEB＝∠HEA，∴∠CBD＝∠CAH．∴∠BAH＝2∠CBD．∵AH∥DF，∴∠BAH＝∠BFD．∴∠BFD＝2∠CBD．二．提高30道1．如图，A，B，C三点在⊙O上，直径BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB交弦BC于点E，在BC的延长线上取一点F，使得EF＝DE．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）连接AF交DE于点M，若AD＝4，DE＝5，求DM的长．【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD．∵DE∥AB，∴∠ABD＝∠BDE．∴∠CBD＝∠BDE．∵ED＝EF，∴∠EDF＝∠EFD．∵∠EDF+∠EFD+∠EDB+∠EBD＝180°，∴∠BDF＝∠BDE+∠EDF＝90°．∴OD⊥DF．∵OD是半径，∴DF是⊙O的切线．（2）解：连接DC，∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝∠BCD＝90°．∵∠ABD＝∠CBD，BD＝BD，∴△ABD≌△CBD．∴CD＝AD＝4，AB＝BC．∵DE＝5，∴，EF＝DE＝5．∵∠CBD＝∠BDE，∴BE＝DE＝5．∴BF＝BE+EF＝10，BC＝BE+EC＝8．∴AB＝8．∵DE∥AB，∴△ABF∽△MEF．∴∴ME＝4．∴DM＝DE﹣EM＝1．2．如图，A，B，C三点在⊙O上，直径BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB交弦BC于点E，过点D作⊙O的切线交BC的延长线于点E．（1）求证：EF＝DE；（2）若AD＝4，DE＝5，求BD的长．【解答】（1）证明：∵DF为切线，∴BD⊥DF，∴∠1+∠2＝90°，∠3+∠F＝90°，∵BD平分∠ABC，∴∠3＝∠4，∵DE∥AB，∴∠2＝∠4，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠F，∴EF＝ED；（2）解：∵∠2＝∠3，∴BE＝DE＝5，而EF＝ED＝5，∴BF＝10，∵BD为直径，∴∠BAD＝90°，∵∠3＝∠4，∠BDF＝∠BAD ＝90°，∴△BDF∽△BAD，∴＝，∴BD2＝BF•AB＝10AB，在Rt△ABD中，BD2＝AD2+AB2，∴AB2﹣10AB+16＝0，解得AB＝2或AB＝8，当AB＝2时，BD＝2＜DE（舍去）；当AB＝8时，BD＝4，∴BD的长为4．3．如图，A，B，C三点在⊙O上，直径BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB交弦BC于点E，过点D作⊙O 的切线交BC的延长线于点F．（1）求证：EF＝ED；（2）如果半径为5，cos∠ABC＝，求DF的。
第2次相似三角形提高训练
讲义题目：相似形综合训练课一、教学目标1.知识与技能：使学生掌握相似三角形的识别与性质，能灵活运用相似三角形的识别方法和性质解决实际问题，并能进行科学严密的说理论证。
2.过程与方法：力足于“相似三角形的识别与性质”这一理论基点，体会实际问题情景，在探究的基础上解决问题，达到灵活运用知识的目的。
3.情感态度与价值观：创设实践问题情景，使学生掌握相似三角形的识别方法、性质和运用的技能，丰富和发展学生的数学活动体验，感受数学论证的科学严密性。
二、教学重难点：重点：相似三角形的识别与性质难点：正确的利用相似三角形的识别与性质解决实际生活问题。
三、教学过程： ㈠复习引入比例1.第四比例项、比例中项、比例线段；2.比例性质：（1）基本性质：bc ad d c b a =⇔= ac b c bb a =⇔=2 （2）合比定理：d dc b b ad c b a ±=±⇒= （3）等比定理：)0.(≠+++=++++++⇒==n d b ban d b m c a n m d c b a3.黄金分割：如图，若AB PB PA ⋅=2，则点P 为线段AB 的黄金分割点． 4．平行线分线段成比例定理相似知识点1、三角对应相等，三边对应成比例的三角形叫相似三角形。
如△ABC 与△A /B /C /相似，记作: △ABC ∽△A /B /C /。
相似三角形的比叫相似比相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是三角形相似的判定方法。
注意：（1）相似比是有顺序的。
（2）对应性，两个三角形相似时，通常把对应顶点写在对应位置，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边。
（3）顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的，若△ABC ∽△A /B /C /，相似比为k ，则△A /B /C /与△ABCB的相似比是1k知识点2、相似三角形与全等三角形的关系（1）两个全等的三角形是相似比为1的相似三角形。
（2）两个等边三角形一定相似，两个等腰三角形不一定相似。
中考相似三角形经典练习题及答案
相似三角形分类练习题（1）一、填空题1、如图，DE是△ABC的中位线，那么△ADE面积与△ABC面积之比是________。
2、如图，△ABC中，DE∥BC，，且，那么＝________。
3、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，D为垂足，AD＝8cm，DB＝2cm，则CD＝________cm。
4、如图，△ABC中，D、E分别在AC、AB上，且AD:AB＝AE:AC＝1:2，BC＝5cm，则DE＝________ cm。
5、如图，AD、BC相交于点O，AB∥CD，OB＝2cm，OC＝4cm，△AOB面积为4.5cm2，则△DOC面积为___cm2。
6、如图，△ABC中，AB＝7，AD＝4，∠B＝∠ACD，则AC＝_______。
7、如果两个相似三角形对应高之比为4:5，那么它们的面积比为_____。
8、如果两个相似三角形面积之比为1:9，那么它们对应高之比为_____。
9、两个相似三角形周长之比为2:3，面积之差为10cm2，则它们的面积之和为_____cm2。
10、如图，△ABC中，DE∥BC，AD:DB＝2:3，则＝______。
二、选择题1、两个相似三角形对应边之比是1:5，那么它们的周长比是（）。
（A）；（B）1:25；（C）1:5；（D）。
2、如果两个相似三角形的相似比为1:4，那么它们的面积比为（）。
（A）1:16；（B）1:8；（C）1:4；（D）1:2。
3、如图，锐角三角形ABC的高CD和高BE相交于O，则与△DOB相似的三角形个数是（）。
（A）1；（B）2；（C）3；（D）4。
4、如图，梯形ABCD，AD∥BC，AC和BD相交于O点，＝1:9，则＝（）。
（A）1:9；（B）1:81；（C）3:1；（D）l:3。
三、如图，△ABC中，DE∥BC，BC＝6，梯形DBCE面积是△ADE面积的2倍，求DE长。
四、如图，△ABE中，AD:DB＝5:2，AC:CE＝4:3，求BF:FC的值。
相似三角形的判定(二)-配套练习(含答案)
相似三角形的判定（二））-练习一、选择题1.如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中△ABC相似的是（）A. B. C.D.2.如图，AD∥BC，∠D=90°，AD=2，BC=5，DC=8．若在边DC上有点P，使△PAD与△PBC相似，则这样的点P有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题3. 在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A，B），过点P的一条直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线．如图，∠A=36°，AB=AC，当点P在AC的垂直平分线上时，过点P的△ABC的相似线最多有________ 条．4. △ABC中，AB：AC：BC=4：3：2，△A1B1C1中，A1B1：A1C1：B1C1=3：2：4，则△ABC与△A1B1C1________ （相似或不相似）．三、解答题5.如图，在△ABC，∠B=90°，AB=BD=DE=EC，求证：△ACD∽△EAD相似三角形的判定（二）-练习参考答案一、选择题1.B. 解：已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、，只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例．故选B．2.C. 解：∵AD∥BC，∠D=90°，∴∠C=∠D=90°，∵DC=8，AD=2，BC=5，设PD=x，则PC=8-x．①若PD：PC=AD：BC，则△PAD∽△PBC，则=，解得：x=；②若PD：BC=AD：PC，则△PAD∽△CBP，则=，解得：PD=4±，所以这样的点P存在的个数有3个．故选C．二、填空题3 . 3. 解：当PD∥BC时，△APD∽△ABC，当PE∥AC时，△BPE∽△BAC，连接PC，∵∠A=36°，AB=AC，点P在AC的垂直平分线上，∴AP=PC，∠ABC=∠ACB=72°，∴∠ACP=∠PAC=36°，∴∠PCB=36°，∴∠B=∠B，∠PCB=∠A，∴△CPB∽△ACB，故过点P的△ABC的相似线最多有3条．故答案为：3．4.相似. 解：设BC=2a ，A 1C 1=2b ，∵AB ：AC ：BC=4：3：2，A 1B 1：A 1C 1：B 1C 1=3：2：4， ∴AB=4a ，AC=3a ，A 1B 1=3b ，B 1C 1=4b ，∴===，∴△ABC ∽△B 1C 1A 1．故答案为相似．三、解答题5. 解：∵在△ABC ，∠B=90°，AB=BD=DE=EC ，∴AD=BD ，∴===，又∵∠ADE=∠CDA ，∴△ADE ∽△CDA ，。
九年级数学相似三角形提高题含答案
相似三角形题一、选择填空题1、如图1,已知AD 与BC 相交于点O,AB ABCD E BC AEBD ⊥O P 是AC 上一点，连结BP ，要使△ABP ∠=或APB ∠= 或ABAP= ． 4、如图，正方形ABCD 的边长为2，AE =EB ，MN =1，线段MN 的两端分别在CB 、CD 上滑动，那么当CM =________时，△ADE 与△MN C 相似.5．已知菱形ABCD 的边长是8，点E 在直线AD 上，若DE ＝3，连接BE 与对角线AC 相交于点M ，则MCAM的值是________．6．如图，等边△ABC 的边长为3，点P 为BC 边上一点，且BP =1，点D 为AC 上一点；若∠APD =60°，则CD 长是 Ａ．43 Ｂ．23 Ｃ．21 Ｄ．327、如图,正方形ABCD 中,E 是AD 的中点, BM ⊥CE,AB=6,则BM=______.图4 图6 图7AB C D O图1 ＢCＡＰ ＣＢ8、如下图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与ABC △相似的是（ ）9．如图，四边形ABCD 是矩形，DH ⊥AC ，如果AH=9cm ，CH=4cm ，那么ABCD S 四边形=（ ）A ．752cmB ．762cmC ．772cmD ．782cm图9 图10图1110、如图，DE 是ABC △的中位线，M 是DE 的中点，CM 的延长线交AB 于点N ，则:DMN CEM S S △△等于（ ）Ａ．1:2 Ｂ．1:3 Ｃ．1:4 Ｄ．1:511．如图，△ABC 中，PQ ∥BC ，若3=∆APQ S ，6=∆PQB S ，则=∆cQB S （ ）A ．10B ．16C ．9D ．1812、如图，已知D 、E 分别是ABC ∆的AB 、 AC 边上的点，,DE BC //且1ADEDBCE S S :=:8,四边形 那么:AE AC 等于（ ）A ．1 : 9B ．1 : 3C ．1 : 8D ．1 : 2PQCBA HDCBA Ａ N D BCE M13、已知ABC DEF △∽△，相似比为3，且ABC △的周长为18，则DEF △的周长为（ ）A ．2B ．3C ．6D ．5414、如图，线段AB 、CD 相交于E ，AD EF BC ∥∥，若12AE EB =∶∶，1ADES =，则AEFS等于 （ ）Ａ．4 Ｂ．23 Ｃ．2 Ｄ．4315、如图，△ABC 是等边三角形，被一平行于BC 的矩形所截，AB 被截成三等分，则图中阴影部分的面积是 △ABC 的面积的 （ ）Ａ．91 Ｂ．92 Ｃ．31Ｄ．94图12图1416、在同一时刻，身高米的小强在阳光下的影长为米，一棵大树的影长为米，则树的高度为（ ） A 、米B 、米C 、米D 、10米B AC DE ＢCB（（第15题图）17、如图，由点O 出发的13条射线恰好等分圆周，图中的三角形都是直角三角形.若641 OA ，则71A A 的长为________．二．解答题1.如图，已知菱形AMNP 内接于△ABC ，M 、N 、P 分别在AB 、BC 、AC 上，如果AB ＝21 cm ，CA ＝15 cm ，求菱形AMNP 的周长。
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相似三角形提高练习系列 二
二、相似三角形动点练习
例1、如图，在梯形ABC D 中，AD BC ∥，3AD =，5D C =，10B C =，梯形的高为4．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段C D 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t （秒）．
（1）当M N AB ∥时，求t 的值；
（2）当t 为何值时，M N C △为直角三角形．
针对练习：
1、如图所示，在ΔABC 中，BA=BC=20cm ，AC=30cm ，点P 从A 点出发，沿着AB 以每秒4cm 的速度向B 点运动；同时点Q 从C 点出发，沿CA 以每秒3cm 的速度向A 点运动，设运动时间为x 。
（1）当x 为何值时，PQ ∥BC ？（2）当
3
1=
∆∆ABC
BCQ S S ，
求ABC
BPQ S S ∆∆的值；（3）ΔAPQ 能否与ΔCQB 相似？若能，求出AP 的长；若不能，请
说明理由。
C
M
B
2、如图，已知直线l 的函数表达式为483
y x =-+，且l 与x 轴，y 轴分别交于A B
，两点，动点Q 从B 点开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动，同时动点P 从A 点开始在线段A O 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，设点Q P ，移动的时间为t 秒．（1）求出点A B ，的坐标；（2）当t 为何值时，APQ △与
AO B
△相似？（3）求出（2）中当APQ △与AO B △相似时，线段PQ 所在直线的
函数表达式．
图2
A
D O
B C
2
1 M
N 图1
A
D B
M N
1
2
图3 A D O
B
C
2 1 M
N O
C
N
N
C
B
A 例2、在图1至图3中，直线MN 与线段A
B 相交 于点O ，∠1 = ∠2 = 45°．
（1）如图15-1，若AO = OB ，请写出AO 与BD 的数量关系和位置关系；
（2）将图1中的MN 绕点O 顺时针旋转得到图2， 其中AO = OB ．求证：AC = BD ，AC ⊥ BD ；
（3）将图2中的OB 拉长为AO 的k 倍得到图3， 求
AC
BD 的值．
针对练习
1、已知在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90º，∠A ＝30º，点P 在AC 上，且∠MPN ＝90
（1）当点P 为线段AC 的中点，点M 、N 分别在线段AB 、BC 上时求证：PN ＝3PM ． （2）当PC ＝2PA ，点M 、N 分别在线段AB 、BC 或其延长线上时，求线段PN 、PM 之间的数量关系。
C B
2、如图在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A 为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若∆ABC固定不动，∆AFG 绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合,点E不与点C重合),设BE=y，CD=x.
（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明. （2）求y关于x的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围.
（3）当BD=CE时，求证：BD2＋CE2=DE2.
（4）在旋转过程中,(3)中的等量关系BD2＋CE2=DE2是否始终成立,若成立,请
证明,若不成立,请说明理由.
F。