浅谈“引参法”解题

浅谈“引参法”解题
黄旭东
【期刊名称】《高中数理化》
【年(卷),期】2015(000)005
【总页数】2页(P11-11,12)
【作者】黄旭东
【作者单位】湖北省黄石市第一中学
【正文语种】中文
在数学解题中,引入参数法,可起到一种桥梁的纽带的作用,将一些复杂的问题通过转化化归变成一些易解决的问题,本文主要谈谈“引参法”在数学解题中的应用.
本题可引入比例系数,使问题变得简洁而直观,若用常规法求解相当烦琐.
对于双层最值问题,有时可适当“引入参数”,设出内层最值,利用其最值性质建立内层关于参数的不等式,最后通过解不等式的方法求出外层最值.
例4 已知☉M：x2+(y-2)2=1,Q为x轴上的动点,Q A、Q B分别切☉M于A、B2点.求证：直线A B恒过定点,并求此定点坐标.
设A(x1,y1)、B(x2,y2)、Q(x0,0),则切线Q A、Q B方程为x1x+(y-2)(y1-2)=1, x2x+(y-2)(y2-2)=1,由Q(x0,0)在Q A、Q B上, 则
由式①、②知,A B方程为x x0-2(y-2)=1,故直线恒过定点(0,3/2).
通过引入参数设A、B2点坐标,设而不求,绕开了求交点坐标的复杂性,提高了解题效率.在解析几何中,引用参数,但设而不求,利用其他条件达到消参、简化运算量的目的,是一种常见而有效的方法.
在不等式证明过程中,有时适当“引参插值”,可使问题化繁为简.
此题通过引入参数,建立所求变量与引入的参数之间联系,进而使问题变得明了通畅. 综上所述,在解题中适当引入参数,有时能起到一个催化剂的作用,通过对题目优美的解答,充分体现了数学中化归思想的独特魅力.
综上,m的取值范围是
说明此题极易按对称轴在区间左、中、右分别加以讨论,而当做到对称轴位于区间内这一情况时蓦然发现还需以为界进一步讨论,显得较为烦琐,事实上二次项系数为正的前提下求最大值只需分2种情况讨论.
方法2数形结合来突破.由于m＞0,则抛物线F(t)开口向上,所以F(t)＜0对应的是抛物线在x轴下方的图象,如图1,它是一条连续不断的曲线.根据图象只需即可,解得利用数形结合法还可以如下作答：
说明数形结合变抽象的数学语言为直观的图形语言.第1种解法以F(t)＜0的图象是连续的为切入点,用局部的端点值控制整个区间;第2种解法以直线与抛物线二者的位置关系为切入点,将t2+t＜的大小关系转变为g(t)、G(t)图象的上下关系.
方法3根的分布显威力.
设方程m t2+(m-3)t-1=0的2个根为t1、t2(t1＜t2),则{t|m t2+(m-3)t-1＜
0}=(t1,t2).因为m t2+(m-3)t-1＜0在t∈(1,2)上恒成立,所以(1,2)⊆(t1,t2),因此
t1≤1且t2≥2.根据零点存在定理,当F(1)≤0时,函数F(t)在(-∞,1]内存在零点,当()时,函数()在[,)内存在零点,故当时,方程F(t)=0的2个根t1、t2满足t1≤1且t2≥2.解得
说明通过根的分布,实现了本题中的不等式问题转变为方程问题,而方程根的分布问题借助于函数知识轻松解决,可以说,根的分布是连接二次不等式、二次方程、二次函数三者之间关系的重要桥梁.
方法4分离变量巧转化.
以下解法也利用了分离变量：
说明通过分离变量,可以将函参结构转变为无参问题,优点是能避免分类讨论,但不足之处往往是分离后的无参函数的解析式比较复杂,如本题中的式子在求该函数值域时,第1种解法通过设3t+1为k,换元转化问题,属于通性通法;第2种解法注意到t2+t可以因式分解,通过待定系数法将分拆,解法巧妙,令人叹为观止.。