人教A版高中必修二试题海珠区 第二学期期末考试试题.doc

高中数学学习材料
唐玲出品
海珠区2012 学年第二学期期末考试试题
高一数学
本试卷共4 页，20 小题，满分150 分．考试用时120 分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位
号填写在答题卡上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔
和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
5．本次考试不允许使用计算器．
一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，满分50 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．
Ａ．Ｂ．-1Ｃ．Ｄ．0
2．已知角a的终边经过点P (4, 3) ，则sina+cosa的值是
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
3．若函数，则f (x) 是
Ａ．最小正周期为的奇函数Ｂ．最小正周期为π的奇函数
Ｃ．最小正周期为2π的偶函数Ｄ．最小正周期为π的偶函数
4．化简
Ａ．Ｂ．0 Ｃ．Ｄ．
5．
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
6．在等差数列中，已知，则
Ａ．12 Ｂ．20 Ｃ．16 Ｄ．24
7．将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是
Ａ．Ｂ．
Ｃ．Ｄ．
8．在中，tan A 是以-4为第三项、4为第七项的等差数列的公差，tan B 是以为第三项、9为第六项的等比数列的公比，则这个三角形是
Ａ．钝角三角形Ｂ．等腰直角三角形
Ｃ．锐角三角形Ｄ．等腰三角形
9．函数在区间的简图是
10 ．在中，点P 在BC 上，且，点Q 为中点，若
，,则
Ａ. ( 2, 7) Ｂ. (6, 21) Ｃ. (2, -7) Ｄ. ( -6, 21)
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题5 分，满分20 分.
11．已知a，b，c 三个正数成等比数列，其中,,则b= . 12．已知，则的最小值为.
13．在边长为的正三角形ABC 中，设，，，则
14．给出下列命题：
①存在实数,使；②函数是偶函数；
③是函数的一条对称轴的方程；
④若、是第一象限的角，且，则.
其中正确命题的序号是.
三、解答题：本大题共 6 小题，满分80 分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15．（本小题满分12 分）
已知向量 a =(1, 0), b =(2,1).
（1）求| a+3b|；
（2）当k 为何实数时, ka-b 与a+3b平行, 平行时它们是同向还是反向？
16．（本小题满分12 分）
在假期社会实践活动中，小明参观了某博物馆．该博物馆大厅有一幅壁画,刚进入大厅时, 他在点A 处看这幅壁画顶端点C 的仰角为,往正前方走4m 后，在点B 处看壁画顶端
点C 的仰角为(如图所示).
(1) 求BC 的长；
(2) 若小明身高为1.70m ,求这幅壁画顶端点C 离地面的高度.
（精确到0.01m ，其中）.
17．（本小题满分14 分）
设等差数列的前n项和为，等比数列的前n项和为，已知,，
.
（1）求数列与的通项公式；
（2）求与.
18．（本小题满分14 分）
已知函数
（1）求的最小正周期；
（2）求的单调递增区间；
（3）求在上的最值及取最值时x 的值.
19．（本小题满分14 分）
在平面直角坐标系中，点P ( x, y)满足约束条件：．
（1）在给定的坐标系中画出满足约束条件的可行域(用阴影表示,并注明边界的交点) ；
（2）设，求u 的取值范围；
（3）已知两点M(2,1), O(0, 0)，
求的最大值．
20．（本小题满分14 分）
数列满足：=2，=3，，为数列的
前n 项和．
（1）求证：数列为等差数列；
（2）设，,求数列的前n 项和；
（3）设（为非零整数，），试确定的值，使得对任意
，有恒成立．
2012-2013学年第二学期期末教学质量监测
高一数学试题参考答案及评分标准
说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几
种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．
2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答
未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．
二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算．共4小题，每小题5分，满分20分．
11．1 12．22 13．3- 14．②③
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15．（本小题满分12分）已知向量(1,0),(2,1).==a b
（1）求|3|+a b ；
（2）当k 为何实数时, k -a b 与3+a b 平行, 平行时它们是同向还是反向？ （本小题主要考查向量的基本概念和性质，考查向量的坐标运算的能力等） 解：（1）3(1,0)3(2,1)(7,3)+=+=a b ………………………………………..2分
∴|3|+a b =
2237+=58 . ………………………………………..4分
（2）(1,0)(2,1)(2,1)k k k -=-=--a b ………………………………..6分
设(3)k λ-=+a b a b ，则(2,1)(7,3)k λ--= zxxk ………………….8分
∴⎩⎨
⎧=-=-λ
λ3172k ………………………………………………………10分
解得1
3
k λ==-
.……………………………………………………….11分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A D B D C B C A
D
故13
k =-时, k -a b 与3+a b 反向平行…………………………………….12分
16．（本小题满分12分）
在假期社会实践活动中，小明参观了某博物馆．该博物馆大厅有一幅壁画,刚进入大厅时,他在点A 处看这幅壁画顶端点C 的仰角为︒54,往正前方走4m 后，在点B 处看壁画顶端点C 的仰角为︒75(如图所示).
(1) 求BC 的长；
(2) 若小明身高为1.70m ,求这幅壁画顶端点C 离地
面的高度（精确到0.01m ，其中3 1.732≈）.
（本小题主要考查解三角形等基础知识，考查正弦定理的应用．本小题满分12分） 解：(1)在ABC ∆中，
45,75,754530CAB DBC ACB ∠=∠=∴∠=-= …2分
由正弦定理，得
sin 45sin 30
BC AB
=
, ………………………………4分 将4AB =代入上式，得42BC =（m ………………………6分 (2)在CBD ∆中，
75,42,42sin 75CBD BC DC ∠==∴= ...…………8分
因为
30sin 45cos 30cos 45sin )3045sin(75sin +=+=,
所以4
2
675sin +=
， ……………………………………………9分 则 322+=DC ， ….……………………………………………..10分 所以223 1.70 3.70 3.4647.16CE CD DE =+=++≈+≈（m ）．….……….11分 答：BC 的长为42m ；壁画顶端点C 离地面的高度为7.16m ． ………12分
17．（本小题满分14分）
设等差数列{}n a 的前
n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，已知
1141,8a b b ===, 1055S =.
（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；
（2）求n S 与n T .
（本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n 项和公式，考查运算求解能力．） 解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q .
由1055S =,得 1104555a d +=, ……………………………………………………….2分 又11a =,所以104555, 1.d d +== ………………………………………………………….3分
1(1)1(1).n a a n d n n ∴=+-=+-= ………………………………………………………….5分
由48b =,得3
18b q =, …………………………………………………….…….…6分
又11b =,所以3
8, 2.q q == …………………………………………………….…….…8分
11122.n n n b b --∴== …………………………………………………………………….…….10分
（2）21()(1)11
.2222
n n a a n n n S n n ++=
==+ ……………………………………….12分 1(1)(12)
2 1.112
n n n n a q T q --===--- ……………………………………………14分
18．（本小题满分14分）
已知函数.1cos sin 32sin 2)(2
++=x x x x f
（1）求)(x f 的最小正周期； （2）求)(x f 的单调递增区间； （3）求)(x f 在]2
,
0[π
上的最值及取最值时x 的值.
（本小题主要考查三角函数的基本性质、三角恒等变换等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）
解：（1）因为1cos sin 32sin 2)(2
++=x x x x f
1cos sin 322cos 1++-=x x x ……………………1分 22cos 2sin 3+-=x x ……………………………2分
,2)62sin(2+-
=π
x …………………………………3分 所以)(x f 的最小正周期.2
2ππ
==T ……………………………………..4分
（2）因为,2)6
2sin(2)(+-
=π
x x f
由222()2
6
2
k x k k π
π
π
ππ-≤-
≤+
∈Z , ……………….…………6分
得()6
3
k x k k π
π
ππ-
≤≤+
∈Z ………………………………………………..7分
所以)(x f 的单调增区间是[,]().63
k k k ππ
ππ-
+∈Z ……..……………..8分 （3）因为02x π≤≤ ，所以52.666
x πππ
-≤-≤ ……..………...………....9分
所以.1)6
2sin(21≤-≤-π
x ……..………...………...……..………...…….10分
所以].4,1[2)6
2sin(2)(∈+-=π
x x f ……...………...……..………...…12分
当,6
6
2π
π
-=-x 即0=x 时，)(x f 取得最小值1. ……..………...13分
当,2
6
2π
π
=
-
x 即3
π
=
x 时，)(x f 取得最大值4. ……..………...……...14分
19．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系中，点(,)P x y 满足约束条件：75230
71104100x y x y x y --≤⎧⎪
+-≤⎨⎪++≥⎩
．
（1）在给定的坐标系中画出满足约束条件的可行域 (用阴影表示,并注明边界的交点) ；
（2）设7
4
y u x +=
+，求u 的取值范围； （3）已知两点(2,1),(0,0)M O ，求OM OP 的最大值．
（本小题主要考查线性规划，直线的斜率, 向量的坐标运算等基础知识与基本技能,考查用数形结合的思想方法解决综合问题的能力．）
解：（1）由752307110x y x y --=⎧⎨+-=⎩
得=4=1x y ⎧⎨⎩，(4,1)A ∴. ...............................................1分
由7523=04+10=0x y x y --⎧⎨
+⎩ 得=1
=6x y -⎧⎨-⎩，(1,6)B ∴--. .........................................2分
由41007110
x y x y ++=⎧⎨
+-=⎩ 得=3
=2x y -⎧⎨⎩，(3,2)C ∴-. ..........................................3分
画出可行域N ，如右下图所示. ..................................................................4分
（2）(7)
(4)
DP y u k x --=
=--．……………………………………………………….. .……5分
当直线DP 与直线DB 重合时，倾斜角最小且为锐角,此时1
3
DB k =; …………6分
当直线DP 与直线DC 重合时，倾斜角最大且为锐角，此时9DC k =; ………..7分
所以74y u x +=
+的取值范围为1,93⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
.………………………………………………8分 （3）(2,1)(,)2OM OP x y x y ∙=∙=+，……………………………………....…..10分
设2z x y =+，则2y x z =-+ ， ……………………………………………..…11分
z 表示直线2y x z =-+在y 轴上的截距， ………………………………………12分
当直线2y x z =-+经过点A 时，z 取到最大值， ………………………………13分 这时z 的最大值为max 2419z =⨯+= . ………………………………………….14分 20．（本小题满分14分）
数列{}n a 满足：12112321(2,)n n n a a S S S n n *+-==+=+≥∈N ，，．n S 为数列{}n a 的
前n 项和．
（1）求证：数列{}n a 为等差数列；
（2）设2n
n n b a =⋅,求数列}{n b 的前n 项和n T ；
（3）设n a
n n n c 2)1(41⋅-+=-λ（λ为非零整数，*
n ∈N ），试确定λ的值，使得对任意
*n ∈N ，有n n c c >+1恒成立．
（本小题主要考查等差数列、等比数列及前n 项和等基础知识，考查合情推理、化归与转化、分类讨论的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力．）
解：（1）由1121(2,)n n n S S S n n *+-+=+≥∈N ，得
()()111n n n n S S S S +----=（2n ≥，*n ∈N ）
， ……………1分 即11n n a a +-=（2n ≥，*n ∈N ），且211a a -=． ……………………2分
∴数列{}n a 是以12a =为首项，公差为1的等差数列． …………………3分
（2）由（1）知1n a n =+．……………………………………………………………4分
所以n n n b 2)1(⋅+=,
12312232422(1)2n n n T n n -=⋅+⋅+⋅+
+⋅++⋅,234122232422(1)2n n n T n n +=⋅+⋅+⋅+
+⋅++⋅,
两式相减得 12341222222(1)2n n n T n +-=⋅+++++-+⋅………………………………6分
21112(12)4(1)2212
n n n n n -++-=+-+⋅=-⋅- 所以 12n n T n +=⋅. (8)
分
（3）111,4(1)2n n n n n a n c λ-+=+=+-⋅∴,
要使n n c c >+1恒成立,只要1211144(1)2(1)20
n n n n n n n n c c λλ++-++-=-+-⋅--⋅>恒成立,
即()
11343120n n n λ-+⋅-⋅->恒成立， 即()1112n n λ---<恒成立． …………………………………………………9分
当n 为奇数时，即12
n λ-<恒成立 …………………………………………10分 当且仅当1n =时，12n -有最小值为1，∴1λ<． ………………………11分
当n 为偶数时，即12n λ->-恒成立…………………………………………12分
当且仅当2n =时，12n --有最大值2-，∴2λ>-．……………………13分
即21λ-<<，又λ为非零整数，则1λ=- ……………………………14分
综上所述，存在1λ=-，使得对任意*n ∈N ，都有n n c c >+1． ………14分。