基本不等式题型归纳

根本不等式题型归纳
【重点知识梳理】
1．根本不等式：2a b ab +≤ 〔1〕根本不等式成立的条件：0a >，0b >．
〔2〕等号成立的条件：当且仅当a b =时，等号成立．
2．几个重要的不等式：〔1〕222a b ab +≥〔,a b R ∈〕； 〔2〕
2b a a b +≥〔0ab >〕； 〔3〕2(
)2a b ab +≤〔,a b R ∈〕； 〔4〕2222()()a b a b +≥+〔,a b R ∈〕． 3．算术平均数与几何平均数
设0a >，0b >，那么,a b 的算术平均数为
2
a b +，几何平均数为ab ，根本不等式可表达为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用根本不等式求最值问题 0a >，0b >，那么
〔1〕如果积ab 是定值p ，那么当且仅当a b =时，a b +有最小值是2p ．〔简记：积定和最小〕
〔2〕如果和a b +是定值p ，那么当且仅当a b =时，ab 有最大值是2
4
p ．〔简记：和定积最大〕 题型一览
1、0a >，0b >，且41a b +=，那么ab 的最大值为_______，那么
1ab 的最小值为_______； 2、21x y +=，那么24x y +的最小值为_______
3、设03x <<，那么函数4(52)y x x =-的最大值为_______
4、假设0x >，那么4x x +
的最小值为_______；假设0x <，那么4x x +的最大值为_______ 5、假设2x > ，那么12x x +
-的最小值为_______；假设2x < ，那么12x x +-的最大值为_______ 假设函数1()(2)2f x x x x =+
>-在 x a =处有最小值，那么a =_______ 6、,a b R +∈，且22a b +=，那么
12a b +〔2a b b a +〕的最小值为_______，此时,a b 的值分别是_______ 7、0x >，0y >，212x y
+=〔22x y xy +=或220x y xy +-=〕，那么2x y +的最小值为_______ 8、0,0a b >>，如果不等式
212m a b a b
+≥+恒成立，那么m 的最大值等于_______
9、几个分式的变形：
〔1〕假设0x >，那么函数21x y x
+=的最小值是_______ 〔2〕 0t >，那么函数241t t y t
-+= 的最小值为_______ 〔3〕函数2+5+15=(0)2
x x y x x ≥+的最小值为_______ 分析：变形得22515(2)2922x x x x y x x ++++++==+
+9(2)1172x x =+++≥=+， 当且仅当9(2)2x x +=+，即1x =时取等号， 故函数2515(0)2
x x y x x ++=≥+的最小值为7 〔4〕0b a >>，2ab =，那么22
a b a b
+-的取值范围是_______ 解：2222()2()444()[()]4a b a b ab a b a b b a a b a b a b a b b a
+-+-+===-+=--+≤------ 〔5〕设22()4
x f x x =+〔0x >〕， 那么()f x 的最大值为_______； 〔6〕0,0a b >>，那么22
2232a ab b a ab b
++++的最小值是_______ 〔7〕,a b 都是负实数，那么2a b a b a b
+++的最小值是_______
10、〔1〕非负实数,x y 满足1x y +=，那么11
x y +++的最小值为_______ 分析：因为 1x y +=，所以 113x y +++=，即1
[(1)(1)]13x y +++=，
因为非负实数,x y ，所以 10,10x y +>+>，
所以
11111()[(1)(1)]11113
x y x y x y +=+⋅+++++++ 1
14(1)[14]311y x x y ++=++
+++119[5(54)3333≥+=+== 当且仅当14(1)11y x x y ++=++，即12(1)y x +=+，0,1x y ==时取等号，所以 1411
x y +++的最小值为3
〔2〕实数,x y 满足102x y x y >>+=，且，那么213x y x y
++-的最小值为_______
1[(3)()]2
x y x y x y =+=++-，那么(3)()1x y x y ++-= 21212()3
()[(3)()]3()3333x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y
-++=+++-=++≥++-+-+-【法二】令x y t -=，3x y s +=〔0,0t s >>〕
121212()()3()3t s s t x y s t s t s t
=+=++=++≥+-
11、〔1〕,x y 均为正实数，且3xy x y =++，那么xy 的最小值为_______
解：因为,x y 均为正实数，所以x y +≥3xy x y =++可化为3xy ≥，即
1)0≥3,9,xy ≥≥故当且仅当x y =时，xy 取得最小值9
〔2〕,x y 均为正实数，39x y xy ++=，那么3x y +的最小值为_______
解：因为,x y 均为正实数，所以211393333()332
x y x y xy x y x y x y +=++=++⋅≤++⋅， 12、〔1〕假设正实数,x y 满足221x y xy ++=，那么x y +的最大值是_______
解：由221x y xy ++=，得21()x y xy =+-， 2
2
()()114x y x y xy ++=+≤+，
解得x y ≤+≤x y ∴+ 〔2〕设,x y 为实数，假设2241x y xy ++=，那么2x y +的最大值是_______ 解：由2241x y xy ++=得2222314(2)3(2)22
x y xy x y xy x y x y =++=+-=+-⋅⋅ 2223251(2)()(2)228
x y x y x y +≥+-⋅=+
那么2x y ≤+≤13、假设,(0,2]x y ∈且2xy =，使不等式(2)(2)(4)a x y x y +≥--恒成立，那么实数a 的取值范围为
A ．12a ≤
B ．2a ≤
C ．2a ≥
D ．12
a ≥
分析：由,(0,2]x y ∈，2xy =， 得()1022(2)(4)102222x y x y a x y x y x y
-+--≥==-+++．
又24x y +≥=由，∴12
a ≥，选D ． 14、 假设0,0a
b >> ，且4a b += ，那么以下不等式恒成立的是〔 〕
A ．112ab >
B ．111a b
+≤ C
2 D ．228a b +≥ 分析：因为0a >，0b >
利用根本不等式有2a b +=≤，当且仅当a b =时等号成立，C
2≤得，
114ab ≥，A 错；222()21688a b a b ab +=+-≥-=，当且仅当a b =时，等号成立，D 正确；11414
a b a b ab ++=≥=，当且仅当a b =时等号成立，B 错；综上可知，选D ． 15、设正实数,,x y z 满足22340x xy y z -+-=，那么当
xy z 取得最大值时，212x y z +-的最大值为 A ．0 B ．1 C ．94
D ．3 答案：由22340x xy y z -+-=得2234z x xy y =-+，
那么22114343xy xy x y z x xy y y x ==≤=-++-，当且仅当2x y =时等号成立，此时22z y = 222122122111(2)122x y z y y y y y y y
+-=+-=-=-≤． 16、〔2021天津理14〕设2a b +=，0b >，那么当a =_____时，1||2||a a b
+取得最小值． 解：因为2a b +=，所以1=2
a b + 1||||||22||2||4||4||a b
a a a
b a a b a b a a b ++=+=+
++14||4||
a a a a ≥+=， 当0a >时，5+1=4||4a a ，1||52||4
a a
b +≥； 当0a <时，
3+1=4||4a a ，1||32||4a a b +≥，当且仅当2b a =时等号成立． 因为0b >，所以原式取最小值时2b a =-.
又2a b +=，所以2a =-时，原式取得最小值．
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