概率中易混淆概念的对比与思考-如皋第一中学

概率中易混淆概念的辨析
江苏省如皋市第一中学戴圩章(226500)
概率题是高考的必考题型之一，它是以实际应用问题为载体，以排列组合和概率等知
识为工具，考查学生对五个概率事件的判断识别及其概率的计算和其应用为目标的中档
题。

但由于其概念有一定的抽象性及相似性，在求解概率问题时，老师和学生都说难。

学
生难学，一是因为有些概念易混淆，如互斥事件、对立事件与独立事件，发生了k 次与第
k次才发生等；二是因为某些排列数与组合数难计算；老师难教，是因为某些解法明明讲深
讲透了，而且自我感觉到讲得头头是道，可学生仍然听不明白。

究其原因：概率中的一些问
题，看似相同，实则不同，容易混淆。

因此在解题时，要善于对比思考，推敲它们之
间的区别与联系，提高解题能力。

一、随机事件发生的“频率”与“概率”混同
例 1. 下列两个命题中错误的是（）
（ 1）抛掷 100 次硬币，出现正面向上的频率为0.4，则该次试验中，硬币正面向上的次数为 40 次。

（ 2）若一批产品的次品率为0.1，则从该产品中随机抽取100 件，一定会有 10 件次品。

分析：随机事件在一次试验中发生的频率
频数
，它随着试验次数的改变而改试验次数
变，在大量重复试验中，随机事件的发生呈现一定的规律性，频率的值是稳定的，接近于一
个常数，这个常数就是随机事件发生的概率。

虽然事件发生的概率反映了事件发生的必
然规律，但事件的发生又带有偶然性。

在命题（ 2）中次品率为 0.1，不等于 100 件产品中一定有10 件次品，故（ 2）是错误的。

练习：下列两个命题中错误的是（）
（ 1）当试验次数n 给定后，事件 A 出现的频率与事件 A 出现的次数成正比
（ 2）如果某事件发生的概率是1
，则该事件在n次试验中至少发生一次。

n
（答案：（ 2））
二、等可能事件中的“等可能”与“非等可能”混同
例 2、掷两枚骰子，求事件A 为出现的点数之和等于3 的概率。

有利于事件 A的基本事件数
分析 :等可能事件的公式P( A) ，仅当所述的试验结基本事件的总数
果是等可能性时才成立。

而取数值为 2 和 3 不是等可能的，数值为 2 只有这样情况（ 1，1）才出，而数值为 3 有两种情况（ 1， 2），（ 2， 1）可出现，其它的情况可类推。

而掷两枚骰
子可能出现的情况：（ 1， 1），（ 1， 2），，（ 1，6 ），（ 2， 1），（ 2， 2），，（ 2， 6），，（6，1），（ 6，2），，（6，6），因此，基本事件总数为 6× 6=36。

在这些结果中，有利
于事件 A 的只有两种结果（ 1， 2），（2， 1）。

1
2 1
P( A)。

36
18
此类题易发生的错误为：掷两枚骰子出现的点数之和的可能数值为 {2 ， 3， 4， ，
12} ，有利于事件 A 的结果只有
3，故 P( A)
1。

11
高考常借助不同背景的材料考查等可能事件概率的计算方法以及分析和解决实际问题的能力。

练习：（ 05 年广东）先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数 1、 2、 3、 4、 5、 6），骰子朝上的面的点数分别为 X 、 Y ，则 log 2 X Y
1的概率为（
）
1 5
1
1
A ．
B ．
C ．
D ．
6
36 12
2
（答案： C ）
三、抽样中的“放回”与“不放回”混同
例 3. 袋中有5个白球，3个黑球，求下列事件的概率： （ 1）从中连取三次，一次取一个，取后不放回，恰好取到一个黑球； （ 2）从中连取三次，一次取一个，取后放回，恰好取到一个黑球；分析： 这是“随机摸球问题”
（ 1）记 A ＝“从中连取三次，一次取一个，取后不放回，恰好取到一个黑球”，因为 一次取一个，取后不放回，故
m
1 2
3
m C 31 C 52
15 。

C 3 C 5 ，n
C 8
，所以 P( A)
C 83
n
28
（ 2）记 B ＝“从中连取三次，一次取一个，取后放回，恰好取到一个黑球” ，因为一
次取一个，取后放回，所以
P( B)
C 31
3
(1 3) 2 225 。

8
8
512
同是“随机摸球问题” ，（ 1）中取出的球不放回，每取出一个球后，袋中的球就少
一个，这是个组合问题； （2）中每次取出的球放回，袋中的球始终保持不变，故每次取球是相互独立的，是独立重复试验。

练习：（ 05 山东）袋中装有黑球和白球共
1 7 个 , 从中任取
2 个球都是白球的概率为.
1 个球，甲先取，乙后取，然后甲再取 7
现有甲、乙两人从袋中轮流摸取 取后不放回，
直到两人中有一人取到白球时即终止。

每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用 表
示取球终止时所需的取球次数． （Ⅰ）求袋中原有白球的个数； （Ⅱ）求取球2 次终止的概率； （Ⅲ）求甲取到白球的概率。

（答案： 3；2；
22
）
735
四、抽奖中的“先”与“后”混同
2
例 4. 10根签中有两根彩签，设首先由甲抽1 根，然后再由乙抽 1 根，试求下列事件的概率：（ 1）甲中彩；（2）乙中彩
分析：这是概率中的“抽奖问题”。

记A＝“甲中彩” ；B＝“乙中彩”
（1）P(A) C21 1 C101 5
（ 2）“乙中彩”AB AB ，因为AB与 AB 互斥，所以
2 1 8 2 1
P( AB AB) P( AB) P( AB)
10 9 10 95
同是“抽奖问题” ，（ 1）为简单事件，（ 2）为复合事件，因为“乙中彩”可能在“甲中”或“甲不中”的情况下发生，同时我们又发现，虽然抽奖有先后，但甲、乙两人中奖的概率是相等的，即抽签不分先后，一样公平合理。

练习：同时抛掷 15 枚均匀的硬币一次
(1)试求至多有 1 枚正面向上的概率；
(2) 试问出现正面向上为奇数枚的概率与出现正面向上为偶数枚的概率是否相等?请说
明理由 .
（答案：
1
；相等）2048
五、“互斥”与“对立”混同
例 5、把红、黑、白、蓝 4 张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁 4 个人，每个人分得 1 张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是
A ．对立事件
B ．不可能事件
C ．互斥但不对立事件
D ．以上均不对
分析 :本题错误的原因在于把“互斥”与“对立”混同，错误地选：A。

要准确解答这类问题，必须搞清对立事件与互斥事件的联系与区别，这二者的联系与区别主要体现以以
下三个方面：
(1)两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；
(2)互斥的概念适用于多个事件，但对立概念只适用于两个事件；
(3)两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可
以都不发生；而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生．
事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是不能同时发生的两个事件，这两个事件可能
恰有一个发生，一个不发生，可能两个都不发生，所以应选C．
必有一个发生的两个互斥事件A 、 B 叫做互为对立事件。

即B A 或A B。

用概
_
率的减法公式P A 1 P A 计算其概率。

高考常结合射击、电路、交通等问题对对立事件的判断识别及其概率计算进行考查。

3
练习：（ 05 江苏）甲 . 乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是2
和
3。

假设两人射击
34
是否击中目标，相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响（I ）求甲射击 4 次，至少 1 次未击中目标的概率；
．．．
（ II ）求两人各射击 4 次，甲恰好击中目标 2 次且乙恰好击中目标 3 次的概率；
⑶假设某人连续 2 次未击中目标，则停止射击问：乙恰好射击 5 次后，被中止射击的概率
．．．
是多少？
（答案：65；1；45 ）
81 8 1024
六、“互斥”与“独立”混同
例 6、甲投篮命中率为O．8，乙投篮命中率为0.7 ，每人投 3 次，两人恰好都命中 2 次的概率是多少 ?
分析 : 本题为“相互独立事件同时发生的概率”。

设“甲恰好投中两次”为事件A，“乙恰好投中两次”为事件B，且 A， B 相互独立，则两人都恰好投中两次为事件A·B，于是P(A·B)=P(A) ×P(B)= 2 2 2 2
c3 0.8 0.2 c3 0.7 0.3 0.169
．
易发生的错误是：设“甲恰好投中两次”为事件A，“乙恰好投中两次”为事件B，则两人都恰好投中两次为事件A+B，P(A+B)=P(A)+P(B) ： c32 0.82 0.2 c32 0.72 0.3 0.825 究其原因是：把相互独立同时发生的事件当成互斥事件来考虑，将两人都恰好投中 2 次理解为“甲恰好投中两次”与“乙恰好投中两次”的和．
不可能同时发生的两个事件A、 B 叫做互斥事件，它们至少有一个发生的事件为A+B，用概率的加法公式P( A B) P( A) P( B) 计算。

事件 A（或 B）是否发生对事件B（或 A）发生的概率没有影响，则A、 B 叫做相互独立事件，它们同时发生的事件为 A B 。

用概率的法公式P A B P A PB 计算。

高考常结合考试竞赛、上网工作等问题对这两个事件的识别及其概率的综合计算能力
进行考查。

练习：（05 年全国）设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响。

已知在某
一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125，
（Ⅰ）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少；
（Ⅱ）计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率.
（答案： 0.2、0.25 、 0.5；0.7）
七、“事件 A 发生k次”与“事件 A 第k次才发生”混同
例 7、(04 福建 )某射手射击一次，击中目标的概率是0.9 ，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响。

有下列结论：
①他第 3 次击中目标的概率是0.9 ；
4
②他恰好击中目标 3 次的概率是0.93 0.1 ；
③他至少击中目标 1 次的概率是1 0.14.
其中正确结论的序号是(写出所有正确结论的序号)。

分析 :这是独立重复试验的概率问题.
第 3 次击中目标与第 1、2 次是否击中目标没有关系，①正确；
恰好击中 3 次的概率应是C4 0.9 0.1
，②错误；
3 3
“至少击中目标 1 次”可由其对立事件求得其概率为 1 0.14，③正确。

解答此题时还须注意不要与“第 3 次才击中目标”相混淆，“第 3 次才击中目标”表明第 1 次和第 2 次都未击中目标，其概率为0.12 0.9 。

这种情况与第 3 次击中目标及恰好击中目标 3 次都是有区别的 .
若在 n 次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖其它各次试验的结果，则此试验叫做 n 次独立重复试验。

若在1 次试验中事件A 发生的概率为P，则在n次独立惩处试验
中，事件 A 恰好发生k次的概率为P n k C n k P k 1 P n k。

高考结合实际应用问题考查n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率的计算方法和化归转化、分类讨论等数学思想方法的应用。

练习：（ 04 重庆）设甲、已、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7 、 0.6 和 0.5。

（1）三人各向目标射击一次，求至少有一人命中目标的概率及恰有两人命中目
标的概率；
（2）若甲单独向目标射击三次，求他恰好命中两次的概率。

（答案： 0.94，0.44； 0.441）
八、分房中的“指定”与“未指定”混同
例 8、把k个不同的球随机地放入N个盒子中去（k N），假设每个盒子能容纳的球数不
限，求下列事件的概率：
（1）指定的 k 个盒子各有一个球；
（2）恰有 k 个盒子各有一个球。

分析：这是古曲概率中的“分房问题” ，把 N 个盒子看作“房间” ，球视为“人” ，问题变为将“人”分配进“房间” 。

（ 1 ）记A ＝“指定的k 个盒子各有一个球”，因每个盒子能容纳的球数不限，故
n N k ，m
m k! k ! ，所以P( A)
N
k。

n
（ 2）记 B ＝“恰有 k 个盒子各有一个球” ，n N k，因为恰有k个盒子各有一个球，
5
k
这 k 个盒子未指定，故
m C N k k ! A N k
，所以 P(B)
m A
N k 。

n
N
同是“分房问题” ，由于（ 1）中 k 个盒子是指定的，不用选取，直接将球排列放入盒 子；（ 2）中的 k 个盒子未指定，应先选取 k 个盒子，再将球排列放入盒子。

练习：（03 开封）已知：有 6 个房间安排 4 个旅游者住，每人可以进住任一房间，且
进住房间是等可能的，试求下列各事件的概率：
（Ⅰ）事件 A ：指定的 4 个房间各有 1 人；
（Ⅱ）事件 B ：恰有 4 个房间各有 1 人；（Ⅲ）事件 C ：指定的某个房间有 2 人。

（答案： 1
； 5；25）
54 18216
已发表于《理科考试研究》2009.9 并被人大复印资料转截2010 3
6。