2015届北京市朝阳区高三上学期期末考试理科数学试卷(带解析)

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2015届北京市朝阳区高三上学期期末考试理科数学试卷（带
解析）
试卷副标题
考试范围：xxx ；考试时间：173分钟；命题人：xxx
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项．
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
一、选择题（题型注释）
1、设连续正整数的集合
，若
是的子集且满足条件：当
时，
，则集合
中元素的个数最多是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
2、点
在
的内部，且满足
，则
的面积与
的
面积之比是（ ）
A ．
B ．3
C ．
D ．2
3、在
中，
，则
的最大值是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4、
表示不重合的两个平面，，表示不重合的两条直线．若，
，
，则“∥
”是“∥
且∥
”的（ ）
A ．充分且不必要条件
B ．必要且不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5、某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的全面积是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6、设函数的图象为
，下面结论中正确的是（ ）
A ．函数
的最小正周期是
B ．图象关于点对称
C ．图象可由函数的图象向右平移个单位得到
D ．函数在区间
上是增函数
A． B． C． D．无法确定
8、设为虚数单位，则复数在复平面内对应的点所在的象限是（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
第II卷（非选择题）
二、填空题（题型注释）
9、已知函数．下列命题：
①函数既有最大值又有最小值；
②函数的图象是轴对称图形；
③函数在区间上共有7个零点；
④函数在区间上单调递增．
其中真命题是．（填写出所有真命题的序号）
10、在锐角的边上有异于顶点的6个点，边上有异于顶点的4个点，加上点，以这11个点为顶点共可以组成个三角形（用数字作答）．
11、有一口大钟每到整点就自动以响铃的方式报时，1点响1声，2点响2声，3点响3声，……，12点响12声（12时制），且每次报时时相邻两次响铃之间的间隔均为1秒．在一次大钟报时时，某人从第一声铃响开始计时，如果此次是12点的报时，则此人至少需等待秒才能确定时间；如果此次是11点的报时，则此人至少需等待秒才能确定时间．
12、设不等式组表示平面区域为，在区域内随机取一点，则点落在圆内的概率为．
13、双曲线（）的离心率是；渐近线方程是．
14、角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则
的值是 ．
三、解答题（题型注释）
15、（本小题满分13分）已知函数，
，
，
,
且． （Ⅰ）当，
，
时，若方程
恰存在两个相等的实数根，求
实数
的值；
（Ⅱ）求证：方程
有两个不相等的实数根；
（Ⅲ）若方程的两个实数根是，试比较与的大小
并说明理由．
16、（本小题满分14分）已知椭圆过点，离心率为
．过椭圆右顶点的两条斜率乘积为的直线分别交椭圆于两点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）直线
是否过定点
？若过定点
，求出点
的坐标；若不过，请说明理由．
17、（本小题满分13分）设函数．
（Ⅰ）当时,求函数的单调区间；
（Ⅱ）设为的导函数，当时，函数的图象总在的图象
的上方，求的取值范围．
18、（本小题满分13分） 若有穷数列
，，
（
是正整数）满足条件：
，
则称其为“对称数列”．例如，和
都是“对称数列”．
（Ⅰ）若是25项的“对称数列”，且
，
是首项为1，公比为2的
等比数列．求的所有项和
；
（Ⅱ）若是50项的“对称数列”，且
，是首项为1，公差为2的
等差数列．求
的前项和
，
.
19、（本小题满分14分）如图，在四棱锥
中，底面
是正方形，侧面底面
，
，点
是
的中点，点
在边
上移动．
（Ⅰ）若
为
中点，求证：
//平面
；
（Ⅱ）求证：
；
（Ⅲ）若，二面角的余弦值等于，试判断点在边
上的位置，并说明理由.
20、（本小题满分13分）退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势.某机构为了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在20~80岁（含20岁和80岁）之间的600人进行调查，并按年龄层次[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]绘制频率分布直方图，如图所示.若规定年龄分布在[20,40)岁的人为“青年人”，[40,60)为“中年人”， [60,80]为“老年人”.
（Ⅰ）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的600人的平均年龄；
（Ⅱ）将上述人口分布的频率视为该城市在20-80年龄段的人口分布的概率．从该城市20-80年龄段市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为，求随机变量的分布
列和数学期望．
参考答案1、C
2、A
3、D
4、
5、A
6、B
7、C
8、D
9、①②③
10、120
11、11；11.
12、
13、
14、
15、（1）或；（2）证明详见解析；（3）.
16、（1）；（2）.
17、（1）函数的单调增区间为，；单调递减区间为；（2）
.
18、（1）；（2）.
19、（1）证明详见解析；（2）证明详见解析；（3）点F为边BC上靠近B点的三等分点.
20、（1）48岁；（2）分布列详见解析，.
【解析】
1、试题分析：集合T中不能有满足7倍关系的两个数，因此我们将I中的数分成三类：第一类：1，7,49；2,14,98；3,21,147；4,28,196；共4组，每组最多只能有两个数在集合T中，即集合T中至少需要排除其中4个元素：7,14,21,18；
第二类：5,35；6,42；8,56；…；34,238,；共30-4=26组；每组最多只能有一个数在集合T中，即集合T中至少需要排除其中的26个元素；
第三类：不在上面两类中的所有数：36,37,38，…，237，它们不是7的倍数，且它们的7倍不在集合I中，所以这组中所有数都可以在集合T中；
所以集合T中最多可以有238-4-26=208个元素.
考点：排列组合问题.
2、试题分析：延长BO交AC于点P，如图所示：
∵，得，
即，∴，∴. 考点：向量的运算.
3、试题分析：
，∵，∴
，
∴当时，取得最大值.
考点：三角函数的最值.
4、试题分析：充分性：∵，∴，，∵，，，∴，；
必要性：过作平面交于直线，∵，∴，若n与m重合，则；若n与m不重合，则，∵，∴，又∵，，∴，∴.
考点：充分必要条件.
5、试题分析：三棱锥的直观图如图所示：
由三视图可知平面ABC，平面PAB，且，，∴，，
，
∴，，∴全面积为.
考点：三视图.
6、试题分析：的最小正周期，∵，∴图象关于点
对称，∴图象可由函数的图象向右平移个单位得到，函数的单
调递增区间是，当时，，
∴函数在区间上是先增后减.
考点：三角函数图象、周期性、单调性、图象平移、对称性.
7、试题分析：中点到抛物线准线的距离为6，则A,B到准线的距离之和为12，即
考点：直线与抛物线相交问题
8、试题分析：，∴复数所对应的点为，∴复数在复
平面内对应的点所在的象限是第四象限.
考点：复数的运算.
9、试题分析：对于①：，当且仅当时，取到等号，
∴有最大值.当时，；当时，
；当时，；而
在上存在最小值m，且，∴m亦为在定义域上的最小值.
对于②：∵，∴为的对称轴；
对于③：，即，即，∴在区间上有
共7个零点；
对于④：，∴不可能单调递增.
考点：函数的零点、最值、单调性.
10、试题分析：分两种情况：
第一种：三角形顶点不包括点，在OA上取两点在OB上取一点，或者在OA上取一点在OB上取两点，此时可构成的三角形个数为；
第二种：三角形顶点包括点，然后在OA、OB上各自取一点，此时可构成的三角形
个数为.
∴以这11个点为顶点共可以组成个三角形.
考点：排列组合问题.
11、试题分析：大钟报时时最多可响12声，12点的报时，大钟会响12声，∴某人从第一声响开始计时时，需要至少等待11秒才能听到第十二声响，确定这时是12点；11点的报时，大钟会响11声，当某人经过10秒听到第11声响时，不能确定这时就是11点，他必须再等待1秒确定会不会有第12声响起，才能确定这时是11点还是12点，所以11点的报时，此人需等待至少11秒才能确定时间.
考点：函数问题.
12、试题分析：画出区域D和圆：
区域D的面积为4，区域D在圆中的部分面积为，∴点P落在圆内的概率为
.
考点：几何概型.
13、试题分析：∵，∴，∴，，，∴，
∴渐近线方程为.
考点：双曲线的离心率和渐近线方程.
14、试题分析：∵角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点
，
∴，.
考点：三角函数的定义、诱导公式.
15、试题分析：本题主要考查方程的根的问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先将代入到中，将
方程转化为，有2种情况：第一种：是一元二次方程的一个实数根，第二种：一元二次方程有两个相等的实数根，分别讨论求解；第二问，展开表达式，对求导，而方程
的恒成立，所以可证得方程有两个不相等的实数根；第三问，将代入中，可计算得，而
，解不等式即得.
试题解析：（1）当时，.
当时，.
依题意，若方程恰存在两个相等的实数根，包括两种情况：
（ⅰ）若是一元二次方程的一个实数根，则时，方程
可化为，恰存在两个相等的实数根0（令一根为3）. （ⅱ）若一元二次方程有两个相等的实数根，则方程
的根的判别式，解得，此时方程
恰存在两个相等的实数根（另一根为0）.
∴当或时，方程恰存在两个相等的实数根.
（2）由，可得，
，
∴.
此一元二次方程的判别式，
则.
由，可得，恒成立，
∴方程有两个不等的实数根.
（3）∵，
得
即，由，得.
考点：方程的根的问题.
16、试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的相交问题、韦达定理等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，椭圆过
定点及离心率组成方程组解出和，从而得到椭圆的标准方程；第二问，利用第一
问的结论，数形结合可知直线AM和直线AN的斜率存在且不为0，设出直线AM的方程，与椭圆方程联立，消参，利用韦达定理，可得到M点的横坐标，代入直线AM的方程中，再得到M点的纵坐标，同理，得到N点坐标，从而得到直线MN的方程，直接观察可知D点坐标.
试题解析：（1）由已知得，解得.
∴椭圆的标准方程为.
（2）由（1）可知椭圆右顶点.
由题意可知，直线AM和直线AN的斜率存在且不为0.
设直线AM的方程为.
∵，得.
成立.
∴，∴.
∴.
∴.
∵直线AM和直线AN的斜率乘积为，故可设直线AN的方程为. 同理，易得.
∴.
∴当时，即时，.
直线MN的方程为.
整理得：.
显然直线MN过定点.（点M、N关于原点对称）
当，即时，直线MN显然过定点.
综上所述，直线MN过定点.
考点：椭圆的标准方程、直线与椭圆的相交问题、韦达定理.
17、试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值、恒成立问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、
计算能力.第一问，先将代入，利用导数除法的运算法则计算，令
解出函数的增区间，令解出函数的减区间；第二问，先写出解析式，由于函数的图象总在的图象的上方，所以，转化为
在恒成立，继续转化为恒成立，构
造函数，通过求导判断函数的单调区间，求出的最小值，最后解出a的取值范围.
试题解析：（1）当时，.
∵，得，解得或；
∵，得，解得.
∴函数的单调增区间为，；单调递减区间为.
（2）∵.
又∵函数的图象总在的图象的上方，
∴，即在恒成立.
又∵，∴，∴.
又∵，∴.
设，则即可.
∵.
∵，，解得；
∵，，解得.
∴在区间单调递增，在区间单调递减.
∴的最小值为或.
∵，，作差可知，
∴.
∴a的取值范围是.
考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值、恒成立问题.
18、试题分析：本题主要考查等比数列的通项公式、等比数列的前n项和公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，通过对称数
列的定义域，得出，，…，，所以，然后利用等比数列的前n项和公式计算即可；第二问，由于数列为50项的对称数列，所以当n小于25时，就是从开始的等比数列，不存在对称，可以直接求和，当n 大于25时，除了前25项的和以外，还有多出来的几项的和.
试题解析：（1）依题意，，，…，.
∴，，…，.
∴.
（2）依题意，，∵是50项的“对称数列”.
∴，，…，.
∴当时，；
当时，，.
综上，.
考点：等比数列的通项公式、等比数列的前n项和公式.
19、试题分析：本题主要考查线线平行、线面平行、线线垂直、线面垂直、二面角、向量法等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、空间想象能力、逻辑推理能力.
第一问，在中，E、F分别是BP、BC中点，利用中位线的性质得，再根据线面平行的判定得出结论；第二问，由正方形ABCD得出，利用面面
垂直的性质，得平面PAB，利用线面垂直的性质，得，再从中证出，利用线面垂直的判定得平面PBC，所以AE垂直面PBC内的线
PF；第三问，利用已知的这些条件整理出AD、AB、AP两两垂直，建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，得出向量坐标，分别求出平面AEF和平面ABF的法向量，利用夹角公式列出表达式，求出m，即得到BF的长，从而得到点F的位置.
试题解析：（1）在中，∵点E是PB中点，点F是BC中点，
∴，
又∵平面PAC，平面PAC，
∴平面PAC．
（2）∵底面ABCD是正方形，∴.
又∵侧面PAB底面ABCD，平面PAB平面ABCD=AB，且平面ABCD，∴平面PAB.
∵平面PAB，
∴，
由已知，点E是PB的中点，
∴，
又∵，
∴平面PBC.
∵平面PBC，
∴.
（3）点F为边BC上靠近B点的三等分点.
∵，，
∴，
由（2）可知，平面PAB.
又，
∴平面PAB，即，
∴两两垂直.
分别以AD，AB，AP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系（如图）.
不妨设，则，. ∴，.
设平面AEF的一个法向量为，
∵，得，取，则，，得. ∵，，，
∴平面ABCD.
即平面ABF的一个法向量为.
∴，解得.
∵，
∴，即点F为边BC上靠近B点的三等分点.
考点：线线平行、线面平行、线线垂直、线面垂直、二面角、向量法.
20、试题分析：本题主要考查平均值、频率分布直方图、二项分布、随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.第一问，用该区间中点值来代替每一组数据的平均值，再乘以每一组数据的频率，得到600人的平
均年龄；第二问，先由频率分布直方图确定“老年人”所占的频率为，再利用二项分布
的概率计算公式，计算出每一种情况的概率，列出分布列，最后利用
计算数学期望.
试题解析：（1）由题意估算，所调查的600人的平均年龄为
.
（2）由频率分布直方图可知，“老年人”所占的频率为.
∴从该城市20～80年龄段市民中随机抽取1人，抽到“老年人”的概率为
.
依题意，X 的可能取值为
0,1,2,3. ；
；
；
.
∴随机变量X 的分布列如下表：
∴随机变量X 的数学期望
.
考点：1.平均值；2.频率分布直方图；3.二项分布；4.随机变量的分布列和数学期望.。