具奇性的非线性抛物方程
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( 3)
5u p- 2 ( 4) = d iv ( u) u 5t 为代表的非 N ew ton 渗流方程. 方程 ( 3) 当m > 1 时具有退化性, 而当 0 < m < 1 时具有其它奇异性; 方程 ( 4) 当 p > 2 时 具有退化性, 而当 1 < p < 2 时具有其它奇异性; 方程 ( 3) 和 ( 4) 的特点是形式特殊, 另一个本 质特点则是: 它们只有一个 “退化点” , 即方程 ( 3) (m > 1) 和方程 ( 4) ( p > 2) 分别只在 u = 0 和
sup Θ
p ≥r N ( p - 2) + p p- 2
∫ u (x )
BΘ
0
dx < ∞
( 12)
则 ( 4) 的初值问题在 Q T (u 0) 上存在唯一广义解 u , 此处
Θ T ( u 0 ) = C 0 lim sup p ≥r
r→0 N ( p - 2) + p p- 2
∫ u (x )
tΥ( u ) ∈ L
∞
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
( 0, T ; H 1 0 (8 ) ) , t
5u = ∃Υ( u ) , u ( x , 0) = u 0 ( x ) 5t Donnely 利用 Ga lerk in 方法讨论了初值问题 ( 9). 在以上讨论中, 一直要求 u 0 ∈ L
5u ∈ L ∞ ( 0, T ; H 5t
∫
R
N
T
允许初值为测度情形. V o l’p ert 和 Khudyaev [ 2 ] 在 BV 函数类中研究的方程 ( 5) 的初值问题, 证明了BV 解的存在 性, 我们在文献 [ 10, 11 ] 中研究了方程 ( 5) 的第一边值问题. 我们首先给出了具强退化拟线性 抛物方程第一边值问题广义解的意义, 然后克服了由于退化性带来的边界条件处理上的困难, 利用抛物正则化方法分别证明了 BV (Q T ) 解和 BV x (Q T ) 解的存在性, 这里 B V x (Q T ) 具有下列 5u 5u 是正则测度, i = 1, …, N , 而对广义导数 没有限制. 显然 5x i 5t BV (Q T ) < BV x (Q T ). 在文献 [ 12 ] 和 [ 13 ] 中我们分别对方程 性质的集合; u ∈ L 1 (Q T ) ,
A (u ) = a ( s) d s 严格递增 . 该唯一性是在有界可测函数类中而不是在有界连续函数类中证明 ∫
0
u
的 . 因此本质地推进了已有关于这一问题的研究, 证明的关键是对伴随问题的解作 BV 估计 .
1. 2 高维情形
非线性半群方法和 Ga lerk in 方法从数值计算的观点都是很重要的 . B rezis [ 5 ] 利用半群方 ) = R , u 0 ∈ H - 1 ( 8 ) , 则存在唯一 u , u ∈ C ( [ 0, T ]; H - 1 ( 8 ) ) , 法 证明了: 若 Υ递增连续 R ( Υ
u = 0 时退化 . 对于一般二阶拟线性退化抛物方程研究较多的是
收稿日期: 2001202215 基金项目: 国家自然科学基金资助项目 ( 19971070) 作者简介: 赵俊宁 ( 1945- ) , 男, 教授.
( 自然科学版) 2001 年 厦门大学学报 ・ 1 6 4・
a ( x , t, s) d s ∫
0
u
( 8)
关于 u 是严格递增时, 文献 [ 4 ] 对方程 ( 7) 的初值问题和边值问题证明了解的连续性和唯一 性, 条件 ( 8) 允许 a ( x , t, u ) 对 u 有可数个零点 . 为了得到连续解, 条件 ( 8) 几乎也是必要的 . 事 实上, 假如这一条件不满足, 而 a = a ( u ) , 则 a ( u ) 必在某区间 [ Α , Β] 上为空, 于是若 bu ≠ 0, 则 可选取含于区间 [ Α , Β ] 内的初值使对应的解产生间断 . 在文献 [ 4 ] 中证明的解的唯一性是一条 很一般的唯一性定理, 它不要求 a ( u ) 和 b ( u ) 之间有任何关系, 而对 a ( u ) 又只要求其非负且
5u 5u 5 ij ( 5 i( ( 5) a x , t, u ) = + b x , t, u ) + c (x , t, u ) 5x j 5t 5x i 5x i 这里我们试图对这个领域的研究情况作一个简单的介绍. 内容包括: 解的存在唯一性; 正 则性; 分界面; 渐近形态; 源型奇异解问题.
第 40 卷 第 2 期 2001 年 3 月
厦门大学学报 ( 自然科学版)
Jou rna l of X iam en U n iversity (N a tu ra l Science )
. 40 N o. 2 Vol M a r. 2001
文章编号: 043820479 ( 2001) 0220163210
sup Θ
p ≥1 N + m- 1
2
∫
x < Θ
u 0 (x ) d x < ∞
( 10)
就存在 T > 0, 使 ( 3) 的初值问题在 Q T = R N × [ 0, T ] 上有广义解存在. 值得指出的是: 条件 ( 10) 对于广义解的存在不只是充分的, 而且也是必要的 . A ron son 和 Caffa relli 对方程 ( 3) 的初 [8] 值问题证明了这一点 . 关于初值问题 ( 9) 解的唯一性, B rezis 和 C randa ll[ 9 ] 证明了: 设 Υ( u ) 递增连续, Υ( 0) = 0. δ 5u 5u δ ∈ L ∞ (Q ) , u - u δ ∈ L 1 (Q ) 且在 D ′ (Q T ) 中, 若 u, u - ∃Υ( u ) = - ∃Υ( u ) , 以及 e ss lim T T t→0 5t 5t δ δ + u ( x , t) - u ( x , t) d x = 0. 则 u = u a. e. 于 Q . P ierre 在文献 [ 6 ] 中将上述结果推广到
具奇性的非线性抛物方程
赵俊宁, 谭 忠
( 厦门大学数学系, 福建 厦门 361005)
唯一性和性质以及作者在这一领域的工作. 摘要: 介绍了具奇性的非线性抛物方程解的存在性、
关键词: 奇性; 非线性抛物方程; 解的存在唯一性; 解的性质 中图分类号: O 175. 29; O 175. 26 文献标识码: A 在过去的 30 年中, 如下形式的拟线性方程已成为广泛研究的课题 5u = 5t
( 13)
p- m
u
p
,其
( 自然科学版) 2001 年 厦门大学学报 ・ 1 6 6・
( 1) ( p - 1)
中 a ij = m p - 1 u m -
u
p- 2
m in{1, p - 1}a 0 ( u , ( a 0 ( u , u ) = m p - 1 u m 由于当 a 0 ( u ,
1 解的存在唯一性
1. 1 一维情形
拟线性退化抛物方程的研究从渗流方程开始, 始于 1958 年 O lein ik, Ka la shn ikov, 周毓麟 的文章[ 1 ] , 他们研究的方程是 5u 52 ( ( 6) = Υ x , t, u ) 5t 5x 2 ( x , t, 0) = Υ 其中 Υ( x , t, u ) 对 u ≥ 0 有定义且当 u > 0 时 Υ( x , t, u ) > 0, Υ u ( x , t, u ) > 0 且 Υ u (x , ϖ ϖ t, 0) = 0. 他们证明了: 若 Υ( x , t, u ) 对 ( x , t ) ∈ Q T , u ≥ 0 连续, Υ u ( x , t , u ) 对 ( x , t ) ∈ Q T 和有界 的 u 有界, 初值非负连续有界, 则方程 ( 6) 的初值问题存在唯一的连续解, 存在性的证明是用一 种抛物正则化方法和单调原理, 文中还研究了第一边值问题和第二边值问题. 对于一般拟线性退化抛物方程 5u 5 ( 5u 5 i( ( 7) = a x , t, u ) + b x , t, u ) + c ( x , t, u ) , a ( x , t, u ) ≥ 0 5t 5x 5x 5x 的研究是从 V o l’p ert 和 Khudyaev [ 2 ] 开始的, 由于这种方程一般不可能有连续解存在, 他们选 择了BV 函数类并参照 K ruvkov 处理一阶拟线性守恒律的方式, 用一个积分形式在BV 函数类 中定义广义解, 利用抛物正则化方法证明了 BV 解的存在性, 他们还研究了广义解的唯一性, 但证明有误. 伍卓群、 尹景学[ 3 ] 通过对 BV 解性质的精确分析给出解应满足的间断条件, 进而 证明了 BV 解的唯一性. 当 a ( x , t, u ) 满足 A ( x , t, u ) =
BΘ
2- p
0
dx
在文献 [ 16 ] 中还证明了为使 ( 4) 的初值问题存在广义解, 条件 ( 12) 不仅是充分的, 而且也是必 要的. 在文献 [ 16 ] 中, 我们讨论了非牛顿多方渗流方程 5u m p- 2 m = d iv ( u ) , m > 1, p > 2 u 5t 5u 52 u 的初值问题. 易见, 方程 ( 13) 可以写成 = a ij + m p - 1 (m - 1) ( p - 1) um p 5t 5x i 5x j
N
5 ij ( a x , t, u , ∑ 5 x i i, j
N
u)
5u + 5x j
N
∑ 5x b (x , t, u ) +
i i= 1 i N
5
c ( x , t, u )
( 1)
其中 a ij = a j i 满足 ∑a ij ( x , t, u ,
i, j = 1
u) Ν iΝ j ≥ 0, Π Ν∈ R
N
5u 5bi ( u ) ( 11) = ∃A ( u ) + ∑ + c (u ) 5t 5x i i= 1 的第一边值问题和初值问题, 在 A ( u ) 严格递增的假设下证明了 BV x (Q T ) 解的唯一性. 在文献 [ 14 ] 中, 我们利用补偿紧致理论讨论了方程 ( 11) 的可解性问题, 得到了 ( 11) 的初 值问题和第一边值问题关于解的存在性. 对于方程 ( 4) 解的存在性, D i B enedet to , H errero 在文献 [ 15 ] 中就初值问题证明了下面解 N 的存在唯一性结果: 设 p > 2, u 0 ∈ L 1 loc (R ) , 且存在 r > 0, 使
- 1
( 8 ) ) 在弱意义下满足 ( 9)
∞
或 u0
第 2 期 赵俊宁等: 具奇性的非线性抛物方程 ・1 6 5 ・
∈ L 1 , 这种要求可以放宽, P ierre [ 6 ] 对初值问题 ( 9) 证明了: 若 u 0 ∈ M + (R N ) (R N 上非负有限 R adon 测度等) , 则存在唯一 u ∈ C ( [ 0, T ]; L 1 (R N ) ) ∩L ∞ ( [ Σ, T ] × R N ) , Π Σ> 0, 它在广义函 数意义下满足 ( 9). 证明方法是: 用正则函数 u 0n 逼近测度 u 0. 为证对应解的收敛性, 需要作一 些必要的估计 . 另外, 测度有限的条件可以放宽, B en ilan, C randa ll 和 P ierre [ 7 ] 对多孔介质方程 ( 3) (m > 1) 证明了, 只要初值满足
( 2)
如果式 ( 2) 中的二次型是恒为正定的, 则式 ( 1) 是抛物型方程. 但这里只要求它非负, 即 允许式 ( 1) 在 ( x , t, u , u ) 的一个集合上退化, 甚至允许它是全退化而成为一阶方程. 因此这 类方程超出了古典理论的范围. 在这类方程中, 研究得最多的是既有鲜明物理背景, 又有丰富 理论内涵的典型方程, 即以 5u = ∃ um , u ≥ 0 5t 为代表的 N ew ton 渗流方程和以
5u p- 2 ( 4) = d iv ( u) u 5t 为代表的非 N ew ton 渗流方程. 方程 ( 3) 当m > 1 时具有退化性, 而当 0 < m < 1 时具有其它奇异性; 方程 ( 4) 当 p > 2 时 具有退化性, 而当 1 < p < 2 时具有其它奇异性; 方程 ( 3) 和 ( 4) 的特点是形式特殊, 另一个本 质特点则是: 它们只有一个 “退化点” , 即方程 ( 3) (m > 1) 和方程 ( 4) ( p > 2) 分别只在 u = 0 和
sup Θ
p ≥r N ( p - 2) + p p- 2
∫ u (x )
BΘ
0
dx < ∞
( 12)
则 ( 4) 的初值问题在 Q T (u 0) 上存在唯一广义解 u , 此处
Θ T ( u 0 ) = C 0 lim sup p ≥r
r→0 N ( p - 2) + p p- 2
∫ u (x )
tΥ( u ) ∈ L
∞
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
( 0, T ; H 1 0 (8 ) ) , t
5u = ∃Υ( u ) , u ( x , 0) = u 0 ( x ) 5t Donnely 利用 Ga lerk in 方法讨论了初值问题 ( 9). 在以上讨论中, 一直要求 u 0 ∈ L
5u ∈ L ∞ ( 0, T ; H 5t
∫
R
N
T
允许初值为测度情形. V o l’p ert 和 Khudyaev [ 2 ] 在 BV 函数类中研究的方程 ( 5) 的初值问题, 证明了BV 解的存在 性, 我们在文献 [ 10, 11 ] 中研究了方程 ( 5) 的第一边值问题. 我们首先给出了具强退化拟线性 抛物方程第一边值问题广义解的意义, 然后克服了由于退化性带来的边界条件处理上的困难, 利用抛物正则化方法分别证明了 BV (Q T ) 解和 BV x (Q T ) 解的存在性, 这里 B V x (Q T ) 具有下列 5u 5u 是正则测度, i = 1, …, N , 而对广义导数 没有限制. 显然 5x i 5t BV (Q T ) < BV x (Q T ). 在文献 [ 12 ] 和 [ 13 ] 中我们分别对方程 性质的集合; u ∈ L 1 (Q T ) ,
A (u ) = a ( s) d s 严格递增 . 该唯一性是在有界可测函数类中而不是在有界连续函数类中证明 ∫
0
u
的 . 因此本质地推进了已有关于这一问题的研究, 证明的关键是对伴随问题的解作 BV 估计 .
1. 2 高维情形
非线性半群方法和 Ga lerk in 方法从数值计算的观点都是很重要的 . B rezis [ 5 ] 利用半群方 ) = R , u 0 ∈ H - 1 ( 8 ) , 则存在唯一 u , u ∈ C ( [ 0, T ]; H - 1 ( 8 ) ) , 法 证明了: 若 Υ递增连续 R ( Υ
u = 0 时退化 . 对于一般二阶拟线性退化抛物方程研究较多的是
收稿日期: 2001202215 基金项目: 国家自然科学基金资助项目 ( 19971070) 作者简介: 赵俊宁 ( 1945- ) , 男, 教授.
( 自然科学版) 2001 年 厦门大学学报 ・ 1 6 4・
a ( x , t, s) d s ∫
0
u
( 8)
关于 u 是严格递增时, 文献 [ 4 ] 对方程 ( 7) 的初值问题和边值问题证明了解的连续性和唯一 性, 条件 ( 8) 允许 a ( x , t, u ) 对 u 有可数个零点 . 为了得到连续解, 条件 ( 8) 几乎也是必要的 . 事 实上, 假如这一条件不满足, 而 a = a ( u ) , 则 a ( u ) 必在某区间 [ Α , Β] 上为空, 于是若 bu ≠ 0, 则 可选取含于区间 [ Α , Β ] 内的初值使对应的解产生间断 . 在文献 [ 4 ] 中证明的解的唯一性是一条 很一般的唯一性定理, 它不要求 a ( u ) 和 b ( u ) 之间有任何关系, 而对 a ( u ) 又只要求其非负且
5u 5u 5 ij ( 5 i( ( 5) a x , t, u ) = + b x , t, u ) + c (x , t, u ) 5x j 5t 5x i 5x i 这里我们试图对这个领域的研究情况作一个简单的介绍. 内容包括: 解的存在唯一性; 正 则性; 分界面; 渐近形态; 源型奇异解问题.
第 40 卷 第 2 期 2001 年 3 月
厦门大学学报 ( 自然科学版)
Jou rna l of X iam en U n iversity (N a tu ra l Science )
. 40 N o. 2 Vol M a r. 2001
文章编号: 043820479 ( 2001) 0220163210
sup Θ
p ≥1 N + m- 1
2
∫
x < Θ
u 0 (x ) d x < ∞
( 10)
就存在 T > 0, 使 ( 3) 的初值问题在 Q T = R N × [ 0, T ] 上有广义解存在. 值得指出的是: 条件 ( 10) 对于广义解的存在不只是充分的, 而且也是必要的 . A ron son 和 Caffa relli 对方程 ( 3) 的初 [8] 值问题证明了这一点 . 关于初值问题 ( 9) 解的唯一性, B rezis 和 C randa ll[ 9 ] 证明了: 设 Υ( u ) 递增连续, Υ( 0) = 0. δ 5u 5u δ ∈ L ∞ (Q ) , u - u δ ∈ L 1 (Q ) 且在 D ′ (Q T ) 中, 若 u, u - ∃Υ( u ) = - ∃Υ( u ) , 以及 e ss lim T T t→0 5t 5t δ δ + u ( x , t) - u ( x , t) d x = 0. 则 u = u a. e. 于 Q . P ierre 在文献 [ 6 ] 中将上述结果推广到
具奇性的非线性抛物方程
赵俊宁, 谭 忠
( 厦门大学数学系, 福建 厦门 361005)
唯一性和性质以及作者在这一领域的工作. 摘要: 介绍了具奇性的非线性抛物方程解的存在性、
关键词: 奇性; 非线性抛物方程; 解的存在唯一性; 解的性质 中图分类号: O 175. 29; O 175. 26 文献标识码: A 在过去的 30 年中, 如下形式的拟线性方程已成为广泛研究的课题 5u = 5t
( 13)
p- m
u
p
,其
( 自然科学版) 2001 年 厦门大学学报 ・ 1 6 6・
( 1) ( p - 1)
中 a ij = m p - 1 u m -
u
p- 2
m in{1, p - 1}a 0 ( u , ( a 0 ( u , u ) = m p - 1 u m 由于当 a 0 ( u ,
1 解的存在唯一性
1. 1 一维情形
拟线性退化抛物方程的研究从渗流方程开始, 始于 1958 年 O lein ik, Ka la shn ikov, 周毓麟 的文章[ 1 ] , 他们研究的方程是 5u 52 ( ( 6) = Υ x , t, u ) 5t 5x 2 ( x , t, 0) = Υ 其中 Υ( x , t, u ) 对 u ≥ 0 有定义且当 u > 0 时 Υ( x , t, u ) > 0, Υ u ( x , t, u ) > 0 且 Υ u (x , ϖ ϖ t, 0) = 0. 他们证明了: 若 Υ( x , t, u ) 对 ( x , t ) ∈ Q T , u ≥ 0 连续, Υ u ( x , t , u ) 对 ( x , t ) ∈ Q T 和有界 的 u 有界, 初值非负连续有界, 则方程 ( 6) 的初值问题存在唯一的连续解, 存在性的证明是用一 种抛物正则化方法和单调原理, 文中还研究了第一边值问题和第二边值问题. 对于一般拟线性退化抛物方程 5u 5 ( 5u 5 i( ( 7) = a x , t, u ) + b x , t, u ) + c ( x , t, u ) , a ( x , t, u ) ≥ 0 5t 5x 5x 5x 的研究是从 V o l’p ert 和 Khudyaev [ 2 ] 开始的, 由于这种方程一般不可能有连续解存在, 他们选 择了BV 函数类并参照 K ruvkov 处理一阶拟线性守恒律的方式, 用一个积分形式在BV 函数类 中定义广义解, 利用抛物正则化方法证明了 BV 解的存在性, 他们还研究了广义解的唯一性, 但证明有误. 伍卓群、 尹景学[ 3 ] 通过对 BV 解性质的精确分析给出解应满足的间断条件, 进而 证明了 BV 解的唯一性. 当 a ( x , t, u ) 满足 A ( x , t, u ) =
BΘ
2- p
0
dx
在文献 [ 16 ] 中还证明了为使 ( 4) 的初值问题存在广义解, 条件 ( 12) 不仅是充分的, 而且也是必 要的. 在文献 [ 16 ] 中, 我们讨论了非牛顿多方渗流方程 5u m p- 2 m = d iv ( u ) , m > 1, p > 2 u 5t 5u 52 u 的初值问题. 易见, 方程 ( 13) 可以写成 = a ij + m p - 1 (m - 1) ( p - 1) um p 5t 5x i 5x j
N
5 ij ( a x , t, u , ∑ 5 x i i, j
N
u)
5u + 5x j
N
∑ 5x b (x , t, u ) +
i i= 1 i N
5
c ( x , t, u )
( 1)
其中 a ij = a j i 满足 ∑a ij ( x , t, u ,
i, j = 1
u) Ν iΝ j ≥ 0, Π Ν∈ R
N
5u 5bi ( u ) ( 11) = ∃A ( u ) + ∑ + c (u ) 5t 5x i i= 1 的第一边值问题和初值问题, 在 A ( u ) 严格递增的假设下证明了 BV x (Q T ) 解的唯一性. 在文献 [ 14 ] 中, 我们利用补偿紧致理论讨论了方程 ( 11) 的可解性问题, 得到了 ( 11) 的初 值问题和第一边值问题关于解的存在性. 对于方程 ( 4) 解的存在性, D i B enedet to , H errero 在文献 [ 15 ] 中就初值问题证明了下面解 N 的存在唯一性结果: 设 p > 2, u 0 ∈ L 1 loc (R ) , 且存在 r > 0, 使
- 1
( 8 ) ) 在弱意义下满足 ( 9)
∞
或 u0
第 2 期 赵俊宁等: 具奇性的非线性抛物方程 ・1 6 5 ・
∈ L 1 , 这种要求可以放宽, P ierre [ 6 ] 对初值问题 ( 9) 证明了: 若 u 0 ∈ M + (R N ) (R N 上非负有限 R adon 测度等) , 则存在唯一 u ∈ C ( [ 0, T ]; L 1 (R N ) ) ∩L ∞ ( [ Σ, T ] × R N ) , Π Σ> 0, 它在广义函 数意义下满足 ( 9). 证明方法是: 用正则函数 u 0n 逼近测度 u 0. 为证对应解的收敛性, 需要作一 些必要的估计 . 另外, 测度有限的条件可以放宽, B en ilan, C randa ll 和 P ierre [ 7 ] 对多孔介质方程 ( 3) (m > 1) 证明了, 只要初值满足
( 2)
如果式 ( 2) 中的二次型是恒为正定的, 则式 ( 1) 是抛物型方程. 但这里只要求它非负, 即 允许式 ( 1) 在 ( x , t, u , u ) 的一个集合上退化, 甚至允许它是全退化而成为一阶方程. 因此这 类方程超出了古典理论的范围. 在这类方程中, 研究得最多的是既有鲜明物理背景, 又有丰富 理论内涵的典型方程, 即以 5u = ∃ um , u ≥ 0 5t 为代表的 N ew ton 渗流方程和以