人教版九年级上册数学《直线和圆的位置关系》圆说课研讨复习教学课件巩固

点A重合的点为B．
➢ OB是☉O的一条半径吗？
➢ PB是☉O的切线吗？
➢ PA、PB有何关系？
➢ ∠APO和∠BPO有何关系？
（利用图形轴对称性解释）
A
O.
B
P
新知探究
知识点1
已知，如图PA ， PB是☉O的两条切线，A,B为切点.
求证：PA=PB，∠APO=∠BPO.
A
证明：∵PA切☉O于点A，
∴ OA⊥PA.
同理可得OB⊥PB.
∵OA=OB，OP=OP，
∴Rt△OAP ≌ Rt△OBP，
∴PA=PB，∠APO=∠BPO.
O.
B
P
新知探究
知识点1 切线长定理
切线长定理
过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等.
圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.
切线长定理为证明线段相等、
角相等提供了新的方法.
d=r，则相切
经过圆的半径的外端且垂直于
这条半径的直线是圆的切线.
圆的切线垂直于
经过切点的半径
有切线时常用辅助线
添加方法：
见切点，连半径，得垂直
新知探究
跟踪训练
（2018∙常州中考）如图，AB是⊙O的直径，MN是⊙O的切线，切点为N，
如果∠MNB =52°，那么∠NOA的度数为( A )
A.76°
3.这个三角形叫做这个圆的外切三角形.
B
1.锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形的内部.
2.一个圆可以有无数个外切三角形，但是一个三角形只有一个内切圆.
C
新知探究
尺规作图
求作：△ABC的内切圆.
作三角形任意两个内角的平分线，以两条
角平分线的交点为圆心，以交点到三角形
任意一边的距离为半径作圆即可.
半径的直线是圆的切线.
1.切线和圆只有一个
公共点.
2.圆心到切线的距离
等于半径.
新知探究
知识点1 切线的判定定理
已知圆O上一点A，怎样根据圆的切线定义过点A作圆O的切线？
B
(1) 圆心O到直线AB的距离和圆的半
径有什么数量关系?
(2) 二者位置有什么关系？为什么？
O
A
C
新知探究
知识点1 切线的判定定理
1
= ∠COB=65°，
2
∴∠BEC=180°- ∠CAO =115°。
115 度.
对接中考
3
如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上
一点，且AP=AC.求证：PA是⊙O的切线.
解：如图，连接OA.
因为∠B=60°， 所以∠AOC=2∠B=120°.
因为OA=OC，所以∠OAC=∠OCA=30°.
又AP=AC，所以∠P=∠ACP=30°,
所以∠OAP=∠AOC-∠P=90°.
所以OA⊥PA，所以PA是⊙O的切线.
人教版 数学 九年级上册
直线和圆的位置关系
第3课时
课件
学习目标
1.掌握切线长的定义及切线长定理.
2. 运用切线长定理进行计算与证明.
复习引入
问题1
在同一个平面内，有一点 和⊙，过点 能否作
新知探究
知识点1
若连接两切点A,B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论？并给出证明.
A
OP垂直平分AB.
证明：∵PA，PB是⊙O的切线，点A，B是切点，
∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB，
∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线，
∴OP垂直平分AB.
M
O.
B
P
新知探究
知识点2 三角形的内切圆
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件
课件
c
课件
知识回顾
推进新课
回顾直线与圆相切：
切线
切点
判断直线和圆相切
有哪两种办法？
.
.O
直线与圆
相切
新知探究
切线具有的性质
1. 定义法：
和圆有且只有一个公共点
的直线是圆的切线.
2. 数量关系法（d=r ）：
圆心到直线的距离等于
A.30°
B.25°
C.20°
D.15°
解：∵AC是⊙O的切线，∴∠OAC=90°，
∵∠C=40°，∴∠AOC=50°，
∵OB=OD，∴∠ABD=∠BDO，
∵∠ABD+∠BDO=∠AOC，
∴∠ABD=25°.
随堂练习
2
如图，AB是⊙O的直径，直线 l1 ， l2 是⊙O的切线，A, B是切点， l1 ， l2
经过圆外一点作圆的切线，有两条.
新知探究
知识点1 切线长定理
切线长的定义：
切线上一点到切点之间的线段的长叫作
这点到圆的切线长．
切线长与切线的区别在哪里？
①切线是一条与圆相切的直线，不能度量.
②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是
圆外一点和切点，可以度量．
A
O
P
新知探究
问题2 PA为☉O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与
⊙ 的切线？如果能，可以作几条切线？如果不能，
说明理由.

新知探究
点 和⊙ 的位置关系
点 在⊙ 内


点 在⊙ 上


点 在⊙ 外


1. 点 在⊙ 内


过点 的直线都与圆相交，所
以不存在过 点的直线与⊙ 相切.
2. 点 在⊙ 上
作法：



1
解：如图，过点O作OD⊥AC于点D，
D
∵AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，∴AB⊥AP，∴∠BAP=90°，
∵∠P=30°，∴∠AOP=60°，∴∠AOC=120°，
∵OA=OC，∴∠OAD=30°，
1
∵AB=10，∴OA=5，∴OD= AO=2.5，
2
∴AD=
2
−
5 3
2
= ，∴AC=2AD=5
A
作法：
1.作∠B和∠C的平分线BM和CN，交点为O.
2.过点O作OD⊥BC.垂足为D.
N
M
O
3.以O为圆心，OD为半径作圆O.
☉O就是所求的圆.
B
D
C
新知探究
如图， ☉I是△ABC的内切圆，即IA，IB ，IC 分别三个内角的平分线.
分别过点 I 作AB，AC，BC的垂线，垂足分别为E，F，G，那么线段IE，IF，
B.56°
C.54°
解：∵MN是⊙O的切线，
∴ON⊥NM，∴∠ONM=90°，
∴∠ONB=90°-∠MNB=90°-52°=38°，
∵ON=OB，
∴∠B=∠ONB=38°，
∴∠NOA=2∠B=76°．
D.52°
随堂练习
1
如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD，
∠C=40°，则∠ABD的度数是( B )
知识点2
小桐在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下
一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？
新知探究
知识点2 三角形的内切圆
如果最大圆存在，它与三角形三边应有怎样的位置关系？
O
O
最大的圆要与三角
O
O
形三边都相切.
新知探究
如何作一个圆，使它与已知三角形的三边都相切？
(1) 如果半径为r的☉O与△ABC的三边都相切，那么圆心 O 应满足什么条件？
连接 ；
2
过 点作线段 的垂线 ，直线
即为⊙ 的切线.
作图依据：
经过半径的外端并且垂直于这条半
径的直线是圆的切线.
3. 点 在⊙ 外



目标图形

3. 点 在⊙ 外




作法： 连接 ,
1
作线段 的中点 ；
2
作以 为圆心， 长为半径
的⊙，与⊙ 交于 ， 两点；
A
圆心O到三角形三边的距离相等，都等于r.
(2) 在△ABC的内部，如何找到满足条件的圆心O呢？
I
三角形三条角平分线交于一点，这一点与三角形的三
边距离相等.圆心O 应是三角形的三条角平分线的交点.
B
C
新知探究
知识点2 三角形的内切圆
知识点2
A
1.与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
I
2.三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.
l
A
利用判定定理时，要注意直线须具备以下两个条件，缺
一不可: (1)直线经过半径的外端; (2)直线与这半径垂直.
归纳
切线的判定方法
判断一条直线是圆的切线的 三种方法
O
1.定义法：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；
l
A
2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径，
即d=r；
3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径
那么OA与l垂直吗？
切线的性质定理
圆的切线垂直于经过切 的切线，A是切点，
∴直线l ⊥OA.
O
A
l
新知探究
证明切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径．
B
证法：反证法.
(1) 假设AB与CD不垂直，过点O作一条直线垂直于CD,
O
垂足为M.
(2) 则OM<OA，即圆心到直线CD的距离小于⊙O的半径，
O r
d
l
A
O
的直线是圆的切线.
A
l
生
活
中
的
数
学
1. 当你在下雨天快速转动雨伞时，水滴顺着伞的什么方向飞
出去的？
2. 砂轮打磨零件时，溅出火星沿着砂轮的什么方向飞出去的?
下雨天快速转动雨伞时飞出的水滴，以及在砂轮上打磨
工件飞出的火星，均沿着圆的切线方向飞出．
新知探究
知识点2 切线的性质定理
思考：如图，如果直线l是⊙O 的切线，点A为切点，
有怎样的位置关系？证明你的结论.
A
解：l1∥l2，
O
证明：∵直线 l1，l2是⊙O的切线，
∴l1⊥AB，l2⊥AB，
∴l1∥l2．
l1
l2
B
随堂练习
3
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90° ，∠BAC的平分线交BC于点D.
以D为圆心，DB为半径作⊙D.
求证：AC与⊙D相切.
解：过点D作DE⊥AC于点E，如图所示.
【教材P98练习 第1题】
1. 如图，AB是⊙O的直径，∠ABT=45°，AT=AB.
求证：AT是⊙O的切线.
B
证明：∵ AT=AB，
∴∠T=∠ABT=45°，
∴∠TAB=90°，
∴BA⊥AT，
∴AT是⊙O的切线
O
T
.
A
练习
【教材P98练习 第2题】
2. 如图， AB是⊙O的直径，直线l1，l2是⊙O的切线，A，B
3
作直线 ，，则直线
，即为⊙ 的两条切线.
思考
作图依据？
3. 点 在⊙ 外
作图依据：




1
直径所对的圆周角是直角；
2
经过半径的外端并且垂直于这
条半径的直线是圆的切线；
3
两点确定一条直线.

新知探究
A


A
P
O.
O
P
B
B
归纳
经过圆内一点，不存在圆的切线；
经过圆上一点作圆的切线，有且只有一条；
人教版 数学 九年级上册
直线和圆的位置关系
第2课时
课件
学习目标
1.会判定一条直线是否是圆的切线并会过圆上一点作圆的切线.
2.理解并掌握圆的切线的判定定理及性质定理.
3.能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题.
课堂导入
情景1：下雨天，转动的雨伞上的水滴是顺着伞的什么方向飞
出去的?
情景2：用砂轮磨刀时擦出的火花，:是沿着什么方向飞出的？
是切点. l1，l2有怎样的位置关系？证明你的结论.
A
l1
解： l1 ∥ l2.
证明：∵直线l1，l2是⊙O的切线，
O
.
∴ AB ∥ l1 ， ∴ AB ∥ l2，
∴ l1 ∥ l2.
l2
B
课堂小结
定义法
切 线 的
判定方法
数量关系法
判定定理
切 线
的
性 质
性质定理
有1个公共点
d=r
1个公共点，则相切
2
3．
对接中考
2
如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与BA的延长线交于点D，
෢
点E在上(不与点B,C重合)，连接BE,CE.若∠D
= 40°，则∠BEC=
解：如图，连接OC，AC，
∵DC切⊙O于C，∴∠DCO=90°，
∵∠D=40°，∴∠COB=∠D+∠DCO=130°，
∴ ∠CAO
因此，CD与⊙O相交.
(3) 所以AB与CD垂直.
这与已知条件“直线与⊙O相切”相矛盾.
C
A
M
D
例题
【教材P98 例1】
例1.如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D.
求证：AC是⊙O的切线.
证明：过点O作OE⊥AC，垂足为E，连接OD，OA.
∵ ⊙O与AB相切于点D
∴ OD⊥AB
又△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点.
∴ AO是∠BAC的平分线
∴ OE=OD，即OE是⊙O的半径
∴ AC是⊙O的切线.
新知探究
证切线时辅助线的添加方法
(1) 有交点，连半径，证垂直;
(2) 无交点，作垂直，证半径.
有切线的条件时常用辅助线添加方法
见切点，连半径，得垂直.
练习
IG之间有什么关系？
A
IE=IF=IG
E
F
I
B
G
C
新知探究
知识点2 三角形的内切圆
三角形内心的性质
三角形的内心到三角形的三边距离相等，且等于其内切圆的半径.
因为∠ABC=90°，
所以AB⊥BC，
又AD平分∠BAC，DE⊥AC，
所以DE=DB，
所以AC与⊙D相切.
E
对接中考
1
（日照中考）如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，连接PO并延长交⊙O于
点C,连接AC, AB=10,∠P=30° ,则AC的长度是( A )
A.5 3
B.5 2
C.5
5
2
D.
切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这
条半径的直线是圆的切线.
几何语言：
∵
∴
OA是半径，OA⊥l 于A
l是⊙O的切线.
.O
A
l
判断:
• 1. 过半径的外端的直线是圆的切线（
）×
• 2. 与半径垂直的的直线是圆的切线（