5.2求解二元一次方程组(1)
北师大版数学八年级上册5.2加减消元法解二元一次方程组教案
1 / 7求解二元一次方程组（2）————加减消元法一、教学目标(一)教学知识点1．用加减消元法解二元一次方程组．(二)能力训练要求1．会用加减消元法解二元一次方程组．2．根据不同方程的特点，进一步体会解二元一次方程组的基本思路——消元．(三)情感与价值观要求1．进一步体会解二元一次方程组的消元思想，在化“未知为已知”的过程中，体验学习的快乐．2．根据方程组的特点，培养学生学习教学的创新、开拓的意识．二、教学重点1．掌握加减消元法解二元一次方程组的原理及一般步骤．2．能熟练地运用加减消元法解二元一次方程组．三、教学难点1．解二元一次方程组的基本思路消元即化“二元”为“一元”的思想．四、教学过程第一阶段、回顾复习［师］用代入法解二元一次方程组的基本思想是什么？［生］消元［师］用代入法解下列方程组并检验所得结果是否正确。
［生1］解：把②变形，得x=2115 y ③1 / 7把③代入①，得3×2115-y +5y=21， 解得y=－3．把y=3代入②，得x=2．所以方程组的解为⎩⎨⎧=-=3,2y x ［生2］解：由②得5y=2x+11 ③把5y 当做整体将③代入①，得3x+(2x+11)=21解得x=2把x=2代入③，得5y=2×2+11y=3所以原方程的解为⎩⎨⎧==32y x ［师］我们可以发现第二种解法比第一种解法简单．有没有更好的解法呢？也就是说，我们上一节课学习了用代入的方法可以消元，从而使“二元”变为“一元”．那么有没有别的消元办法也可以使“二元”变为“一元”．［生］我发现了方程①和②中的5y 和－5y 互为相反数，根据互为相反数的和为零，如果能将方程①和②的左右两边相加，根据等式的性质我们可以得到一个含有x 的等式，即一元一次方程，而5y+(－5y)=0消去了y ．［师］很好．这正是我们这节课要学习的二元一次方程组的解法中的第二种方法——加减消元法．第二阶段、讲授新课［师］下面我们就用刚才这位同学的方法解上面的二元一次方程组．解：由①+②，得1 / 7(3x+5y)+(2x －5y)=21+(－11)，即3x+2x=10，x=2，把x=2代入②中，得y=3．所以原方程组的解为⎩⎨⎧==3,2y x 一个方程组我们用了三种方法，从中可以发现，恰当地选择解法可以起到事半功倍的效果．回忆上一节的练习和习题，看哪些题用代入消元法解起来比较简单？哪些题我们用加减消元法简单？我们分组讨论，并派一个代表阐述自己的意见．第三阶段、自主学习1.用加减消元法求解下面的方程组：257(1)231(2)x y x y -=⎧⎨+=-⎩［师］什么是加减消元法，并用自己的语言来概括它。
5.2-加减消元法解二元一次方程组
6 7y 9 7y 96 7y 3 3 y 7
联系上面的解法，想一想怎样解方程组
3x 5 y 21 2 x 5 y 11
① + ②
① ②
异加
4x 5 y 3 2 x 5 y 1
① － ②
①
② 同减
3x 5 y 21 2 x 5 y -11
6x-5y=17②
1. 用加减法解方程组
应用（B ）
A.①-②消去y B.①-②消去x C. ②- ①消去常数项 D. 以上都不对
3x+2y=13
2.方程组
3x-2y=5
消去y后所得的方程是（B ）
A.6x=8 B.6x=18 C.6x=5 D.x=18
三、指出下列方程组求解过程中有错误步骤， 并给予订正： 7x－4y＝4 ①
加减法
(4)
9x-5y=1 6x-7y=2
加减法
⑴ 如果方程组的两个方程中某一未知数的系数相等或者 互为相反数时，把两个方程的两边分别 相减或相加 ， 消去一个未知数，得到一元一次方程，解这个方程得一 个未知数的值。将求得的未知数代入其中一个方程得另 一个未知数的值，从而解得方程组的解。同减异加 ⑵如果方程组中某一未知数系数绝对值均不相等时，把 一个或两个方程两边 乘以一个适当的数 ， 使两个方程 中某一未知数的系数绝对值相等，从而化为上述类型方 程组求解。 特别的，当一个方程中某未知数的系数是另一个方程同 一未知数的系数 的倍数时 ，加减消元法比较合适。
(口算或在草稿纸上进行笔算),即把求得的解代入 每一个方程看是否成立.
1、根据等式性质填空: <1>若a=b,那么a±c= b±c ( .等式性质1) 思考:若a=b,c=d,那么a+c=b+d吗? <2>若a=b,那么ac= bc . (等式性质2)
北师大版数学八年级上册5.2.1解二元一次方程组代入消元法教学设计
4.各小组展示解题成果，分享代入消元法的应用经验。其他小组认真倾听，互相学习，共同提高。
（四）课堂练习，500字
1.教师出示几道不同难度的课堂练习题，要求学生在规定时间内独立完成。
2.学生认真审题，运用代入消元法解答习题，教师巡回检查学生的解题过程，及时发现问题并进行个别辅导。
5.合作交流，拓展思维
组织学生进行小组讨论，分享解题心得和技巧。通过合作交流，培养学生的团队意识和沟通能力，拓展学生的思维。
6.总结反馈，查漏补缺
在课堂尾声，教师带领学生总结本节课所学内容，强调重点和难点。同时，鼓励学生提出疑问，及时解答，帮助学生查漏补缺。
7.课后作业，巩固提高
布置适量的课后作业，让学生在课后对所学知识进行巩固。作业难度要适中，既能巩固基础知识，又能提高学生的解题能力。
3.教师选取部分学生的答案进行展示，组织学生共同分析解题思路和答案的正确性。
4.针对学生在练习过程中出现的问题，教师进行总结，强调注意事项，提高学生的解题能力。
（五）总结归纳，500字
1.教师带领学生回顾本节课所学内容，总结代入消元法的概念、原理、操作步骤和应用技巧。
2.学生分享自己在学习代入消元法过程中的收获和感悟，提出疑问，教师及时解答。
3.讲解示范，突破难点
针对学生在探究过程中遇到的问题，教师进行讲解和示范，帮助学生掌握代入消元法的适用条件和计算方法。同时，强调注意事项，降低学生在解题过程中的错误率。
4.练习巩固，提高能力
设计不同难度的习题，让学生独立完成。在练习过程中，教师巡回指导，针对学生的问题进行个别辅导。通过练习，使学生熟练掌握代入消元法，提高解题能力。
2.作业难度分层，以满足不同层次学生的需求。
北师大版八年级数学上册5.2.2求解二元一次方程教学设计
（一）教学重点
1.理解二元一次方程组的概念，掌握代入法、消元法求解二元一次方程组。
2.能够根据实际问题列出二元一次方程组，并运用所学方法解决实际问题。
3.理解二元一次方程组的几何意义，培养学生的空间想象力和直观思维能力。
（二）教学难点
1.对二元一次方程组的求解方法，尤其是消元法的掌握。
1.强化学生对二元一次方程组概念的理解，通过典型例题引导学生将实际问题转化为数学方程。
2.注重培养学生的解题思路，让学生在掌握代入法、消元法的基础上，学会灵活运用。
3.针对学生团队合作能力的不足，教学中应多设计小组讨论、合作探究的环节，提高学生的团队协作能力。
4.关注学生的个体差异，针对不同学生的学习需求，给予个性化的指导和帮助，使全体学生都能在原有基础上得到提高。
五、作业布置
为了使学生能够更好地巩固本节课所学的知识，特布置以下作业：
1.必做题：
（1）根据课堂上讲解的代入法、消元法，求解以下二元一次方程组：
① 2x + 3y = 8，x - y = 1
② 5x - 4y = 3，3x + 2y = 19
③ 4x + 7y = 25，6x - 5y = 1
（2）运用二元一次方程组解决实际问题，例如：某商店举行促销活动，购买A商品可享受8折优惠，购买B商品满100元减20元。若小明购买A商品3件和B商品2件，总共花费360元，请问A商品和B商品的原价分别是多少？
7.跟踪辅导，关注个体差异
课后对学生的学习情况进行跟踪辅导，关注个体差异，针对学生的薄弱环节给予个性化的指导，使全体学生都能在原有基础上得到提高。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
在这一阶段，我将通过一个生活情境的引入，激发学生对二元一次方程组的兴趣。我会讲述一个关于两个好朋友小明和小红去购物的问题：他们一起去商场，小明看中了一件衣服，小红看中了一个玩具。他们决定用自己的零花钱合买，但总共只有一定数量的钱。如果衣服的价格是x元，玩具的价格是y元，他们总共带了z元，那么如何找出x和y的值，使得他们正好用完所有的钱？
北师大版八年级上册5.2求解二元一次方程组(教案)
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二元一次方程组在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二元一次方程组的基本概念、求解方法及其在实际问题中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对二元一次方程组的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题时能够灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《求解二元一次方程组》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要同时解决两个未知数的问题？”（如购物时计算总价和找零）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二元一次方程组的奥秘。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解二元一次方程组的定义及其组成元素；
-掌握代入法解二元一次方程组的步骤及要点；
-掌握加减法解二元一次方程组的步骤及要点；
-能够运用消元法解简单的二元一次方程组；
-将实际问题抽象为二元一次方程组，并解决问题。
举例：重点讲解代入法的适用条件、操作步骤，如选择哪个方程、如何代入、如何求解；以及加减法中如何选择方程、如何消元等。
北师大版八年级数学上册5.2.1求解二元一次方程优秀教学案例
4.理解数学在实际生活中的应用价值，认识到数学对于解决问题和发展思维的重要性。
三、教学策略
（一）情景创设
为了激发学生的学习兴趣和动机，我会在教学中创设与学生生活实际相关的情景。例如，可以通过设计一个购物问题，让学生思考如何计算两种商品的总价和找零，从而引出二元一次方程组的概念。通过这样的情景创设，学生能够更好地理解二元一次方程组的意义，并能够将其应用到实际问题中。
（三）学生小组讨论
在学生小组讨论环节，我会将学生分成小组，并给他们分配具体的问题或题目，要求他们在小组内进行讨论和合作。
例如，我可以给每个小组分配一个具体的二元一次方程组，要求他们通过讨论和合作，找到解题的思路和方法。学生可以在小组内分享自己的归纳
在总结归纳环节，我会邀请学生代表分享他们小组讨论的结果和经验。我会让学生用自己的语言总结和解说解题思路和方法，并鼓励其他学生进行提问和补充。
（五）作业小结
在作业小结环节，我会布置一些与本节课内容相关的作业，要求学生回家后进行练习和思考。
作业可以包括解决一些实际问题，如线性规划、几何问题等，也可以是一些练习题，要求学生运用二元一次方程组的解法进行解答。通过这样的作业，学生能够进一步巩固和应用所学的知识，提高解题能力。
同时，我会在下一节课的开始时，进行作业小结，让学生分享和展示自己的作业成果，互相学习和借鉴。通过这样的作业小结，学生能够进一步巩固和提高对方程组的理解和解题能力。
北师大版八年级数学上册5.2.1求解二元一次方程优秀教学案例
一、案例背景
北师大版八年级数学上册5.2.1“求解二元一次方程”是学生在掌握了二元一次方程的基本概念和运算法则后，进一步学习二元一次方程组的解法的重要内容。这一部分内容是学生初中数学学习中的一个重点，也是难点。
5.2 求解二元一次方程组 第1课时 代入消元法 同步练习北师大版八年级数学上册
5.2 求解二元一次方程组第1课时 代入消元法基础题目：1.用代入消元法解方程组 {2x +y =5,3x +4y =2 时，变形不正确的是 ( ) A.由②得 x =2−4y 3 B.由②得 y =2−3x 4 C.由①得 x =y+52 D.由①得 y=5-2x2.我们在解二元一次方程组 {2x +y =5,x =2y时，可将第二个方程代入第一个方程消去x 得 4y+y=5，从而求解，这种解法体现的数学思想是( )A.转化思想B.分类讨论思想C.数形结合思想D.函数思想3. 方程组 {2x +y =6,x −y =3的解是( ) A.{x =3,y =0 B.{x =1,y =4 C.{x =5,y =2D.{x =7,y =−4 4.若 a b =25,且2a+b=18,则a 的值为 .5. 解方程组: {x −2y =0,2x +3y =21.6.下面是小红同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务.解方程组： {4x +3y =1,2x −y =−7.解:由②,得y= .③ (第一步)将③代入①,解得x= . (第二步)将x 的值代入③,得y= .(第三步)所以原方程组的解为 . (第四步)任务：(1)将上面的解题过程补充完整；(2)本题解方程组的方法为 .综合应用题7.由方程组 {2x +m =1,m =y −3可得x 与y 的关系是 ( ) A.2x+y=4B.2x+y=-4C.2x-y=4D.2x-y=-48. 若 −2xᵐ⁻ⁿy²与 3x⁴y²ᵐ⁺ⁿ是同类项，则3n--m 的立方根是 .9. 对有理数x ，y 定义新运算，x ⊗y= ax+ by+1,其中a,b 是常数.若2⊗(-1)=-3,3⊗3=4,则a= ,b= . 10.嘉淇准备解二元一次方程组 {x −y =4,x +y =8时，发现系数“□”印刷不清楚. (1)嘉淇把“□”猜成 3，则二元一次方程组的解为 ;(2)妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案中x 与 y 是一对相反数.”则原题中“□”是 . 11. 新考法 过程辨析法 用 代 入 消 元 法 解 方 程组 {3x −y =7,5x +2y =8,小马虎的解题过程如下：解:由①得y=3x-7.③ (第一步)将③代入①,得3x--(3x-7)=7, (第二步)即7=7. (第三步)所以原方程组无解. (第四步)你认为小马虎的解法有误吗? 若有误，错在第几步? 请写出正确的解法.12.甲、乙两名同学在解方程组 {ax +3y =9,bx −4y =4时，甲把字母a 看错了得到方程组的解为 {x =4,y =1,乙把字母b 看错了得到方程组的解为 {x =3,y =2.(1)求a,b 的正确值;(2)求原方程组的解.创新拓展题13. 新考法 阅读类比法 阅读材料：善于思考的小军在解方程组 {2x +5y =3,circle14x +11y =5circle2时，采用了一种“整体代换”的解法. 解:将方程②变形,得4x+10y+y=5,即2(2x+5y)+y=5.③把方程①代入③,得2×3+y=5,所以y=-1.把y=-1代入①,解得x=4.所以方程组的解为 {x =4,y =−1.请你模仿小军的“整体代换”法解方程组：{3x −2y =5,9x −4y =19.1. C2. A3. A4. 4 【 点 拨 】 由 a b =25,得 5a = 2b, 联 立 得 {5a =2b,circle12a +b =18,circle2由②,得b=-2a+18,③把③代入①,得5a=-4a+36,解得a=4.5. 【解】由①,得x=2y.③将③代入②,得4y+3y=21,解得y=3.将y=3代入③,得x=6.所以原方程组的解为 {x =6,y =3.6.(1)2x+7;-2;3 {x =−2,y =3(2)代入消元法7. A8.-2 【点拨】因为 −2xᵐ⁻ⁿy²与 3x⁴y²ᵐ⁺ⁿ是同类项，所以 {m −n =4,2m +n =2,解得 {m =2,n =−2.所以3n-m=3×(-2)-2=-8.因为-8的立方根是-2，所以3n-m 的立方根是-2.9. -1;2 【点拨】因为x ⊗y= ax+ by+1,2⊗(-1)=-3,3⊗3=4,所以 {2a −b +1=−3,3a +3b +1=4,解得 {a =−1,b =2.10.(1){x=3,1(2)511.【解】他的解法有误，错在第二步.正确的解法如下：由①得y=3x-7.③将③代入②,得5x+2(3x-7)=8,解得x=2.将x=2代入③,得y=-1.所以原方程组的解为 {x =2,y =−1.分点易错 在解二元一次方程组时，由其中一个二元一次方程变换成用含有一个未知数的式子表示另一个未知数的式子，在代入消元时，切记不可代入被变换的二元一次方程，一定要代入另一个二元一次方程.12.【解】(1)将 {x =4,y =1代入 bx-4y=4,得4b-4×1=4,解得b=2;将 {x =3,y =2代入 ax+3y=9,得3a+3×2=9,解得a=1.所以a 的值为1，b 的值为2.(2)由(1)可知，原方程组为 {x +3y =9,2x −4y =4,由①得x=9-3y.③将③代入②,得2(9-3y)-4y=4,解得 y =75.将 y =75代入③，得 x =9−3×75=245.所以原方程组的解为 {x =245,y =75,13.【解】将方程②变形,得3(3x-2y)+2y=19.③把方程①代入③,得3×5+2y=19,解得 y=2,把y=2代人方程①,解得x=3.所以方程组的解为 {x =3,y =2.。
八年级数学上册 第五章 二元一次方程组 2求解二元一次方程组 第1课时 代入法作业课件
的解．
第二十三页，共二十五页。
解：由①得2x－3y＝2，代入②得1＋2y＝9，所以y＝4，从而求得x＝
7，则方程组的解是xy＝＝47.，
第二十四页，共二十五页。
内容(nèiróng)总结
第五章 二元一次方程组。C。12．已知y＝kx＋b，当x＝－1时，y＝1。当x＝2时，y＝－2， 求k和b的值．。解：k＝－1，b＝0.。20．对于(duìyú)数对(a，b)，(c，d)，定义：当且仅当a＝c且 b＝d时，(a，b)＝(c，d)。A．－1 B．0 C．1 D．2
13．用代入法解下列方程组：2x＋y＝13. 解：xy＝＝35.，
第十四页，共二十五页。
第十五页，共二十五页。
14．若二元一次方程2x＋y＝3，3x－y＝2都和2x－my＝－1有公共 解，则m的值为( C )
A．－2 B．－1 C．3 D．4 2x＋m＝1，
15．由方程组y－3＝m 可得出x与y的关系是( A ) A．2x＋y＝4 B．2x－y＝4 C．2x＋y＝－4 D．2x－y＝－4
第六页，共二十五页。
y＝3－x，① (2)2x＋3y＝7.②
解：把①代入②，得2x＋3(3－x)＝7.解得x＝2.把x＝2代入①，得
y＝1.所以原方程组的解是xy＝＝12.，
第七页，共二十五页。
知识点2：方程变形后用代入法解二元一次方程组
2x＋3y－2＝0，①
6．用代入法解方程组4x＋1＝9y②
x＝－1，
8．二元一次方程组x2－ x＋y＝ y＝－03，的解是_____y_＝__2______．
第九页，共二十五页。
代入法2【公开课教案】(含反思)
5.2 求解二元一次方程组第1课时 代入法第一环节：情境引入内容：教师引导学生共同回忆上一节课讨论的“买门票”问题，想一想当时是怎么获得二元一次方程组的解的.设他们中有x 个成人，y 个儿童，我们得到了方程组⎩⎨⎧=+=+.3435,8y x y x 成人和儿童到底去了多少人呢？在上一节课的“做一做”中，我们通过检验⎩⎨⎧==3,5y x 是不是方程8x y +=和方程5334x y +=的解，从而得知这个解既是8x y +=的解，也是5334x y +=的解，根据二元一次方程组的解的定义，得出⎩⎨⎧==3,5y x 是方程组⎩⎨⎧=+=+3435,8y x y x 的解.所以成人和儿童分别去了5人和3人. 提出问题：每一个二元一次方程的解都有无数多个，而方程组的解是方程组中各个方程的公共解，前面的方法中我们找到了这个公共解，但如果数据不巧，这可没那么容易，那么，有什么方法可以获得任意一个二元一次方程组的解呢？目的：“温故而知新”，培养学生养成时时回顾已有知识的习惯，并在回顾的过程中学会思考和质疑，通过质疑，自然地引出我们要研究和解决的问题.设计效果：通过对已有知识的回顾和思考，学生知识获得既感到自然又倍添新奇，有跃跃欲试的心情.第二环节：探索新知内容：回顾七年级第一学期学习的一元一次方程，是不是也曾碰到过类似的问题，能否利用一元一次方程求解该问题？ （由学生独立思考解决，教师注意指导学生规范表达）解：设去了x 个成人，则去了(8)x -个儿童，根据题意，得：()53834x x +-=解得：5x = 将5x =代入8x -,解得：8－5=3.答：去了5个成人， 3个儿童.在学生解决的基础上，引导学生进行比较：列二元一次方程组和列一元一次方程设未知数有何不同？列出的方程和方程组又有何联系？对你解二元一次方程组有何启示？（先让学生独立思考，然后在学生充分思考的前提下，进行小组讨论，在此基础上由学生代表回答，老师适时地引导与补充，力求通过学生观察、思考与讨论后能得出以下的一些要点.）1.列二元一次方程组设有两个未知数：x 个成人，y 个儿童.列一元一次方程只设了一个未知数：x 个成人，儿童去的个数等于去的总人数与去的成人数之差，得出(8)x -个.因此y 应该等于(8)x -.而由二元一次方程组的一个方程8x y +=，根据等式的性质可以推出8y x =-.2.发现一元一次方程中53(8)34x x +-=与方程组中的第二个方程5334x y +=相类似，只需把5334x y +=中的“y ”用“()8x -”代替就转化成了一元一次方程.教师引导学生发现了新旧知识之间的联系，便可寻求到解决新问题的方法——即将新知识（二元一次方程组）转化为旧知识（一元一次方程）便可.（由学生来回答）上一节课我们就已知道方程组中相同的字母表示的是同一个未知量.所以将⎩⎨⎧=+=+②y x ①y x 3435,8中的①变形，得8y x =-③，我们把8y x =-代入方程②，即将②中的y 用()8x -代替，这样就有()53834x x +-=.“二元”化成“一元”.教师总结：同学们很善于思考.这就是我们在数学研究中经常用到的“化未知为已知”的化归思想，通过它使问题得到完美解决.下面我们完整地解一下这个二元一次方程组.（教师把解答的详细过程板书在黑板上，并要求学生一起来完成）解：8,5334.x y x y +=⎧⎨+=⎩①②由 得：8y x =-. ③将③代入②得：()53834x x +-=.解得：5x =. 把5x =代入③得：3y =.所以原方程组的解为：⎩⎨⎧==.3,5y x （提醒学生进行检验，即把求出的解代入原方程组，必然使原方程组中的每个方程都同时成立，如不成立，则可知解有误）下面我们试着用这种方法来解答上一节的“谁的包裹多”的问题.（放手让学生用已经获取的经验去解决新的问题，由学生自己完成，让两个学生在黑板上规范的板书，教师巡视：发现学生的闪光点以及存在的问题并适时的加以辅导，以期学生在解答的过程中领会“代入消元法”的真实含义和“化归”的数学思想.）目的：通过学生自己对比、思考、发现，让学生惊喜的发现“温故而知新”，将新知融入旧知，体会“化未知为已知”的化归思想的神奇，培养学生独立获取知识的愿望和能力.设计效果：通过学生自己的观察、比较、总结出二元一次方程组的解法，从中体会到解方程组中“消元”的本质.第三环节：巩固新知内容：1.例：解下列方程组：(1) ⎩⎨⎧+==+;3,1423y x y x (2)⎩⎨⎧=+=+.134,1632y x y x （根据学生的情况可以选择学生自己完成或教师指导完成）(1)解：将②代入①，得：()14233=++y y .解得：1=y .把1y =代入②，得：4=x .所以原方程组的解为：⎩⎨⎧==.1,4y x (2)由②，得：y x 413-=. ③ 将③代入①，得：()1634132=+-y y .解得：2=y .将y=2代入③，得：5=x .所以原方程组的解是⎩⎨⎧==.2,5y x （⑵题需先进行恒等变形，教师要鼓励学生通过自主探索与交流获得求解，在求解过程中学生消元的具体方法可能不同，所以教学中不必强求解答过程的统一，但要提出如何选择将哪个方程恒等变形、消去哪个未知数能使运算较为简单.让学生在解题中进行思考）（教师在解完后要引导学生再次就解出的结果进行思考，判断它们是否是原方程组的解.促使学生进一步理解方程组解的含义以及学会检验方程组解的方法.）2.思考总结：（教师根据学生的实际情况进行生与生、师与生之间的相互补充与评价，并提出下面的问题）⑴给这种解方程组的方法取个什么名字好？⑵上面解方程组的基本思路是什么？⑶主要步骤有哪些？⑷我们观察例题的解法会发现，我们在解方程组之前，首先要观察方程组中未知数的特点，尽可能地选择变形后的方程较简单和代入后化简比较容易的方程变形，这是关键的一步.你认为选择未知数有何特点的方程变形好呢？(由学生分组讨论，教师深入参与到学生讨论中，发现学生在自主探索、讨论过程中的独特想法，请学生小组的代表回答或学生举手回答，其余学生可以补充，力求让学生能够回答出以下的要点，教师要板书要点，在学生回答时注意进行积极评价)1.在解上面两个二元一次方程组时，我们都是将其中的一个方程变形，即用含其中一个未知数的代数式表示另一个未知数，然后代入另一个未变形的方程，从而由“二元”转化为“一元”，达到消元的目的.我们将这种方法叫代入消元法.2.解二元一次方程组的基本思路是消元，把“二元”变为“一元”.3.解上述方程组的步骤：第一步：在已知方程组的两个方程中选择一个适当的方程，将它的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来.第二步：把此代数式代入没有变形的另一个方程中，可得一个一元一次方程.第三步：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值.第四步：把求得的未知数的值代回到原方程组中的任意一个方程或变形后的方程(一般代入变形后的方程)，求得另一个未知数的值.第五步：把方程组的解表示出来.第六步：检验(口算或笔算在草稿纸上进行)，即把求得的解代入每一个方程看是否成立.4.用代入消元法解二元一次方程组时，尽量选取一个未知数的系数的绝对值是1的方程进行变形；若未知数的系数的绝对值都不是1，则选取系数的绝对值较小的方程变形.目的：进一步熟悉解二元一次方程组的基本思路，熟练解二元一次方程组的基本步骤和过程，并能对二元一次方程组的解进行检验.设计效果：通过本环节的学习，学生能够独立地运用代入消元法解二元一次方程组.第四环节：练习提高内容：1.教材随堂练习（在随堂练习中，可以鼓励学生通过自主探索与交流，各个学生消元的具体方法可能不同，可以不必强调解答过程统一.可能会出现整体代换的思想，若有条件可以提出，为下一课做点铺垫也可以）2.补充练习：用代入消元法解下列方程组：(1)⎩⎨⎧=-=+;32,42y x y x (2)⎩⎨⎧=+=-;32,1943y x y x ⑶⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-.023,723y x y x （注：[2]题可以用整体代入法来解，把第二个方程变为23y x =-，再将它代入第一个方程，得()32319x x --=；[3]题分数线有括号功能；[4]题如果有时间，学生学有余力可作为补充题目.）目的：对本节知识进行巩固练习.设计效果：通过练习，巩固和熟练了运用代入消元法解二元一次方程组的方法.第五环节：课堂小结内容： 师生相互交流总结解二元一次方程组的基本思路是“消元”，即把“二元”变为“一元”； 解二元一次方程组的第一种解法——代入消元法，其主要步骤是：将其中的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程.解这个一元一次方程，便可得到一个未知数的值，再将所求未知数的值代入变形后的方程，便求出了一对未知数的值.即求得了方程组的解.目的：鼓励学生通过本节课的学习，谈谈自己的收获与感受，加深对 “温故而知新” 的体会，知道“学而时习之”.设计效果：学生能够在课堂上畅所欲言，并通过自己的归纳总结，进一步巩固了所学知识.第六环节：布置作业课本习题5.2教学设计反思1.引入自然.二元一次方程组的解法是学习二元一次方程组的重要内容.教材通过上一小节的实际问题，比较一元一次方程的列法和解法，从而自然引入二元一次方程组的代入消元解法.2.探究有序.回顾一元一次方程的解法，借此探索二元一次方程组的解法，使得学生的探究有了很好的认知基础，探究显得十分自然流畅.3.充分体现了转化与化归思想.引导学生充分思考和体验转化与化归思想，以利于总体目标中所提出的“获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”的落实.4.值得注意的方面.在学生总结解题步骤的环节，一定要留给学生足够的观察、思考、总结、组织语言的时间，训练学生的观察归纳能力，提高学生学习能力.7.3 平行线的判定第一环节：情景引入活动内容：回顾两直线平行的判定方法师：前面我们探索过直线平行的条件．大家来想一想：两条直线在什么情况下互相平行呢？生1：在同一平面内，不相交的两条直线就叫做平行线．生2：两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线互相平行．生3：同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行．师：很好．这些判定方法都是我们经过观察、操作、推理、交流等活动得到的．上节课我们谈到了要证实一个命题是真命题．除公理、定义外，其他真命题都需要通过推理的方法证实．我们知道：“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”是定义．“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行”是公理．那其他的三个真命题如何证实呢？这节课我们就来探讨．活动目的：回顾平行线的判定方法，为下一步顺利地引出新课埋下伏笔．教学效果：由于平行线的判定方法是学生比较熟悉的知识，教师通过对话的形式，可以使学生很快地回忆起这些知识．第二环节：探索平行线判定方法的证明活动内容：①证明：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．师：这是一个文字证明题，需要先把命题的文字语言转化成几何图形和符号语言．所以根据题意，可以把这个文字证明题转化为下列形式：如图，已知，∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的同旁内角，且∠1与∠2互补，求证：a ∥b．如何证明这个题呢？我们来分析分析．师生分析：要证明直线a与b平行，可以想到应用平行线的判定公理来证明．这时从图中可以知道：∠1与∠3是同位角，所以只需证明∠1=∠3，则a与b即平行．因为从图中可知∠2与∠3组成一个平角，即∠2+∠3=180°,所以：∠3=180°－∠2．又因为已知条件中有∠2与∠1互补，即：∠2+∠1=180°,所以∠1=180°－∠2,因此由等量代换可以知道：∠1=∠3．师：好．下面我们来书写推理过程，大家口述，老师来书写．（在书写的同时说明：符号“∵”读作“因为”，“∴”读作“所以”）证明：∵∠1与∠2互补（已知）∴∠1+∠2=180°（互补定义）∴∠1=180°－∠2（等式的性质）∵∠3+∠2=180°（平角定义）∴∠3=180°－∠2（等式的性质）∴∠1=∠3（等量代换）∴a∥b（同位角相等，两直线平行）这样我们经过推理的过程证明了一个命题是真命题，我们把这个真命题称为：直线平行的判定定理．这一定理可简单地写成：同旁内角互补，两直线平行．注意：（1）已给的公理，定义和已经证明的定理以后都可以作为依据．用来证明新定理．（2）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”．这些根据，可以是已知条件，也可以是定义、公理，已经学过的定理．在初学证明时，要求把根据写在每一步推理后面的括号内．②证明：内错角相等,两直线平行．师：小明用下面的方法作出了平行线，你认为他的作法对吗？为什么？（见相关动画）生：我认为他的作法对．他的作法可用上图来表示：∠CFE=45°,∠BEF=45°．因为∠BEF 与∠FEA组成一个平角，所以∠FEA=180°－∠BEF=180°－45°=135°．而∠CFE与∠FEA是同旁内角．且这两个角的和为180°，因此可知：CD∥AB．师：很好．从图中可知：∠CFE与∠FEB是内错角．因此可知：“内错角相等，两直线平行”是真命题．下面我们来用规范的语言书写这个真命题的证明过程．师生分析：已知，∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的内错角，且∠1=∠2．求证：a∥b证明：∵∠1=∠2（已知）∠1+∠3=180°（平角定义）∴∠2+∠3=180°（等量代换）∴∠2与∠3互补（互补的定义）∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）．这样我们就又得到了直线平行的另一个判定定理：内错角相等，两直线平行．③借助“同位角相等，两直线平行”这一公理，你还能证明哪些熟悉的结论呢？生1：已知，如图，直线a⊥c,b⊥c．求证：a∥b．证明：∵a⊥c,b⊥c（已知）∴∠1=90°∠2=90°（垂直的定义）∴∠1=∠2（等量代换）∴b∥a（同位角相等，两直线平行）生2：由此可以得到：“如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行”的结论．师：同学们讨论得真棒．下面我们通过练习来熟悉掌握直线平行的判定定理．活动目的：通过对学生熟悉的平行线判定的证明，使学生掌握平行线判定公理推导出的另两个判定定理，并逐步掌握规范的推理格式．教学效果：由于学生有了以前学习过的相关知识，对几何证明题的格式有所了解，今天的学习只不过是将原来的零散的知识点以及学生片面的认识进行归纳，学生的认识更提高一步．第三环节：反馈练习活动内容：课本第231页的随堂练习第一题活动目的：巩固本节课所学知识，让教师能对学生的状况进行分析，以便调整前进．教学效果：由于此题只是简单地运用到平行线的判定的三个定理（公理），因此，学生都能很快完成此题．第四环节：学生反思与课堂小结活动内容：①这节课我们主要探讨了平行线的判定定理的证明．同学们来归纳一下完成下表：②由角的大小关系来证两直线平行的方法，再一次体现了“数”与“形”的关系；而应用这些公理、定理时，必须能在图形中准确地识别出有关的角．③注意：证明语言的规范化．推理过程要有依据．活动目的：通过对平行线的判定定理的归纳，使学生的认识有进一步的升华，再一次体会证明格式的严谨，体会到数学的严密性．教学效果：学生充分认识到证明步骤的严密性，对平行线判定的三个定理有了更进一步的认识．课后作业：课本第232页习题6.4第1，2，3题思考题：课本第233页习题6.4第4题（给学有余力的同学做）教学反思平行线是众多平面图形与空间图形的基本构成要素之一，它主要借助角来研究两条直线之间的位置关系，即通过两条直线与第三条直线相交所成的角来判定两条直线平行与否，在教学中，要紧紧围绕这些角（同位角、内错角、同旁内角）与平行线之间的关系展开。
北师版初中八年级上册数学精品教学课件 第五章 二元一次方程组 5.2.2 求解二元一次方程组
1、用x表示y怎样解？
2、用y表示x怎样解？
①
②
思考：除了上面的两种方法，你能用其他比
较简单的方法来做吗？
观察：
1.上面的方程组，未知数x的系数有什么特点？
2.除了代入消元，你还有什么办法消去x呢？
两个方程相加，得到 5x=10,
x=2.
将x=2代入①得
6+5y=21,
y=3.
3 + 5 = 21,
所以方程组ቊ
的解是
2 − 5 = −11.
= 5,
ቊ
= 4.
新知探究
2 − 5 = 7,
例3 解方程组 ൝
2 + 3 = −1.
①
②
思考：
1.这个方程组中,未知数x的系数有什么特点?
2.你准备采用什么办法消去x?
解：②-①，得
8y=-8,
y=-1.
将y=-1代入①,得 2x+5=7,
把 x=2 代入③，得 y=3.
= 2,
所以这个方程组的解是 ቊ
= 3.
技巧点拨：
系数轮换型二元一次方程组的解法
+ = 1,
对于形如ቊ
的系数轮换型方程组，可
+ = 2
通过将两个方程分别相加、相减，得到系数简单
+ = 3,
的新方程组 ቊ − = 解新方程组即可.
的最小公倍数，将方程的两边都乘适当的数.
两个方程中同一个未知数的系数互为相反数
时，将两个方程相加，同一个未知数的系数
相等时，将两个方程相减
解消元后的一元一次方程
把求得的未知数的值代入方程组中比较简单
的方程中
5.2 求解二元一次方程组(第1课时)
解：
由①得：
y
5 2
x
③
把 ③ 代入②得：500x 250 5 x 22500000
2
解得：x=20000
把x=20000代入③得：y=50000
所以
x 20000
y
50000
探究新知 方法点拨
5.2 求解二元一次方程组
用代入消元法解二元一次方程组时，尽量选取未知 数系数的绝对值是1的方程进行变形；若未知数系数的绝 对值都不是1，则选取系数的绝对值较小的方程变形.
将 x=15代入③得y=5.则这个方程组的解是 答：这个队胜15场，负5场.
x
y
15, 5
课堂检测
5.2 求解二元一次方程组
拓广探索题
李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利
18000元，其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利
1500元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？
解: 设甲、乙两种蔬菜各种植了x、y亩，依题意得：
x+y=10
①
2000x+1500y=18000 ②
由①得y=10-x . ③
将③代入②,得 2000x+1500(10-x)=18000 .
解得 x=6.将x=6代入③，得y=4.
答：李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了6亩、4亩.
课堂小结
解二元一 次方程组
(2)如果设胜的场数是x ,负的场数是y,
可得二元一次方程组
x y 2x
10， y 16.
那么怎样解这个二元一次方程组呢？
素养目标
5.2 求解二元一次方程组
3.初步体会化归思想在数学学习中的运用. 2.了解解二元一次方程组的基本思路.
5.2(1) 求解二元一次方程组 徐利华
课题：第五章第二节求解二元一次方程组第1课时授课人：徐利华课型：新授课授课时间：2013年11月15日，星期二，第3 节课教学目标：1．会用代入法解二元一次方程组．2．使学生在探究和交流中体验感悟“代入消元法”这一重要转化思想．3．通过等阶问题的构建逐步使学生掌握解二元一次方程组的方法步骤．教学重点：掌握代入法的技巧和解方程组的一般步骤.教学难点：代入消元法基本思想的探究.教法学法：学生在教师的引导下，通过对比同一题两种不同方程的解法，逐步探索出求解二元一次方程组的解法步骤，并在探究和交流中体验感悟“代入消元法”这一重要转化思想．课前准备：教师准备好多媒体课件。
教学过程：一、创设情境，导入新课师：还记得上节课的这个问题吗？（多媒体展示）生：记得，通过它我们认识了二元一次方程和二元一次方程组.师：看来同学们上节课学的不错，那么老牛和小马到底各驮了几个包裹呢？通过求解二元一次方程组⎩⎨⎧-=+=-).1(21,2y x y x 得到答案，目前来说肯定不行，大家思考一下我们能不能用我们以前所学的知识来解决呢？ 生：（思考回答）老师，我们可以用一元一次方程来解决. 师：（追问）说的好，请你说一下具体怎么做.生：我们只需设老牛驮的包裹数为x 个，则根据题意知道小马驮的包裹数为y=x-2,然后就可以根据题目中的等量关系列出一个一元一次方程为x ＋1=2(x -2-1)，题目就变得简单多了. 师：说的好，大家掌声鼓励. 生：（掌声）师：大家仔细思考，刚才这位同学的解决问题的办法能为我们求解二元一次方程组带来什么启示？ 生：我觉得要是把二元转化为一元，我们就可以求出二元一次方程组的解.师：说的好，今天我们要通过学习一个新的数学思想来求解二元一次方程组的解.（教师板书课题） 【设计意图】：通过上一节课留存的问题激发学生的求知欲望，使学生在已有的基础上主动去探索新知，使知识的产生变得自然，并培养学生的思维习惯.二、探究交流，获取新知探究活动1：对比发现探究师：请同学观察大屏幕，我把这题的两种解法列在一起，大家通过对比，你能发现什么？生：（经过思考，小组交流）我通过对比看出，方程组的第二个方程和一元一次方程的式子非常相似. 师：看出相似，非常好，那么不同的地方是怎么变化来的，你能继续说一下吗？ 生：方程组的第二个方程中的y 其实就是x -2,我们完全可以由第一个方程得到. 师：怎么得到？又是怎么继续解？生：移项，得到y =x -2,然后用x -2去代替第二个方程的y ，那么整个方程组就变成一元一次方程，我们就可解了.师：说的非常好，也就是说我们只要把二元转化为一元，我们就可以求解二元一次方程组。
《求解二元一次方程组(代入法)》同步课堂教案 (公开课)2022年
5.2 求解二元一次方程组第一课时〔代入法〕一、教学目标〔一〕知识与技能会用代入消元法解二元一次方程组〔二〕过程与方法了解解二元一次方程组的消元思想,初步表达数学研究中“化未知为〞的化归思想,从而“变陌生为熟悉〞〔三〕情感态度价值观利用小组合作探讨学习,使学生领会朴素的辩证唯物主义思想二、教学重点用代入法解二元一次方程组.三、教学难点用代入法解二元一次方程组的根本思想是化归——化陌生为熟悉.四、教学过程〔一〕课题引入上节课我们的老牛和小马的包裹谁的多的问题,经过大家的共同努力,得出了如下二元一次方程组：到底谁的包裹多呢?x-y=2 ①x+1=2(y-1) ②这就需要解这个二元一次方程组.一元一次方程我们会解,二元一次方程组如何解呢?我们大家知道二元一次方程只需要消去一个未知数就可变为一元一次方程,那么我们发现：由①得y=x-2由于方程组相同的字母表示同一个未知数,所以方程②中的y也等于x-2,可以用x-2代替方程②中的y.这样就得到大家会解的一元一次方程了.〔二〕例题讲解我们知道了解二元一次方程组的一种思路,下面我们来做一做例1 解方程组3x+ 2y=14 ①x= y+3 ②解：将②代入①,得3(y+3)+2y = 143y+9+2y=145y =5y=1将y=1代入②,得x=4所以原方程组的解是x=4y=1例2 解方程组2x+3y=16 ①x+4y=13 ②教师先分析：此题不同于例1, (即用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数)，②式不能直接代入①,那么我们应当怎样处理才能转化为例1②式这样的形式呢? 请同学答复(应先对②式进行恒等变化,把它化为例1中②式那样的形式.)分小组合作完成上述例题,请两个小组的代表上黑板上来板演解：由②，得x=13-4y将③代入①，得2(13-4)S+3y=1626-8y+3y=16-5y=-10y=2将代入③，得x=5所以原方程组的解是x=5y=2〔三〕同学合作议一议上面解方程组的根本思路是什么？主要步骤有哪些？上面解方程组的根本思路是“消元〞——把“二元〞变为“一元〞。
八年级数学上册5.2.1求解二元一次方程组
把“二元”变为“一元(yī ”. yuán)
第七页，共十一页。
解二元一次方程组的步骤(bùzhòu)：
第一步：在已知方程组的两个方程中选择一个 (yī ɡè)适当的方程，将它的某个未知数用含有另一个 (yī ɡè)未知数的代数式表示出来.
第二步：把此代数式代入没有变形的另一个 方程(fāngchéng)中，可得一个一元一次方程(fāngchéng).
(1 ) x y 1 2 .,(2 ) x y 5 ,1 .(3 ) x y 5 4 ,.(4 ) x y 1 2 .,
第十页，共十一页。
内容 总结 (nèiróng)
第五章 二元一次方程(yī cì fānɡ chénɡ)组。第五章 二元一次方程(yī cì fānɡ chénɡ)组。昨天,我们8个人 去红山公园玩,买门票花了34元.。由①得：y = 8－x. ③。解得：x = 5.。解二元一次方程(yī cì fānɡ chénɡ) 组的基本思路是消元，把“二元”变为“一元”.。第二步：把此代数式代入没有变形的另一个方程中，可 得一个一元一次方程(yī cì fānɡ chénɡ).。用代入消元法解二元一次方程(yī cì fānɡ chénɡ)组时，尽量选取一 个未知数的系数的绝对值是1的方程进行变形。练一练
第三步：解这个一元一次方程，得到一个未知 数的值.
第四步：回代求出另一个未知数的值.
第五步：把方程组的解表示出来.
第六步：检验
第八页，共十一页。
小窍门
用代入消元法解二元一次方程(fāngchéng)组时， 尽量选取一个未知数的系数的绝对值是1的方 程(fāngchéng)进行变形；若未知数的系数的绝对值 都不是1，则选取系数的绝对值较小的方程 变形. (fāngchéng)
5、2 《求解二元一次方程组》一课一练 21-22学年北师大版 八年级数学上册
5.2 《求解二元一次方程组》 习题1一、填空题1.解方程组5352323x y x y +=⎧⎨-=⎩，当采用加减消元法时，先消去未知数______比较方便． 2.已知关于,x y 的方程组231x ay bx y -=⎧⎨+=-⎩的解是13x y =⎧⎨=-⎩，则a b +=___________． 3.12x y =⎧⎨=⎩是关于x ，y 的方程3ax y -=的解，则a =______． 4.如果方程组216x y x y +=*⎧⎨+=⎩的解为6x y =⎧⎨=∆⎩，那么被“△”遮住的数是______．二、选择题1．下列各等式中，是二元一次方程的是( )A ．120-=x yB ．30x y +=C ．210x x -+=D ．10xy +=2．已知45x y -=，用x 表示y ，得y =( )A ．54x -B ．45x -C ．54y +D ．54y -- 3．下列每对数值中是方程x-3y=1的解的是( )A ．x 2y 1=-⎧⎨=-⎩B ．x 1y 1=⎧⎨=-⎩C ．x 1y 1=⎧⎨=⎩D ．x 0y 1=⎧⎨=⎩4．已知21x y =⎧⎨=⎩是方程kx+y ＝3的一个解，那么k 的值是( ) A ．2 B ．﹣2 C ．1 D ．﹣15．返校后，老师给同学们发防疫口罩，如果该班每个学生分5个还差3个，如果每个学生分4个则多出3个，设这批口罩共有y 个，该班共有x 名学生，列出方程组为( ) A ．5343x y x y +=⎧⎨-=⎩ B ．5343x y x y +=⎧⎨+=⎩ C ．5343x y x y -=⎧⎨-=⎩ D ．5343x y y x -=⎧⎨-=⎩ 6．已知a ，b ，c 满足23a b a +=，则b a的值为( )A ．12B ．34C ．1D ．27．解方程组①216511y x x y =+⎧⎨+=-⎩与②2310236x y x y +=⎧⎨-=-⎩，比较简便的方法是( ) A ．均用代入法B ．均用加减法C ．①用代法，②用加减法D ．①用加减法，②用代入法8．已知关于x 、y 的方程组326x y x y a -=⎧⎨+=⎩的解满足不等式3x y +>，实数a 的取值范围( ) A ．1a > B ．1a < C ．1a >- D ．1a <-9．如果│x+y －1│和2(2x+y －3)2互为相反数，那么x ，y 的值为( )A ．12x y =⎧⎨=⎩B ．12x y =-⎧⎨=-⎩C ．21x y =⎧⎨=-⎩D ．21x y =-⎧⎨=-⎩10．已知关于x ，y 的方程x 2m ﹣n ﹣2＋4y m ＋n ＋1＝6是二元一次方程，则m ，n 的值为( )A ．m ＝1，n ＝－1B ．m ＝－1，n ＝1C ．14m ,n 33==-D ．14,33m n =-= 11．疫情期间，小王购买A ，B 两种不同的口罩对比试用，价格分别为每只2元和3元，一共花了24元，则有( )种不同的购买方案．A ．1B ．2C ．3D ．412．已知关于,x y 的方程组2106x y nx my +=⎧⎨+=⎩和10312mx y n x y -=⎧⎨-=⎩有公共解，则m n -的值为( ) A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-13．已知方程组222x y k x y +=⎧⎨+=⎩的解满足x+y=2，则k 的算术平方根为( ) A ．4 B ．﹣2 C ．﹣4 D ．214．已知关于x 、y 的二元一次方程组356310x y x ky +=⎧⎨+=⎩给出下列结论：①当5k =时，此方程组无解；②若此方程组的解也是方程61516x y +=的解，则10k =；③无论整数k 取何值，此方程组一定无整数解(x 、y 均为整数)，其中正确的是( )A ．①②③B ．①③C ．②③D ．①②三、解答题1.判断23x y =⎧⎨=⎩是否为方程组3418235x y x y +=⎧⎨-=-⎩①②的解．2.用加减消元法解方程组：4333215x y x y +=⎧⎨-=⎩．3.用代入法解方程组：37528x y x y -=⎧⎨+=⎩①② 嘉淇是这样解得：解：由①，得37y x =-，③ 第一步把③代入①，得3(37)7x x --=到， 第二步即77=， 第三步所以此方程组无解 第四步(1)嘉淇的解法是错误的，开始错在第 步；(2)请写出正确的解法．4.已知关于x ，y 的两个方程组26035mx ny x y +=⎧⎨-=⎩与21022x y mx y n +=⎧⎨+=-⎩的解相同，求x ，y 的值5.小明和小红同解同一个方程组时，小红不慎将一滴墨水滴在了题目上使得方程组的系数看不清了，显示如下()()x y 21x 7y 82⎧+=⎪⎨-=⎪⎩▲■◆，同桌的小明说：“我正确的求出这个方程组的解为{x 3y 2==-”，而小红说：“我求出的解是{x 2y 2=-=，于是小红检查后发现，这是她看错了方程组中第二个方程中x 的系数所致”，请你根据他们的对话，把原方程组还原出来．6.已知关于x 、y 的二元一次方程组23221x y k x y k -=-⎧⎨+=-⎩(k 为常数)． (1)求这个二元一次方程组的解(用含k 的代数式表示)；(2)若方程组的解x 、y 满足+x y ＞5，求k 的取值范围；(3)若1k ≤，设23m x y =-，且m 为正整数，求m 的值．7.阅读下列材料：我们知道方程2312x y +=有无数个解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解．例：由2312x y +=，得：1222433x y x -==-(x 、y 为正整数)．要使243y x =-为正整数，则23x 为正整数，由2，3互质，可知：x 为3的倍数，将3x =，代入得2423y x =-=．所以2312x y +=的一组正整数解为32x y =⎧⎨=⎩． 问题：(1)请你直接写出方程36x y -=的一组正整数解_______；(2)若123x -为自然数，则满足条件的正整数x 的值有( )个． A ．5 B ．6 C ．7 D ．8(3)为奖励消防演练活动中表现优异的同学，某校决定用1200元购买篮球和排球作为奖品，其中篮球每个120元，排球每个90元，在购买资金恰好用尽的情况下，写出购买方案．8.已知关于x ，y 的方程组25{290x y x y mx +=-++=(1)请写出方程25x y +=的所有正整数解；(2)若方程组的解满足0x y +=，求m 的值；(3)无论实数m 取何值，方程290x y mx -++=总有一个公共解，你能把求出这个公共解吗？(4)如果方程组有整数解，求整数m 的值．答案一、填空题1.y．2.73．3.5．4.4．二、选择题1．B．2．B．3．A．4．C．5．D．6．A．7．C．8．A．9．C.10．A．11．C．12．A．13．D.14．A．三、解答题1.解：把23xy=⎧⎨=⎩代入①，34324318,x y+=⨯+⨯=把23xy=⎧⎨=⎩代入②，2322335,x y-=⨯-⨯=-所以23xy=⎧⎨=⎩同时满足方程①与②，所以23xy=⎧⎨=⎩是二元一次方程组的解，2.433 3315x yx y+=⎧⎨-=⎩①②，①×2得：8x+6y＝6③，②×3得：9x﹣6y＝45④，③+④得：17x＝51，解得：x＝3，把x＝3代入①，得4×3+3y＝3，解得：y＝﹣3，所以原方程组的解是33xy=⎧⎨=-⎩．3.(1)因为③是由①得到的，所以不能再代入①，所以第二步错误，故答案为：二；(2)由①得y=3x－7 ③将③代入②得5x+2(3x－7)=8，解得x=2，将x=2代入③得y=－1，所以方程组的解为21 xy=⎧⎨-⎩＝．4.解：∵两个方程组26035mx nyx y+=⎧⎨-=⎩与21022x ymx y n+=⎧⎨+=-⎩的解相同，∴35 210x yx y-=⎧⎨+=⎩，解得：34xy=⎧⎨=⎩，∴x的值是3，y的值是4．5.设原方程组为278ax bycx y+=⎧⎨-=⎩①②，把32xy=⎧⎨=-⎩代入②得：3c+14=8，解得：c=-2，把32xy=⎧⎨=-⎩和22xy=-⎧⎨=⎩代入①得：322222a ba b-=⎧⎨-+=⎩，解得：a=4，b=5，即原方程组为452278x yx y+=⎧⎨--=⎩．6.(1)2x32 2x+y=1-k?y k-=-⎧⎨⎩①②②+①，得4x＝2k﹣1，即214kx-=；②﹣①，得2y＝﹣4k+3即342k y-=所以原方程组的解为214342kxk y-⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩(2)方程组的解x、y满足x+y＞5，所以2134542k k--+>，整理得﹣6k ＞15，所以52k＜﹣；(3)m＝2x﹣3y＝2134 2342k k--⨯-⨯＝7k﹣5由于m为正整数，所以m＞0即7k﹣5＞0，k＞5 7所以57＜k≤1当k＝67时，m＝7k﹣5＝1；当k＝1时，m＝7k﹣5＝2．答：m的值为1或2．7.解：(1)由3x-y=6，得：y=3x-6，当x=3时，可得y=3；故答案为：33xy=⎧⎨=⎩(答案不唯一)；(2)由题意可知x-3是12的因数，则x-3=1,x-3=2,x-3=3,x-3=4,x-3=6,x-3=12; 则x的的取值有6种可能性故答案为B；(3)设购买蓝球x 个，排球y 个，依题意120901200x y ，即x=10-3y 4x 、y 均为非负整数. ∴100x y =⎧⎨=⎩，74x y =⎧⎨=⎩，48x y =⎧⎨=⎩，112x y =⎧⎨=⎩ ∴x 、y 购买有4种方案①买蓝球10个，不买排球；②买蓝球7个，排球4个；③买蓝球4个，排球8个；④买蓝球1个，12个排球.8.解(1)由已知方程x +2y =5，移项得x =5-2y ，∵x ，y 都是正整数，则有x =5-2y ＞0，又∵x ＞0，∴0＜y ＜2.5，又∵y 为正整数，根据以上条件可知，合适的y 值只能是y=1、2， 代入方程得相应x =3、1，∴方程2x+y=5的正整数解为12x y =⎧⎨=⎩；31x y =⎧⎨=⎩ (2) ∵x +y =0∴x +2y =5变为y =5∴x =-5将5{5x y =-=代入290x y mx -++=得65m =-. (3) ∵由题意得二元一次方程290x y mx -++=总有一个公共解 ∴方程变为(m +1)x -2y +9=0∵这个解和m 无关，∴x =0，y =92(4) 将方程组25{290x y x y mx +=-++=两个方程相加得295x mx ++=∴42x m =-+ ∵方程组有整数解且m 为整数∴21m +=±，22m +=±，24m +=±①m +2=1，计算得：4{92x y =-=(不符合题意) ②m +2=-1，计算得：4{12x y ==(不符合题意) ③m +2=2，计算得：2{72x y =-=(不符合题意) ④m +2=-2，计算得：2{32x y ==(不符合题意) ⑤m +2=4，计算得：13x y =-⎧⎨=⎩(不符合题意)∴m =2 ⑥ m +2=-4，计算得：12x y =⎧⎨=⎩(不符合题意)∴m =-6。
北师版八年级数学上册第五章 二元一次方程组2 求解二元一次方程组
2x－3y＝1，
(2)ቐy＋1 4
＝
x＋2 3
.
解题秘方：紧扣用代入消元法解二元一次方程组
的步骤解方程组.
知1－练
(1)൝2xx＋＋53y＝y＝1－；1②9，① 解：由②，得x＝1－5y. ③ 把③代入①，得2(1－5y)＋3y＝－19. 解这个方程，得y＝3. 把y＝3 代入③，得x＝－14.
所以这个方程组的解是ቊxy＝＝3－. 14，
个方程
消去一个未知数， 将二元一次方程 组转化为一元一
次方程
变形后的方程只
能代入另一个方 程(或另一个方 程变形后的方程)
续表
知1－讲
步骤
具体做法
目的
注意事项
(3) 求解
解消元后的一元一 次方程
求出一个未知数 的值
去括号时不能漏乘， 移项时所移的项要
变号
(4) 回代
把求得的未知数的 值代入步骤(1)中变
转化 一元一次方程
数的值
求出另一个 未知数的值
表示为 ቊxy＝＝……， 的形式
知2－讲
注意事项
回代时选择系 数较简单的方
程
用“｛”将未 知数的值联立
起来
特别提醒
知2－讲
1. 两个方程同一未知数的系数的绝对值相等或成倍数关系时，
解方程组应考虑用加减消元法.
2. 如果两个未知数中，同一未知数的系数的绝对值既不相等
又不成倍数关系，我们应设法将其中一个未知数的系数的
知1－练
知识点 2 加减消元法解二元一次方程组
知2－讲
1. 加减消元法的定义 通过将两个方程相加(减)消去其 中一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程 来解，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法， 简称加减法.
求解二元一次方 程组 填空题专题训 - 北师大版八年级数学上册
2021-2022学年北师大版八年级数学上册《5.2求解二元一次方程组》填空题专题训练（附答案）1．已知实数a、b满足2021a+2020b＝3，2a+b＝1，则的值为．2．若a+2b＝5，3a+4b＝13，则a+b的值为．3．若实数a与b满足（4a﹣b）2+|3a﹣b+2|＝0，则ab的平方根为．4．已知实数x，y满足|x﹣2y﹣9|+（2x﹣y）2＝0，则x﹣y的值为．5．若（a+3b﹣9）2与互为相反数，则a＝，b＝．6．定义一种新的运算“※”，规定：x※y＝mx+ny2，其中m、n为常数，已知2※3＝﹣1，3※2＝8，则m※n＝．7．对于有理数x，y，定义新运算“※”：x※y＝ax+by+1，a，b为常数，若3※5＝15，4※7＝28，则5※9＝．8．若，则（b﹣a）2015＝．9．若方程组与方程组同解，则mn＝．10．已知|3a+b+5|+|a﹣b+3|＝0，则ab+2b2＝．11．若方程组的解是，请求出方程组中m，n的值，m＝，n＝．12．已知方程组与的解相同，那么a+b＝．13．如果方程组与方程组有相同的解，则m﹣n＝．14．已知方程组和方程组有相同的解，则m的值是．15．已知方程组与有相同的解，则m＝，n＝．16．关于x、y的方程组与有相同的解，则（﹣a）b＝．17．如果方程组与方程组的解相同，则m＝，n＝．18．若方程组与有相同的解，则a＝，b＝．19．已知方程组与有相同的解，则m2﹣2mn+n2＝．20．若方程组与方程组的解相同，则a﹣b＝．21．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝3，则m的值为22．已知方程组中的x、y相等，则m＝23．已知关于x，y的二元一次方程组的解是，则2a﹣4b的算术平方根是．24．在等式y＝kx+b中，当x＝1时，y＝2；当x＝2时，y＝﹣4，则式子3k+2b的值为．25．若关于x，y的方程组（其中a，b是常数）的解为，则方程组的解为．26．已知方程组和的解相同，则2m﹣n＝．27．已知方程组和有相同的解，则m＝，n＝．参考答案1．解：联立得：，由②得；b＝1﹣2a③，把③代入①得：2021a+2020（1﹣2a）＝3，去括号得：2021a+2020﹣4040a＝3，移项合并得：﹣2019a＝﹣2017，解得：a＝，把a＝代入③得：b＝1﹣＝﹣，则＝﹣．故答案为：﹣．2．解：根据题意得：，①×2﹣②，得﹣a＝﹣3，解得：a＝3，把a＝3代入①，得3+2b＝5，解得：b＝1，所以a+b＝3+1＝4，故答案为：4．3．解：∵（4a﹣b）2+|3a﹣b+2|＝0，∴，①﹣②得：a﹣2＝0，解得：a＝2，把a＝2代入①得：b＝8，∴ab＝16，则16的平方根是±4．故答案为：±4．4．解：由题意可得，x﹣2y﹣9＝0①，2x﹣y＝0②，①+②得，3x﹣3y＝9，则x﹣y＝3．故答案为：3．5．解：∵（a+3b﹣9）2与互为相反数，∴（a+3b﹣9）2+＝0，∴，②×3得，6a﹣3b﹣12＝0③，①+③得，a＝3，将a＝3代入②得，b＝2，故答案为3，2．6．解：根据题意，得：，解得：，则x※y＝4x﹣y2，∴4※（﹣1）＝4×4﹣（﹣1）2＝15，故答案为：157．解：根据题中的新定义得：，①×4﹣②×3得：﹣b＝﹣25，解得：b＝25，把b＝25代入①得：a＝﹣37，则原式＝﹣5×37+9×25+1＝41，故答案为：418．解：∵+|2a﹣b+1|＝0，∴，①+②得：3a＝﹣6，即a＝﹣2，把a＝﹣2代入①得：b＝﹣3，则原式＝（﹣3+2）2015＝（﹣1）2015＝﹣1．故答案为：﹣1．9．解：解方程组，①+②得，2x＝4，解得x＝2，①﹣②得，2y＝2，解得y＝1．把x＝2，y＝1代入方程组，得，解得m＝4，n＝2．故mn＝4×2＝8．10．解：∵|3a+b+5|+|a﹣b+3|＝0，∴3a+b+5＝0且a﹣b+3＝0，即，①+②，得4a＝﹣8，解得：a＝﹣2，把a＝﹣2代入②，得﹣2﹣b＝﹣3，解得：b＝1，∴ab+2b2＝﹣2×1+2×12＝0，故答案为：0．11．解：由题意得：，解得：，故答案为：6.5；﹣1．12．解：解方程组，得，把x、y的值代入ax﹣by＝4，ax+by＝2可得方程组，解得，∴a+b＝3﹣1.5＝1.5．13．解：解方程组，得．把x＝2，y＝1分别代入方程组的其余两个方程，得，解得．∴m﹣n＝1．14．解：解方程组，得，代入x+y+m＝0得，m＝5．15．解：由（1）×2+（2），得10x＝20，x＝2，代入，得y＝0．将x、y代入第一个方程组可得，解，得．16．解：∵两方程组有相同的解，∴可将两方程组转化为：（1），（2），解（1）得，代入（2）得，解得．故（﹣a）b＝（﹣2）3＝﹣8．17．解：根据题意，可先用加减消元法解方程组，得．把代入方程组，得，用加减消元法解得m＝3，n＝2．18．解：（1）②变形为：y＝2x﹣5，代入①，得x＝2，将x＝2代入②，得4﹣y＝5，y＝﹣1．把x＝2，y＝﹣1代入（2），得，把b＝4a﹣10代入①，得2a+12a﹣30＝12，a＝3，代入，得b＝2．∴a＝3，b＝2．19．解：因为方程组与有相同的解，所以有，解得．将其代入mx+5y＝4，5x+ny＝1，得，解得．则m2﹣2mn+n2＝（m﹣n）2＝（14﹣2）2＝144．20．解：解方程组，得．把它代入方程组，得，解之，得a＝，b＝．所以a﹣b＝．21．解：，②﹣①得：x﹣y＝4﹣m，∵x﹣y＝3，∴4﹣m＝3，解得：m＝1，故答案为：122．解：把y＝x代入方程组得：，解得：，故答案为：2．23．解：把代入方程组得：，①+②得：3a＝4，解得：a＝，把a＝代入②得：b＝﹣，∴2a﹣4b＝+＝4，4的算术平方根是2，故答案为：224．解：根据题意得：，②﹣①得：k＝﹣6，把k＝﹣6代入①得：﹣6+b＝2，解得：b＝8，把k＝﹣6，b＝8代入3k+2b得：3×（﹣6）+2×8＝﹣2，故答案为：﹣2．25．解：∵关于x，y的方程组（其中a，b是常数）的解为，∴方程组的解为，即，故答案为：26．解：由题意得，解得：将x＝5，y＝3代入x+2y＝n，得：n＝11，代入x+y＝m，得：m＝8，∴2m﹣n＝2×8﹣11＝5，故答案为：5．27．解：∵已知方程组和有相同的解，∴，①+②得：5x＝8+7，x＝3，把x＝3代入①得：3×3+y＝8，解得：y＝﹣1，把x＝3和y＝﹣1代入mx+y＝n，x+ny＝m得：，解得：，故答案为：1，2．。
原创新课堂八年级上册数学(北师)习题课件：5.第2课时
13．用适当的方法解方程组： 2x－3y＝－5，
(1)3x＋2y＝12；
解：xy＝＝32
4（x－y－1）＝3（1－y）－2， (2)x2＋y3＝2.
解：xy＝＝32
x＋2y＝3， 14．(2015·日照)已知关于x，y的二元一次方程组 3x＋5y＝m＋2 的解 满足x＋y＝0，求实数m的值．
解：32xx＋＋23yy＝＝1155，其解为yx＝＝33
方法技能： 解方程组选择解法时，要仔细观察未知数系数的特点： ①当未知数的系数是1或－1时，用代入法较简单； ②当未知数的系数的绝对值相差或成整数倍时，用加减法较简单． 易错提示： 注意两个方程组相减时符号的变化．
x＝1
即y＝_7___，所以原方程组的解为 y＝7
.
x＋2y＝－5， 3．(2016·怀化模拟)方程组7x－2y＝13 的解是
x＝1 y＝－3
.
4．解方程组23xx－－35yy＝＝46，，②①较简便的方法是( B ) A．①×3＋②×5 B．①×2－②×3 C．①×4－②×6 D．①×3－②×5
x－y＝2， 5．方程组2x＋y＝4 的解是( D )
x＝1 A.y＝2
x＝3 B.y＝1
x＝0 C.y＝－2
x＝2 D.y＝0
6．解方程组33xx＋－2y＝y＝4－②2，①，①－②得到的正确结果是(B ) A．y＝2 B．3y＝－6 C．y＝－2 D．3y＝6
①②x232＋xxx＋＋＋2y23y＝＝yy＝＝33，1100的，解的为解为xy＝＝xy11＝＝22； ；
2x－y＝4， ③－x＋2y＝4的解为
x＝4 y＝4
．
(2)以上每个方程组的解中，x值与y值的大小关系为 x＝y ．
(3)请你构造一个具有以上外形特征的方程组，并直接写出它的解．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
利用代入消元法解二元一次方程组 •例1：3x+2y=14.......
• x=y+3............. •认真观察这个方程,需要变换吗? •解:把代入,得 3(y+3)+2y=14 • 3y+9+2y=14 • 5y=5 • y=1 • 把y=1代入 ,得 x=y+3=1+3=4 •经检验,x=4,y=1符合原方程组; •所以,原方程组的解是 x=4 y=1
议一议 上面解方程组的基本思路是什么?主要步骤 有哪些? • 基本思路是 • "消元"--------把二元变为一元. • 主要步骤是 • 将其中一个方程中的某个未知数用另 一个未知数的代数式表示出来,并代入另一 个方程中,从而消去一个未知数,化二元一 次方程组为一元一次方程,这种解方程组的 方法称为代入消元法,简称代入法.
随堂练习
• (1)
•
y=2x
x+y=12ห้องสมุดไป่ตู้
y 5 (2) x= 2 4x+3y=65
• • (3) x+y=11 • x-y=7
(4) 3x-2y=9 x+2y=3
5.2求解二元一次方程组(1)
接上节课的内容 老牛和小马各自到底驮了多少个包裹呢？ • 这需要我们去解方程组 • x-y=2 • x+1=2(y-1) • 怎么去解？ • 想一想：我们会解一元一次方程，能不能 把这个二元一次方程组转化成一元一次方 程呢？
学习解二元一次方程组 • x-y=2...............
• x+1=2(y-1)....... • 解： 由 得 • y=x-2.............. • 把 代入 ，得 • x+1=2[(x-2)-1] • 解得：x=7 • 把x=7代入 得：y=5 • 因此，这个二元一次方程组的解是 x=7 y=5
检验结果是否符合题目要求 •把 x=7, y=5代入原方程组的每一个方程检验 方程两边是否相等？ •像刚才这种先把一个方程变成一个字母用 另一个字母表示出来的关系式（方程），再 把这个关系式（方程）代入另一个方程，从 而使二元一次方程组变成一个一元一次方程 来求解的方式叫代入消元法。
•例2： 2x+3y=16............ • x+4y=13............. 认真观察这两个方 程,变换谁让我们操作简单? •解:由得: x=13-4y....... • 把代入 ,得 2(13-4y)+3y=16 • 26-8y+3y=16 • -5y=-10 • y=2 • 把y=2代入 ,得 x=13-4y=13-4×2=5 • 经检验,x=5,y=2符合原方程组; • 所以,原方程组的解是 x=5 y=2