47不可导函数举例

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1 x sin 0 1 n 1 x 存在 lim x sin lim x 0 x 0 x x n1 f ( 0) 0 此时
n
③ 当x 0时
f (0) 0
f ( x in x cos x x
要使
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x0 1 2x 1 0x1 例6 讨论f(x) 2 , 1 x 2 x 2 x2 x 在x 0,1,2处的连续性, 可导性.
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x0 x0
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解
1 首先注意到当n 0时 lim x sin 不存在 x 0 x
n
f(x)在x=0处不连续,一定不可导. 1 n 当n 0时 lim x sin 0 x 0 x 1 n ① 当x 0时，f ( x ) x sin 是初等函数，连续 x 因此要使 f ( x )连续 只须f ( x )在x 0处连续 1 n 即只须lim x sin 0 f (0) n 0 x 0 x ② 要使 f (0) lim f ( x ) f (0) x 0 x0
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f ( x ) f ( 0 ) ④ 要使 f (0) lim x 0 x0 1 1 n1 n 2 nx sin x cos x x lim x 0 x 1 1 n 2 n 3 lim[nx sin x cos ] 存在 x 0 x x n 3 此时 f (0) 0
o
x
f ( x ) f ( 0) x 1. f (0) lim lim x 0 x 0 x x
即 f (0) f (0), f ( x ) x 在 x 0 点不可导 .
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2. 设函数 f ( x )在点 x0连续, 但 f ( x0 x ) f ( x0 ) y lim lim , x 0 x x 0 x 函数 f ( x )在点 x0 不可导 .
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例6
x2 x0 设 f ( x) ， x x0 1 e 讨论 f ( x ) 在 x 0 处的可导性 .
f ( x ) f ( 0) x2 0 ( 0) , 0 f lim lim x 0 x 0 x x f ( x ) f ( 0) 1 ex 1 f (0) , lim lim x 0 x 0 x x
注
通过本例，我们可以进一步加深对连续和可导 的关系的认识。函数从连续到可导再到导数连续， 再到二阶可导，所要求的条件逐步加强。
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x0 sinx 例3 f(x) ,问在x 0处可导否? ln(1 x) x 0 并求f ( x), f ( ) 2
f ( x )连续 只须f ( x )在x 0处连续
x 0
即只须lim f ( x ) f (0) 0
lim[nx
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n 1
x 0
1 1 n 2 sin x cos ] 0 n 2 x x
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综上所述,得 (1)当 n 0 时, f ( x )在 x 0 处连续； (2)当 n 1 时, f ( x )在 x 0 处可导,且 f (0) 0 ； (3)当 n 2 及 x 0 时, f ( x )在 x 0 处连续.
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f (0) lim f ( x ) 0
例5
x, x0 设 f ( x) , 求f ( x ). ln(1 x ), x 0
解
当x 0时, 当x 0时, f ( x ) 1,
1 f ( x) 1 x
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解
x 0
yx
lim f ( x) lim f ( x) 0
x 0
0
x
f ( x )在x 0处连续.
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f ( x ) f ( 0) x 2 0 0 f ( 0) , lim lim x 0 x 0 x x
f ( x ) f ( 0) x0 lim lim 1 f ( 0 ) , x 0 x 0 x x
当x 0时,
f (0) lim
h 0
(0 h) ln(1 0) 1, h
ln[1 (0 h)] ln(1 0) 1, f (0) lim h 0 h
f (0) 1.
1, f ( x ) 1 , 1 x x0 x0 .
例如,
f ( x ) x 1,
3
y
y 3 x 1
f ( x)在x 1处连续.
0
1
x
在 x 1处不可导.
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例3 证明
f ( x ) 3 x 1, 在 x 1处不可导.
证明
3 f (1 x) f (1) x 0 lim lim x 0 x 0 x x 1 lim 2 / 3 x 0 ( x )
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1 例4 讨论函数 f ( x ) x sin x , x 0, x0 0, 在x 0处的连续性与可导性 .
1 解 sin 是有界函数 , x 1 lim x sin 0 x 0 x
f ( x )在x 0处连续. x 0 1 (0 x ) sin 0 1 y 0 x sin 但在x 0处有 x x x y 当x 0时, 在 1和1之间振荡而极限不存在. x f ( x )在x 0处不可导.
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例4
e ax , x0 设 f ( x) , 2 b(1 x ), x 0 求a , b使f ( x )在x 0处可导.
此种题型必须先考虑连续性得到一个关系式 , 再由可导得到另一个关系式 , 联立求解参数.
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ax b x 1 例5 确定常数a, b使f(x) 2 处处可导 x1 x
f ( x ) f ( x0 ) f ( x 0 x ) f ( x 0 ) lim ; x 0 x x0 x
2) 右导数 (right – hand derivative)
f ( x0 ) lim
x x0
f ( x ) f ( x0 ) f ( x 0 x ) f ( x 0 ) lim ; x 0 x x0 x
y 若 lim 不存在 , 则称 y f ( x ) 在点 x0 处不可导 . x 0 x
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dy 记为 dx
x x0
或 y( x0 ) ,
2. 单侧导数
1) 左导数 (left – hand derivative)
f ( x0 ) lim
x x0
定理
f ( x0 ) 存在 f ( x0 ) f ( x0 ) .
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3.可导与连续的关系
定理 若函数在某点处可导,则函数在该点处连续.
若函数不连续，则一定不可导. 注意: 该定理的逆不成立,即连续函数不一定 可导. (连续是可导的必要不充分条件.)
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第七节 不可导的函数举例
1.导数的定义 2.左、右导数的定义及与导数的关系 3.可导与连续的关系
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1.导数定义
设函数 y f ( x) 在点 x0 的某个邻域 U ( x0 , )内有定义 , 且 x0 x U ( x0 , ) f ( x0 x) f ( x0 ) 若 lim 存在, 则称 f ( x) 在 x 0 x x0 点可导 , 且称极限值为 f ( x) 在 x0 点的导数 ,
解
即 f (0) f (0),
f ( x ) 在 x 0 点不可导 .
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例2
在什么条件下，函数
1 n x sin f ( x) x 0
① f ( x )连续 ② f (0)存在 ③ f ( x )连续 ④ f (0)存在
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f ( x) 在 x 1 点不可导.
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3. 函数 f ( x )在连续点的左右导数都 不存在 (指摆动不定 ) , 则 x0点不可导 .
例如,
y
1 x sin , f ( x) x 0,
在x 0处不可导.
x0 , x0
1
－1/π
0
1/π
x
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小结
不连续,一定不可导.
判断可导性
连续
直接用定义; 看左右导数是否存在且相等.
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连续函数不存在导数举例
1. 函数 f ( x )连续 , 但 f ( x0 ) f ( x0 ) .
例1
x2, f ( x) x, x0 , x0
y
yx
2
在 x 0处不可导.
即 f (0) f (0),
f ( x ) 在 x 0 点不可导 .
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例2 讨论函数 f ( x ) x 在x 0处的可导性. 解
x x 0 f ( x) , x0 x
y
y x
f ( x ) f ( 0) x f (0) lim lim 1 , x 0 x 0 x x