高三数学数列的极限

课时3 数列的极限
一、复习目标
理解数列极限的概念：会判断一些简单数列的极限：了解数列极限的定义：掌握极限的四则运算法则：会求某些数列的极限.
二、例题讲解：
例1．求下列极限：
（1）3
22312lim 22=++∞→n n n n ： （2）2
1)43(lim 2
2-=+-+∞→n n n n n ： （3）23)23741(lim 2222=-++++∞→n n n n n n ： （4）]2
,0[,cos sin cos 3sin 2lim πααααα∈++∞→n n n n n 解：（4）当4π
α=时：原式=25：当4
0πα<≤时：则有,1tan 0<≤α所以 原式3tan 13tan 2lim =++=∞→ααn n n ：当4
2παπ>≥时：则有,1cot 0<≤α所以 原式2cot 1cot 32lim =++=∞→α
αn n n 例2．已知无穷等比数列}{n a 的各项和为3：前3项的和为
9
26：求这个数列中所有奇数项的和. 解：设等比数列}{n a 的公比为q ：则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=-,9261)1(,31311q
q a q a 解得⎪⎩⎪⎨⎧==2311a q ： 等比数列的各奇数项仍成等比数列：其公比为91：故所有奇数项的和为491291=-. 例3．已知数列}{n a 满足条件：)0(,121>==r r a a ：且}{1+n n a a 是公比为q )0(>q 的等比数列：设).,2,1(212 =+=-n a a b n n n 求n b 和n
n S 1lim ∞→其中n n b b b S ++=21. 解：∵,2121q a a a a a a n n n n n n ==++++∴,01.0121222121≠+=≠=++=-+++r b q a a a a b b n
n n n n n 所以}{n b 是首项为r +1公比为q 的等比数列：从而1)1(-+=n n q r b .
当1=q 时：01lim ),1(=+=∞→n
n n S r n S ： 当10<<q 时：r
q S q q r S n n n n +-=--+=∞→111lim ,1)1)(1(： 当1>q 时：01lim ,1)1)(1(=--+=∞→n
n n n S q q r S . 所以⎪⎩⎪⎨⎧<<+-≥=∞→.10,11,1,01lim q r
q q S n n 三、同步练习：《高考三人行—学生用书》P337
课时4 函数的极限
一、复习目标
1．熟悉函数极限的概念能正确表述并会推断简单函数的极限.
2．熟悉函数极限的运算、能对函数式变型后推算函数的极限.
二、例题讲解
例1．判断下列函数的极限是否存在：
（1）)(lim ),0(11),0(1)(2x f x x
x x x f x ∞→⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+≤=： （2）)(lim ),0(1),0(2)(0x g x x x g x →⎩
⎨⎧<->=： （3）)(lim ),1(1),1(1)(1
x p x x x x x p x →⎩⎨⎧<+->-=： （4）)(lim ),1()(x f a a x f x x
∞→>=.
解：（1）显然：当-∞→x 时：0)(→x f ：当+∞→x 时：1)(→x f .即≠+∞→)(lim x f x )(lim x f x -∞→：故)(lim x f x ∞
→不存在. （2）显然：1)(lim ,2)(lim 00-==-+→→x g x g x x ：故)(lim 0
x f x →不存在. （3）∵0)(lim ,0)(lim 11==-+→→x p x p x x ：∴0)(lim 1
=→x p x . （4）当+∞→x 时：+∞→x a ：当-∞→x 时：0→x a ：所以)(lim x f x ∞
→不存在.
例2．求下列各式的极限：
（1）53
512lim 222-=+--→x x x x ： 点评：当)(x f 在0x 处连续时：则可用直接代入法：即)(lim 0
x f x x →=)(0x f . （2）6
131lim 93lim 323=+=--→→x x x x x ： （3）2
1111lim 211lim 22=+-=---→→x x x x x ： （4）1)1311(
lim 31-=---→x
x x ： （5）21)(lim 2=-++∞→x x x x ： （6）)]1()1(1[lim 1
lim 21121++++++++=--+++--→→x x x x x n x x x n n x n x 2
)1(+=n n . 例3．已知n x mx x x =+++-→2
2lim 22：求m 、n 的值. 解：∵,2
2lim 22n x mx x x =+++-→∴2-=x 为方程022=++mx x 的根：3=m ： 又1)1(lim 2
23lim 222-=+=+++-→-→x x x x x x ：∴3,1=-=m n . 三、同步练习：《高考三人行—学生用书》P340。