《精编》广东省普宁侨中高三数学8月摸底考试 文 新人教A版.doc

普宁侨中届高三摸底考试
文科数学试题
一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分。

在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

请把正确答案的序号填涂在答卷上.
i
i
z -+=
11的虚部等于〔 〕 A ．－1 B.1 C.i - D. i
{}20,2,A a =,{}1,B a =,假设{}1A B =,那么a 的值为〔 〕
A. 0
B. 1
C.-1
D. 1±
3.记等差数列的前n 项和为n S ，假设244,20S S ==，那么该数列的公差d =〔 〕 A.2 B.3 C
“假设f(x)是奇函数，那么f(-x)是奇函数〞的否命题．．．
是〔 〕 A.假设f(x) 是偶函数，那么f(-x)是偶函数 B.假设f(x)不是奇函数，那么f(-x)不是奇函数 C.假设f(-x)是奇函数，那么f(x)是奇函数 D.假设f(-x)不是奇函数，那么f(x)不是奇函数 5.给出以下四个命题：
①垂直于同一平面的两条直线相互平行； ②垂直于同一平面的两个平面相互平行；
③假设一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ④假设一条直线垂直于一个平面内的任一直线，那么这条直线垂直于这个平面. 其中真命题．．．的个数是〔 〕 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
6.双曲线22
21x y a
-=的焦点为)0,2(，那么此双曲线的渐近线方程是〔 〕
A ．5y x =±
B ．55y x =±
C ．33
y x =± D ． 3y x =± 7.函数x y 2=的反函数图象大致是〔 〕
A ．
B ．
C ．
D ．
正视图
侧视图
俯视图
13题
sin y x =的图象，只需将函数)6
sin(π
+=x y 的图象〔 〕
A ．向右平移
π
6个单位 B ．向右平移
π
3个单位 C ．向左平移π
3
个单位
D ．向左平移π
6
个单位
9.如以以以下图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注
水，
容器中水面的高度h 随时间t 变化的可能图象是〔 〕
A ．
B ．
C ．
D ．
10．在ABC ∆所在的平面上有一点P ，满足PA PB PC AB ++=，那么PBC ∆与ABC ∆的面积之比是〔 〕
A ．
13 B ．12 C ．23 D ．34
二 、填空题： 本大题共5小题，其中第14第15为选做题，每题5分，共20分。

〔一〕必做题〔11～13题〕
11．函数a x x f =)(的图象经过点〔4，2〕，那么)2(log 2f = . 12．设0,0.a b >>11
333a
b
a b
+是与的等比中项，则
的最小值为 ．
13．下右图是一个算法的程序框图，该算法所输出的结果是 ．
〔二〕选做题〔14～15题，考生只能从中选做一题〕 14．〔坐标系与参数方程选做题〕在极坐标系中，过点22,
4π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
作圆4sin ρθ=的切线，那么切线的极坐标方程是 ． 15．〔几何证明选讲选做题〕如图4所示，圆O 的直径6AB =， C 为圆周上一点，3BC =，过C 作圆的切线l ，过A 作l 的垂线 AD ，垂足为D ，那么DAC ∠= ．
O
t h h
t O h t O O t h A D C B l 图4
三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．〔本小题总分值12分〕 ABC ∆的面积是30，内角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，12
cos 13
A =。

(1)求AC AB ⋅；
(2)假设1c b -=，求a 的值。

17．〔本小题总分值12分〕
为了比拟注射A,B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做实验，将这200只家兔随机地分成两组。

每组100只，其中一组注射药物A ，另一组注射药物B 。

下表1和表2分别是注射药物A 和药物B 后的实验结果。

〔疱疹面积单位：2
mm 〕
〔1〕完成下面频率分布直方图，并比拟注射两种药物后疱疹面积的中位数大小；
〔2〕完成下面22⨯列联表，并答复能否有99.9％的把握认为“注射药物A 后的疱疹面积与注射药物B 后的疱疹面积有差异〞。

附：2
2()
()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++
18．〔本小题总分值14分〕
如图，在四棱锥P-ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD=DC=BC=1，AB=2，AB ∥DC ，∠BCD=900。

(1)求证：PC ⊥BC ；
(2)求点A 到平面PBC 的距离。

19．〔本小题总分值14分〕
某工艺品加工厂准备生产甲、乙两种纪念品.该厂所用的主要原料为A 、B 两种贵重金属，生产一套甲纪念品需用原料A 和原料B 的量分别为4盒和3盒，生产一套乙纪念品甲纪念品每套可获利700元，乙纪念品甲、乙两种纪念品各多少套，才能使该厂月利润最大，最大利润为多少？
20．(本小题总分值14分)
函数f 〔x 〕=x ，g 〔x 〕=x a ln ，a ∈R 。

〔1〕假设曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a 的值及该切线的方程；
〔2〕设函数)()()(x g x f x h -=，当)(x h 存在最小值时，求其最小值ϕ〔a 〕的解析式； 〔3〕对〔2〕中的ϕ〔a 〕，证明：当a ∈〔0，+∞〕时，ϕ〔a 〕≤1. 21．〔本小题总分值14分)
设12,,,,n C C C 是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x 轴的正半轴上，且都与直
线3
3
y x =
相切，
对每一个正整数n ,圆n C 都与圆1n C +相互外切，以n r 表示n C 的半径，{}n r 为递增数列.
〔1〕证明：{}n r 为等比数列；
〔2〕设11r =，求数列{}n
n r 的前n 项和.
普宁侨中届高三文科数学模底考试答案
一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分。

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
B
C
B
B
B
C
C
A
B
C
二、填空题： 11、21 12、 4 13、34
14、cos 2ρθ= 15、 30 三、解答题 16、解：由12cos 13A =
，得2125sin 1()1313
A =-=. 又
1
sin 302
bc A =，∴156bc =. 〔1〕12
cos 15614413
AB AC bc A ⋅==⨯=. 〔2〕222
2cos a b c bc A =+-2
12
()2(1cos )12156(1)2513
c b bc A =-+-=+⋅⋅-
=， ∴5a =. 17、解：〔1〕
图1注射药物A 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图 图2注射药物B 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图
可以看出注射药物A 后的疱疹面积的中位数在65至70之间，而注射药物B 后的疱疹面积的中位数在70至75之间，所以注射药物A 后疱疹面积的中位数小于注射药物B 后疱疹面积的中位数。

疱疹面积小于270mm 疱疹面积不小于270mm
合计
注射药物A 70a = 30b = 100 注射药物B
35c = 65d = 100
合计
105 95 200n =
56.2495
105100100)30356570(2002
2
≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K
由于828.102
>K ，所以有99.9%的把握认为“注射药物A 后的疱疹面积与注射药物B 后
的疱疹面积有差异〞.
4x+5y-200=0
3x+10y-300=0
A
o
10
x
y
100
50
20304018、〔1〕证明：因为PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥BC 。

由∠BCD=900
，得CD ⊥BC ，
又PD DC=D ，PD 、DC ⊂平面PCD ， 所以BC ⊥平面PCD 。

因为PC ⊂平面PCD ，故PC ⊥BC 。

〔2〕〔方法一〕分别取AB 、PC 的中点E 、F ，连DE 、DF ，那么： 易证DE ∥CB ，DE ∥平面PBC ，点D 、E 到平面PBC 的距离相等。

又点A 到平面PBC 的距离等于E 到平面PBC 的距离的2倍。

由〔1〕知：BC ⊥平面PCD ，所以平面PBC ⊥平面PCD 于PC ， 因为PD=DC ，PF=FC ，所以DF ⊥PC ，所以DF ⊥平面PBC 于F 。

易知DF=
2
2
，故点A 到平面PBC 的距离等于2。

〔方法二〕体积法：连结AC 。

设点A 到平面PBC 的距离为h 。

因为AB ∥DC ，∠BCD=900，所以∠ABC=900。

从而AB=2，BC=1，得ABC ∆的面积1ABC S ∆=。

由PD ⊥平面ABCD 及PD=1，得三棱锥P-ABC 的体积
1133
ABC V S PD ∆=⋅=。

因为PD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥DC 。

又PD=DC=1，所以222PC PD DC =
+=。

由PC ⊥BC ，BC=1，得PBC ∆的面积2
2
PBC S ∆=。

由A PBC P ABC V V --=，11
33
PBC S h V ⋅==，得2h =，
故点A 到平面PBC 的距离等于2。

19、解:设该厂每月生产甲、乙两种纪念品分别为,x y 套，月利润为z 元，由题意得
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨
⎧≥≥≤+≤+.
0,0,300103,20054y x y x y x 〔,x y N ∈〕 目标函数为7001200z x y =+ 作出可行域如以以下图 目标函数可变形为1200
127z
x y +-
=，473
,51210
-
<-<- ∴当7121200z y x -=+通过图中的点A 时，1200z 最大，这时Z 最大。

解45200
,310300x y x y +=⎧⎨+=⎩
得点A 的坐标为〔20,24〕
， …………10分
将点(20,24)A 代入7001200z x y =+得max 7002012002442800z =⨯+⨯=元
答:该厂生产甲纪念品20套，乙纪念品24套时，月利润最大，最大利润为42800元. 20、解：〔1
a
x
(x>0),
由得a lnx ，
a x ， 解得a =2
e ,x=e 2
, ∴两条曲线交点的坐标为〔e 2
,e 〕 切线的斜率为k=f’(e 2)=
12e
, ∴切线的方程为y-e=1
2e (x-e 2).
〔2〕由条件知x a x x h ln )(-=
),0(>x x
a
x x
a x
x h 2221)(-=-
=
∴ 〔i 〕当a >0时，令h '
(x)=0,解得x=2
4a ,
所以当0<x<24a 时,h '(x)<0，h(x)在〔0，2
4a 〕上递减； 当x >2
4a 时，h '
(x)>0，h(x)在〔0，2
4a 〕上递增。

所以x >24a 是h(x )在〔0，+∞〕上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是h(x)的最小值点。

所以Φ〔a 〕=h(2
4a )=2a-aln 2
4a =2
(ii)当a ≤0时，h(x)=(1/2-2a) /2x>0,h(x)在〔0，+∞〕递增，无最小值。

故h(x)的最小值Φ〔a 〕的解析式为2a (1-ln2a ) (a >o) 〔3〕由〔2〕知Φ〔a 〕=2a (1-ln2a )
那么Φ1〔a 〕=-2ln2a ，令Φ1
〔a 〕=0解得a =1/2
当0<a <1/2时，Φ1
〔a 〕>0，所以Φ〔a 〕在(0,1/2)上递增；
当a >1/2时，Φ1
〔a 〕<0，所以Φ〔a 〕在 (1/2,+∞)上递减。

所以Φ〔a 〕在(0,+∞)处取得极大值Φ〔1/2〕=1
因为Φ〔a 〕在(0,+∞)上有且只有一个极值点，所以Φ〔1/2〕=1也是Φ〔a 〕的最大值。

所当a ∈(0,+∞)时，总有Φ〔a 〕≤1. 21、
n n n n n n n+1n+1n+1n n n+1n+1n n n+1n
n n 11n n n n
n 121,332
r 1
2r 22r r r 2r 2r r 3r r q 3n
r 1q 3r 3n *3r 12.....r r x C θθλλλλλλλ--=====++====∏=====
+++解：（1）将直线y=
的倾斜角记为,则有tan =设的圆心为（，0），则由题意得知，得；同理
，从而，将代入，解得故为公比的等比数列。

（）由于，，故，从而，记S 121n 121n
121n
11,r 12*33*3......*31*32*3......(1)*3*33
133...3*33
1333*3()*3,
2223
9139(23)*3()*34224
n
n
n n n n n n n n n
n n
n n n n n n n S n ----------------=+++=+++-+-=++++--=-=-+-+∴=-+=
则有S S ①②,得
2S。