人教2016年上海中考数学试卷及答案

2016年上海中考数学试卷及答案一、选择题1.如果a 与3互为倒数，那么a 是（ ） A. 3- B. 3 C. 13- D. 13【解析】3的倒数是13.故选D. 2.下列单项式中，与2a b 是同类项的是（ ）A. 22a bB. 22a bC. 2ab D. 3ab【解析】含有相同字母，并且相同字母的指数也相同的单项式为同类项，所以，选A. 3.如果将抛物线22y x =+向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（ ） A. 2(1)2y x =-+ B. 2(1)2y x =++ C. 21y x =+ D. 23y x =+ 【解析】抛物线22y x =+向下平移1个单位变为221y x =+-，即为21y x =+.故选C. 4.某校调查了20名男生某一周参加篮球运动的次数，调查结果如表所示，那么这20名男 生该周参加篮球运动次数的平均数是（ ）次数 2 3 4 5 人数22106A. 3次B. 3.5次C. 4次D. 4.5次 【解析】平均数为：1(223241056)20⨯+⨯+⨯+⨯＝4（次）.故选C. 5.如图,已知在ABC ∆中，AB AC =，AD 是角平分线，点D 在边BC 上，设BC a =，AD b =，那么向量AC 用向量a 、b 表示为（ ） A.12a b + B. 12a b - C. 12a b -+ D. 12a b -- 【解析】因为AB ＝AC ，AD 为角平分线，所以，D 为BC 中点，12AC AD DC AD BC =+=+＝12a b +.故选A.6.如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，4AC =，7BC =，点D 在边BC 上，3CD =，⊙A 的半径长为3，⊙D 与⊙A 相交，且点B 在⊙D 外，那么⊙D 的半径长r 的取值范围是（ ）A. 14r <<B. 24r <<C. 18r <<D. 28r << 【解析】由勾股定理，得：AD ＝5， ⊙D 与⊙A 相交，所以，r ＞5－3＝2， BD ＝7－3＝4，点B 在⊙D 外，所以，r ＜4，故有24r <<.故选B.二、填空题7.计算：3a a ÷=【解析】同底数幂相除，底数不变，指数相减，所以，原式＝312a a -=.故填2a .8.函数32y x =-的定义域是 . 【解析】由分式的意义，得：2x -≠0，即2x ≠.故填2x ≠. 9.方程12x -=的解是 .【解析】原方程两边平方，得：x －1＝4，所以，5x =.故填5x =. 10.如果12a =，3b =-，那么代数式2a b +的值为 . 【解析】2a b +＝1232⨯-＝－2.故填－2. 11.不等式组2510x x <⎧⎨-<⎩的解集是 .【解析】原不等式组变为：521x x ⎧<⎪⎨⎪<⎩，解得：1x <.故填1x <.12.如果关于x 的方程230x x k -+=有两个相等的实数根，那么实数k 的值是 . 【解析】因为原方程有两个相等的实数根，所以，Δ＝9－4k ＝0，所以，k ＝94.故填94.13.已知反比例函数ky x=（0k ≠），如果在这个函数图像所在的每一个象限内，y 的值 随着x 的值增大而减小，那么k 的取值范围是 . 【解析】反比例函数ky x=，当0k >时，函数图像所在的每一个象限内，y 的值 随着x 的值增大而减小；当0k <时，函数图像所在的每一个象限内，y 的值 随着x 的值增大而增大.故填0k >.14.有一枚材质均匀的正方体骰子，它的六个面上分别有1点、2点、⋅⋅⋅、6点的标记，掷 一次骰子，向上的一面出现的点数是3的倍数的概率是 .【解析】向上的一面出现的点数是3的倍数有3、6两种，所以，所求概率为：2163=. 故填13. 15.在ABC ∆中，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，那么ADE ∆的面积与ABC ∆的面积的比是 .【解析】因为点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，所以，DE ∥BC ，12DE BC =, 所以，△ADE ∽△ABC ，又相似三角形的面积比等于相似比的平方， 所以，ADE ∆的面积与ABC ∆的面积的比是2()DE BC ＝14.故填14. 16.今年5月份有关部门对计划去上海迪士尼乐园的部分市民的前往方式进行调查，图1和图2是收集数据后绘制的两幅不完整统计图，根据图中提供的信息，那么本次调查的对象中选择公交前往的人数是 .【解析】设总人数为x ，由扇形统计图可知，自驾占40%，所以，x ＝480040%＝12000, 选择公交前往的人数是：1200050%⨯＝6000.故填6000.17.如图，航拍无人机从A 处测得一幢建筑物顶部B 的仰角为30°，测得底部C 的俯角为 60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD 为90米，那么该建筑物的高度BC 约为 米.（精确到1米，参考数据：3 1.73≈）【解析】依题意，有∠BAD ＝30°，∠DAC ＝60°，tan 30BDAD︒=，所以，BD ＝90tan30°＝303， tan 60CDAD︒=，所以，CD ＝90tan60°＝903， 所以，BC ＝1203120 1.73≈⨯≈208. 故填208.18.如图，矩形ABCD 中，2BC =，将矩形ABCD 绕点D 顺时针旋转90°，点A 、C 分 别落在点A '、C '处，如果点A '、C '、B 在同一条直线上，那么tan ABA '∠的值为 .【解析】如下图，设矩形的边长CD ＝x ，由,整理，得：2240x x +-=，解得：15x =-±，所以，CD ＝51-，所以，tan ∠ABA ′= tan ∠BA ′C=C D 51A D 2'-='. 故填512-.三、解答题19.计算：1221|31|412()3----+. 【解】原式31223963=---+=-.20.解方程：214124x x -=--. 【解】去分母，得2244x x +-=-, 移项、整理得220x x --=, 解得x 1=2,x 2=-1,经检验：12x =是增根，舍去；21x =-是原方程的根. 所以，原方程的根是1x =-.21.如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，3AC BC ==，点D 在边AC 上，且2AD CD =， DE AB ⊥，垂足为点E ，连接CE ，求：（1）线段BE 的长；（2）ECB ∠的余切值；【解】（1）∵2AD CD =，3AC =,∴2AD =.在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，3AC BC ==， ∴45A ∠=︒，2232AB AC BC =+=.∵DE AB ⊥,∴90AED ∠=︒，45ADE A ∠=∠=︒， ∴cos452AE AD =⋅︒=,∴22BE AB AE =-=，即线段BE 的长是22. （2）过点E 作EH BC ⊥，垂足为点H . 在Rt BEH ∆中，90EHB ∠=︒，45B ∠=︒,∴cos 452EH BH EB ==⋅︒=，又3BC =， ∴1CH =. 在Rt ECH ∆中，1cot 2CH ECB EH ∠==，即ECB ∠的余切值是12.22.某物流公司引进A 、B 两种机器人用来搬运某种货物，这两种机器人充满电后可以连续搬运5小时，A 种机器人于某日0时开始搬运，过了1小时，B 种机器人也开始搬运，如 图，线段OG 表示A 种机器人的搬运量A y （千克）与时间x （时）的函数图像，线段EF 表 示B 种机器人的搬运量B y （千克）与时间x （时）的函数图像，根据图像提供的信息，解 答下列问题：（1）求B y 关于x 的函数解析式；（2）如果A 、B 两种机器人各连续搬运5个小时， 那么B 种机器人比A 种机器人多搬运了多少千克？【解】（1）设B y 关于x 的函数解析式为1B y k x b =+（10k ≠），由线段EF 过点(1,0)E 和点(3,180)P ，得1103180k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得19090k b =⎧⎨=-⎩，所以B y 关于x 的函数解析式为9090B y x =-（16x ≤≤）. （2）设A y 关于x 的函数解析式为2A y k x =（20k ≠）， 由题意，得21803k =，即260k =,∴60A y x =. 当5x =时，560300A y =⨯=（千克）， 当6x =时，90690450B y =⨯-=（千克）， 450300150-=（千克）.答：如果A 、B 两种机器人各连续搬运5小时，那么B 种机器人比A 种机器人多搬运了150千克.23.已知，如图，⊙O 是ABC ∆的外接圆，AB AC =，点D 在边BC 上，AE ∥BC ，AE BD =.（1）求证：AD CE =；（2）如果点G 在线段DC 上（不与点D 重合），且AG AD =，求证：四边形AGCE 是平行四边形.【证明】（1）在⊙O 中，∵AB AC =,∴AB AC =,∴B ACB ∠=∠.∵AE ∥BC ,∴EAC ACB ∠=∠,∴B EAC ∠=∠. 又∵BD AE =,∴ABD ∆≌CAE ∆,∴AD CE =. （2）连接AO 并延长，交边BC 于点H ，∵AB AC =，OA 是半径,∴AH BC ⊥,∴BH CH =.∵AD AG =,∴DH HG =,∴BH DH CH GH -=-，即BD CG =. ∵BD AE =,∴CG AE =.又∵CG ∥AE ,∴四边形AGCE 是平行四边形.24.如图，抛物线25y ax bx =+-（0a ≠）经过点(4,5)A -，与x 轴的负半轴交于点B ， 与y 轴交于点C ，且5OC OB =，抛物线的顶点为D . （1）求这条抛物线的表达式；（2）连接AB 、BC 、CD 、DA ，求四边形ABCD 的面积；（3）如果点E 在y 轴的正半轴上，且BEO ABC ∠=∠，求点E 的坐标；【解】（1）∵抛物线25y ax bx =+-与y 轴交于点C ,∴(0,5)C -,∴5OC =.∵5OC OB =,∴1OB =.又点B 在x 轴的负半轴上,∴(1,0)B -. ∵抛物线经过点(4,5)A -和点(1,0)B -， ∴1645550a b a b +-=-⎧⎨--=⎩，解得14a b =⎧⎨=-⎩.∴这条抛物线的表达式为245y x x =--.（2）由245y x x =--，得顶点D 的坐标是(2,9)-.连接AC ，∵点A 的坐标是(4,5)-，点C 的坐标是(0,5)-，又145102ABC S ∆=⨯⨯=，14482ACD S ∆=⨯⨯=, ∴18ABC ACD ABCD S S S ∆∆=+=四边形.（3）过点C 作CH AB ⊥，垂足为点H .∵1102ABC S AB CH ∆=⨯⨯=，52AB =,∴22CH =. 在Rt BCH ∆中，90BHC ∠=︒，26BC =，2232BH BC CH =-=,∴2tan 3CH CBH BH ∠==.在Rt BOE ∆中，90BOE ∠=︒，tan BOBEO EO∠=. ∵BEO ABC ∠=∠,∴23BO EO =，得32EO =.∴点E 的坐标为3(0,)2.25.如图所示，梯形ABCD 中，AB ∥DC ，90B ∠=︒，15AD =，16AB =，12BC =， 点E 是边AB 上的动点，点F 是射线CD 上一点，射线ED 和射线AF 交于点G ，且AGE DAB ∠=∠；（1）求线段CD 的长；（2）如果AEG ∆是以EG 为腰的等腰三角形，求线段AE 的长；（3）如果点F 在边CD 上（不与点C 、D 重合），设AE x =，DF y =，求y 关于x 的函 数解析式，并写出x 的取值范围.【解】（1）过点D 作DH AB ⊥，垂足为点H ,在Rt DAH ∆中，90AHD ∠=︒，15AD =，12DH =, ∴229AH AD DH =-=.又∵16AB =,∴7CD BH AB AH ==-=.（2）∵AEG DEA ∠=∠，又AGE DAE ∠=∠,∴AEG ∆∽DEA ∆.由AEG ∆是以EG 为腰的等腰三角形，可得DEA ∆是以AE 为腰的等腰三角形. ① 若AE AD =，∵15AD =,∴15AE =.② 若AE DE =，过点E 作EQ AD ⊥，垂足为点Q ,∴11522AQ AD ==. 在Rt DAH ∆中，90AHD ∠=︒，3cos 5AH DAH AD ∠==. 在Rt AEQ ∆中，90AQE ∠=︒，3cos 5AQ QAE AE ∠==,∴252AE =.综上所述：当AEG ∆是以EG 为腰的等腰三角形时，线段AE 的长为15或252. （3）在Rt DHE ∆中，90DHE ∠=︒，222212(9)DE DH EH x =+=+-.∵AEG ∆∽DEA ∆,∴AE EGDE AE =,∴22212(9)x EG x =+-,∴2222212(9)12(9)x DG x x =+--+-.∵DF ∥AE ,∴DF DG AE EG =，222212(9)y x x x x +--=, ∴22518x y x -=，x 的取值范围为2592x <<.。