2018-2019学年吉林省白城市高二下学期阶段测试数学（理）试题

白城一中2018---2019学年度下学期阶段考试
高二数学试卷(理科)
考试说明:（1）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，
考试时间为120分钟；
（2）第Ⅰ卷，第Ⅱ卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡. 第Ⅰ卷 (选择题，共60分)
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的，将正确答案的选项填涂在答题卡上.）
1.已知ξ～B ⎝
⎛
⎭
⎪⎫4，13，并且η＝2ξ＋3，则方差D (η)＝( )
A.329
B.89
C.439
D.599
2.设X ～N (1,1)，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD
中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是( )
(注：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X <μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝95.44%.)
A ．7539
B ．6038
C ．7028
D ．6587
3.执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x 的值为7，第二次输入
的x 的值为9，则第一次、第二次输出的a 的值分别为( )
A ．0,0
B ．1,1
C ．0,1
D ．1,0
4.学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了n位同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在[10,50)(单位：元)，其中支出在[30,50)(单位：元)的同学有67人，其频率分布直方图如图所示，则n的值为()
A．100 B．120 C．130 D．390 5.．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)(n≥2，x1，x2，…，x n
不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i，y i)(i＝1,2，…，n)都在直线y
＝1
2x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为()
A．－1 B．0 C.1
2D．1
6. (2－x)8展开式中不含x4项的系数的和为()
A．－1 B．0 C．1 D．2
7. 在极坐标系中，直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
θ＋π4＝2被圆ρ＝4截得的弦长为( )
A ．2 2
B ．2 3
C ．4 2
D ．43
8.甲乙等4人参加4×100米接力赛，在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是( )
A.29
B.49
C.23
D.7
9
9.如图，扇形AOB 的圆心角为120°，点P 在弦AB 上，且AP ＝1
3AB ，延长OP 交
弧AB 于点C ，现向扇形AOB 内投一点，则该点落在扇形AOC 内的概率为( )
A.14
B.13
C.27
D.38 10.(2＋3
x )100的展开式中，无理项的个数是( )
A ．83
B ．84
C ．85
D ．86
11.在区间[0,4]上随机取两个实数x ，y ，使得x ＋2y ≤8的概率为( )
A.14
B.316
C.619
D.34
12.10.将“福”“禄”“寿”填入到如图所示的4×4小方格中，每格内只填入一
个汉字，且任意的两个汉字既不同行也不同列，则不同的填写方法有( )
A ．288种
B ．144种
C ．576种
D ．96种
第Ⅱ卷(非选择题，满分90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将正确答案写在答题卡的相应位置上.
13.椭圆x 2
4＋y 2＝1经过伸缩变换⎩⎪⎨
⎪⎧
x ′＝12x ，y ′＝y
后的曲线方程是________．
14.如图是某算法的程序框图，当输出的结果T >70时，正整数n 的最小值是________．
15. 使2312n
x x ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭(n ∈N *)的展开式中含有常数项的n 的最小值是________．
16.已知一个公园的形状如图所示，现有3种不同的植物要种在此公园的A ，B ，
C ，
D ，
E 这五个区域内，要求有公共边界的两块相邻区域种不同的植物，则不同的种法共有________种．
三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程
书写在答题纸的相应位置.）
17．（本题满分10分）PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物(也
称可入肺颗粒物)．为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与PM2.5浓度的数据如下表：
(1)根据上表数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (2)若周六同一时间段车流量是200万辆，试根据(1)求出的线性回归方程预测，此时PM2.5的浓度为多少？
( 参考公式：b ^＝∑n
i ＝1 (x i －x )(y i －y )∑n i ＝1 (x i －x )2
，a ^＝y －b ^x ；参考数据：∑5i ＝1x i ＝540，∑5i ＝1y i ＝420 )
18.（本题满分12分）在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ 和
直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
θ－π4＝22.
①求圆O 和直线l 的直角坐标方程；
②当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标．
19．（本题满分12分）有4
个不同的球，四个不同的盒子，把球全部放入盒内．
(1)共有多少种放法？
(2)恰有一个盒子不放球，有多少种放法？ (3)恰有一个盒内放2个球，有多少种放法？ (4)恰有两个盒子不放球，有多少种放法？
20.（本题满分12分）已知(x －
3
x )n 的二项展开式中所有奇数项的二项式系数之
和为512.
(1)求展开式中的所有有理项；
(2)求(1－x )3＋(1－x )4＋…＋(1－x )n 的展开式中x 2的系数．
21．（本题满分12分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为：2
2
14
y x +=，将曲线C 1经过伸缩变换⎩⎨⎧
x ′＝2x ，
y ′＝y 后得到曲线C 2.在以原点为极点，x 轴正半轴为
极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ－10＝0.
(1)说明曲线C 2是哪一种曲线，并将曲线C 2的方程化为极坐标方程； (2)已知点M 是曲线C 2上的任意一点，求点M 到直线l 的距离的最大值和最小值．
22．（本题满分12分）.高铁、网购、移动支付和共享单车被誉为中国的“新四
大发明”，彰显出中国式创新的强劲活力．某移动支付公司从我市移动支
付用户中随机抽取100名进行调查，得到如下数据：
(1)把每周使用移动支付超过3次的用户称为“移动支付活跃用户”，请完成下列2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为是否为“移动支付活跃用户”与性别有关？
(2)把每周使用移动支付6次及6次以上的用户称为“移动支付达人”，
视频率为概率，在我市所有“移动支付达人”中随机抽取4名用户．①求抽取的4名用户中，既有男“移动支付达人”，又有女“移动支付达
人”的概率；
②为了鼓励男性用户使用移动支付，对抽出的男“移动支付达人”每人奖励
300元，记奖励总金额为X，求X的分布列及数学期望．
附公式及表如下：
K2＝n(ad－bc)2
(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)
.
白城一中 2018--2019学年下学期高二阶段考试
数学 参考答案(理科)
一、选择题：1—5ADDAD 6--10 BDDAB 11—12 DC 二、填空题：13.x 2＋y 2＝1 14. 4 15. 5 16.18 三、解答题：17. (本小题满分10分) 解： (1)由条件可知，
x ＝15∑5i ＝1xi ＝5405＝108，y ＝15∑5i ＝1yi ＝4205
＝84，
∑5
i ＝
1 (xi －x )(yi －y )＝(－8)×(－6)＋(－6)×(－4)＋0×0＋6×4＋8×6＝144， ∑5
i ＝1 (xi －x )2＝(－8)2＋(－6)2＋02＋62＋82＝200. b ^＝
∑5i ＝1 xi －x yi －y ∑5i ＝
1 xi －x
2
＝144
200
＝0.72， a ^＝y －b ^
x ＝84－0.72×108＝6.24， 故y 关于x 的线性回归方程为y ^
＝0.72x ＋6.24.
(2)当x ＝200时，y ^
＝0.72×200＋6.24＝150.24，所以可以预测此时PM2.5的浓度约为150.24微克/立方米．………………10分 18．(本小题满分12分)
解： ①由ρ＝cosθ＋sinθ，得ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ， 圆O 的直角坐标方程为x2＋y2＝x ＋y ， 即x2＋y2－x －y ＝0.
由ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2
2
，得ρsinθ－ρcosθ＝1， 则直线l 的直角坐标方程为y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.
②由⎩⎪⎨⎪⎧ x2＋y2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝0，
y ＝1，
故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标
为⎝⎛⎭
⎫1，π
2.………12分
19．(本小题满分12分) 解：
(1)一个球一个球的放到盒子里去，每只球都有4种独立的放法，由分步乘法计数原理知，放法共
有44＝256种．
(2) 为保证“恰有一个盒子不放球”，先从四个盒子中任意拿出去1个，即将4个球分成2,1,1
的三组， 有C24种分法；然后再从三个盒子中选一个放两个球，其余两个球，两个盒子，全排列即可．由分
步乘法计数原理知，共有放法C14C24C13A22＝144种．
(3) “恰有一个盒子内放2个球”，即另外三个盒子中恰有一个空盒．因此，“恰有一个盒子放2球”与
有一个盒子不放球”是一回事．故也有144种放法． (4) 先从四个盒子中任取两个有C24种，问题转化为：“4个球，两个盒子，每盒必放球，有几种放法？”
从放球数目看，可分为(3,1)，(2,2)两类．第一类：可从4个球中先选3个，然后放入指定的一个盒
子中即可，有C34·C12种放法；第二类：有C24种放法．因此共有C34C12＋C24＝14种．由分步乘法计
数原理得“恰有两个盒子不放球”的放法有C24·14＝84种． 20(本小题满分12分) 解
………12分
21．(本小题满分12分)
解：解 (1)因为曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝cos α，
y ＝2sin α(α为参数)，
且⎩⎨⎧ x ′＝2x ，y ′＝y ，所以曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝2cos α，
y ＝2sin α， 所以C 2的普通方程为x 2＋y 2＝4， 所以C 2为圆心在原点，半径为2的圆， 所以C 2的极坐标方程为ρ2＝4，即ρ＝2(θ∈R )．
(2)解法一：直线l 的直角坐标方程为x －y －10＝0，设M (2cos α，2sin α)(α为参数)．
曲线C 2上的点M 到直线l 的距离
d ＝|2cos α－2sin α－10|2＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－102
.
当cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α＋π4＝1，即α＝2k π－π4(k ∈Z )时，d 取得最小值，为|22－10|2＝52
－2.
当cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α＋π4＝－1，即α＝3π4＋2k π(k ∈Z )时，d 取得最大值，为
|－22－10|2＝2＋5 2.
解法二：直线l 的直角坐标方程为x －y －10＝0. 因为圆C 2的半径r ＝2，且圆心到直线l 的距离 d ＝|0－0－10|2＝52>2，
所以直线l 与圆C 2相离．
所以圆C 2上的点M 到直线l 的距离的最大值为d ＋r ＝52＋2，最小值为d －r ＝52－2.
22．(本小题满分12分)
解 (1)由表格数据可得2×2列联表如下：
将列联表中的数据代入公式计算得
K 2＝n (ad －bc )
2
(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )
＝100×(25×40－15×20)240×60×55×45
＝2450297≈8.249.
所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下，能认为是否为“移动支付活跃用户”与性别有关．
(2)视频率为概率，在我市“移动支付达人”中随机抽取1名用户，该用户为男“移动支付达人”的概率为13，女“移动支付达人”的概率为2
3.
①抽取的4名用户中，既有男“移动支付达人”，又有女“移动支付达人”的概率为
P ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫134－⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝6481. ②记抽出的男“移动支付达人”人数为Y ，则X ＝300Y .由题意得Y ～B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫4，13，P (Y ＝0)＝C 04⎝ ⎛⎭⎪⎫130⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝1681；P (Y ＝1)＝C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫131⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝3281；P (Y ＝2)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭
⎪⎫232＝2481；P (Y ＝3)＝
C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫133⎝ ⎛⎭⎪⎫231＝881；P (Y ＝4)＝C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫134⎝ ⎛⎭
⎪⎫230＝181. 所以Y 的分布列为
所以X 的分布列为
由E (Y )＝4×13＝43，得X 的数学期望E (X )＝300E (Y )＝400。