4.5均匀加宽工作物质的增益系数
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2 A 0 ~ ( , ) gH ( 1 ) n0 21 ( 1, 0 ) n0 21 2 g H 1 0 8 0
0 gH ( 1 ) g H ( 1 , I1 ) I1 1 I s ( 1 )
在 I I s (1 ) 的小信号情况下，增益系数与入 0 ( 1 ) 射光强无关。小信号增益系数为 gH 当 I 可与Is(1)比拟时，gH (1, I ) 的值将随 I 的 增加而减少。这就是增益饱和现象。 0 g ( , I ) g 1 ) 2 若 I I s (1 ) ，则 H 1 H( 在相同的入射光强下，入射光频率为中心频 率时饱和效应最强，偏离中心频率越远，饱 和效应越弱。
1
1
1
I1 1 I s ( 1 )
I1 1 I s ( 1 )
频率为1的强光不仅使自身的增益系数下降，也 使其它频率的弱光的增益也以同等程度下降。 在均匀加宽谱线情况下，由于每个粒子对谱线不 同频率处的增益都有贡献，所以当某一频率（1） 的受激辐射消耗了激发态的粒子时，也就减少了 对其它频率（）信号起作用的粒子数。结果导 致增益在整个谱线上均匀下降。在均匀激光器中， 当一个模振荡后，就会使其它模的增益降低，因 而阻止了其它模的振荡。
中心频率小信号增益系数决定于工作物质特性 及激发速率，可由实验测出。
强光入射时弱光的增益系数
问题：设有一频率为1、光强为 I 的强光入 射，同时还有一频率为的弱光入射，求弱 光的增益系数 gH ( , I ) ？ 对均匀加宽工作物质，强光入射会引起反转 集居数密度n的下降，而n的下降又导致弱 光增益系数的下降。 0 n 0 21 ( , 0 ) gH ( ) g H ( , I ) n 21 ( , 0 )
1
Is(1)的值取决于增益物质的性质和入射光频率， 可由实验测出。中心频率处的饱和光强Is。
如果该均匀加宽工作物质具有洛伦兹 线型
A21 2 ~ 21 (1, 0 ) g (1, 0 ) 2 8 0
H 1 ~ g H ( 1, 0 ) 2 ( )2 ( H )2 1 0 2
dt dt dt
一般四能级系统中，S10>>W03，S32>>W03，A30<<S32
dn3 n0W03 n3 ( S 32 A30 ) dt dn0 n1S10 n0W03 n3 A30 dt
n3S32 n0W03 n3 0
W03 n1 n0 0 S10
nn2
4.5 均匀加宽工作物质的增益系数
通常用增益系数来描述经过单位距离后光强的增 长率。设在z处光强为I(z)，z+dz处光强为 dI ( z ) I(z)+dI(z)，则增益系数定义为
g I ( z )dz
考虑四能级系统，并 且在讨论受激辐射引 起的增益时不计损耗
dN n 21 ( , 0 )N dt
2
I H 2 ) [1 1 ] 2 Is (
H 2
A21 2 2 n 2 8 0 H
0
H 2 ) 2 I1 H 2 2 ( 1 0 ) ( ) [1 ] 2 Is (
H 2 ) ( H )2 0 2 2 n 0 21 gH ( 0 ) I I ( 1 0 ) 2 ( H ) 2 [1 1 ] ( 1 0 ) 2 ( H ) 2 [1 1 ] 2 Is 2 Is
1
1
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1
1
1
小信号增益系数和入射频率有关，其形状完 ~( , ) 全取决于线型函数 g 1 0 0 gH ( 1 ) 与入射光频率 的关系曲线，称为小信 1 号增益曲线
若线型函数为洛伦兹线型
A21 2 ~ g H ( 1 , I 1 ) n 21 ( 1 , 0 ) n g H ( 1 , 0 ) 2 8 0 ( 1 0 ) 2 ( ( 1 0 ) 2 ( H 2 ) 2 n 0 A21 2 8 0 ( 1 0 ) 2 ( H ) 2 2
非均匀加宽工作物质
H 2 ( ) 2 A21 0~ 2 dg [n gi ( 0 , 0 )d 0 ] 2 2 I1 H H 2 4 0 2 ) ( ( 1 0 ) [1 ] 2 Is
总的增益系数应是具有各种表观中心频率的全部粒子 对增益贡献的总和。
0 gH ( )
H 2 ) 2
( 1 0 ) 2 ( ( 1 0 ) 2 (
I H 2 ) [1 1 ] 2 Is
H 2 ) 2
八 非均匀加宽工作物质的增益系数
一ຫໍສະໝຸດ 增益饱和~ ( , ) 对线型函数为 g i 0 的非均匀加宽工作物质， 必须将反转集居数密度n按表观中心频率分 类。设小信号情况下的反转集居数密度为n0， 则表观中心频率在0~ 0+d0范围内的粒子 的反转集居数密度为
n 0 2 A21 H 2 gi ( 1 , I1 ) dg 2 2 ( ) 0 4 0 H 2 ~ ( , )d g i 0 0 0 I1 H 2 2 ) ( ( 1 0 ) [1 ] 2 Is
非均匀加宽工作物质
h 1 h 0 21 ( 1, 0 ) 2 21 ( 1, 0 ) 2
n0称作小信号反转集居数密度 Is(1)是频率为1的强光对应的饱和 光强，具有光强的量纲
0 n n 在光强 I1 I s (1 ) 的小信号情况下， ；当I1 足 I1 越强，反转集居数密度减 够强时，将有n<n0 ，
目的：求频率为1、光强为 I 的准单色光入 射到均匀加宽工作物质时的增益系数 gH (1, I )
1
1
n 0 n I1 1 I s ( 1 )
A21 2 ~ g H ( 1, I1 ) n 21 ( 1, 0 ) n g H ( 1, 0 ) 2 8 0
H 2 ) 2 g H ( , I1 ) n 21 ( , 0 ) n 0 21 I1 H 2 H 2 2 2 ( ) ( ) ( 1 0 ) ( ) [1 ] 0 2 2 Is ( 1 0 ) 2 ( ( H 2 ) ( 1 0 ) 2 ( H ) 2 2 2 n 0 21 I1 H 2 2 ( 0 ) 2 ( H ) 2 ( 1 0 ) ( ) [1 ] 2 2 Is (
dn2 f2 (n2 n1 ) 21 ( 1 , 0 )N l n2 ( S21 A21 ) n3S32 dt f1
dn n n 21 ( 1 , 0 )N n0W03 dt 2
1 2 A21 S 21
其中2为能级E2寿命
在稳态时，有 中n0=n，
1 0 H
H 1 0
1
0
H
n 0 2 A21 H 2 ~ gi ( 1 , I1 ) ( ) gi ( 1 , 0 ) 2 2 4 0 H 2
d 0 I1 H 2 2 ) ( ( 1 0 ) [1 ] 2 Is
0 n 0 2 A21 g ~ ( , ) i ( 1 ) g i 1 0 2 8 0 1 I1 I s 1 I1 I s
非均匀加宽工作物质的增益饱和
I s ( 1 ) 4( 1 0 )2 1 Is ( H )2
Is
21 2
h 0
当1＝0时，
n 0 n 1 I 0 I s
中心频率处的饱和光强Is最小。入射光偏离 中心频率越大，所对应的饱和光强越大。 在相同的入射光强下，饱和光强越小，与 n0相比， n值下降越多，饱和效应越严重。 入射光频率为中心频率时饱和效应最强烈， 偏离中心频率越远，饱和效应越弱。中心频 率处受激辐射几率最大，入射光造成的反转 集居数下降越严重。
被积函数只在 2 的很小范围内才有显著值， 在 2 时趋近于零，将积分限由0~改换成- ~+而不影响积分结果。在非均匀加宽的情况下， ~ ( , ) D>>H ，在 2 的范围内可将 g i 0 0 近似地 ~ ( , ) 看成常数 g ，并将其提出积分号外 i 1 0
dz dt，得到增益系数的表达式为 由于 I ( z) Nh ， 2 A21 ~ g n 21 ( , 0 ) n g ( , 0 ) 2 8 0
一 反转集居数饱和
目的：在频率为1、光强为I1的入射光作用下， 求工作物质的反转集居数密度n。 dn0 dn2 dn3 在连续工作状态下，应有 0
少得越多，这种现象称为反转集居数的饱和。
饱和光强Is(1) the saturation intensity
饱和光强的物理意义：当入射光强度 I1 可以与 Is(1)比拟时，受激辐射造成的上能级集居数衰减 率就可以与其它弛豫过程（自发辐射及无辐射跃迁） I I s时， (1 ) n 与 造成的衰减相比拟。因此当 光强无关；当 I可与 Is(1)比拟时， n随 I 的增 1 1 0 n n 2 加而减小。当 I ＝ 1 Is(1)时，
1?11?11??sii?21011???hhgig??小信号增益系数和入射频率有关其形状完全取决于线型函数?与入射光频率?的关系曲线称为小信01??g0?g?与入射光频率?1的关系曲线称为小信号增益曲线1?hg若线型函数为洛伦兹线型28281222102201012022101211hhhhanigannig???????????????????????????????122122122282812111122012002201221022012202210220102201shhhshhshhhhshiigiiniianii????????????????????????????????????????????????????????????其中为中心频率处的小信号增益系数00?hghhanng???????????20221202100042030?nwn???小信号增益系数与光强无关可表示为22012001022hhhhgg???????????中心频率小信号增益系数决定于工作物质特性及激发速率可由实验测出
dn 0 dt
，并考虑到四能级系统 nW03 2 n 1 21 ( 1 , 0 )2 N
nW03 2 n 1 21 ( 1 , 0 )2 N
n0 nW03 2
I s ( 1 )
I Nh
n 0 n I1 1 I s ( 1 )
不同频率的入射光对反转集居数密度的影响 H 2 是不同的。 2 ( ) ( )
n
1 0
I1 H 2 ( 1 0 ) ( ) [1 ] 2 Is
2
2
n 0
当
I1 H 1 0 1 Is 2
，才有显著的饱和效应。
二 增益饱和 (Gain Saturation)
0 g ( ) 其中 H 0
为中心频率处的小信号增益系数
n0 nW03 2
2 A 0 gH ( 0 ) n0 21 n0 2 2 21 4 0 H
小信号增益系数与光强无关，可表示为
H 2 ) 0 0 2 gH ( 1 ) g H ( 0 ) ( 1 0 ) 2 ( H ) 2 2 (
~ ( , )d )d 0 n g n ( 0 i 0 0 0
0 0
对于纯粹的非均匀加宽工作物质来说，表观中心 频率为0的粒子发射频率为0的单色光。 在实际工作物质中，还同时存在均匀加宽因素 （任何粒子都具有自发辐射，因而都具有属于均 匀加宽的自然加宽）。所以频率在0~ 0+d0范 围内的粒子发射一条中心频率为0、线宽为H的 均匀加宽谱线。若有频率为1、光强为 I1 的光入射， 则这部分粒子对增益的贡献dg可按均匀加宽增益 系数的表达式计算（假设其均匀加宽可用洛伦兹 线型描述）
0 gH ( 1 ) g H ( 1 , I1 ) I1 1 I s ( 1 )
在 I I s (1 ) 的小信号情况下，增益系数与入 0 ( 1 ) 射光强无关。小信号增益系数为 gH 当 I 可与Is(1)比拟时，gH (1, I ) 的值将随 I 的 增加而减少。这就是增益饱和现象。 0 g ( , I ) g 1 ) 2 若 I I s (1 ) ，则 H 1 H( 在相同的入射光强下，入射光频率为中心频 率时饱和效应最强，偏离中心频率越远，饱 和效应越弱。
1
1
1
I1 1 I s ( 1 )
I1 1 I s ( 1 )
频率为1的强光不仅使自身的增益系数下降，也 使其它频率的弱光的增益也以同等程度下降。 在均匀加宽谱线情况下，由于每个粒子对谱线不 同频率处的增益都有贡献，所以当某一频率（1） 的受激辐射消耗了激发态的粒子时，也就减少了 对其它频率（）信号起作用的粒子数。结果导 致增益在整个谱线上均匀下降。在均匀激光器中， 当一个模振荡后，就会使其它模的增益降低，因 而阻止了其它模的振荡。
中心频率小信号增益系数决定于工作物质特性 及激发速率，可由实验测出。
强光入射时弱光的增益系数
问题：设有一频率为1、光强为 I 的强光入 射，同时还有一频率为的弱光入射，求弱 光的增益系数 gH ( , I ) ？ 对均匀加宽工作物质，强光入射会引起反转 集居数密度n的下降，而n的下降又导致弱 光增益系数的下降。 0 n 0 21 ( , 0 ) gH ( ) g H ( , I ) n 21 ( , 0 )
1
Is(1)的值取决于增益物质的性质和入射光频率， 可由实验测出。中心频率处的饱和光强Is。
如果该均匀加宽工作物质具有洛伦兹 线型
A21 2 ~ 21 (1, 0 ) g (1, 0 ) 2 8 0
H 1 ~ g H ( 1, 0 ) 2 ( )2 ( H )2 1 0 2
dt dt dt
一般四能级系统中，S10>>W03，S32>>W03，A30<<S32
dn3 n0W03 n3 ( S 32 A30 ) dt dn0 n1S10 n0W03 n3 A30 dt
n3S32 n0W03 n3 0
W03 n1 n0 0 S10
nn2
4.5 均匀加宽工作物质的增益系数
通常用增益系数来描述经过单位距离后光强的增 长率。设在z处光强为I(z)，z+dz处光强为 dI ( z ) I(z)+dI(z)，则增益系数定义为
g I ( z )dz
考虑四能级系统，并 且在讨论受激辐射引 起的增益时不计损耗
dN n 21 ( , 0 )N dt
2
I H 2 ) [1 1 ] 2 Is (
H 2
A21 2 2 n 2 8 0 H
0
H 2 ) 2 I1 H 2 2 ( 1 0 ) ( ) [1 ] 2 Is (
H 2 ) ( H )2 0 2 2 n 0 21 gH ( 0 ) I I ( 1 0 ) 2 ( H ) 2 [1 1 ] ( 1 0 ) 2 ( H ) 2 [1 1 ] 2 Is 2 Is
1
1
1
1
1
1
小信号增益系数和入射频率有关，其形状完 ~( , ) 全取决于线型函数 g 1 0 0 gH ( 1 ) 与入射光频率 的关系曲线，称为小信 1 号增益曲线
若线型函数为洛伦兹线型
A21 2 ~ g H ( 1 , I 1 ) n 21 ( 1 , 0 ) n g H ( 1 , 0 ) 2 8 0 ( 1 0 ) 2 ( ( 1 0 ) 2 ( H 2 ) 2 n 0 A21 2 8 0 ( 1 0 ) 2 ( H ) 2 2
非均匀加宽工作物质
H 2 ( ) 2 A21 0~ 2 dg [n gi ( 0 , 0 )d 0 ] 2 2 I1 H H 2 4 0 2 ) ( ( 1 0 ) [1 ] 2 Is
总的增益系数应是具有各种表观中心频率的全部粒子 对增益贡献的总和。
0 gH ( )
H 2 ) 2
( 1 0 ) 2 ( ( 1 0 ) 2 (
I H 2 ) [1 1 ] 2 Is
H 2 ) 2
八 非均匀加宽工作物质的增益系数
一ຫໍສະໝຸດ 增益饱和~ ( , ) 对线型函数为 g i 0 的非均匀加宽工作物质， 必须将反转集居数密度n按表观中心频率分 类。设小信号情况下的反转集居数密度为n0， 则表观中心频率在0~ 0+d0范围内的粒子 的反转集居数密度为
n 0 2 A21 H 2 gi ( 1 , I1 ) dg 2 2 ( ) 0 4 0 H 2 ~ ( , )d g i 0 0 0 I1 H 2 2 ) ( ( 1 0 ) [1 ] 2 Is
非均匀加宽工作物质
h 1 h 0 21 ( 1, 0 ) 2 21 ( 1, 0 ) 2
n0称作小信号反转集居数密度 Is(1)是频率为1的强光对应的饱和 光强，具有光强的量纲
0 n n 在光强 I1 I s (1 ) 的小信号情况下， ；当I1 足 I1 越强，反转集居数密度减 够强时，将有n<n0 ，
目的：求频率为1、光强为 I 的准单色光入 射到均匀加宽工作物质时的增益系数 gH (1, I )
1
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n 0 n I1 1 I s ( 1 )
A21 2 ~ g H ( 1, I1 ) n 21 ( 1, 0 ) n g H ( 1, 0 ) 2 8 0
H 2 ) 2 g H ( , I1 ) n 21 ( , 0 ) n 0 21 I1 H 2 H 2 2 2 ( ) ( ) ( 1 0 ) ( ) [1 ] 0 2 2 Is ( 1 0 ) 2 ( ( H 2 ) ( 1 0 ) 2 ( H ) 2 2 2 n 0 21 I1 H 2 2 ( 0 ) 2 ( H ) 2 ( 1 0 ) ( ) [1 ] 2 2 Is (
dn2 f2 (n2 n1 ) 21 ( 1 , 0 )N l n2 ( S21 A21 ) n3S32 dt f1
dn n n 21 ( 1 , 0 )N n0W03 dt 2
1 2 A21 S 21
其中2为能级E2寿命
在稳态时，有 中n0=n，
1 0 H
H 1 0
1
0
H
n 0 2 A21 H 2 ~ gi ( 1 , I1 ) ( ) gi ( 1 , 0 ) 2 2 4 0 H 2
d 0 I1 H 2 2 ) ( ( 1 0 ) [1 ] 2 Is
0 n 0 2 A21 g ~ ( , ) i ( 1 ) g i 1 0 2 8 0 1 I1 I s 1 I1 I s
非均匀加宽工作物质的增益饱和
I s ( 1 ) 4( 1 0 )2 1 Is ( H )2
Is
21 2
h 0
当1＝0时，
n 0 n 1 I 0 I s
中心频率处的饱和光强Is最小。入射光偏离 中心频率越大，所对应的饱和光强越大。 在相同的入射光强下，饱和光强越小，与 n0相比， n值下降越多，饱和效应越严重。 入射光频率为中心频率时饱和效应最强烈， 偏离中心频率越远，饱和效应越弱。中心频 率处受激辐射几率最大，入射光造成的反转 集居数下降越严重。
被积函数只在 2 的很小范围内才有显著值， 在 2 时趋近于零，将积分限由0~改换成- ~+而不影响积分结果。在非均匀加宽的情况下， ~ ( , ) D>>H ，在 2 的范围内可将 g i 0 0 近似地 ~ ( , ) 看成常数 g ，并将其提出积分号外 i 1 0
dz dt，得到增益系数的表达式为 由于 I ( z) Nh ， 2 A21 ~ g n 21 ( , 0 ) n g ( , 0 ) 2 8 0
一 反转集居数饱和
目的：在频率为1、光强为I1的入射光作用下， 求工作物质的反转集居数密度n。 dn0 dn2 dn3 在连续工作状态下，应有 0
少得越多，这种现象称为反转集居数的饱和。
饱和光强Is(1) the saturation intensity
饱和光强的物理意义：当入射光强度 I1 可以与 Is(1)比拟时，受激辐射造成的上能级集居数衰减 率就可以与其它弛豫过程（自发辐射及无辐射跃迁） I I s时， (1 ) n 与 造成的衰减相比拟。因此当 光强无关；当 I可与 Is(1)比拟时， n随 I 的增 1 1 0 n n 2 加而减小。当 I ＝ 1 Is(1)时，
1?11?11??sii?21011???hhgig??小信号增益系数和入射频率有关其形状完全取决于线型函数?与入射光频率?的关系曲线称为小信01??g0?g?与入射光频率?1的关系曲线称为小信号增益曲线1?hg若线型函数为洛伦兹线型28281222102201012022101211hhhhanigannig???????????????????????????????122122122282812111122012002201221022012202210220102201shhhshhshhhhshiigiiniianii????????????????????????????????????????????????????????????其中为中心频率处的小信号增益系数00?hghhanng???????????20221202100042030?nwn???小信号增益系数与光强无关可表示为22012001022hhhhgg???????????中心频率小信号增益系数决定于工作物质特性及激发速率可由实验测出
dn 0 dt
，并考虑到四能级系统 nW03 2 n 1 21 ( 1 , 0 )2 N
nW03 2 n 1 21 ( 1 , 0 )2 N
n0 nW03 2
I s ( 1 )
I Nh
n 0 n I1 1 I s ( 1 )
不同频率的入射光对反转集居数密度的影响 H 2 是不同的。 2 ( ) ( )
n
1 0
I1 H 2 ( 1 0 ) ( ) [1 ] 2 Is
2
2
n 0
当
I1 H 1 0 1 Is 2
，才有显著的饱和效应。
二 增益饱和 (Gain Saturation)
0 g ( ) 其中 H 0
为中心频率处的小信号增益系数
n0 nW03 2
2 A 0 gH ( 0 ) n0 21 n0 2 2 21 4 0 H
小信号增益系数与光强无关，可表示为
H 2 ) 0 0 2 gH ( 1 ) g H ( 0 ) ( 1 0 ) 2 ( H ) 2 2 (
~ ( , )d )d 0 n g n ( 0 i 0 0 0
0 0
对于纯粹的非均匀加宽工作物质来说，表观中心 频率为0的粒子发射频率为0的单色光。 在实际工作物质中，还同时存在均匀加宽因素 （任何粒子都具有自发辐射，因而都具有属于均 匀加宽的自然加宽）。所以频率在0~ 0+d0范 围内的粒子发射一条中心频率为0、线宽为H的 均匀加宽谱线。若有频率为1、光强为 I1 的光入射， 则这部分粒子对增益的贡献dg可按均匀加宽增益 系数的表达式计算（假设其均匀加宽可用洛伦兹 线型描述）