2020届高考数学(文科)总复习课时跟踪练：(四十九)圆的方程 Word版含解析(

课时跟踪练(四十九)
A 组 基础巩固
1．(2019·合肥模拟)已知圆C ：(x －6)2＋(y －8)2＝4，O 为坐标原点，则以OC 为直径的圆的方程为( )
A ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝100
B ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝100
C ．(x －3)2＋(y －4)2＝25
D ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝25
解析：圆C 的圆心的坐标C (6，8)，
则OC 的中点坐标为E (3，4)，
则所求圆的半径|OE |＝32＋42＝5，
则以OC 为直径的圆的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25.
故选C.
答案：C
2．方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫23，＋∞ B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－23，0 C ．(－2，0)
D.⎝
⎛⎭⎪⎫－2，23 解析：方程为⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋a 22＋(y ＋a )2＝1－a －3a 24表示圆，则1－a －
3a 24>0，解得－2<a <23
. 答案：D
3．(2019·东莞模拟)平面内动点P 到两点A 、B 距离之比为常数λ(λ＞0，且λ≠1)，则动点P 的轨迹叫做阿波罗尼斯圆，若已知A (－
2，0)，B (2，0)，λ＝12
，则此阿波罗尼斯圆的方程为( ) A ．x 2＋y 2－12x ＋4＝0
B ．x 2＋y 2＋12x ＋4＝0
C ．x 2＋y 2－203x ＋4＝0
D ．x 2＋y 2＋203
x ＋4＝0 解析：由题意，设P (x ，y )，则（x ＋2）2＋y 2（x －2）2＋y 2＝12
， 化简可得x 2＋y 2
＋203x ＋4＝0，故选D. 答案：D
4．(2019·珠海四校联考)已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的标准方程为( )
A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2
B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2
C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2
D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2
解析：设圆心坐标为(a ，－a )，则
|a －（－a ）|2＝|a －（－a ）－4|2
，即 |a |＝|a －2|，解得a ＝1.
故圆心坐标为(1，－1)，半径r ＝22
＝ 2. 故圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.故选B.
答案：B
5．已知M(2，1)，P为圆C：x2＋y2＋2y－3＝0上的动点，则|PM|的取值范围为()
A．[1，3] B．[22－2，22＋2]
C．[22－1，22＋1] D．[2，4]
解析：依题意设P(x，y)，化圆C的一般方程为标准方程得x2＋(y＋1)2＝4，圆心为C(0，－1)，因为|MC|＝4＋4＝22＞2，所以点M(2，1)在圆外，所以22－2≤|PM|≤22＋2，故|PM|的取值范围为[22－2，22＋2]．
答案：B
6．圆心在直线x＝2上的圆与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则该圆的标准方程为________________．
解析：由已知，得圆心的纵坐标为－4＋（－2）
2＝－3，
所以圆心为(2，－3)，
则半径r＝（2－0）2＋[（－3）－（－2）]2＝5，
故所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.
答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝5
7．已知点M(1，0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是________．
解析：圆C：x2＋y2－4x－2y＝0的圆心为C(2，1)，
则k CM＝1－0
2－1
＝1，
因为过点M的最短弦与CM垂直，所以最短弦所在直线的方程为y－0＝－1(x－1)，即x＋y－1＝0.
答案：x＋y－1＝0
8．在平面直角坐标系xOy 中，以点(1，0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．
解析：直线mx －y －2m －1＝0经过定点(2，－1)．
当圆与直线相切于点(2，－1)时，圆的半径最大，此时半径r 满足r 2＝(1－2)2＋(0＋1)2＝2.
此时圆的方程为(x －1)2＋y 2＝2.
答案：(x －1)2＋y 2＝2
9．[一题多解]求适合下列条件的圆的方程．
(1)圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)；
(2)过三点A (1，12)，B (7，10)，C (－9，2)．
解：(1)法一 设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4a ，
（3－a ）2＋（－2－b ）2＝r 2，|a ＋b －1|2＝r ， 解得a ＝1，b ＝－4，r ＝2 2.
所以圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.
法二 过切点且与x ＋y －1＝0垂直的直线为y ＋2＝x －3，与y ＝－4x 联立可求得圆心为(1，－4)．
所以半径r ＝（1－3）2＋（－4＋2）2＝22，
所以所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.
(2)设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，
则⎩⎪⎨⎪⎧1＋144＋D ＋12E ＋F ＝0，49＋100＋7D ＋10E ＋F ＝0，81＋4－9D ＋2E ＋F ＝0，
解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－95.
所以所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －95＝0.
10．[一题多解](2019·衡水中学调研)已知直角三角形ABC 的斜边为AB ，且A (－1，0)，B (3，0)．求：
(1)直角顶点C 的轨迹方程；
(2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程．
解：(1)法一 设C (x ，y )，因为A ，B ，C 三点不共线，所以y ≠0.
因为AC ⊥BC ，所以k AC ·k BC ＝－1，又k AC ＝
y x ＋1，k BC ＝y x －3
，所以y x ＋1·y x －3
＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0. 因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(y ≠0)．
法二 设AB 的中点为D ，由中点坐标公式得D (1，0)，由直角
三角形的性质知|CD |＝12
|AB |＝2.由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点)．
所以直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)．
(2)设M (x ，y )，C (x 0，y 0)，因为B (3，0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝x 0＋32，y ＝y 0＋02，所以x 0＝2x －3，y 0＝2y . 由(1)知，点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)，将x 0＝2x －3，y 0＝2y 代入得(2x －4)2＋(2y )2＝4，即(x －2)2＋y 2＝1.
因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0)．
B 组 素养提升
11．(2019·莆田模拟)已知圆O ：x 2＋y 2＝1.若A 、B 是圆O 上的不同两点，以AB 为边作等边△ABC ，则|OC |的最大值为 ( ) A.2＋62
B. 3 C ．2 D.3＋1
解析：如图所示，连OA ，OB 和OC .
因为OA ＝OB ，AC ＝BC ，OC ＝OC ，
所以OAC ≌△OBC ，所以∠ACO ＝∠BCO ＝30°，
在△OAC 中，由正弦定理得OA sin 30°＝OC sin ∠OAC
， 所以OC ＝2sin ∠OAC ≤2，
故|OC |的最大值为2，故选C.
答案：C
12．(2019·安庆模拟)自圆C ：(x －3)2＋(y ＋4)2＝4外一点P (x ，y )引该圆的一条切线，切点为Q ，PQ 的长度等于点P 到原点O 的距离，则点P 的轨迹方程为( )
A ．8x －6y －21＝0
B ．8x ＋6y －21＝0
C ．6x ＋8y －21＝0
D ．6x －8y －21＝0
解析：由题意得，圆心C 的坐标为(3，－4)，半径r ＝2，如图．
因为|PQ |＝|PO |，且PQ ⊥CQ ，所以|PO |2＋r 2＝|PC |2，
所以x 2＋y 2＋4＝(x －3)2＋(y ＋4)2，
即6x －8y －21＝0，所以点P 的轨迹方程为6x －8y －21＝0，故选D.
答案：D
13．已知平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋2y －4≤0，恰好被面积最小的圆C ：(x
－a )2＋(y －b )2＝r 2及其内部所覆盖，则圆C 的方程为________________．
解析：由题意知，此平面区域表示的是以O (0，0)，P (4，0)，Q (0，2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．
因为△OPQ 为直角三角形，
所以圆心为斜边PQ 的中点(2，1)，
半径r ＝|PQ |2＝5， 因此圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.
答案：(x －2)2＋(y －1)2＝5
14．已知圆C 过点P (1，1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r >0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．
(1)求圆C 的方程；
(2)设Q 为圆C 上的一个动点，求PQ →·MQ →
的最小值． 解：(1)设圆心C (a ，b )，
由已知得M (－2，－2)，
则⎩⎨⎧
a －22＋
b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1， 解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0， 则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2，将点P 的坐标代入得r 2＝2， 故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2.
(2)设Q (x ，y )，则x 2＋y 2＝2，
PQ →·MQ →
＝(x －1，y －1)·(x ＋2，y ＋2)
＝x 2＋y 2＋x ＋y －4＝x ＋y －2.
令x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，
所以PQ →·MQ →＝x ＋y －2 ＝2(sin θ＋cos θ)－2
＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫θ＋π4－2， 所以PQ →·MQ →的最小值为－4.。