一道课本习题的推广

- 6 , 同 理 可 得 : 直 线 G«',的 方 程 为 7
ib + 心，联
立方程解得
X
Ini
a y
n+
n
^2 所以
-
x a
b n+
(if r 2n i 、 'n2 + i2^
n n
-- A 2 = 1 ^h i2) "
即a〜
:i .这说明直线£足与直
线 g k ' 的 交 点 & |~n22~n+'~ii
/(«)
=
[2a:ln(x L
+
1 ) + % x+
1,
1 J
•a
+
\n{x
+ 1)
■y ,对任意的％( - 1, + 00 ) ，都 有 2%ln (% + 1)
〇，进而有 2%ln (% + 1) + x2 > 0♦
① 当 ; i; e
( 0 , 5 ) 时 ，a
<
1 2x\n(x
In (x + 1)
3t L C
页 s 组 第 3 题 ）：如 图 1,矩 形 ~ 兔 ----參f p ，
ABCZ) 中，I A B I = 8, I £ C I =
6 . £ ，F ,G ，丑 分 别 是 矩 形 四 条
；
边 的 中 点 ，/?，s ，r 是 线 段 O f
图1
的四等分点,K '，s '，r 是线段
程》中 的 一道椭圆习题（如 下 ）时 ，有 学 生 提 出 ：“能
否 将 其 推 广 到 一 般 情 形 ，是 否 具 有 某 种 规 律 ? ”课
后 ，笔 者 顺 利 地 将 其 推 广 到 椭 圆 和 双 曲 线 的 一 般 情
形 ，现 整 理 成 文 ，和同行交流.
1■题目
人 教 4 版 选 修 2 - 1 第 50 D_ 页 B 组 第 4 题 （选 修 1 - 1 P43
② 当 ％e
(-5,〇 )时 ，a
>
x +\ 2x\n{x
ln ( x + 1) + 1) + % -，当
§ —»•0 时 ，a 矣 lim x + \ ln (% + 1)
2%ln (^; + 1)
%
lim [L% ++ -1 1 心 + 1)]J' [2%ln (% + 1) + 丨 i ]
lim -2 (x + l )2ln (^; + 1) + 3x2 + Ax
Gi
c/v
轴 ，建 立 直 角 坐 标 系 则 '
(f '' h r
£(0, - b ),G (〇,b ),R X ~n, A — — 图2
26
中学数学研究
2019年第4 期
= 1 ，2,3 … ，n - 1 ) ，.••直线现;
的 斜 率 A：ERi 1ia = #ia ，则 直 线 £ ^ 的 方 程 为 y = la
'
2,3… ，n - 1 ) ，..•直线 £；& 的
图3
方 程 为 y = & - 6 , 同 理 可 得 : 直 线 Gi?',的方程为
x
2A ,；
k ：b
a
+ 6.联立方程解得
A， 所以
X_
A,
b ' 1 + A/
x a
(f )2
记 线 段 O F 的 r i 等 分 点 依 次 为 ^ 、均
，线段
C f 的^等分点依次为
.则诸直线
E R t 与 直 线 G R \ 的 交 叙 L ^ i = l ，2 , 3 ，--.，n - l ) 都
在同一椭圆上.
证 明 ：如 图 2 , 以丑F 所在 D—
n
直 线 为 x 轴 ，G£ 所 在 直 线 为 y
I B C I = 2 6 _ £ ，f ，G ，//分 别 是 矩 形 四 条 边 的 中 点 ，
线 段 与 线 段 的 交 点 为 0 , 尽 ，7?';分别 在线段
-► O f 和 线 段 C f 上 ，且 满 足 0/?, =
= A,
茂 ，则 诸 直 线 与 直 线 的 交 点 & ( i = 1 ，2,3,
+ 1) x2
当 § —»•0+ 时 ，
1 l n (% + 1)
lim
2%l n (% + 1)
x2
lim
x—>0 [2x\n(x + 1) + X 1
L
% + 1」
lim + 2 ( x + l )2ln ( x + l ) + 3x2 + Ax
3li^m0+ 4(% + l )ln (% + l ) + 2(% + l ) + 6 % + 4 x.
C f 的四等分点•请证明直线£ 尺 与 Gi?'、£；S 与 GS，
与 G r 的 交 点 L ，M ，7V 都在椭圆g16 + g9 = 1 上.
2.性质 性 质 1 : 如 图 2 , 矩 形 4 S C D 中，I M 丨= 2a ,
I B C I = 26.£；，f ，G ，丑 分 别 是 矩 形 四 条 边 的 中 点 ，
… ，n - 1 ) 都在同一椭圆上.
证 明 ：如 图 3 , 以 / ^ 所 在 ^
-
直 线 为 ％轴 ，G£ 所 在 直 线 为 y
轴 ，建 立 直 角 坐 标 系 *〇y ，则 ~ £(0, - 6) ,G(0,6) , ^ ( A ,a , A^
0 ), R'!(a ,(l ~ A i)b)(i = 1,
________________ 4(% + l )ln (% + l ) + 2(% + l ) + 6 % + 4 _x "6"'
综 上 ，a = -士 .
道课本习题Байду номын сангаас推广
广 东 省 惠 州 市 实 验 中 学 （5 1 6 0 0 8 ) 邱礼明
笔 者 在 讲 解 人 教 4 版 选 修 2 - 1 《圆锥曲线与方
n2 》n 2
+,
ii.-22-6) ( Z
=
1 ，2 ，3 … ，
2
2
n
-
1 } 都在同一椭圆^ a
+
合 〇
i 上.得证.
性 质 i 是 将 线 段 〃 等 分 ，得 到 的 是 有 限 个 交 点 ， 作 出 的 点 是 孤 立 的 点 ，让 直 线 连 续 运 动 ，则交点有无
限 个 ，得 到 的 是 光 滑 的 ！ 性 质 2 : 如 图 3 , 矩 形 中 ，I 丨= 2a ，
2019年第4 期
中学数学研究
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尝 试 二 ：若 * = 0 是 / ( * ) 的 极 大 值 点 ，注意到 /(〇) = 〇,则 存 在 充 分 接 近 于 〇的 s ，使 得 当 x E ( - 3 , 0 ) 时 ，/ ⑷ > 0 , 当 x e ( 0 ，S ) 时 ，/ ( x ) < 〇( * ) ，得 到 一 个 恒 成 立 问 题 ，其 基 本 方 法 之 一 有 分 离参数法.