2019年河北省石家庄市高考数学模拟试卷(文科)(5月份)

2019年河北省石家庄市高考数学模拟试卷（文科）（5月份）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1. 已知集合A＝{x|lnx>0}，B＝{x∈N|(x−1)(x−5)≤0}，则A∩B＝（）
A.{0, 1, 2, 3, 4, 5}
B.{1, 2, 3, 4, 5}
C.{1, 2, 3, 4}
D.{2, 3, 4, 5}
【答案】
D
【考点】
交集及其运算
【解析】
可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．
【解答】
A＝{x|x>1}，B＝{x∈N|1≤x≤5}＝{1, 2, 3, 4, 5}；
∴A∩B＝{2, 3, 4, 5}．
2. 1+i
2−i
=()
A.1+3i
5B.3+3i
5
C.1+3i
3
D.3+3i
3
【答案】
A
【考点】
复数的运算
【解析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】
1+i 2−i =(1+i)(2+i)
(2−i)(2+i)
=1
5
+3
5
i．
3. 等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2，a8是方程x2−4x−3＝0的两根，则S9＝（）
A.18
B.19
C.20
D.36
【答案】
A
【考点】
等差数列的前n项和
【解析】
数列{a n}是等差数列，a2，a8是方程x2−4x−3＝0的两根，所以a2+a8＝2a5＝4，所以a5＝2，所以S9=a1+a9
2
×9=9a5＝18．
【解答】
依题意，数列{a n}是等差数列，a2，a8是方程x2−4x−3＝0的两根，
所以a2+a8＝2a5＝4，
所以a5＝2，
所以S9=a1+a9
2
×9=9a5＝18．
4. 设函数f(x)={1+2x−1,x ≥2
3+log 2(2−x),x <2
，则f （f(0)）＝（ ）
A.4
B.8
C.9
D.17 【答案】 C
【考点】
分段函数的应用 【解析】
根据题意，由函数的解析式求出f(0)＝4，则f （f(0)）＝f(4)，进而计算可得答案． 【解答】
根据题意，函数f(x)={
1+2x−1,x ≥2
3+log 2(2−x),x <2 ， 则f(0)＝3+log 22＝4，
则f （f(0)）＝f(4)＝1+23＝9；
5. 已知双曲线C:x 2a
2−
y 2b 2=−1的渐近线方程为x 2±y
3=0，则双曲线C 的离心率为（ ）
A.√52
B.√13
3
C.√10
2
D.√13
2
【答案】 B
【考点】
双曲线的离心率 【解析】
根据题意，由双曲线的渐近线方程可得b
a =3
2，即b =3
2a ，结合双曲线的性质可得c =√a 2+b 2=√13
2
a ，由离心率公式计算可得答案 【解答】
根据题意，双曲线C:x 2
a −y 2
b
=−1的焦点在y 轴上，又由该双曲线的渐近线方程为x
2±
y 3
=0，
则有b
a =3
2，即b =3
2a ， 则c =√a 2+b 2=√13
2a ，
其离心率e =
√13a 23a 2
=
√13
3
，
6. “关注夕阳、爱老敬老”–某爱心协会从2013年开始每年向敬老院捐赠物资和现金，下表记录了第x 年（2013年是第一年）与捐赠的现金y （万元）的对应数据，由此表中的数据得到了y 关于x 的线性回归方程y ^
=mx +0.35，则预测2019年捐赠的现金大约是（ ）
【答案】 C
【考点】
求解线性回归方程 【解析】
由已知求出x,y ，代入回归直线方程，求得m ，然后取x ＝7求得y 值即可． 【解答】
由已知得，x =3+4+5+64=4.5，y =2.5+3+4+4.54
=3.5，
∴ 样本点的中心点的坐标为(4.5, 3.5)，代入y ^
=mx +0.35， 得3.5＝4.5m +0.35，即m ＝0.7， ∴ y ^
=0.7x +0.35．
取x ＝7，得y ^
=0.7×7+0.35=5.25．
预测2019年捐赠的现金大约是5.25万元．
7. 如图，四个全等的直角三角形和一个小正方形组成一个大正方形，直角三角形两直角边的比为1:2，小正方形的边长为2，作出小正方形的内切圆，现在大正方形内随机取一点，则此点取自圆内部分的概率为（ ）
A.π
8 B.π
12
C.π
20
D.π
25
【答案】 C
【考点】
几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型） 【解析】
根据几何概型，用面积比可得所求概率． 【解答】
设直角三角形的直角边为1，2，则大正方形边长为√1+4=√5，所以大正方形的面积为5，
四个直角三角形的面积和为4×1
2×1×2＝4，所以小正方形的面积为5−4＝1，所以小正方形边长为1，内切圆半径为12，内切圆面积为π
4， 由几何概型可得：所求概率为：π4
5=π20
．
8. 我国古代科学家祖冲之之子祖唯在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”（“幂”是截面积，“势”是几何体的高），意思是两个同高的几何体，如在等高处截面的面积恒相等，则它们的体积相等．已知某不规则几何体与如图所示的三视图所表示的几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（ ）
A.12−π
B.8−π
C.12−π
D.12−2π
2
【答案】
A
【考点】
由三视图求体积
【解析】
首先把三视图转换为几何体，进一步利用几何体的体积公式的应用求出结果．
【解答】
根据几何体得三视图转换为几何体为：
左边是一个棱长为2的正方体，右边是一个长为1，宽和高为2的正方体截取一个底面半径为1，高为2的半圆柱．
×π×12×2=12−π，
故：V=2×2×2+2×2×1−1
2
9. 正整数n除以m后的余数为r，记为r＝nMODm，如4＝19MOD5．执行如图的程序框图，则输出的数n是（）
A.19
B.22
C.27
D.47
【答案】
C
【考点】
程序框图
【解析】
由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】
依题意，n进入内循环时为10，出内循环时被4除余数时3，即此时n＝11，外循环当n 除以5余数是2时结束循环，
综合两个循环，输出的n比11大，且被4除余3，被5除余2，所以该数n＝4p+3＝5q+ 2，所以4p+1＝5q，q∈N∗，所以p＝1，6，11...5k+1…，(k∈N∗)．
所以当p＝6时符合条件，即n＝4×6+3＝27．
10. 过点P(2, 1)作直线l 与圆C:x 2+y 2−2x −4y +a ＝0交于A ，B 两点，若P 为A ，B 中点，则直线l 的方程（ ） A.y ＝−x +3 B.y ＝2x −3 C.y ＝−2x +3 D.y ＝x −1 【答案】 D
【考点】
直线与圆相交的性质 【解析】
若P 为A ，B 中点，等价于CP ⊥l ，根据垂直关系求得直线l 的斜率，根据点斜式求得直线l 的方程． 【解答】
圆C:x 2+y 2−2x −4y +a ＝0的圆心为(1, 2)，
若P 为A ，B 中点，等价于CP ⊥l ，k CP =2−1
1−2=−1，所以直线l 的斜率为1， 所以直线l 的方程为y −1＝x −2，即y ＝x −1．
11. 一个圆锥的母线长为2，圆锥的母线与底面的夹角为π
4，则圆锥的内切球的表面积为（ ） A.8π
B.4(2−√2)2π
C.4(2+√2)2π
D.
32(4−√2)2
49
π
【答案】 B
【考点】
球的体积和表面积 【解析】
由已知求得圆锥的底面半径与高，再由等面积法求出该圆锥内切球的半径，再由球的表面积公式得答案． 【解答】
作出圆锥截面图如图，
∵ 母线长为2，圆锥的母线与底面的夹角为π
4，∴ 圆锥底面半径与高均为√2． 设内切球的半径为r ，则利用轴截面，
根据等面积可得1
2×2√2×√2=1
2×(2+2+2√2)r ， ∴ r =2−√2，
∴ 该圆锥内切球的表面积为4π×(2−√2)2=4(2−√2)2π．
12. 已知抛物线y =1
2x 2焦点为F ，A ，B 是抛物线上的两点，若2AF →
+BF →
=0→
，则|AF →
|+2|FB →
|＝（ ） A.3 B.15
4
C.4
D.5
【答案】 B
【考点】 抛物线的性质 【解析】
由抛物线y =1
2x 2的F(0, 1
2)，设直线AB 的方程为：y ＝kx +1
2，将其代入y =1
2x 2得：x 2+2kx −1＝0，
根据向量条件可得x 1＝2k ，x 2＝−4k ，根据韦达定理可得k 2=1
8．，根据抛物线的定义
可得|AF →
|=3
4
，2|FB →
|＝3，再相加可得结果．
【解答】
由抛物线y =1
2x 2的F(0, 1
2)，
设直线AB 的方程为：y ＝kx +1
2，将其代入y =1
2x 2得：x 2+2kx −1＝0， 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，
则x 1+x 2＝−2k ，①，x 1x 2＝−1，②
∵ 2AF →
+BF →
=0→
，∴ 2(0−x 1)+(0−x 2)＝0，即x 2＝−2x 1，③， 由①②③得x 1＝2k ，x 2＝−4k ，k 2=1
8，
∴ |AF →
|＝y 1+p
2)＝y 1+1
2=1
2x 1
2
+1
2=1
2×4k 2+1
2=3
4， 2|FB →
|＝2(y 2+1
2)＝2(1
2x 22+1
2)＝x 22+1＝16k 2
+1＝3， ∴ |AF →|+2|FB →
|=34
+3=154
．
二、填空题：本题共4小題，每小題5分，共20分.
函数f(x)＝xsinx −2cosx 在（0, f(0)）处的切线方程为________． 【答案】 y ＝−2 【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】
求出f(x)的导数，可得曲线在x ＝0处的导数，即为曲线的切线的斜率，求得切点，由斜截式方程即可得到所求切线的方程． 【解答】
函数f(x)＝xsinx −2cosx 的导数为f′(x)＝e x −2sinx ，f(x)＝xcosx +3sinx 可得曲线y ＝f(x)在点（0, f(0)）处的切线斜率为k ＝0， 切点为(0, −2)，
即有曲线y ＝f(x)在点（0, f(0)）处的切线方程为y +2＝0(x −0)， 即：y ＝−2．
已知向量a →
=(2, −1)，b →
=(−4, 2)，c →
=(2, 3)，则c →
在a →
+b →
上的投影是________．
【答案】
−
√5 【考点】
平面向量的坐标运算 【解析】
根据平面向量的坐标运算与数量积定义，计算投影即可． 【解答】 向量a →
=(2, −1)，b →
=(−4, 2)，c →
=(2, 3)， ∴ a →+b →
=(−2, 1)， ∴ c →
在a →+b →
上的投影是 |c →
|cosθ=c →⋅(a →+b →
)|a →+b →
|
=
√4+1
=−
√55
．
若实数x ，y 满足不等式组{y ≥0
x +y −1≥0x +2y −2≤0 ，则z ＝2x +y 的最小值是________．
【答案】 1
【考点】 简单线性规划 【解析】
根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再由目标函数z ＝2x +y 可得y ＝−2x +z ，此时Z 为直线在y 轴上的截距，根据条件可求Z 的最值 【解答】
作出不等式组所表示的平面区域，如图所示得阴影部分的△ABC ， 由z ＝2x +y 可得y ＝−2x +z ，则Z 为直线在y 轴上的截距
把直线L:y ＝−2x 向上平移到A 时，Z 最小，此时由{
x +y −1=0
x +2y −2=0 可得A(0, 1) 此时Z ＝1，
已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2a n +2n(n ∈N ∗)，则a n ＝________． 【答案】 2−2n+1 【考点】 数列递推式 【解析】
直接利用递推关系式求出数列的通项公式． 【解答】
数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2a n +2n ①， 当n ＝1时，
解得：a 1＝−2，
则：当n ≥2时，S n−1＝2a n−1+2(n −1)②， ①-②得：a n ＝2a n −2a n−1+2， 所以：a n ＝2a n−1−2，
故：a n−2＝2(a n−1−2)，
所以：a n−2
a n−1−2
=2（常数），
故：数列{a n−2}是以−4为首项，2为公比的等比数列，
故：a n−2=(−4)⋅2n−1，
整理得：a n=2−2n+1．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22-23題为选考题，考生根据要求作答
在△ABC中，cos(A+C)＝0，sinA=1
3
．
(Ⅰ)求sinC的值；
(Ⅱ)设∠ABC的平分线与AC交于D，若AC＝3，则BD的长．
【答案】
（1）由于cos(A+C)＝0，可得：A+C=π
2
，
所以B=π
2
，
所以sinC＝sin(π
2−A)＝cosA=√1−sin2A=2√2
3
．
（2）在△ABC中，sinA=BC
AC =1
3
，AC＝3，
所以BC＝1，
在△DBC中，sin∠BDC＝sin(A+π
4)=√2
2
(sinA+cosA)=4+√2
6
，
由正弦定理可得：BD
sinC =BC
sin∠BDC
，
可得：BD=BC⋅sinC
sin∠BDC =1×
2√2
3
4+√2
6
=8√2−4
7
．
【考点】
正弦定理
【解析】
(Ⅰ)由已知利用诱导公式，特殊角的三角函数值可求B=π
2
，利用同角三角函数基本关系式可求sinC的值．
(Ⅱ)由已知可求BC＝1，利用两角和的正弦函数公式可求sin∠BDC，由正弦定理可求BD的值．
【解答】
（1）由于cos(A+C)＝0，可得：A+C=π
2
，
所以B=π
2
，
所以sinC＝sin(π
2−A)＝cosA=√1−sin2A=2√2
3
．
（2）在△ABC中，sinA=BC
AC =1
3
，AC＝3，
所以BC＝1，
在△DBC中，sin∠BDC＝sin(A+π
4)=√2
2
(sinA+cosA)=4+√2
6
，
由正弦定理可得：BD
sinC =BC
sin∠BDC
，
可得：BD=BC⋅sinC
sin∠BDC =1×
2√2
3
4+√2
6
=8√2−4
7
．
如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD．ABCD是梯形，且BC // AD，AC＝CD=√2
2
AD，AD＝2PD＝4BC＝4．
（1）求证：AC⊥平面PCD；
（2）求三棱锥B−PAC的体积；
(Ⅲ)在棱PD上是否存在点M，使得CM // 平面PAB？若存在，求PM
PD
的值若不存在，说明理由
【答案】
证明：∵AC＝CD=√2
2
AD，
∴AC2+CD2=1
2AD2+1
2
AD2=AD2，∴AC⊥CD，
∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PD⊥AC，又PD∩CD＝D，∴AC⊥平面PCD．
∵AC＝CD，AC⊥CD，
∴△ACD为等腰直角三角形，∴∠CAD=π
4
，
在△ABC中，BC＝1，AC＝2√2，∠ACB=∠CAD=π
4
，PD⊥平面ABCD，
V B−PAC＝V P−ABC=1
3×1
2
×2√2×1×sinπ
4
×2=2
3
，（1）在棱PD上取点M，使PM
PD
=1
4
，
过M作MN // AD交过PA于N，
则MN=1
4AD，又BC∥
=
1
4
AD，
∴BC∥
=
MN，∴四边形MNBC为平行四边形，∴CM // BN，
∵CM平面PAB，BN⊂平面PAB，
∴CM // 平面PAB，
故在棱PD上存在点M，当PM
PD =1
4
时，使得CM // 平面PAB．
【考点】
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
（1）推导出AC⊥CD，PD⊥AC，由此能证明AC⊥平面PCD．
（2）AC＝CD，AC⊥CD，从而PD⊥平面ABCD，V B−PAC＝V P−ABC，由此能求出三棱锥B−PAC的体积．
（3）在棱PD上取点M，使PM
PD =1
4
，过M作MN // AD交过PA于N，由此能求出四边形
MNBC为平行四边形，CM // BN，从而能求出在棱PD上存在点M，当PM
PD =1
4
时，使得
CM // 平面PAB．
【解答】
证明：∵AC＝CD=√2
2
AD，
∴AC2+CD2=1
2AD2+1
2
AD2=AD2，∴AC⊥CD，
∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PD⊥AC，又PD∩CD＝D，∴AC⊥平面PCD．
∵AC＝CD，AC⊥CD，
∴△ACD为等腰直角三角形，∴∠CAD=π
4
，
在△ABC中，BC＝1，AC＝2√2，∠ACB=∠CAD=π
4
，PD⊥平面ABCD，
V B−PAC＝V P−ABC=1
3×1
2
×2√2×1×sinπ
4
×2=2
3
，（1）在棱PD上取点M，使PM
PD
=1
4
，
过M作MN // AD交过PA于N，
则MN=1
4AD，又BC∥
=
1
4
AD，
∴BC∥
=
MN，∴四边形MNBC为平行四边形，∴CM // BN，
∵CM平面PAB，BN⊂平面PAB，
∴CM // 平面PAB，
故在棱PD上存在点M，当PM
PD =1
4
时，使得CM // 平面PAB．
为响应国家“精准扶贫、精准脱贫”的号召，某贫困县在精准推进上下实功，在精准落
实上见实效．现从全县扶贫对象中随机抽取16人对扶贫工作的满意度进行调查，以茎
叶图记录了他们对扶贫工作满意度的分数（满分10如图所示，已知图中数据的平均数
与中位数相同．现将满意度分为“基本满意”（分数低于平均分）、“满意”（分数不低于
平均分且低于9和“很满意”（分数不低于9三个级别．
(Ⅰ)求茎叶图中数据的平均数和a的值；
(Ⅱ)从“满意”和“很满意”的人中随机抽取2人，求至少有1人是“很满意”的概率．
【答案】
（1）图中16个数据的中位数为87+89
2
=88，所以平均数为88，
所以1
16
×(9×2+8×3+7×3+6×1+5×4+3×1+2×1+a+70×3+
80×7+90×6)＝88，解得a＝4．
（2）依题意，16人中基本满意的有8人，满意有4人，很满意有4人，
记满意的4人为a，b，c，d．很满意的4人记为1，2，3，4．
从中随机抽取2人的一切可能结果所组成的基本事件共28个：(a, b)，(a, c)，(a, d)，(a, 1)，(a, 2)，(a, 3)，(a, 4)，(b, c)，(b, d)，(b, 1)，(b, 2)，(b, 3)，(b, 4)，(c, d)，(c, 1)，(c, 2)，(c, 3)，(c, 4)，(d, 1)，(d, 2)，(d, 3)，(d, 4)，(1, 2)，(1, 3)，(1, 4)，(2, 3)，(2, 4)，(3, 4)．
用A表示至少有1人是“很满意”的这件事，
则事件A包含22个基本事件：(a, b)，(a, c)，(a, d)，(a, 1)，(a, 2)，(a, 3)，(a, 4)，(b, c)，(b, d)，(b, 1)，(b, 2)，(b, 3)，(b, 4)，(c, d)，(c, 1)，(c, 2)，(c, 3)，(c, 4)，(d, 1)，(d, 2)，(d, 3)，(d, 4)．
所以事件A的概率P(A)=22
28=11
14
．
【考点】
茎叶图
【解析】
(Ⅰ)根据茎叶图，16个数据的中位数为87+89
2
=88，所以平均数为88，列方程求出a即可；
(Ⅱ)依题意，16个人中基本满意的人共有4人，很满意的有4人，列举从中抽出两人的所有情况即可得到至少有1人是“很满意”的概率．． 【解答】
（1）图中16个数据的中位数为
87+892
=88，所以平均数为88，
所以1
16×(9×2+8×3+7×3+6×1+5×4+3×1+2×1+a +70×3+
80×7+90×6)＝88，解得a ＝4．
（2）依题意，16人中基本满意的有8人，满意有4人，很满意有4人， 记满意的4人为a ，b ，c ，d ．很满意的4人记为1，2，3，4．
从中随机抽取2人的一切可能结果所组成的基本事件共28个：(a, b)，(a, c)，(a, d)，(a, 1)，(a, 2)，(a, 3)，(a, 4)，(b, c)，(b, d)，(b, 1)，(b, 2)，(b, 3)，(b, 4)，(c, d)，(c, 1)，(c, 2)，(c, 3)，(c, 4)，(d, 1)，(d, 2)，(d, 3)，(d, 4)，(1, 2)，(1, 3)，(1, 4)，(2, 3)，(2, 4)，(3, 4)．
用A 表示至少有1人是“很满意”的这件事，
则事件A 包含22个基本事件：(a, b)，(a, c)，(a, d)，(a, 1)，(a, 2)，(a, 3)，(a, 4)，(b, c)，(b, d)，(b, 1)，(b, 2)，(b, 3)，(b, 4)，(c, d)，(c, 1)，(c, 2)，(c, 3)，(c, 4)，(d, 1)，(d, 2)，(d, 3)，(d, 4)． 所以事件A 的概率P(A)=2228=11
14．
关于椭圆的切线有下列结论：若P(x 1, y 1)是椭圆
x 2a 2
+y 2
b 2=1(a >b >0)上的一点，则
过点P 的椭圆的切线方程为x 1
x
a 2+
y 1y b 2
=1．已知椭圆C:x 2
4
+y 2
3
=1.
(1)利用上述结论，求过椭圆C 上的点P(1, n)(n >0)的切线方程；
(2)若M 是直线x =4上任一点，过点M 作椭圆C 的两条切线MA ，MB （A ，B 为切点），设椭圆的右焦点为F ，求证：MF ⊥AB ． 【答案】
(1)解：将x =1代入椭圆方程，得n =32，则P(1, 3
2)， ∴ 过椭圆C 上的点P(1, 3
2)的切线方程为x
4
+
32
y 3
=1，
即x +2y −4=0.
(2)证明：设M(4, t)，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，
则过A ，B 两点的椭圆C 的切线MA ，MB 的方程分别为：
x 1x 4
+
y 1y 3
=1，
x 2x 4
+
y 2y 3
=1．
∵ M(4, t)在两条切线上， ∴
4x 14
+
ty 13
=1，
4x 24
+
ty 23
=1．
∴ A ，B 两点均在直线4x
4+ty 3
=1上，即直线AB 的方程为x +
ty 3
=1．
当t ≠0时，k AB =−3
t ，
又F(1, 0)，
∴ k MF =t−0
4−1=t
3，k AB ⋅k MF =−3
t ⋅t
3=−1，
∴ MF ⊥AB ；
若t =0，点M(4, 0)在x 轴上，A ，B 两点关于x 轴对称，显然MF ⊥AB ． 【考点】
直线与椭圆的位置关系 椭圆的应用 【解析】
(Ⅰ)将x ＝1代入椭圆方程，求得P(1, 3
2)，再由定义得到过椭圆C 上的点P(1, 3
2)的切线方程；
(Ⅱ)设M(4, t)，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，分别写出过A ，B 两点的椭圆C 的切线MA ，MB 的方程，结合M(4, t)在两切线上，可得直线AB 的方程为x +
ty 3
=1．当t ≠0时，求出
k AB =−3
t ，再由两点求斜率公式求得k MF =t−0
4−1=t
3，由k AB ⋅k MF =−3
t ⋅t
3=−1可得MF ⊥AB ；若t ＝0，点M(4, 0)在x 轴上，A ，B 两点关于x 轴对称，显然MF ⊥AB ． 【解答】
(1)解：将x =1代入椭圆方程，得n =32，则P(1, 3
2)， ∴ 过椭圆C 上的点P(1, 3
2)的切线方程为x
4
+
32
y 3
=1，
即x +2y −4=0.
(2)证明：设M(4, t)，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，
则过A ，B 两点的椭圆C 的切线MA ，MB 的方程分别为：
x 1x 4
+
y 1y 3
=1，
x 2x 4
+
y 2y 3
=1．
∵ M(4, t)在两条切线上， ∴
4x 14
+
ty 13
=1，
4x 24
+
ty 23
=1．
∴ A ，B 两点均在直线4x
4+ty 3
=1上，即直线AB 的方程为x +
ty 3
=1．
当t ≠0时，k AB =−3
t ， 又F(1, 0)，
∴ k MF =t−04−1=t 3，k AB ⋅k MF =−3t ⋅t
3=−1，
∴ MF ⊥AB ；
若t =0，点M(4, 0)在x 轴上，A ，B 两点关于x 轴对称，显然MF ⊥AB ．
设f′(x)是函数f(x)的导函数，我们把使f′(x)＝x 的实数x 叫做函数y ＝f(x)的好点．已知函数f(x)=1
2
e 2x −ae x −
a 2−12
x 2．
(Ⅰ)若0是函数f(x)的好点，求a ；
(Ⅱ)若函数f(x)不存在好点，求a 的取值范围． 【答案】
（1）f′(x)＝e2x−ae x−(a2−1)x；
由f′(x)＝x，得e2x−ae x−(a2−1)x＝x，
即e2x−ae x−a2x＝0；
∵0是函数f(x)得好点；
∴1−a＝0，
∴a＝1；
（2）令g(x)＝e2x−ae x−a2x，问题转化为讨论函数g(x)的零点问题；
∵当x→−∞时，g(x)→+∞，若函数f(x)不存在好点，等价于g(x)没有零点，即g(x)的最小值大于零；
g′(x)＝2e2x−ae x−a2＝(2e x+a)(e x−a)；
①若a＝0，则g(x)＝e2x>0，g(x)无零点，f(x)无好点；
②若a>0，则由g′(x)＝0得x＝lna；
易知g(x)min=g(lna)=−a2lna；
当且仅当−a2lna>0，即0<a<1时，g(x)>0；
∴g(x)无零点，f(x)无好点；
③若a<0，则由g′(x)＝0得x=ln(−a
2
)；
故g(x)min=g(ln(−a
2))=a2[3
4
−ln(−a
2
)]；
当且仅当a2[3
4−ln(−a
2
)]>0，即−2e34<a<0时，g(x)>0；
∴g(x)无零点，f(x)无好点；
综上，a的取值范围是(−2e34,1)．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
【解析】
(Ⅰ)对f(x)求导，将x＝0代入方程f′(x)＝x，解出a即可；
(Ⅱ)令g(x)＝e2x−ae x−a2x，问题转化为讨论g(x)的零点问题；根据a的取值情况分类讨论，最后将a的取值范围取交集即可．
【解答】
（1）f′(x)＝e2x−ae x−(a2−1)x；
由f′(x)＝x，得e2x−ae x−(a2−1)x＝x，
即e2x−ae x−a2x＝0；
∵0是函数f(x)得好点；
∴1−a＝0，
∴a＝1；
（2）令g(x)＝e2x−ae x−a2x，问题转化为讨论函数g(x)的零点问题；
∵当x→−∞时，g(x)→+∞，若函数f(x)不存在好点，等价于g(x)没有零点，
即g(x)的最小值大于零；
g′(x)＝2e2x−ae x−a2＝(2e x+a)(e x−a)；
①若a＝0，则g(x)＝e2x>0，g(x)无零点，f(x)无好点；
②若a>0，则由g′(x)＝0得x＝lna；
易知g(x)min=g(lna)=−a2lna；
当且仅当−a2lna>0，即0<a<1时，g(x)>0；
∴g(x)无零点，f(x)无好点；
③若a<0，则由g′(x)＝0得x=ln(−a
2
)；
故g(x)min =g(ln(−a 2))=a 2[34−ln(−a
2)]；
当且仅当a 2[34−ln(−a 2)]>0，即−2e 3
4<a <0时，g(x)>0； ∴ g(x)无零点，f(x)无好点； 综上，a 的取值范围是(−2e 3
4,1)．
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分[选修4-4：坐标系与参数方程]
曲线C 1的参数方程为{x =1
2
cosφ,
y =12+1
2sinφ （φ为参数），在以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＝3sinθ． (Ⅰ)求曲线C 1的极坐标方程和曲线C 2的直角坐标方程；
(Ⅱ)若直线l:y ＝kx 与曲线C 1，C 2的交点分别为A ，B （A ，B 异于原点），当斜率k ∈
[√3
3,√3]时，求|OA|+|1
OB |的最小值．
【答案】
（1）曲线C 1的参数方程为{x =1
2cosφ,
y =12+1
2sinφ （φ为参数）， 得直角坐标方程为x 2+(y −1
2)2=14，即x 2+y 2−y ＝0． ∴ 曲线C 1的极坐标方程为ρ2−ρsinθ＝0，即ρ＝sinθ．
曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＝3sinθ，即ρ2cos 2θ＝3ρsinθ， ∴ 曲线C 2的直角坐标方程为x 2＝3y ； （2）设直线l 的倾斜角为α，
则直线l 的参数方程为{x =tcosαy =tsinα (α为参数，π6≤α≤π
3)． 把直线l 的参数方程代入x 2+y 2−y ＝0，得t 2−tsinα＝0， 解得t 1＝0，t 2＝sinα， ∴ |OA|＝|t 1|＝sinα．
把直线l 的参数方程代入x 2＝3y ，得t 2cos 2α＝3tsinα， 解得t 1＝0，t 2=3sinα
cos α， ∴ |OB|＝|t 2|=3sinαcos 2α．
∴ |OA|+|
1
OB
|=sinα+cos 2α
3sinα=1
3(1
sinα+2sinα)． ∵ k ∈[√33,√3]，即tanα∈[√33,√3]， ∴ π
6≤π≤π
3，∴ 12
≤sinα≤√32
，
∴
1sinα
+2sinα≥2√1
sinα⋅2sinα=2√2． 当且仅当1
sinα=2sinα，即sinα=√2
2
时取等号．
故|OA|+|1
OB |的最小值为2√2
3
． 【考点】
圆的极坐标方程 【解析】
(Ⅰ)把曲线C 1的参数方程{x =1
2
cosφ,
y =12+1
2sinφ （φ为参数）消去参数即可得到直角坐标方程，进一步得到曲线C 1的极坐标方程，把曲线C 2的极坐标方程两边同时乘以ρ，结合公式可得曲线C 2的直角坐标方程；
(Ⅱ)设直线l 的倾斜角为α，则直线l 的参数方程为{x =tcosαy =tsinα (α为参数，π6≤α≤π
3)，分别联立直线l 与曲线C 1、C 2的直角坐标方程，求出|OA|，|OB|，再由手机不行及基本不等式求|OA|+|1
OB |的最小值． 【解答】
（1）曲线C 1的参数方程为{x =1
2cosφ,
y =12
+1
2sinφ
（φ为参数）， 得直角坐标方程为x 2+(y −12)2=1
4，即x 2+y 2−y ＝0． ∴ 曲线C 1的极坐标方程为ρ2−ρsinθ＝0，即ρ＝sinθ．
曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＝3sinθ，即ρ2cos 2θ＝3ρsinθ， ∴ 曲线C 2的直角坐标方程为x 2＝3y ； （2）设直线l 的倾斜角为α，
则直线l 的参数方程为{x =tcosαy =tsinα (α为参数，π6≤α≤π
3)． 把直线l 的参数方程代入x 2+y 2−y ＝0，得t 2−tsinα＝0， 解得t 1＝0，t 2＝sinα， ∴ |OA|＝|t 1|＝sinα．
把直线l 的参数方程代入x 2＝3y ，得t 2cos 2α＝3tsinα， 解得t 1＝0，t 2=3sinα
cos 2α， ∴ |OB|＝|t 2|=3sinαcos 2α．
∴ |OA|+|
1OB
|=sinα+cos 2α3sinα
=13(
1
sinα
+2sinα)．
∵ k ∈[√33,√3]，即tanα∈[√33
,√3]，
∴ π
6≤π≤π
3，∴ 12
≤sinα≤√3
2
，
∴
1sinα
+2sinα≥2√1
sinα⋅2sinα=2√2． 当且仅当1
sinα=2sinα，即sinα=√2
2
时取等号．
故|OA|+|1
OB |的最小值为
2√2
3
．
[选修4-5；不等式选讲]
已知函数f(x)＝2|x+1|−|x−m|(m>0)．
(Ⅰ)当m＝2时，求不等式f(x)≤1的解集；
(Ⅱ)g(x)＝f(x)−2，g(x)的图象与两坐标轴的交点分别为A，B，C，若三角形ABC的面积为12，求m的值．
【答案】
（1）当m＝2时，不等式f(x)≤1可化为，
2|x+1|−|x−2|≤1，
当x<−1时，不等式化为x+5≥0，解得−5≤x<−1，
当−1≤x≤2时，不等式化为3x≤1，解得−1≤x≤1
3
，
当x>2时，不等式化为x+3≤0，解得x∈⌀，
综上，不等式的解集为：{x|−5≤x≤1
3
}；
（2）g(x)＝f(x)−2＝2|x+1|−|x−m|−2={−x−4−m,x<−1
3x−m,−1≤x≤m
x+m,x>m
，
∴g(x)的图象与两坐标轴的交点坐标分别为A(−m−4, 0)，B(0, −m)，C(m
3
, 0)，∴三角形ABC的面积：
S△ABC=1
2
⋅[
m
3
−(−m−4)]⋅|−m|
=2
3
m(m+3)，
由S△ABC=2
3
m(m+3)=12，得m＝3或m＝−6（舍），
∴m＝3．
【考点】
绝对值不等式的解法与证明
【解析】
(Ⅰ)将m＝2代入不等式中，然后去绝对值即可；
(Ⅱ)求出g(x)的图象与坐标轴的交点坐标，然后的到三角形ABC的面积，根据面积为12即可得解．
【解答】
（1）当m＝2时，不等式f(x)≤1可化为，
2|x+1|−|x−2|≤1，
当x<−1时，不等式化为x+5≥0，解得−5≤x<−1，
当−1≤x≤2时，不等式化为3x≤1，解得−1≤x≤1
3
，
当x>2时，不等式化为x+3≤0，解得x∈⌀，
综上，不等式的解集为：{x|−5≤x≤1
3
}；
（2）g(x)＝f(x)−2＝2|x+1|−|x−m|−2={−x−4−m,x<−1
3x−m,−1≤x≤m
x+m,x>m
，
∴g(x)的图象与两坐标轴的交点坐标分别为A(−m−4, 0)，B(0, −m)，C(m
3
, 0)，
∴三角形ABC的面积：
S△ABC=1
2
⋅[
m
3
−(−m−4)]⋅|−m|
=2
3
m(m+3)，
由S△ABC=2
3
m(m+3)=12，得m＝3或m＝−6（舍），∴m＝3．。