数学内部的矛盾

数学内部的矛盾
整个数学的进展史确实是一部矛盾斗争的历史。

数学内部的矛盾是推动数学长河滚滚向前的要紧力量之一。

数学以现实世界的空间形式和数量关系作为自己研究的对家，为了在纯粹形状上研究这些形式和关系，就必须和现实世界的内容割裂开来。

然而，离开内容的形式和关系是不存在的。

因此，数学按它的本质妄图实现这种割裂，是妄图实现一种不可能的情况。

这是在数学本质中的全然矛盾，它是认识的普遍矛盾在数学方面的专门表现。

在越来越接近现实的各个认识时期上，不断解决和重复上述矛盾，数学就不断地前进、进展，由简单到复杂，由低级向高级。

人类最早认识的是自然数，引进零和负数就通过了斗争：要么引进这些数，要么大量的数的减法就行不通。

同样，引进分数使乘法有了逆运算—除法，否则许多实际问题也不能解决。

然而接着又显现了如此的问题：是否所有的量都能够用有理数来表示？发觉无理数并最终使得第一次数学危机的解决，促使了逻辑的进展和几何学的系统化。

方程解的问题导致虚数的显现，虚数从一开始就被认为是“不实的”，但是这种不实的数却解决了实数所不能解决的问题，从而为自己争得了存在的权益。

数学确实是如此在矛盾斗争中进展的。

几何学从欧几里得几何的一统天下进展到多种几何，也是如此。

在19世纪发觉了许多用传统方法不能解决的问题，如五次及五次以上代数方程不能通过加、减、乘、除、开方求出根来；古希腊几何三大问题不能通过圆规和直尺作图来解决等等。

这些否定的结果说明了传统方法的局限性，也反映了人类认识的深入。

这些发觉给有关学科带来了极大的冲击，几乎完全改变了它们的方向。

例如，代数学从此以后向抽象代数的方面进展，而求解方程的根也变成了分析及运算数学的课题。

在第三次数学危机中，这种情形也多次显现，专门是包含整数算术在内的形式系统的不完全性、许多问题的不可判定性，都大大提高了人们的认识，也促进了数理逻辑的大进展。

由无穷小量的矛盾引起的第二次数学危机，反映了数学内部的有限与无穷的矛盾。

第三次数学危机涉及集合论和数理逻辑，但它一开始就牵涉到无穷集合，而现代数学脱离无穷集合就寸步难行。

一种极端的观点是只考虑有限集合或至多是可数的集合，只是如此一来绝大部分数学将不复存在。

即使这些有限数学的内容也有许多要涉及无穷的方法，有专门多的数学证明都要用有限的步骤解决涉及无穷的问题。

借助于运算机完成的四色定理的证明，第一也要把无穷多种可能的地图归结成有限的情形。

关于无穷，运算机也是无能为力的。

可见数学永久回避不了有限与无穷这对矛盾，能够说它是数学矛盾的根源之一。

数学中也一直贯穿着应用上清晰与逻辑上严格的矛盾。

在这方面，比较注意有用的数学家盲目应用，而比较注意严密的数学家则提出批判。

只有这两方面取得和谐一致，矛盾才能解决。

例如，算符演算及δ函数，开始是形式演算，任意应用，直到施瓦尔兹才奠定广义函数论的严整系统。

微积分的应用与极限论的建立更是众所周知的。

在数学史中，一直存在着经常起作用的两种重要趋势：一种是学科不断分化的趋势，另一种是学科不断综合的趋势。

这两种矛盾的趋势的辨证运动，表现为一个否定之否定的过程。

自然界作为一个无限多样性的统一整体，通过感受和知觉进入人类的意识。

古时候，数学是在总体的数和形的关系上把握自然界的，算术、代数、几何没有彼此分开，任何一本数学名著都包括了这三方面的内容，同时把它们溶化在一起。

因此，古代的数学本质上是一种感性直观的关于数和理的综合的科学。

从17世纪产生解析几何和微积分以后，学科分化的趋势一直居于主导地位。

单一的未经分化的学科向许多专门分支学科进展，每一门学科所研究的又差不多上具体完整的数学中数与形的某一个方面。

这种不断分化，到19世纪下半叶达到了相当精细的程度，代数、几何、分析等学科差不多形成了各自不同的研究领域，专门是分析领域的进展更是蓬蓬勃勃。

每个
学科都能够互不联系地单独向前进展，各学科在理论、语言、方法等方面能够互不相通，全然谈不上统一的数学的图景。

事实上,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是经历有技巧,“死记”之后会“活用”。

不记住那些基础知识,如何会向高层次进军?专门是语文学科涉猎的范畴专门广,要真正提高学生的写作水平,单靠分析文章的写作技巧是远远不够的,必须从基础知识抓起,每天挤一点时刻让学生“死记”名篇佳句、名言警句,以及丰富的词语、新颖的材料等。

如此,就会在有限的时刻、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。

日积月累,积少成多,从而收到水滴石穿,绳锯木断的功效。

死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。

但随着素养教育的开展,死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力进展的教学方式,慢慢为人们所摒弃;而另一方面,老师们又为提高学生的语文素养煞费苦心。

事实上,只要应用得当,“死记硬背”与提高学生素养并不矛盾。

相反,它恰是提高学生语文水平的重要前提和基础。

从1872年克莱因用“群”的观点统一各种几何开始，到康托尔建立集合论和公理化运动，越来越分化的数学走向综合的趋势逐步明显。

到20世纪初，数学学科的分化和综合都明显加快了。

从20年代起，专门是第二次世界大战后，综合的趋势已占主导地位。

学科的连续分化实际上差不多是综合趋势的一种表现形式，因为新学科的不断显现正在越来越排除各学科之间的传统界限。

关于数和形的深入认识，更多地采纳多学科的方法的综合认识形式。

因此，各门学科更加紧密地联系起来。

现代数学进展的辨证法确实是如此的，越是明白得了整体的各个方面，就越是接近于综合地把握整体。

也许今后会显现一种公认的新观点，把目前的数学统一起来。

然而，这种统一只是临时的、相对的。

随着生产和科技的进展，又会产生新的问题，形成新的分支，促进新的分化。

数学将在这种不断的分化和综合中不断前进。