高考数学考点56不等式选讲试题解读与变式(new)

考点56 不等式选讲
【考纲要求】
1。

理解绝对值的几何意义,并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件： ①|a ＋b ｜≤|a |＋|b ｜(a ，b ∈R ）．
②|a －b |≤|a －c ｜＋|c －b |(a ,b ∈R )．
2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:
｜ax ＋b |≤c ； ｜ax ＋b |≥c ； ｜x －c ｜＋｜x －b |≥a ．
3。

通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法．
【命题规律】
不等式选讲近几年高考中是在解答题中第23题考查，一般设计绝对值不等式的解法、不等式恒成立问题以及不等式的证明问题，难度中等。

【典型高考试题变式】
(一）绝对值不等式的解法
例1。

【2017新课标1】已知函数2–4()x ax f x =++,11()x x g x =++-||||。

（1)当a =1时，求不等式()()f x g x ≥的解集；
（2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[–1，1],求实数a 的取值范围.
【分析】（1)将1a =代入，不等式()()f x g x ≥等价于2|1||1|40x x x x -+++--≤，对x 按1x <-,
11x -≤≤，1x >讨论，得出不等式的解集；（2）当[1,1]x ∈-时，()2g x =。

若()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥。

则()f x 在[1,1]-的最小值必为(1)f -与(1)f 之一，所以(1)2f -≥且(1)2f ≥，从而得11a -≤≤。

(2）当[1,1]x ∈-时，()2g x =.
所以()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥。

又()f x 在[1,1]-的最小值必为(1)f -与(1)f 之一，所以(1)2f -≥且(1)2f ≥，得11a -≤≤。

所以a 的取值范围为[1,1]-。

【名师点睛】零点分段法是解答绝对值不等式问题常用的方法，也可以将绝对值函数转化为分段函数,
借助图象解题.
【变式1】【2018陕西山大附中等晋豫名校联考】
已知函数()1f x x =-
（1）求不等式()210f x x +->的解集;
(2）设()3g x x m =-++,若关于x 的不等式()()f x g x <的解集非空，求实数m 的取值范围.
【解析】（1）原不等式可化为: 211x x ->-,
即 211x x ->-或211x x -<-，
由211x x ->-得1x >或2x <-，
由211x x -<-得1x >或0x <，
综上原不等式的解为1x >或0x <.
（2）原不等式等价于13x x m -++<的解集非空,
令()13h x x x =-++,即()min 13h x x x m =-++<, 由13134x x x x -++≥---=,所以()min 4h x =，
所以4m >.
【变式2】【2017湖北省荆州市质检】
已知函数()()21f x x a x a R =-+-∈。

（1）当1a =时，求()2f x ≤的解集；
（2）若()21f x x ≤+的解集包含集合1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，求实数a 的取值范围。

【解析】(1)当1a =时,()121f x x x =-+-，()21212f x x x ≤⇒-+-≤， 上述不等式可化为1,21122,x x x ⎧≤⎪⎨⎪-+-≤⎩或11,21212,
x x x ⎧<<⎪⎨⎪-+-≤⎩或1,1212,x x x ≥⎧⎨-+-≤⎩ 解得1,20,x x ⎧≤⎪⎨⎪≥⎩或11,22,x x ⎧<<⎪⎨⎪≤⎩或1,4,3x x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩
所以102x ≤≤或112x <<或413
x ≤≤， 所以原不等式的解集为403x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩
⎭
（二)不等式的证明
例2.【2017年新课标2】已知330,0,2a b a b >>+=．证明：
（1）55()()4a b a b ++≥；
（2)2a b +≤．
【分析】（1）展开所给的式子，然后结合题意进行配方即可证得结论,注意向332a b +=靠拢；
（2）利用均值不等式的结论结合题意证得()3
8a b +≤即可得出结论．
【解析】（1）()()556556a b a b a ab a b b ++=+++
()()()223333442224 4.a b a b ab a b ab a b =+-++=+-≥ (2)因为()3
322333a b a a b ab b +=+++
()()()()23332322,44a b a b ab a b a b ++=++≤++=+ 所以()3
8a b +≤,因此2a b +≤．
【名师点睛】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况,证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题．若不等式恒等变形之后与二次函数有关，可用配方法．
【变式1】若a >0，b >0
，且1a
＋错误!＝错误!． (1）求a 3＋b 3
的最小值;
(2）是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由．
【变式2】【2017河北邯郸联考】
设()10f x x x =++．
（1）求()15f x x +≤的解集M ；
（2）当a b M ∈，时，求证：525a b ab ++≤．
【解析】（1）由()15f x x ≤+()15f x x ≤+得:
150,10,1015x x x x x +≥⎧⎪≤-⎨⎪---≤+⎩或150,100,1015x x x x x +≥⎧⎪-<<⎨⎪-++≤+⎩或150,0,1015x x x x x +≥⎧⎪≥⎨⎪++≤+⎩
， 解得55x -≤≤，所以()15f x x ≤+()15f x x ≤+的解集为[]5,5M =-.
（2）当,a b M ∈，即55,55a b -≤≤-≤≤时，
要证525a b ab +≤+，即证()()22
2525a b ab +≤+。

因为()()()()222222252525250625a b ab a ab b a b ab +-+=++-++ ()()222222252562525250a b a b a b =+--=--≤，
所以()()222525a b ab +≤+，即525a b ab +≤+。

（三）绝对值不等式的恒成立、参数范围问题
例3。

【2017新课标3】已知函数f （x ）=│x +1│–│x –2│.
（1)求不等式f （x ）≥1的解集；
（2）若不等式()2f x x x m ≥-+的解集非空，求m 的取值范围。

【分析】（1）将函数零点分段然后求解不等式即可；(2）由题意结合绝对值不等式的性质有 25124x x x x +---+≤，则m 的取值范围是54⎛⎤∞ ⎥⎝
⎦-，. 【解析】(1）()31211232,x f x x ,x ,x -<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪>⎩
，
当1x <-时,()1f x ≥无解；
当12x -≤≤时，由()1f x ≥得，211x -≥，解得12x ≤≤；
当2x >时,由()1f x ≥解得2x >。

所以()1f x ≥的解集为{}1x x ≥。

（2）由()2f x x x m ≥-+得212m x x x x ≤+---+,而
2
223551212244x x x x x x x x x ⎛⎫+---+≤++--+=-+≤ ⎪⎝⎭-， 且当32x =时，25124
x x x x +---+=. 故实数m 的取值范围为54⎛⎤∞ ⎥⎝
⎦-，。

【名师点睛】绝对值不等式的解法有三种：
法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
法二:利用“零点分段法"求解，体现了分类讨论的思想；
法三：通过构造函数，利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.
【变式1】【2018河南中原名校质检】
已知关于x的不等式32
x x a
-+-<。

(1)当3
a=时,解不等式;
（2）如果不等式的解集为空集,求实数a的取值范围.
【解析】（1）原不等式变为233
x x
-+-<.
当2
x<时，原不等式化为523
x
-<，解得1
x>,所以12
x
<<
当23
x
≤≤时,原不等式化为13
<，所以23
x
≤≤。

当3
x>时,原不等式化为253
x-<，解得4
x<,所以34
x
<<.
综上，原不等式解集为}
{|14
x x
<<.
【变式2】已知函数f（x）＝|2x＋1｜＋|2x－3｜.
（1）求不等式f（x)≤6的解集；
（2）若关于x的不等式f(x)〈|a－1|的解集不是空集，求实数a的取值范围．【解析】（1）原不等式等价于错误!或错误!或
错误!
解得3
2
〈x≤2或－错误!≤x≤错误!或－1≤x〈－错误!。

所以原不等式的解集为｛x｜－1≤x≤2｝．
（2）因为f（x)＝|2x＋1|＋|2x－3|≥｜(2x＋1)－(2x－3)|＝4，所以｜a－1｜>4，所以a〈－3或a〉5，
所以实数a的取值范围为(－∞，－3)∪(5,＋∞)．
【数学思想】
①数形结合思想．
②分类讨论思想．
③转化与化归思想。

④函数方程思想。

【温馨提示】
①绝对值不等式中含参数时，通常要进行分类探求,注意分类要做到不重不漏；注意在分段时不要遗漏区间的端点值．
②分析法证明不等式是“执果索因”，要注意书写的格式和语言的规范．
③用综合法证明不等式时，应注意观察不等式的结构特点，选择恰当的公式作为依据，其中均值不等式是最常用的。

【典例试题演练】
1.【2018辽宁鞍山中学二模】已知函数()211
f x x x
=+--.
（1）求不等式()2
f x<的解集；
（2）若关于x的不等式()
2 2 a
f x a
≤-有解，求实数a的取值范围。

【解析】（1）当1
x≥时，无解；
当
1
1
2
x
-<<时，
12
23
x
-<<;
当
1
2
x≤-时，
1
4
2
x
-<≤-.
综上，实数a的取值范围为
2 (4,)
3 -。

（2）函数()
f x的最小值为
3
2
-，
23
22
a
a-≥-，所以[]
1,3
a∈-。

2。

【2018广西贺州桂梧高中联考】已知函数()()
130
f x x a x a
=-+--≠的一个零点为2。

（1)求不等式()2
f x≤的解集；
（2)若直线2y kx =-与函数()f x 的图象有公共点，求k 的取值范围。

【解析】（1）由()2220f a =--=，
0a ≠，得4a =，
所以()4132f x x x =-+--≤,所以1 222x x ≤-≤⎧⎨⎩或14 02x <<≤⎧⎨⎩或4 282
x x ≥-≤⎧⎨⎩, 解得05x ≤≤，故不等式()2f x ≤的解集为[]0,5。

（2)()22,1
413{0,14 28,4
x x f x x x x x x -≤=-+--=<<-≥，
作出函数()f x 的图象，如图所示，
直线2y kx =-过定点()0,2C -，
当此直线经过点()4,0B 时， 12
k =； 当此直线与直线AD 平行时， 2k =-。

故由图可知， ()1,2,2k ⎡⎫∈-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭
.
3。

【2017四川省凉山州检测】已知函数()|1|||f x x x a =+-+．
（1）若不等式()0f x ≥的解集为空集，求实数a 的取值范围；
（2）若方程()f x x =有三个不同的解，求实数a 的取值范围．
【解析】 （1）令()1g x x x =+-，则min ()0()()f x g x a g x a ≥⇔≥-⇔≥-，
1,1,()|1|||21,10,1,0,x g x x x x x x -<-⎧⎪=+-=+-≤<⎨⎪≥⎩
作出函数()g x 的图象， 由图可知，函数()g x 的最小值为min ()1g x =-，所以1a -≤-,即1a ≥，
综上,实数a 的取值范围为[1,)+∞.
（2）在同一坐标系内作出函数()|1|||g x x x =+-图象和y x =的图象如下图所示，由题意可知，把函数()y g x =的图象向下平移1个单位以内（不包括1个单位)与y x =的图象始终有3个交点，从而10a -<<．
4。

【20176广西柳州市模拟】已知函数()|1|||f x x x a =-+-．
（1）若1a =-，解不等式()3f x ≥;
（2）如果x R ∀∈，()2f x ≥，求a 的取值范围．
（2）若1a =，21,,()1,1,
2(1),1,x a x a f x a a x x a x -++≤⎧⎪=-<<⎨⎪-+≥⎩
()f x 的最小值为1a -； 若1a >，21,1,()1,1,
2(1),,x a x f x a x a x a x a -++≤⎧⎪=-<<⎨⎪-+≥⎩
()f x 的最小值为1a -． 所以x R ∀∈,()f x 2≥，所以实数a 的取值范围是(,1][3,)-∞-+∞．
5.设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明：
（1）ab ＋bc ＋ca ≤13；
(2）2错误!＋错误!＋错误!≥1．
【证明】（1）由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca 得a 2＋b 2＋c 2
≥ab ＋bc ＋ca ． 由题设得（a ＋b ＋c ）2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1．
所以3（ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤错误!．
（2)因为错误!＋b ≥2a ,错误!＋c ≥2b ,错误!＋a ≥2c ，
故错误!＋错误!＋错误!＋（a ＋b ＋c ）≥2(a ＋b ＋c ），即错误!＋错误!＋错误!≥a ＋b ＋c ． 所以错误!＋错误!＋错误!≥1.
6。

【2018河南漯河中学三模】若关于x 的不等式32310x x t ++--≥的解集为R ，记实数t 的最大值为a 。

（1)求a ；
(2)若正实数,m n 满足45m n a +=，求14233y m n m n =+++的最小值. 【解析】（1）因为32310x x t ++--≥，所以32311x x ++-≥， 又因为()()323132133x x x x ++-≥++-=，所以3t ≤，
从而实数t 的最大值3a =.
（2）因为()()()141445233233233m n m n m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫⎡⎤++=++++ ⎪ ⎪⎣⎦++++⎝⎭⎝⎭
2
9≥=, 所以1439233m n m n ⎛⎫+≥ ⎪++⎝⎭
，从而3y ≥， 当且仅当
14233m n m n =++，即13
m n ==时等号成立， 所以14233y m n m n =+++的最小值为3。

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