2019年广东省广州市天河区高考数学二模试卷（理科）

2019年广东省广州市天河区高考数学二模试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．（5分）已知全集U ＝R ，M ＝{x |x ＜﹣1}，N ＝{x |x （x +2）＜0}，则图中阴影部分表示的
集合是（ ）
A ．{x |﹣1≤x ＜0}
B ．{x |﹣1＜x ＜0}
C ．{x |﹣2＜x ＜﹣1}
D ．{x |x ＜﹣1} 2．（5分）若复数z ＝m （m ﹣1）+（m ﹣1）i 是纯虚数，其中m 是实数，则＝（ ）
A ．i
B ．﹣i
C ．2i
D ．﹣2i
3．（5分）设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7+a 8+a 9＝（ ）
A ．144
B ．81
C ．45
D ．63
4．（5分）设函数f （x ）＝cos （x +
），则下列结论错误的是（ ） A ．f （x ）的一个周期为2π
B ．y ＝f （x ）的图象关于直线x ＝
对称 C ．f （x +）的一个零点为π
D ．f （x ）在（
，π）上单调递减 5．（5分）下列说法中，正确的是（ ）
A ．命题“若am 2＜bm 2，则a ＜b ”的逆命题是真命题
B ．命题“∃x 0＞0，x 02﹣x 0
＞0”的否定是：“∀x ＞0，x 2﹣x ≤0”
C ．命题p ∨q 为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题
D ．已知x ∈R ，则“x ＞1”是“x ＞2”的充分不必要条件
6．（5分）若函数f （x ）、g （x ）分别是定义在R 上的偶函数、奇函数，且满足2f （x ）﹣g
（x ）＝e x ，则（ ）
A ．f （﹣2）＜f （﹣3）＜g （﹣1）
B ．g （﹣1）＜f （﹣3）＜f （﹣2）
C ．f （﹣2）＜g （﹣1）＜f （﹣3）
D ．g （﹣1）＜f （﹣2）＜f （﹣3） 7．（5分）在△ABC 中，|
|＝||，||＝||＝3，则＝（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
8．（5分）安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则不同的安排方式共有（ ）
A．360种 B．300种 C．150种 D．125种
9．（5分）如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为矩形，E，F分别为P A，PD 的中点，在此几何体中，给出下面4个结论：
①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；
③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面P AD．
其中正确的结论个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝3B，则的取值范围是（ ）
A．（0，3） B．（1，3） C．（0，1] D．（1，2] 11．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e，过点F1的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若＝0，且∠F1AF2＝150°，则e2＝（ ）
A．7﹣2 B．7﹣ C．7 D．7 12．（5分）已知函数f（x）满足f（x）＝f′（1）e x﹣1﹣f（0）x+x2，则f（x）的单调递增区间为（ ）
A．（﹣∞，0） B．（﹣∞，1） C．（1，+∞） D．（0，+∞） 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．）
13．（5分）某城市为了了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2016
年1月至2018年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论正确是 （填序号）．
①月接待游客量逐月增加；②年接待游客量逐年增加；
③各年的月接待游客量髙峰期大致在7，8月份；
④各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳． 14．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线l与x轴的交点为A，M是抛物线C上的点，且MF⊥x轴．若以AF为直径的圆截直线AM所得的弦长为2，则p ＝ ．
15．（5分）已知三棱锥D﹣ABC的体积为2，△ABC是等腰直角三角形，其斜边AC＝2，且三棱锥D﹣ABC的外接球的球心O恰好是AD的中点，则球O的体积为 ． 16．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点O为△ABC外接圆的圆心，若a＝，且c+2cos C＝2b，＝m+n，则m+n的最大值为 ． 三、解答题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题，共60分．
17．（12分）已知S
n 为数列{a
n
}的前n项和，且a
1
＜2，a
n
＞0，6S
n
＝a
n
2+3a
n
+2，n∈N*．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）若对∀n∈N*，b n＝（﹣1）n a n2，求数列{b n}的前2n项的和T2n．
18．（12分）如图，已知等边△ABC中，E，F分别为AB，AC边的中点，M为EF的中点，N为BC边上一点，且CN＝BC，将△AEF沿EF折到△A′EF的位置，使平面A′EF ⊥平面EFCB．
（1）求证：平面A′MN⊥平面A′BF；
（2）求二面角E﹣A′F﹣B的余弦值．
19．（12分）已知抛物线y2＝4x的焦点F与椭圆C：＝1（a＞b＞0）的一个焦点重
合，且点F关于直线y＝x的对称点在椭圆上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点Q（0，）且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在
定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M点的坐标，若不存在，说明理由．
20．（12分）随着网络信息化的高速发展，越来越多的大中小企业选择做网络推广，为了适
应时代的发展，某企业引进一种通讯系统，该系统根据部件组成不同，分为系统A和系统B，其中系统A由5个部件组成，系统B由3个部件组成，每个部件独立工作且能正
如果构成系统的部件中至少有一半以上能正常运行，则
则常运行的概率均为p（0＜p＜1），如果构成系统的部件中至少有一半以上能正常运行，称系统是“有效”的．
（1）若系统A与系统B一样有效（总体有效概率相等），试求p的值；
（2）若p＝对于不能正常运行的部件，称为坏部件，在某一次检测中，企业对所有坏
部件都要进行维修，系统A中每个坏部件的维修费用均为100元，系统B中第n个坏部件的维修费用y（单位：元）满足关系y＝50n+150（n＝1，2，3），记企业支付该通讯系统维修费用为X，求EX．
21．（12分）已知函数f（x）＝axlnx﹣bx（a，b∈R）在点（e，f（e））处的切线方程为y＝3x﹣e．
（1）求a，b的值及函数f（x）的极值；
（2）若m∈Z．且f（x）﹣m（x﹣1）＞0对任意的x＞1恒成立，求m的最大值． （二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），
以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos（）＝t（t∈R）．
（1）求曲线C1的普通方程及曲线C2的直角坐标方程；
（2）若π≤α≤2π，当曲线C1与曲线C2有两个公共点时，求t的取值范围．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|2x|+|2x+3|+m（m∈R）．
（1）当m＝﹣2时，求不等式f（x）≤3的解集；
（2）若∀x∈（﹣∞，0），都有f（x）≥x+恒成立，求m的取值范围．
2019年广东省广州市天河区高考数学二模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．（5分）已知全集U＝R，M＝{x|x＜﹣1}，N＝{x|x（x+2）＜0}，则图中阴影部分表示的
集合是（ ）
A．{x|﹣1≤x＜0} B．{x|﹣1＜x＜0} C．{x|﹣2＜x＜﹣1} D．{x|x＜﹣1}
【考点】1J：Venn图表达集合的关系及运算．
【专题】37：集合思想；44：数形结合法；5J：集合．
【分析】由图可得图中阴影部分为N∩（∁U M），求解一元二次不等式，再由交集与补集【解答】解：图中阴影部分为N∩（∁U M），
的混合运算求解．
∵M＝{x|x＜﹣1}，∴∁U M＝{x|x≥﹣1}，
又N＝{x|x（x+2）＜0}＝{x|﹣2＜x＜0}，
∴N∩（∁U M）＝{x|﹣1≤x＜0}，
故选：A．
【点评】本题考查利用图示法表示集合的关系及其运算，考查一元二次不等式的解法，是基础题．
2．（5分）若复数z＝m（m﹣1）+（m﹣1）i是纯虚数，其中m是实数，则＝（ ） A．i B．﹣i C．2i D．﹣2i
【考点】A5：复数的运算．
【专题】11：计算题．
【分析】由纯虚数的定义可得m＝0，故＝﹣，化简可得．
【解答】解：复数z＝m（m﹣1）+（m﹣1）i是纯虚数，故m（m﹣1）＝0且（m﹣1）≠0，
解得m＝0，故z＝﹣i，故＝﹣＝﹣＝i．
故选：A．
【点评】本题考查复数的分类和复数的乘除运算，属基础题．
3．（5分）设等比数列{a
n }的前n项和为S
n
，若S
3
＝9，S
6
＝36，则a
7
+a
8
+a
9
＝（ ）
A．144 B．81 C．45 D．63
【考点】89：等比数列的前n项和．
【专题】11：计算题；35：转化思想；54：等差数列与等比数列．
【分析】由等比数列的性质可得S3，S6﹣S3，S9﹣S6，…成等比数列，由已知数据易得答案．
【解答】解：由等比数列的性质可得S3，S6﹣S3，S9﹣S6，…成等比数列，并设其公比为q，
又由题意可得S3＝9，S6﹣S3＝36﹣9＝27，
∴q＝＝3，
∴a7+a8+a9＝S9﹣S6＝27×3＝81．
故选：B．
【点评】本题考查等比数列的求和公式和性质，属基础题．
4．（5分）设函数f（x）＝cos（x+），则下列结论错误的是（ ）
A．f（x）的一个周期为2π
B．y＝f（x）的图象关于直线x＝对称
C．f（x+）的一个零点为π
D．f（x）在（，π）上单调递减
【考点】H7：余弦函数的图象．
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；57：三角函数的图象与性质．
【分析】利用余弦函数的周期性、对称性、单调性和诱导公式直接求解．
【解答】解：由函数f（x）＝cos（x+），知：
在A中，由余弦函数的周期性得f（x）的一个周期为2π，故A正确；
在B中，函数f（x）＝cos（x+）的对称轴满足条件x+＝kπ，即x＝k，k∈Z，
∴y ＝f （x ）的图象关于直线x ＝对称，故B 正确； 在C 中，f （x +）＝cos （x +）＝﹣sin x ，﹣sin π＝0，
∴f （x +）的一个零点为π，故C 正确；
在D 中，函数f （x ）＝cos （x +
）在（，π）上单调先减后增，故D 错误． 故选：D ．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查余弦函数的周期性、对称性、单调性和诱导公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5．（5分）下列说法中，正确的是（ ）
A ．命题“若am 2＜bm 2，则a ＜b ”的逆命题是真命题
B ．命题“∃x 0＞0，x 02﹣x 0＞0”的否定是：“∀x ＞0，x 2﹣x ≤0”
C ．命题p ∨q 为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题
D ．已知x ∈R ，则“x ＞1”是“x ＞2”的充分不必要条件
【考点】2K ：命题的真假判断与应用．
【分析】A 先写出逆命题再利用不等式性质判断；B 中“∃x ∈R ，x 2
﹣x ＞0”为特称命题，否定时为全称命题；
C 命题“p ∨q ”为真命题指命题“p ”或命题“q ”为真命题，只要有一个为真即可；
D 应为必要不充分条件．
【解答】A “若am 2＜bm 2，则a ＜b ”的逆命题是“若a ＜b ，则am 2＜bm 2”，m ＝0时不正确；
B 中“∃x ∈R ，x 2﹣x ＞0”为特称命题，否定时为全称命题，结论正确；
C 命题“p ∨q ”为真命题指命题“p ”或命题“q ”为真命题，只要有一个为真即可，错误；
D 应为必要不充分条件．
故选：B ．
【点评】本题考查命题真假的判断，问题涉及不等式性质、复合命题真假判断、全称命题及特称命题、命题的否定、充要条件等，考查面较广．
6．（5分）若函数f （x ）、g （x ）分别是定义在R 上的偶函数、奇函数，且满足2f （x ）﹣g
（x ）＝e x x
，则（ ）
A．f（﹣2）＜f（﹣3）＜g（﹣1） B．g（﹣1）＜f（﹣3）＜f（﹣2） C．f（﹣2）＜g（﹣1）＜f（﹣3） D．g（﹣1）＜f（﹣2）＜f（﹣3）
【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．
【专题】34：方程思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．
【分析】函数f（x）、g（x）分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且满足2f（x）﹣g （x）＝e x，可得2f（﹣x）﹣g（﹣x）＝e﹣x，即2f（x）+g（x）＝e﹣x，与2f（x）﹣g（x）＝e x x，联立解得：f（x），g（x），利用其单调性即可得出．
【解答】解：函数f（x）、g（x）分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且满足2f（x）﹣g（x）＝e x，
则2f（﹣x）﹣g（﹣x）＝e﹣x，即2f（x）+g（x）＝e﹣x，与2f（x）﹣g（x）＝e x，联立解得：
f（x）＝，g（x）＝．
则函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，在（﹣∞，0）上单调递减．
函数g（x）在R上单调递减．
∴g（﹣1）＜g（0）＝0＜＝f（0）＜f（﹣2）＜f（﹣3），
即g（﹣1）＜f（﹣2）＜f（﹣3），
故选：D．
【点评】本题考查了函数的奇偶性与单调性、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7．（5分）在△ABC中，||＝||，||＝||＝3，则＝（ ） A．3 B．﹣3 C． D．﹣
【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5A：平面向量及应用．
【分析】由题意，画出图形，利用向量的平行四边形法则得到对角线长度的关系，求出OC，得到△ABC 的形状即可求得．
【解答】解：由平面向量的平行四边形法则得到，在△ABC中，||＝||，||＝||＝3，如图，设|OC|＝x，则|OA|＝x，所以|AO|2+|OC|2＝|AC|2即3x2+x2＝9，
解得x＝，
所以|BC|＝3，所以△ABC为等边三角形，所以＝3×3×＝；
故选：C．
【点评】本题考查向量加法的平行四边形法则，向量数量积的计算公式；关键是正确判断三角形的形状．
8．（5分）安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则不同的安排方式共有（ ）
A．360种 B．300种 C．150种 D．125种
【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5O：排列组合．
【分析】分2步分析：先将5名大学生分成3组，分2种情况分类讨论，再将分好的三
组全排列，对应三个城市，由分步计数原理计算可得答案；
【解答】解：分2步分析：
先将5名学生分成3组，由两种分组方法，
若分成3、1、1的三组，有C53＝10种分组方法，
若分成1、2、2的三组，有＝15种分组方法，
则一共有10+15＝25种分组方法；
再将分好的三组全排列，对应三个社区，有A33＝6种情况，
则有25×6＝150种不同的安排方式；
故选：C．
【点评】本题考查排列、组合的应用，注意本题计算安排方式时用到分组涉及平均分组与不平均分组，要用对公式．
9．（5分）如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为矩形，E，F分别为P A，PD 的中点，在此几何体中，给出下面4个结论：
①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；
③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面P AD．
其中正确的结论个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【考点】L3：棱锥的结构特征；LN：异面直线的判定；LS：直线与平面平行；L Y：平面与平面垂直．
【分析】几何体的展开图，复原出几何体，利用异面直线的定义判断①，②的正误；
【专题】15：综合题．
利用直线与平面平行的判定定理判断③的正误；
利用直线与平面垂直的判定定理判断④的正误；
【解答】解：画出几何体的图形，如图，
由题意可知，①直线BE与直线CF异面，不正确，
因为E，F是P A与PD的中点，可知EF∥AD，
②直线BE与直线AF异面；满足异面直线的定义，正确．
所以EF∥BC，直线BE与直线CF是共面直线；
③直线EF∥平面PBC；由E，F是P A与PD的中点，可知EF∥AD，所以EF∥BC，
∵EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以判断是正确的．
④因为△P AB与底面ABCD的关系不是垂直关系，BC与平面P AB的关系不能确定，所
以平面BCE⊥平面P AD，不正确．
故选：C．
【点评】本题是基础题，考查空间图形中直线与直线、平面的位置关系，考查异面直线的判断，基本知识与定理的灵活运用．
10．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝3B，则的取值范围是（ ）
A．（0，3） B．（1，3） C．（0，1] D．（1，2]
【考点】HP：正弦定理．
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．
【分析】原式利用正弦定理化简，将3B变形为2B+B，利用两角和与差的正弦函数公式化简，约分后利用二倍角的余弦函数公式变形化为一个角的余弦函数，求出B的范围得到2B的范围，利用余弦函数值域确定出范围即可．
【解答】解：∵A＝3B，
∴由正弦定理得：＝＝＝＝cos2B+2cos2B＝2cos2B+1，
∵B+A＜180°，即4B＜180°，
∴0＜B＜45°，即0＜2B＜90°，
∴0＜cos2B＜1，即1＜2cos2B+1＜3，
则 的取值范围为（1，3）．
故选：B．
【点评】此题考查了正弦定理，余弦函数的性质，以及二倍角的正弦、余弦函数公式，
熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题．
11．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e，过点F1的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若＝0，且∠F1AF2＝150°，则e2＝（ ）
A．7﹣2 B．7﹣ C．7 D．7
【考点】KC：双曲线的性质．
【专题】31：数形结合；44：数形结合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设|BF2|＝x，根据直角三角形的性质和双曲线的性质，用x表示出|AF1|，|AF2|，根据|AF2|﹣|AF1|＝2a计算x，再根据勾股定理列方程得出a，c的关系，从而求出e2的值． 【解答】解：∵＝0，∴AB⊥BF2，
∵∠F1AF2＝150°，∴∠BAF2＝30°，
设|BF2|＝x，则|BF1|＝x+2a，|AF2|＝2x，|AB|＝x，
∴|AF1|＝|BF1|﹣|AB|＝x+2a﹣x，
又|AF2|﹣|AF1|＝2a，
∴2x﹣（x+2a﹣x）＝2a，解得x＝2（﹣1）a．
∴|BF1|＝2a，|BF2|＝2（﹣1）a，
在Rt△BF1F2中，由勾股定理可得：12a2+[（2﹣2）a]2＝4c2，
即（7﹣2）a2＝c2，
∴e2＝＝7﹣2．
故选：A．
【点评】本题考查了双曲线的性质，直线与双曲线的位置关系，属于中档题．
12．（5分）已知函数f（x）满足f（x）＝f′（1）e x﹣1﹣f（0）x+x2，则f（x）的单调递增区间为（ ）
A．（﹣∞，0） B．（﹣∞，1） C．（1，+∞） D．（0，+∞）
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用．
【分析】对f（x）求导，然后赋值求出f（0），f′（1），从而得到f′（x），解不等式f′
（x）＞0即可．
【解答】解：f（x）＝f′（1）e x﹣1﹣f（0）x+x2，
两边求导得，f′（x）＝f′（1）e x﹣1﹣f（0）+x，
令x＝1，得f′（1）＝f′（1）e0﹣f（0）+1，解得f（0）＝1，
所以f（0）＝f′（1）e0﹣1﹣f（0）•0+0＝1，得f′（1）＝e．
所以f′（x）＝e x x﹣1+x，
因为y＝e x递增，y＝x﹣1递增，所以f′（x））＝e x﹣1+x递增，
又f′（0）＝0，
所以由f′（x）＞0，解得x＞0，即f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．
故选：D．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查学生灵活运用所学知识解决问题的能力，注意赋值法求值的应用．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．）
13．（5分）某城市为了了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2016年1月至2018年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论正确是 ②③④ （填序号）．
①月接待游客量逐月增加；②年接待游客量逐年增加；
③各年的月接待游客量髙峰期大致在7，8月份；
④各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳．
【考点】B9：频率分布折线图、密度曲线． 【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5I ：概率与统计．
【分析】利用折线图的性质直接求解．
【解答】解：由折线图得：
在①中，月接待游客量逐月波动，故①错误； 在②中，年接待游客量逐年增加，故②正确；
在③中，各年的月接待游客量髙峰期大致在7，8月份，故③正确；
在④中，各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，
波动性更小，变化比较平稳，故④正确． 故答案为：②③④．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查折线图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14．（5分）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A ，M 是抛
物线C 上的点，且MF ⊥x 轴．若以AF 为直径的圆截直线AM 所得的弦长为2，则p ＝ 2 ．
【考点】K8：抛物线的性质．
【专题】38：对应思想；49：综合法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】求出直线AM 的方程，根据垂径定理列方程得出p 的值．
【解答】解：把x ＝代入y 2＝2px 可得y ＝±p ，不妨设M 在第一象限，
则M（，p），
又A（﹣，0），∴直线AM的方程为y＝x+，即x﹣y+＝0，
∴原点O到直线AM的距离d＝＝，
∵以AF为直径的圆截直线AM所得的弦长为2，
∴＝+1，解得p＝2．
故答案为：．
【点评】本题考查了抛物线的性质，直线与圆的位置关系，属于中档题．
15．（5分）已知三棱锥D﹣ABC的体积为2，△ABC是等腰直角三角形，其斜边AC＝2，且三棱锥D﹣ABC的外接球的球心O恰好是AD的中点，则球O的体积为 ．
【考点】LG：球的体积和表面积．
【专题】11：计算题；21：阅读型；35：转化思想；49：综合法；5U：球．
【分析】取AC的中点E，利用球心O与△ABC的外心的连线与平面ABC垂直，得到OE⊥平面ABC，再由中位线得出OE∥CD，于是得出CD⊥平面ABC，根据已知条件计算出△ABC的面积，并利用锥体体积公式计算出CD，再利用勾股定理得出AD，即可得出球O的半径为，最后利用球体体积公式可得出答案．
【解答】解：如下图所示，
取AC的中点E，连接OE，由于O为AD的中点，E为AC的中点，则OE∥CD， ∵AC为等腰直角三角形ABC的斜边，所以，点E为△ABC外接圆圆心，
且O为三棱锥D﹣ABC外接球的球心，所以OE⊥平面ABC，所以，CD⊥平面ABC， ∵△ABC是等腰直角三角形，且斜边AC＝2，所以，AB＝BC＝，则△ABC的面积为
，
由锥体体积公式可得，∴CD＝6，
所以，，则球O的半径为，
因此，球O的体积为．
故答案为：．
【点评】本题考查球体的体积的计算，解决本题的关键在于理解球心与相应面的外接圆圆心的连线与相应的底面垂直这一性质，考查计算能力与推理能力，属于中等题． 16．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点O为△ABC外接圆的圆心，若a＝，且c+2cos C＝2b，＝m+n，则m+n的最大值为 ． 【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】35：转化思想；41：向量法；5A：平面向量及应用．
【分析】由题意可得c+2a cos C＝2b，运用正弦定理和余弦定理，可得A，以及b，c的关系，考虑＝m+n，两边点乘，，运用数量积定义可得m，n的方程，解得m，n，再由基本不等式可得所求最大值．
【解答】解：△ABC中，a＝，且c+2cos C＝2b，
∴c+2a cos C＝2b，
∴sin C+2sin A cos C＝2sin B，
∴sin C+2sin A cos C＝2（sin A cos C+cos A sin C），
∴sin C＝2cos A sin C，
C∈（0，π），
∴sin C≠0，
∴cos A＝，
A∈（0，π），
∴A＝，
由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bc cos A，
即为3＝b2+c2﹣bc，
由2R＝＝＝2，即R＝1，可得外接圆的半径为1，
＝m+n，可得•＝m2+n•，
化为c2＝mc2+nbc，
同理可得为b2＝mbc+nb2，
解得m＝，n＝，
即有m+n＝﹣（+）
≥﹣•2＝，当且仅当b＝c＝时，取得最大值，
故答案为：．
【点评】本题考查平面向量基本定理的运用，以及向量数量积的定义，考查三角形的余弦定理和正弦定理，化简整理的运算能力，属于难题．
三、解答题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考
题，共60分．
17．（12分）已知S n为数列{a n}的前n项和，且a1＜2，a n＞0，6S n＝a n2+3a n+2，n∈N*． （1）求数列{a n}的通项公式；
（2）若对∀n∈N*，b n＝（﹣1）n a n2，求数列{b n}的前2n项的和T2n．
【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．
【专题】32：分类讨论；34：方程思想；54：等差数列与等比数列．
【分析】（1）6S n＝+3a n+2，n∈N*．n≥2时，6a n＝6S n﹣6S n﹣1，化为（a n+a n﹣1）（a n ﹣a n﹣1﹣3）＝0，由a n＞0，可得a n﹣a n﹣1＝3，n＝1时，6a1＝+3a1+2，且a1＜2，解
得a1．利用等差数列的通项公式可得a n．
（2）b n＝（﹣1）n＝（﹣1）n（3n﹣2）2．b2n﹣1+b2n＝﹣（6n﹣5）2+（6n﹣2）2＝3（12n﹣7）＝36n﹣21．利用分组求和即可得出．
【解答】解：（1）6S n＝+3a n+2，n∈N*．
n≥2时，6a n＝6S n﹣6S n﹣1＝+3a n+2﹣（+2），化为：（a n+a n﹣1）（a n﹣a n
﹣3）＝0，
﹣1
∵a n＞0，∴a n﹣a n﹣1＝3，
n＝1时，6a1＝+3a1+2，且a1＜2，解得a1＝1．
∴数列{a n}是等差数列，首项为1，公差为3．
∴a n＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2．
（2）b n＝（﹣1）n＝（﹣1）n（3n﹣2）2．
∴b2n﹣1+b2n＝﹣（6n﹣5）2+（6n﹣2）2＝3（12n﹣7）＝36n﹣21．
∴数列{b n}的前2n项的和T2n＝36（1+2+……+n）﹣21n＝﹣21n＝18n2﹣
3n．
【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的定义通项公式与求和公式、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18．（12分）如图，已知等边△ABC中，E，F分别为AB，AC边的中点，M为EF的中点，N为BC边上一点，且CN＝BC，将△AEF沿EF折到△A′EF的位置，使平面A′EF ⊥平面EFCB．
（1）求证：平面A′MN⊥平面A′BF；
（2）求二面角E﹣A′F﹣B的余弦值．
【考点】L Y：平面与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．
【专题】35：转化思想；41：向量法；5H：空间向量及应用．
【分析】（1）如图所示，取BC的中点G，连接MG，则MG⊥EF，利用面面与线面垂直
不
因此可以建立空间直角坐标系．不的性质与判定定理可得：MG⊥A′M，又A′M⊥EF，因此可以建立空间直角坐标系．
妨设BC＝4．只要证明平面法向量的夹角为直角即可证明平面A′MN⊥平面A′BF． （2）利用两个平面的法向量的夹角即可得二面角E﹣A′F﹣B的平面角的余弦值． 【解答】（1）证明：如图所示，取BC的中点G，连接MG，则MG⊥EF，
∵平面A′EF⊥平面EFCB，平面A′EF∩平面EFCB＝EF，
∴MG⊥平面A′EF，∴MG⊥A′M，又A′M⊥EF，
因此可以建立空间直角坐标系．不妨设BC＝4．
M（0，0，0），A′（0，0，），N（﹣1，，0），B（2，，0），F（﹣1，0，0）． ，，，． 设平面A′MN的法向量为＝（x，y，z），
由，可取＝（，1，0）．
同理可得平面A′BF的法向量＝（，﹣3，﹣1）．
∴＝3﹣3+0＝0，∴，
∴平面A′MN⊥平面A′BF；
（2）解：由（Ⅰ）可得平面A′BF的法向量＝（，﹣3，﹣1）．
取平面EA′F的法向量＝（0，1，0）．
cos＜＞＝＝
由图可知：二面角E﹣A′F﹣B的平面角为锐角，
∴二面角E﹣A′F﹣B的平面角的余弦值为
【点评】本题考查了利用平面法向量的夹角求出二面角的方法、向量夹角公式、数量积运算性质、空间位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19．（12分）已知抛物线y2＝4x的焦点F与椭圆C：＝1（a＞b＞0）的一个焦点重
合，且点F关于直线y＝x的对称点在椭圆上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点Q（0，）且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在
定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M点的坐标，若不存在，说明
理由．
【考点】K3：椭圆的标准方程；K8：抛物线的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合． 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（1）由抛物线方程求出抛物线y2＝4x的焦点（1，0），求出点F关于直线y＝x 的对称点，结合已知条件求出椭圆的长轴长，则a可求，再由a，b，c的关系转化求解椭圆的标准方程；
（2）假设存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点，求出AB垂直于两坐标轴时以
AB为直径的圆的方程，联立方程组解得定点坐标，然后利用向量数量积证明一般结论． 【解答】解：（1）由抛物线的焦点可得：抛物线y2＝4x的焦点F（1，0），
点F关于直线y＝x的对称点为（0，1），
故b＝1，c＝1，
因此，
∴椭圆方程为：．
（2）假设存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点．
＝1 ①
当AB⊥x轴时，以AB为直径的圆的方程为：x2+y2
当AB⊥y轴时，以AB为直径的圆的方程为：②
联立①②得，，∴定点M（0，1）．
证明：设直线l：，代入，
有．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
，．
则＝，＝（x2，y2﹣1）；
＝（1+k2）x1x2﹣+ ＝k＝0，
在y轴上存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个定点．
【点评】本题主要考查椭圆方程的求法，考查了直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系求解是处理这类问题的最为常用的方法，训练了向量垂直与数量积间的关系，是高考试卷中的压轴题．
20．（12分）随着网络信息化的高速发展，越来越多的大中小企业选择做网络推广，为了适应时代的发展，某企业引进一种通讯系统，该系统根据部件组成不同，分为系统A和系统B，其中系统A由5个部件组成，系统B由3个部件组成，每个部件独立工作且能正
则
如果构成系统的部件中至少有一半以上能正常运行，则常运行的概率均为p（0＜p＜1），如果构成系统的部件中至少有一半以上能正常运行，称系统是“有效”的．
（1）若系统A与系统B一样有效（总体有效概率相等），试求p的值；
（2）若p＝对于不能正常运行的部件，称为坏部件，在某一次检测中，企业对所有坏部件都要进行维修，系统A中每个坏部件的维修费用均为100元，系统B中第n个坏部件的维修费用y（单位：元）满足关系y＝50n+150（n＝1，2，3），记企业支付该通讯系统维修费用为X，求EX．
【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CH：离散型随机变量的期望与方差．
【专题】35：转化思想；48：分析法；5I：概率与统计．
【分析】（1）由题意可得＝，解方程即可得到所求值；
（2）分别考虑系统A，B可能维修的费用，运用组合数公式和数学期望公式，计算可得
所求值．
【解答】解：（1）∵系统A与系统B一样有效（总体有效概率相等），
∴＝，
整理得：2p3﹣5p2+4p﹣1＝p（p2﹣5p+4）+p3﹣1＝（p﹣1）2（2p﹣1）＝0，
解得p＝1（舍）或p＝，
故p的值为．
（2）系统A中每个坏部件的维修费用均为100元，
系统B中第n个坏部件的维修费用y（单位：元）满足关系y＝50n+150（n＝1，2，3）， 记企业支付该通讯系统维修费用为X，
考虑系统A的维修费用可能为0，100、200、300、400、500元；
系统B的维修费用可能为0；200，250，300；450，500，550；750元；
可得EX＝•（）8（0+200+250+300+450+500+550+750）
+•（100+300+350+400+550+600+650+850）
+•（200+400+450+500+650+700+750+950）
+•（300+500+550+600+750+800+850+1050）
+•（400+600+650+700+850+900+950+1150）
+•（500+700+750+800+950+1000+1050+1250）
＝+++++＝625（元）
【点评】本题考查随机变量的概率和期望的求法，考查独立事件同时发生的概率求法，
考查运算求解能力，是中档题．
21．（12分）已知函数f（x）＝axlnx﹣bx（a，b∈R）在点（e，f（e））处的切线方程为y＝3x﹣e．
（1）求a，b的值及函数f（x）的极值；
（2）若m∈Z．且f（x）﹣m（x﹣1）＞0对任意的x＞1恒成立，求m的最大值． 【考点】3R：函数恒成立问题；6E：利用导数研究函数的最值．
【专题】33：函数思想；4M：构造法；53：导数的综合应用．
【分析】（1）求出原函数的导函数，利用函数f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y ＝3x﹣e列关于a，b的方程组，求解可得a，b的值，再求出导函数的零点，得到原函数的单调区间，进一步求得极值；
（2）把f（x）﹣m（x﹣1）＞0变形，可得m＜对任意x＞1都成立，等价于m＜，利用导数求得，即可得到m的最大值． 【解答】解：（1）f（x）＝axlnx﹣bx，f′（x）＝alnx+a﹣b，
∵函数f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y＝3x﹣e，
∴，解得a＝1，b＝﹣1．
∴f（x）＝xlnx+x，则f′（x）＝lnx+2，
由f′（x）＝lnx+2＝0，得．
∴当x∈（0，）时，f′（x）＜0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0．
∴f（x）在（0，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数，
则当x＝时，函数f（x）取得极小值为f（）＝；
（2）当x＞1时，
由f（x）﹣m（x﹣1）＞0，得m＜．
令g（x）＝＝，
则g′（x）＝，
设h（x）＝x﹣2﹣lnx，则h′（x）＝1﹣＞0，
h（x）在（1，+∞）上为增函数，
∵h（3）＝1﹣ln3＜0，h（4）＝2﹣ln4＞0，
∴∃x0∈（3，4），且h（x0）＝0，
当x∈（1，x0）时，h（x）＜0，g′（x）＜0，g（x）在（1，x0）上单调递减；
当x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，g′（x）＞0，g（x）在（x0，+∞）上单调递增． ∴g（x）min＝g（x0）＝，
∵h（x0）＝x0﹣2﹣lnx0＝0，
∴x0﹣1＝1+lnx0，g（x0）＝x0，
∴m＜x0∈（3，4），∴m的最大值为3．
【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，解题时合理构造函数是解题的关键，属难题．
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），
以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos（）＝t（t∈R）．
（1）求曲线C1的普通方程及曲线C2的直角坐标方程；
（2）若π≤α≤2π，当曲线C1与曲线C2有两个公共点时，求t的取值范围．
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．
【专题】34：方程思想；44：数形结合法；4R：转化法；5S：坐标系和参数方程． 【分析】（1）把已知参数方程移向平方即可得到普通方程，展开两角差的余弦，结合x ＝ρcosθ，y＝ρsinθ求得曲线C2的直角坐标方程；
（2）画出两曲线的图形，数形结合即可求得t的取值范围．
【解答】解：（1）由，得，
＝1；
两式平方相加得：（x﹣1）2+（y﹣1）2
由ρcos（）＝t，得，
∴，即x+y＝t；
（2）由π≤α≤2π，得曲线C1：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1（y≤0）．
作出曲线C1与曲线C2的图象如图：。