苏教版高中数学选修2-1高二下学期期中联考(文)试题.docx

2011—2012学年度第二学期如皋市四星级高二年级
期中联考数学试卷（文）
时间：120分钟 分值：160分
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1.已知集合{
}{}{}()====B A C B A U U ,4,3,5,3,1,5,4,3,2,1 ▲ 2. 设函数()⎩⎨
⎧>≤-=002x x x x x f ，若()4=a f ，则实数=a ▲ 3.函数x x y 23-=在点()1,1-处的切线方程为 ▲ ．
4. 函数1()lg f x x
=的定义域是 ▲ 5. 若函数()(21)()x f x x x a =
+-为奇函数，则a = _____▲ ______ 6.方程22=-x x 的实根个数为 ▲
7. 函数2sin y x x =-在(0,)π上的单调递增区间为 ▲
8. 命题“若实数2≤a ，则42<a ”的否命题是 ▲ 命题（填“真”或“假”）
9．已知()x x x f 2ln +=，若()
()x f x f 342=-，则实数x 的取值为 ▲ 10. 已知二次函数()x f y =的顶点坐标为⎪⎭
⎫ ⎝⎛-
49,23，且()0=x f 的两个实根之差等于7，则()=x f ▲
11. 已知函数()5223+-+=x ax x x f 在⎪⎭
⎫ ⎝⎛-1,32上单调递减，在()+∞,1上单调递增，且函数()x f 的导函数记为()x f
'，则下列结论中正确的有 ▲ （写出所有正确命题的序号）①3
2-是()0'=x f 的根； ②1是()0'=x f 的根； ③有极小值()1f ； ④有极大值⎪⎭
⎫ ⎝⎛-32f ； ⑤21-=a 12. 已知函数()x x f x a ka -=+，其中0a >且1a ≠，k 为常数，若()f x 在R 上既是奇函
数，又是减函数，则a k +的取值范围是 ▲
13. c b a ,,分别是方程x x x x
x x 22121log 21,log 21,log 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=的实数根，则c b a ,,从小到大排列为▲ ．
14. 设函数()c bx x x x f +-=，则下列命题中正确命题的序号有▲ （请将你认为正
确命题的序号都填上）
①当0b >时，函数()f x 在R 上是单调增函数；
②当0b <时，函数()f x 在R 上有最小值；
③函数()f x 的图象关于点(0,)c 对称；
④方程()0f x =可能有三个实数根.
二、解答题：本大题共6小题,共90分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15. （本题满分14分）命题p ：关于x 的不等式0422
>++ax ax 对一切R x ∈恒成立，
命题q ：函数()x a y -=3是增函数，若q p ,中有且只有一个为真命题，求实数a 的取值范围.
16. （本题满分14分）函数()1
32++-=x x x f 的定义域为A ，()(){}012<---=a x a x x B
（1）求集合A ；
（2）若A B ⊆，求实数a 的取值范围.
17. （本题满分15分）设函数()x
x x
x x f --+-=2222 （1）判断()x f 的奇偶性；
（2）判断并证明()x f 的单调性；
（3）求函数()x f 的值域.
18. （本题满分15分）已知函数()()x x g x x f 22log ,log 23=-=
（1）如果[]4,1∈x ，求函数()()[]()x g x f x h 1+=的值域；
（2）求函数()()()()()
2x g x f x g x f x M --+=的最大值.
19. （本题满分16分）
某厂生产一种产品的次品率p 与产量()10080,*≤≤∈x N x x 件之间的关系x
p -=
1081，已知生产一件正品盈利3千元，生产一件次品亏损1千元
（1）将该厂的日盈利额y （千元）表示为日产量x （件）的函数；
（2）为获得最大盈利，该厂的日产量应定为多少件.
20. （本题满分16分）已知函数()()x a x a x x f ln 122++-= （1）当1=a 时，求函数()x f 的单调区间；
（2）求函数()x f 在区间[]e ,1上的最小值；
（3）设()()x a x g -=1，若存在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈e e x ,10，使得()()00x g x f ≥成立，求实数a 的取值
范围.
参考答案
一、填空题
1. {}4
2.4-或2
3. 2-=x y
4.{}10≠>x x x 且
5.2
1
6. 1
7. ⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ,3
8.真 9.4 10.401242+--x x 11. ①②③④⑤
12.()0,1- 13. c b a << 14. ③④
二、解答题
15.解：由p 得：0=a 时成立
⎩⎨⎧<∆>00
a ，解得40<<a
40<≤∴a (5分)
由q 得：13>-a 解得2<a (7分)
q p ,中有且只有一个为真命题
∴p 真q 假或p 假q 真
若p 真q 假，42<≤a (10分)
若p 假q 真，则0<a (13分)
∴满足条件的a 的取值范围为0<a 或42<≤a (14分)
16.解（1）⎭⎬⎫
⎩⎨⎧≥++-=013
2x x x A (1分)
[)()1,,1-∞-+∞= A (5分)
（2）当12+=a a ，即1=a 时，Φ=B ，满足A B ⊆(6分)
当12+>a a ，即1>a 时，()a a B 2,1+=
A B ⊆ ，∴11≥+a 或12-≤a ，解得1>a (9分) 当12+<a a ，即1<a 时，()1,2+=a a B
A B ⊆ ，∴12≥a 或11-≤+a ，解得
121<≤a 或2-≤a (12分) 综上，∴满足条件的a 的取值范围为2
1≥a 或2-≤a (14分) 17.解：（1）定义域为R
()()x f x f -=- ∴()x f 为奇函数；(4分)
（2）()x f 在R 上单调递增
()1
414+-=x x x f 设R x x ∈∀21,且21x x <
()()()()()
1
41444214141414212
1221121++-=+--+-=-x x x x x x x x x f x f 2144,21x x x x <∴<
又04,0421>>x x
∴()()21x f x f < ∴()x f 在R 上单调递增；(10分)
（3）令t x =+14，则1>t ()1,1212-∈-=-=t
t t y ∴函数()x f 的值域为()1,1-(15分) 18令t ＝log 2x ，(1分)
(1) h (x )＝(4－2log 2x )·log 2x ＝－2(t －1)2＋2，(3分)
∵ x ∈[1,4]，∴ t ∈[0,2]，(4分)
∴ h (x )的值域为[0,2]．(6分)
(2) M (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧ g (x )，f (x )≥g (x )，f (x )，f (x )＜g (x )，(8分) f (x )－g (x )＝3(1－log 2x )，
当0＜x ≤2时，f (x )≥g (x )；当x ＞2时，f (x )＜g (x )，(11分)
∴ M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
log 2x ，0＜x ≤2，3－2log 2
x ，x ＞2，(12分) 当0＜x ≤2时，M (x )最大值为1；(13分)
当x ＞2时，M (x )＜1.(14分)
综上：当x ＝2时，M (x )取到最大值为1.(15分)
19解：（1）次品数为：px (1分)
正品数：
()x p -1 (3分) ∴()x x x px x p y --
=--=1084313()10080,*≤≤∈x N x (8分) （2）令t x =-108，则[]28,8∈t ，*N t ∈(9分)
⎪⎭⎫ ⎝
⎛+-=t t y 1443328(10分) t t 1446328⋅
-≤(13分) 当且仅当t
t 144=，即12=t 时取得最大盈利，此时96=x ．(15分) 故为获得最大盈利，该厂的日产量应定为96件．(16分)（利用导数相应给分）
20解：(1) 当a ＝1时，f (x )＝x 2－3x ＋ln x ，定义域为(0，＋∞)．
f ′(x )＝2x －3＋1x ＝2x 2－3x ＋1x ＝(2x －1)(x －1)x
. 令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝12
.(2分) x (0，12) (12
，1) (1，＋∞) f ′(x ) ＋ － ＋
f (x )
所以函数f (x )的单调增区间为(0，12
)和(1，＋∞)．(4分) (2) f ′(x )＝2x －(2a ＋1)＋a x ＝2x 2－(2a ＋1)x ＋a x ＝(2x －1)(x －a )x
. 令f ′(x )＝0，得x ＝a 或x ＝12. 当a ≤1时，
x 1 (1，e)
e f ′(x ) ＋
f (x ) －2a e 2－2(a ＋1)e ＋a
所以[f (x )]min ＝－2a ；(6分)
当1＜a ＜e 时，
x (1，a ) a (a ，e)
f ′(x ) － 0 ＋
f (x ) a (ln a －a －1) 所以[f (x )]min ＝a (ln a －a －1)；(8分)
当a ≥e 时，
x 1 (1，e)
e f ′(x ) －
f (x ) －2a e 2－2(a ＋1)e ＋a
所以[f (x )]min ＝e 2－(2a ＋1)＋a .(10分) (3) 由题意，不等式f (x )≥g (x )在[1e
，e]上有解， 即x 2－2x ＋a (ln x －x )≥0在[1e
，e]上有解． 因为当x ∈[1e
，1]时，ln x ≤0＜x ；当x ∈(1，e]时，ln x ≤1＜x ， 所以ln x －x ＜0.
所以a ≤x 2－2x x －ln x 在[1e
，e]上有解．(12分)
设h (x )＝x 2－2x x －ln x
. 则h ′(x )＝(2x －2)(x －ln x )－(1－1x )(x 2－2x )(x －ln x )2＝(x －1)(x ＋2－2ln x )(x －ln x )2
. 因为x ∈[1e
，e]，所以x ＋2＞2≥2ln x ， 所以当x ∈(1e
，1)时，h ′(x )＜0，此时h (x )是减函数； 当x ∈(1，e)时，h ′(x )＞0，此时h (x )是增函数．(14分)
因为h (1e )＝1e (1e －2)1e
＋1＜0，h (e)＝e (e －2)e －1＞0， 所以当x ∈[1e ，e]时，[h (x )]max ＝h (e)＝e (e －2)e －1
. 所以a ≤e (e －2)e －1
. 所以实数a 的取值范围为(－∞，e (e －2)e －1
]．(16分)。