§2 凹函数定义及其判定方法 - 江财国际

§2. 凹函数定义及其判定方法2.1 凹函数定义
1.一元凹凸函数定义（y=f(x)）
t[0,1]且满足
①如果对任意∈
X1,X2D(函数定义域)，都存在∈
则称该函数为凹函数。

E.g. 生产函数（生产可能性边际）
t[0,1]且满足
X1,X2D(函数定义域)，都存在∈
②如果对任意∈
则称该函数为凸函数。

E.g. y=1/x
从函数图像任意点的切线判断函数凹凸性：
①凹函数图像上任意点的切线都在图形之上。

②函数图像上任意点的切线都在图形之下。

2.2 凸集的定义（注;没有凹集）
t[0,1]且满足
X1,X2集合S,都存在∈
如果对任意∈
则成S为凸集。

（任意两点的连线仍在集合内）
推论：f(X)为凹函数是f(X)的上等高集为凸集的充分非必要条件
E.g.
注：f(X)为拟凹函数是f(X)的上等高集为凸集的充分必要条件
2.3 多元情况下（n维空间R）凹函数的判定
以二元为例
E.g. 效用函数（无差异曲线）U(X1，X2)
1）任意点的切平面在图形之上
2）凹函数Hessian矩阵为半负定的
三个概念
①凹函数——Hessian矩阵半负定
②严格凹函数——Hessian矩阵负定
③拟凹函数——加边Hessian矩阵半负定
<结论>
2.4 雅可比矩阵与Hessian矩阵
1）雅可比矩阵
2)Hessian矩阵及其顺序子式
3）顺序子式负半定的充要条件是：所有奇数阶顺序子式行列式小于等于零，所有偶数阶顺序子式行列式大于等于零（先负后正符号间隔）
4）加边Hessian矩阵及其顺序子式
加边Hessian矩阵是Hessian矩阵增广一行一列。

例1 判定函数f(x,y)=xy(x>0,y>0)的凹凸性？
2.5 加边Hessian矩阵的应用——条件极值
在判断一元函数y=f(x)最值时，不仅要满足一阶条件：（极大值&极小值）
还要满足二阶条件：（最大值）（最小值）
同样地，在n元函数y=f（X）中，我们可以用矩阵给出一个紧致的表达式。

我们要做的就是在原Hessian矩阵的基础上添加几行几列，然后分析这个增广后的矩阵。

例如：我们最大化y=f(X1,X2,…..Xn)，其自变量满足约束条件：
g(X1,X2,…..Xn)=0
用拉格朗日乘数法进行求解，条件极值的一阶条件
二阶条件用到的加边Hessian矩阵表示。

§3. Excel矩阵计算演示
Excel中除了基于纯量的计算函数外，同时还有许多矩阵运算函数，通过这些这些函数，可以直观、快速的完成一些复杂的计算。

本例将全面介绍如何在工作表中进行矩阵运算。

【Summary】
1、矩阵转置
Excel函数：=Transpose(原矩阵)
2、矩阵乘法，A、B矩阵相乘
Excel函数：=MMult(矩阵A，矩阵B)
3、求逆矩阵
Excel函数：=MInverse (原矩阵)
4、求矩阵行列式的值
Excel函数：=MDETERM(矩阵)
5、以上函数均有两种操作方法：
一是直接在公示栏输入以上相应公式；
二是选择“插入→函数→常用函数”，然后选择相应函数即可。

【矩阵类型】
矩阵的基本类型包括行向量、列向量和矩阵，这些形式在工作表中都可以得到直观地展现，如：
【矩阵和纯量的算术运算】
矩阵和纯量的运算要求矩阵中的每个元素和纯量一一运算，在工作表中只需将该纯量设定为绝对引用后通过Ctrl+Enter即可完成计算，如C29为纯量，C31:E33为3*3矩阵，将二者
相乘只需选定结果区域后选择矩阵的第一个元素C31和纯量C29相乘，而后将C29设定为绝对应用，即$C$29，之后按Ctrl+Enter，即在选定区域中返回计算结果：
【矩阵加法】
矩阵相加和普通工作表计算一样，首先选定区域H43:I47，而后输入公式“
=B43+E43”，即矩阵A和B的首个元素相加，之后按Ctrl+Enter返回结果。

【矩阵转置】
矩阵转置在Excel中通过函数Transpose完成，操作方法是首先选定结果区域，而后在公式栏中输入“=Transpose(原始矩阵)”，结果区域要根据原始矩阵的大小设定，如原始矩阵为4行3列，则选定的结果区域需为3行4列方可返回全部转置结果，由于Transpose函数属于数组函数，在输入公式后需同按Ctrl+Shift+Enter键返回，结果将以花括号标识，代表此函数为数组运算结果：
返回结果如下：
【矩阵乘法】
矩阵乘法在Excel中通过函数MMult完成，操作方法是首先选定结果区域，而后在公式栏中输入“=MMult(矩阵A，矩阵B)”，结果区域要根据原始矩阵的大小设定，如原始矩阵分别为2行2列和2行3列，则选定的结果区域需为2行3列方可返回全部结果，即要求矩阵A的列数等于矩阵B的行数。

由于MMult函数属于数组函数，在输入公式后需同按Ctrl+Shift+Enter键返回，结果将以花括号标识，代表此函数为数组
运算结果：
【矩阵逆运算】
矩阵求逆在Excel中通过函数MInverse完成，操作方法是先选定结果区域，而后在公式栏输入“=MInverse (原始矩阵)”，结果区域要根据原始矩阵大小设定，如原始矩阵为4行4列，则选定的结果区域需为4行4列方可返回全部结果。

由于MInverse函数属于数组函数，输入公式后按Ctrl+Shift+Enter键返回，结果以花括号标识，代表此函数为数组运算结果：
注意到E，是科学计数法，当数值很大或者小数点后位数很多时会用到，我们可以右键“设
置单元格格式”，选“数值”，设定相应的小数数位。

如1.127E-07，即代表将数字1.127中1后面的小数点向左移去7位，如果我们在小数数位选10的话，得到0.000000127。

又如1.845E+09，即代表将1.845中1后的小数点向右移去9位。

对矩阵逆运算结果可进一步验证其结果，将矩阵和逆矩阵相乘，其结果应为单位矩阵，运用前述乘法公式可完成：
【矩阵运算的应用：方程组求解】
利用矩阵计算功能，可以完成多元方程组的求解，假定方程组及其矩阵表示如下：
显然，未知数X等于系数矩阵的逆矩阵和Y向量的矩阵相乘，由此使用嵌套函数MInverse 和MMult即可完成求解。