山东省济宁市梁山一中2013-高一3月质量检测 数学

梁山一中2013—2014学年高一3月质量检测
数学
一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题只有一项是正确的） 1．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且41a ，22a ，3a 成等差数列。

若1a =1，则4S =（ ）
A ．7 B.8 C.15 D.16
2．设,x y ∈R ，向量()()()4,2,,1,1,-===c y b x a ，且c b c a //,⊥，则||a b += ( )
A ．5 B.10 C.25 D.10
3．ABC ∆的内角C B A ,,所对的边c b a ,,满足()42
2
=-+c b a ，且C=60°，则ab 的值为
（ ）
A ．
34 B ．348- C ． 1 D ．3
2 4.等比数列{a n }的公比q ＞1，，
，则a 3+a 4+a 5+a 6+a 7+a 8等于（ ） A ． 64
B ． 31
C ． 32
D ． 63
5.已知tan （α﹣β）=，且α，β∈（0，π），则2α﹣β=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＞0，S 10＜0，则中最大的是
（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
7．函数函数()2
452ln f x x x x =-+-的零点个数为
A.3
B.2
C.1
D.0 8．已知1
2
5ln ,log 2,x y z e
π-===，则
A ．x y z <<
B ．z x y <<
C ．z y x <<
D ．y z x << 9．设()N n n f n ∈+++++=+1310
7
4
22
222)( ,则()f n 等于 ( )
.
A 2(81)7n - .
B 2
(81)7n + .C 12(81)7n +- .D 12
(81)7
n ++ 10.一艘船上午9:30在A 处，测得灯塔S 在它的北偏东300
处，且与它相距82海里，之
后它继续沿正北方向匀速航行，上午10:00到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东750
，此船的航速是( )
.A ()268+ .B ()268- .C ()2616+ .D ()
2616-
11.设函数f （x ）=2x ﹣cos4x ，{a n }是公差为的等差数列，f （a 1）+f （a 2）+…+f（a 8）
=11π，则=（ ） A ．
0 B ．
C ．
D ．
12．设ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若三边的长为连续的三个正整数，且
,320cos A B C b a A >>=，则sin :sin :sin A B C 为( )
A.4∶3∶2
B.5∶6∶7
C.5∶4∶3
D.6∶5∶4 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知向量=（x ，2），=（1，y ），其中x ＞0，y ＞0．若•=4，则+的最小值为 ． 14．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，若它的最小正周期为T ，则2T f ⎛⎫
-
= ⎪⎝⎭
________ 15. 已知数列{a n }满足a n +（﹣1）n+1
a n+1=2n ﹣1，则{a n }的前40项和S 40=
16．数列{}n a 满足1(1)21n
n n a a n ++-=-，则{}n a 的前60项和为
三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分） 已知α为锐角且，
（1）求tanα的值；
（2）求的值．
18．（本小题满分12分） 已知数列{a n }中，
（1）求数列{a n }的通项a n ；
（2）令b n =na n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．
19. （本小题满分12分）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,.已知
()sin sin sin A C p B p R +=∈，且21
4
ac b =．
（1）当5
,14
p b ==时，求,a c 的值；
（2）若角B 为锐角，求p 的取值范围；，
20. （本小题满分12分）
提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20020≤≤x 时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数． （1）当2000≤≤x 时，求函数()x v 的表达式；
（2）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/
小时）()()x v x x f ⋅=可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时） 本题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力.
21. （本小题满分12分）
正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足:222
(1)()0n n S n n S n n -+--+=
(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)令3n
n n
a b =,求数列{}n b 的前n 项和n T .
22. （本小题满分12分）
已知数列{}n a 中，121,0a a ==其前n 项和n S 满足：1
21223n n n n S S S ---+=+- ()3n ≥
（1）试求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .
参考答案:
1-5 CBADC 6-10 BBDCD 11-12 CD
14. 0 15. 780 16. 1830
13.
17.解：（1）∵
∴，即，
解之得tanα=；
（2）
==
==cosα+sinα
∵知α为锐角且tanα=
∴sinα=，cosα=，可得cosα+sinα=．
18. （1）﹣，移向整理得出a n﹣a n﹣1=，
当n≥2时，an=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a1
==1+=，n=1时也适合
所以a n =，
（2）b n =na n =， T n =﹣（
）
令T n ′=
，两边同乘以得
T n ′=
两式相减得出T n ′===
T n ′=
所以T n =
﹣（
）
=
19. （1）解：由题设并利用正弦定理，得54
14
a c ac ⎧
+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 解得114114a a c c =⎧⎧=⎪⎪⎨⎨
=⎪⎪=⎩⎩或 （2）解：由余弦定理，
()2
22222
222cos 22cos 11
cos 22
b a
c ac B a c ac ac B
p b b b B
=+-=+--=--
即2
31cos 22p B =
+因为230cos 1,22B p ⎛⎫
<<∈ ⎪⎝⎭
得，
由题设知0p >，所以622p <<20.（1）()()60,0201200,202003x v x x x ≤≤⎧
⎪
=⎨-<≤⎪⎩
（2）依题意并由（Ⅰ）可得()()60,0201200,202003
x x f x x x x ≤≤⎧
⎪
=⎨-<≤⎪⎩
当020x ≤≤时，()f x 为增函数，故当20x =时，其最大值为60201200⨯=；
当20200x <≤时， 100x =时，()f x 在取得最大值
10000
333312003
≈>． 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．
21. (1)解:由222(1)()0n n S n n S n n -+--+=,得2
()(1)0n n S n n S ⎡⎤-++=⎣⎦.
由于{}n a 是正项数列,所以2
0,n n S S n n >=+.
于是112,2a S n ==≥时,22
1(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=.
综上,数列{}n a 的通项2n a n =.
（2）23n n n b =， 3231223n
n n T +⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
22.（1）
()1212233n n n n S S S n ---+=+-≥ 1112()()23n n n n n S S S S ----∴---=-
即()1
12
33n n n a a n ---=-≥
23223a a -=- 34323a a -=-
1
123n n n a a ---=-
这2n -个式子相加得()231222232n n a a n --=++
+--，又20a =
所以()2323n
n a n n =-+≥. 经验证1a 和2a 也满足该式，故
()*232n n a n n N =-+∈
（2）用分组求和的方法可得()1
31222
n n n n S +-=--。