广东省人教A版2012届高三数学理二轮复习函数压轴题精编解析二

第二轮复习----函数压轴题精编解析
1、（本小题满分14分）
已知二次函数()2
f x ax bx c =++.
（1）若()10f -=，试判断函数()f x 零点个数；
(2)若对12,,x x R ∀∈且12x x <，()()12f x f x ≠，试证明()012,x x x ∃∈，使
()()()01
21
2
f
x f x f x =
+⎡⎤⎣⎦成立。

(3)是否存在,,a b c R ∈，使()f x 同时满足以下条件①对,(4)(2)x R f x f x ∀∈-=-，且()0f x ≥；②对x R ∀∈,都有21
0()(1)2
f x x x ≤-≤-。

若存在，求出,,a b c 的值，若不存在，请说明理由。

解（1）
()10,0,f a b c -=∴-+= b a c =+ …………………1分
2224()4()b ac a c ac a c ∆=-=+-=-，
当a c =时0∆=，函数()f x 有一个零点；
当a c ≠时，0∆>，函数()f x 有两个零点。

…………………3分 （2）令()()()()121
2
g x f x f x f x =-
+⎡⎤⎣⎦，则 ()()()()()()1211121
22
f x f x
g x f x f x f x -=-
+=⎡⎤⎣⎦
()()()()()()2122121
22
f x f x
g x f x f x f x -=-+=⎡⎤⎣⎦，…………………5分 ()()()()()()()212121210,4g x g x f x f x f x f x ∴⋅=--<≠⎡⎤⎣
⎦()0g x ∴=在()12,x x 内必有一个实根。

即()012,x x x ∃∈，使()()()012
1
2f x f x f x =+⎡⎤⎣
⎦成立。

…………………
8分
（3） 假设,,a b c 存在，由①知抛物线的对称轴为x ＝－1，且min ()0f x =
∴
2
41,024b ac b a a
--=-=
⇒
222,444b a b ac a ac a c ==⇒=⇒= ………………10分
由②知对x R ∀∈,都有21
0()(1)2
f x x x ≤-≤
- 令1x =得0(1)10f ≤-≤(1)10f ⇒-=(1)1f ⇒=1a b c ⇒++=
由1
2a b c b a a c
++=⎧⎪
=⎨⎪=⎩
得11,42a c b ===， …………………12分
当11,42a c b ==
=时，221111
()(1)4244
f x x x x =++=+，其顶点为（－1，0）满足条件①，又21()(1)4f x x x -=-⇒对x R ∀∈,都有21
0()(1)2
f x x x ≤-≤-，满足条件②。

∴存在,,a b c R ∈，使()f x 同时满足条件①、②。

…………………14分
2、已知函数()ln(1)(1),x f x a e a x =+-+(其中0a >) ,
点1,12233(()),(,()),(,())A x f x B x f x C x f x 从左到右依次是函数()y f x =图象上三点,且
2132x x x =+.
(Ⅰ) 证明: 函数()f x 在R 上是减函数；
(Ⅱ) 求证：⊿ABC 是钝角三角形;
(Ⅲ) 试问,⊿ABC 能否是等腰三角形?若能,求⊿ABC 面积的最大值;若不能,请说明理由． 解：(Ⅰ)
()ln(1)(1),x f x a e a x =+-+ .10≤<r
(1)()(1)011x x
x x
ae a e f x a e e
-+-'∴=-+=<++恒成立, 所以函数()f x 在(,)-∞+∞上是单调减函数. …………………………4分 (Ⅱ) 证明:据题意1,12233(()),(,()),(,())A x f x B x f x C x f x 且x 1<x 2<x 3,
由(Ⅰ)知f (x 1)>f (x 2)>f (x 3), x 2=
2
3
1x x +…………………………6分 12123232(,()()),(,()()BA x x f x f x BC x x f x f x ∴=--=--
12321232()()[()()][()()]BA BC x x x x f x f x f x f x ∴⋅=--+--…………………8分
123212320,0,()()0,()()0x x x x f x f x f x f x -<->->-<
0,(,)2
BA BC B π
π∴⋅<∴∠∈
即⊿ABC 是钝角三角形……………………………………..9分
(Ⅲ) 假设⊿ABC 为等腰三角形，则只能是BA BC =
即2132()()()f x f x f x =+
3212132ln(1)2(1)[ln(1)(1)(1)()x x x a e a x a e e a x x ⇔+-+=++-++ 321222ln(1)2(1)[ln(1)(1)2(1)x x x a e a x a e e a x ⇔+-+=++-+
3212ln(1)ln(1)(1)
x x x e e e ⇔+=++31332122122(1)(1)(1)2x x x x x x x x x e e e e e e e e +⇔+=++⇔+=++
3212x x x e e e ⇔=+ ① …………………………………………..12分
而事实上
, 3122x
x x e e e +≥= ②
由于31x
x
e e <,故(2)式等号不成立.这与(1)式矛盾.
所以⊿ABC 不可能为等腰三角形. ……………………………….14分
3、（本小题满分14分） 规定
(1)
(1),
m x A x x x m =--+其中x R ∈，m 为正整数，且0
1,x A =这是排列数
(,m
n A n m
是正整数，且)m n ≤的一种推广．
（Ⅰ）求3
15
A -的值；
（Ⅱ）排列数的两个性质：①1
1
m m n n A nA --=， ②
11
m m m n n n A mA A -++=．(其中m,n 是
正整数)是否都能推广到
(,m x A x R m
∈是正整数）的情形？若能推广，写出推广的
形式并给予证明；若不能，则说明理由； （Ⅲ）确定函数3
x
A 的单调区间． 解
：
（
Ⅰ
）
3
15
A -()()()1516174080=---=-； ……2分
（Ⅱ）性质①、②均可推广，推广的形式分别是： ①
11
m m x x A xA --=， ②
()
11,m m m
x x x A mA A x R m N -+++=∈∈ ……4分
2222
12123232()[()()]()[()()]x x f x f x x x f x f x -+-=-+-即：22
21321232[()()][()()]x x x x f x f x f x f x -=-∴-=-
事实上，在①中，当1m =时,左边1x A x ==， 右边
1x xA x -==，等式成立； 当2m ≥时，左边
()()
()121x x x x m =---+
()()
()()()12111x x x x m ⎡⎤=-----+⎣⎦
1
1
m x xA --=， 因此,①
1
1
m m x x A xA --=成立； ……6分
在②中，当1m =时,左边
10
111x x x A A x A +=+=+==右边，等式成立； 当2m ≥时， 左边
()()
()121x x x x m =---+()()()122mx x x x m +---+
()()
()()1221x x x x m x m m =---+-++⎡⎤⎣⎦
()()()
()11211x x x x x m =+--+-+⎡⎤⎣⎦1m x A +==右边，
因此 ②
()1
1,m m m x x x A m A A x R m N -+++=
∈∈成立。

……8分
（Ⅲ）先求导数，得
()/
32362
x A x x =-+.
令2632
+-x x >0,解得x<333-或 x>333+.
因此，当
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-∞-∈333,x 时,函数为增函数, ……11分
当
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+∞+∈,333x 时,函数也为增函数。

令2632
+-x x <0,解得333-<x<333+.
因此,当
⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛+-∈333,333x 时,函数为减函数. ……13分
所以，函数3x A
的增区间为
3,3⎛⎫
-∞ ⎪ ⎪⎝⎭，
3,3⎛⎫
+∞ ⎪ ⎪
⎝⎭
函数3x A
的减区间为
33,33⎛+ ⎝⎭ ……14分
4、（本小题满分14分）
已知函数f （x ）的定义域为R ，对任意的,()()(x R f x y f x f y ∈+=+都有、y ），且当0x >时，)0,(1)2f x f <=-（.
(Ⅰ)求证:函数f （x ）为奇函数； (Ⅱ)求证：()();f nx nf x n N *
=∈
(Ⅲ)求函数()f x 在区间[-n,n](n N *∈)上的最大值和最小值。

(Ⅰ)证明：∵对任意的,()()(x R f x y f x f y ∈+=+都有、y ） ①
令y x =-得())()(0)f x x f x f x f -=+-=（ ②…………1分 令0x y ==得(0)(0)(0)2(0)f f f f =+=……………………2分 ∴(0)0f = 由②得)()(0)0,f x f x f x R +-==∈（ ∴函数()f x 为奇函数………………………………3分
(Ⅱ)证明:（1）当n ＝1时等式显然成立
（2）假设当n ＝k （k N *∈）时等式成立，即()()f kx kf x =，…………4分 则当n ＝k ＋1时有
[(1)]()f k x f kx x +=+，由①得()()()f kx x f kx f x =+＋………………6分
∵()()f kx kf x = ∴()()()(1)()f kx x kf x f x k f x =+=+＋ ∴当n ＝k ＋1时，等式成立。

综（1）、（2）知对任意的n N *∈,()()f nx nf x =成立。

………………8分
(Ⅲ)解:设1212,x x R x x ∈<、，因函数()f x 为奇函数，结合①得
2121())())f x f x f x f x -=+（（-＝21()f x x -，……………………9分
∵210x x ->
又∵当0x >时，()0f x <
∴21()f x x -0<，∴21())0f x f x -<（
∴函数()f x 在R 上单调递减…………………………………………12分
∴max )(),f x f n =-（
min ()()f x f n =
由（2）的结论得()(1)f n nf =， ∵(1)2f =-，∴()(1)f n nf =＝－2n
∵函数()f x 为奇函数，∴()()2f n f n n -=-=-
∴ max )()2f x f n n =-=-（
，min ()()f x f n =＝2n 。

……………………14分 5、（本小题满分14分）已知函数f (x)=
1ln x
x ax
-+。

（1）若函数f (x)在[1，+∞）上为增函数，求正实数a 的取值范围； （2）当a =1时，求f (x)在[
1
2
，2]上的最大值和最小值。

（3）求证：对于大于1的正整数n ，1ln 1n n n
>-。

（1）f ′(x)=21(0)
ax a ax -> 依题2
1
ax ax -≥0在[1，+∞）上恒成立 即a ≥
1
x
在[1，+∞）上恒成立，∴a ≥1 ……
（2）当a=1时，f ′(x)=
2
1
x x
-，其中x ∈[12,2]， 而x ∈[12,1)时，f ′(x)<0；x ∈(1,
12]时，f ′(x)>0， ∴x=1是f (x)在[1
2
，2]上唯一的极小值点，∴ [f (x)]min =f (1)=0
……
又f (12)-f (2)=32-2ln2=34
ln ln 22e ->0，∴f (12)>f (2)， ∴[f (x)]max =f (12)=1-ln2
综上，a=1时，f (x)在[1
2
，2]上的最大值和最小值分别为1-ln2和0 ……
（3）若a=1时，由（1）知f (x)=1ln x
x x
-+在[1，+∞）上为增函数， 当n>1时，令x=
1
n
n -，则x>1，故f (x)>f (1)=0， 即f (1n n -)=111
n
n n n -
--+ln 1n n -=-1n +ln 1n n ->0，∴ln 1n n ->1
n ……
6、我们用
}
,,,m in{21n s s s 和
}
,,,m ax {21n s s s 分别表示实数
n
s s s ,,,21 中
的最小者和最大者.
（1）设}c o s ,m
i n {s i n )(x x x f =，}cos ,max{sin )(x x x g =，]2,0[π∈x ，函数)
(x f
的值域为A ，函数)(x g 的值域为B ，求B A ；
（2）提出下面的问题：设1a ，2a ，…，n a
为实数，R x ∈，求函数
||||||)(2211n n x x a x x a x x a x f -++-+-= （
R
x x x n ∈<<< 21）的最小值或最大值．为了方便探究，遵循从特殊到一般
的原则，先解决两个特例：求函数|1||1|3|2|)(--+++=x x x x f 和
|
2|2|1|4|1|)(-+--+=x x x x g 的最值。

得出的结论是：)}
1(),1(),2(m in{)]([min f f f x f --=，
且
)
(x f 无最大值；
)}
2(),1(),1(m ax {)]([max g g g x g -=，且)(x g 无最小值．请选择两个学生得出的结
论中的一个，说明其成立的理由；
（3）试对老师提出的问题进行研究，写出你所得到的结论并加以证明（如果结论是分类的，请选择一种情况加以证明）．
解：（1）
⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=22,1A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1,22B ，∴ ⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡-=22,22B A ． （2）若选择学生甲的结论，则说明如下，
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧>+≤<-+-≤<----≤--=1,6311,4512,22,63)(x x x x x x x x x f ，于是)(x f 在区间]2,(--∞上是减函数，在]1,2[--上是减函数，在]1,1[-上是增函数，在),1[+∞上是增函数，所以函数)
(x f 的最小值是)}1(),1(),2(min{f f f --，且函数)(x f 没有最大值． 若选择学生乙的结论，则说明如下，
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧>+-≤<+-≤<-+-≤-=2
,121,9511,131,
1)(x x x x x x x x x g ，于是)(x g 在区间]1,(--∞上是增函数，在]
1,1[-上是增函数，在]2,1[上是减函数，在),2[+∞上是减函数． 所以函数)(x g 的最大值是)}2(),1(),1(max{g g g -，且函数)(x g 没有最
小值． （3）结论： 若021>+++n a a a ，则)}
(,),(),(m in{)]([21min n x f x f x f x f =； 若021>+++n a a a ，则=max )]([x f )}
(,),(),(m ax {21n x f x f x f ；
若
21=+++n a a a ，则
)}
(,),(),(m in{)]([21min n x f x f x f x f =，
=max )]([x f )}
(,),(),(m ax {21n x f x f x f
以第一个结论为例证明如下： ∵
21>+++n a a a ，∴ 当],(1x x -∞∈时，
)
()()(221121n n n x a x a x a x a a a x f +++++++-= ，是减函数，
当),[+∞∈n x x 时，
)
()()(221121n n n x a x a x a x a a a x f +++-+++= ，是增函数
当
]
,[1n x x x ∈时，函数)(x f 的图像是以点))((11x f x ，))(,(22x f x ，…，))
(,(n n
x f x 为端点的一系列互相连接的折线所组成， 所以有)}
(,),(),(m in{)]([21min n x f x f x f x f =．
7、设函数)
,1,(11)(N x n N n n x f n
∈∈⎪⎭⎫
⎝⎛+= 且.
(Ⅰ)当x=6时,求n
n ⎪
⎭⎫ ⎝⎛+11的展开式中二项式系数最大的项;
(Ⅱ)对任意的实数x,证明2)
2()2(f x f +＞);)()()((的导函数是x f x f x f '' (Ⅲ)是否存在N a ∈,使得a n ＜∑-⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+n
k k 111＜n a )1(+恒成立?若存在,试证明你的结论并求出a 的值;若不存在,请说明理由.
（Ⅰ）解：展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是3
3563
1201C n n ⎛⎫= ⎪⎝⎭ （Ⅱ）证法一：因
()()22
112211n
f x f n n ⎛⎫⎛⎫
+=+++ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
≥11211n
n n ⎛⎫⎛⎫=+⋅+ ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭121n
n ⎛⎫
>+ ⎪⎝⎭
1121ln 12n
n ⎛⎫⎛⎫>++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()'1121ln 12n
f x n n ⎛⎫⎛⎫
≥++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
证法二：
因
()()22
112211n
f x f n n ⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭≥11211n
n n ⎛⎫⎛⎫
=+⋅+ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
而
()'11221ln 1n
f x n n ⎛⎫⎛⎫
=++ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭ 故只需对11n ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭和1ln 1n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭进行比较。

令
()()
ln 1g x x x x =-≥，有
()'111x g x x x -=-
=
，由1
0x x -=，得1x =
因为当01x <<时，()'0g x <，()g x 单调递减；当1x <<+∞时，()'
0g x >，
()g x 单调递增，所以在1x =处()
g x 有极小值1
故当1x >时，
()()11
g x g >=，从而有ln 1x x ->，亦即ln 1ln x x x >+>
故有111ln 1n n ⎛⎫⎛⎫
+>+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭恒成立。

所以()()()'222f x f f x +≥，原不等式成立。

（Ⅲ）对m N ∈，且1m >
有2
012111111m
k
m
k m m m m m m C C C C C m m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
()()
()()2
111121111112!!
!
k m
m m m m m k m m m k m m m ---+-⋅⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++
+
+
+
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
11112111121111112!!!k m m k m m m m m m --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=+
-++
---+
+
-- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝
⎭ 11
1122!3!
!
!k m <+
+++
++
()
()
111
122132
11k k m m <+
+++
+
+
⨯⨯--
1111
11
12122311k k m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+
+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
133m =-
<
又因()102,3,4,,k
k m C k m m ⎛⎫>= ⎪⎝⎭
，故1213
m
m ⎛
⎫<+< ⎪⎝⎭
∵1213m
m ⎛⎫<+< ⎪⎝⎭，从而有11213k
n
k n n
k =⎛⎫
<+< ⎪⎝⎭∑成立，
即存在2a =，使得11213k
n
k n n
k =⎛⎫
<+< ⎪⎝⎭∑恒成立。

已知函数
()
()ln 1f x x x =-+,数列{}n a 满足101a <<, ()1n n a f a +=; 数列{}n b 满
足111
1
,(1)22n n
b b n b +=≥+, *n N ∈.求证:（Ⅰ）101;n n a a +<<<（Ⅱ）
21;2n n a a +<（Ⅲ）若
12a =
则当n ≥2时,!n n b a n >⋅.
点评：本题是数列、超越函数、导数的学归纳法的知识交汇题，属于难题，复习时应引起注意。

分类讨论的思想方法
解析：第（1）问是和自然数有关的命题，可考虑用数学归纳法证明；第（2）问可利用函数的单调性；第（3）问进行放缩。

答案：解: (Ⅰ)先用数学归纳法证明01n a <<,*
n N ∈.
（1）当n=1时,由已知得结论成立;
（2）假设当n=k 时,结论成立,即
01
k a <<.则当n=k+1时,
因为0<x<1时,1()1011x
f x x x '=-
=>++,所以f(x)在(0,1)上是增函数.
又f(x)在[
]
0,1上连续,所以f(0)<f(k
a )<f(1),即0<
11ln 21
k a +<-<.
故当n=k+1时,结论也成立. 即
01
n a <<对于一切正整数都成立.
又由
01
n a <<, 得
()1ln 1ln(1)0
n n n n n n a a a a a a +-=-+-=-+<,从而
1n n
a a +<.
综上可知
10 1.
n n a a +<<<
(Ⅱ)构造函数g(x)=22x -f(x)= 2
ln(1)2x x x
++-, 0<x<1, 由2
()0
1x g x x '=>+,知g(x)在(0,1)上增函数.
又g(x)在[
]
0,1上连续,所以g(x)>g(0)=0.
因为01n a <<,所以()0n g a >,即()22n n a f a ->0,从而2
1.2n n a a +< (Ⅲ) 因为 1111
,(1)22n n
b b n b +=≥+,所以0n b >,1n n b b +12n +≥ ,
所以
1
2112
11!2n n n n n n b b b b b n b b b ---=
⋅⋅≥⋅ ————① ,
由(Ⅱ)2
1,
2n n a a +<知:12n n n a a a +<, 所以1n a a =31
212
12
122
2n n n a a a a a a
a a a --⋅< ,
因为
12a =
, n ≥2, 10 1.n n a a +<<<
所以 n a
1
12122
2n a a a a -<⋅<11
2n n a -<2122n a ⋅=12n
————② . 由①② 两式可知:
!
n n b a n >⋅.
8、已知函数1ln ()x
f x x
+=
（1）若0k >且函数()f x 在区间3
(,4
k k +）上存在极值，
求实数k 的取值范围；（2）如果当2x ≥时，不等式()2
a
f x x ≥+恒成立，求实数a 的取值范围；
（3）求证：2n ≥，(232)(342)⋅-⋅- (23)
[(1)2][(1)(2)2]n n n n n e
-+-++->
解（1）因为
1ln ()x
f x x +=
， x >0，则2ln ()x f x x
'=-， 当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<.
所以()f x 在（0，1）上单调递增；在(1,)+∞上单调递减， 所以函数()f x 在1x =处取得极大值；（最好列表略）
因为函数()f x 在区间3
(,4
k k +）（其中0k >）上存在极值， 所以314
k k k ⎧<<+⎪⎨⎪>⎩ 解得114k <<；————4分 （2）不等式()2a f x x ≥
+，又2x ≥，则(2)(1l n )x x a x ++≥ ，(2)(1ln )()x x g x x ++=记 则2
2ln ()x x g x x -'=；————5分 令()2ln h x x x =-，则2
()1h x x
'=-， 2x ≥，()0,h x '∴≥()h x ∴在[2,)+∞上单调递增，min ()(2)22ln 20h x h ∴==->，
从而()0g x '>， 故()g x 在[2,)+∞上也单调递增， 所以min ()(2)2(1ln 2)g x g ==+， 所以. 2(1ln 2)a ≤+ ；————10分
（3）由（2）知：当3a =时，3()2f x x ≥+恒成立，即31ln 2x x x +≥+，6
ln 22
x x ≥-+，
令 (1)2x n n =+-，则6
ln[(1)2]2(1)
n n n n +-≥-+；————10分
所以 6ln(232)223-≥-，6
ln(342)234-≥-，……，
6
ln[(1)2]2(1)
n n n n +-≥-+
6
ln[(1)(2)2]2(1)(2)
n n n n ++-≥-++
n 个不等式相加得
()()6
ln(232)ln(342)...ln (1)2ln (1)(2)2232
n n n n n n -+-++-+++->-+
+23n >- 即()()23
(232)(342)...(1)2(1)(2)2n n n n n e ---+-++->————15分
9、已知()ln(1)()x
f x e mx x R =+-∈．
（Ⅰ）已知对于给定区间(,)a b ，存在0(,)x a b ∈使得)()
()(0x f a
b a f b f '=--成立，求
证：0x 唯一；
（Ⅱ）若1212,x x R x x ∈≠，，当1m =时，比较12(
)2x x f +和
12()()
2
f x f x +大小，并说明理由；
（Ⅲ）设A 、B 、C 是函数()ln(1)(,1)x
f x e mx x R m =+-∈≥图象上三个不同的点， 求证：△ABC 是钝角三角形．
解：（Ⅰ）证明：假设存在，使得，且0000
),(,x x b a x x ≠'∈' )()()(0x f a b a f b f '=-- ，)'()
()(0x f a
b a f b f '=-- ，即)()(0
0x f x f ''=' . 1分 ∵)()(1)(x f x g m e e x f x
x '=-+='，记，∴],[)(,0)1()(2b a x f e e x g x x 是'>+=
'上的单调增函数（或者通过复合函数单调性说明)('x f 的单调性）. ······ 3分
∴0000x x x x ≠''=，这与矛盾，即0x 是唯一的. ············· 4分
（Ⅱ） 1212()()
(
),22
x x f x f x f ++<原因如下： (法一)设,,2121x x R x x <∈，且 则
12
12
121221212()()2()ln(1)ln(1)2[ln(1)]
22
x x x x x x x x f x f x f e e x x e ++++-=+++---+- 12
12
22
ln(1)(1)ln(1)x x x x e e e
+=++-+
121212
122
ln(1)ln(12)x x x x x x x x e e e
e
e +++=+++-++. ············ 5分
∵2
21212
12
1
2
1
22,0,0x x x x x x x x e
e
e e
e x x e
e
+=>+∴≠>>，且. ····· 6分
∴1+21212
11
1
2
21x x x x x x x x e e
e
e e +++++>++，
121
2
12
12121212122
2
ln(1)ln(12),ln(1)ln(12)0.
x x x x x x x x x x x x x x x x e e e
e
e e e e e
e ++++++∴+++>++∴+++-++>
12121212()()
()()2(
), ()222
x x x x f x f x f x f x f f +++∴+>∴<
. ····· 8分 （法二）设2)()()2(
)(22x f x f x x f x F +-+=，则2
)(')2('21)('2x f x x f x F -+=． 由（Ⅰ）知)('x f 单调增．
所以当2x x >即
x x x <+22时，有02
)(')2('21)('2<-+=x f x x f x F 所以2x x >时，)(x F 单调减． ··················· 5分 当2x x <即
x x x >+22时，有02
)(')2('21)('2>-+=x f x x f x F
所以2x x <时，)(x F 单调增． ··················· 6分 所以0)()(2=<x F x F ，所以2
)
()()2(
2121x f x f x x f +<
+． ······ 8分 （Ⅲ）证明：设321332211),(),,(),,(x x x y x C y x B y x A <<，且，因为1≥m
∵R x x f e m m e e x f x
x x ∈∴<+--=-+='是，)(01
1
11)(上的单调减函数． 9分 ∴123()()()f x f x f x >>．∵)),()(,()),()(,(23232121x f x f x x x f x f x x --=--= ∴))()())(()(())((23212321x f x f x f x f x x x x BC BA --+--=⋅． ···· 10分 ∵,0)()(,0)()(,0,023212321<->->-<-x f x f x f x f x x x x
∴B B ∠<∴<⋅,0cos ,0为钝角. 故△ABC 为钝角三角形． ···· 12分。