中考数学问题大全专题-阅读理解型

中考问题之阅读理解型
解决此类问题，源于最近中考中应用了不少像这样定义了，让学生广泛阅读，理解后做出相应的基于观察前提下的定义，许多都是学生平时接触过的定义，推理及公式的证明或拓展，这里还是具体看题型： 一、选择题 1．（广东广州）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文
（解密），已知有一种密码，将英文26个小写字母a ，b ，c ，…，z 依次对应0，1，2，…，25这26个自然数（见表格），当明文中的字母对应的序号为β时，将β+10除以26后所得的余数作为密文中的字母对应的序号，例如明文s 对应密文c
字母 a b c d e f g h i j k l m 序号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 字母 n o p q r s t u v w x y z 序号
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
按上述规定，将明文“maths ”译成密文后是（ ） A ．wkdrc B ．wkhtc C ．eqdjc D ．eqhjc 2．（湖北荆州）若把函数y=x 的图象用E （x ，x ）记，函数y=2x+1的图象用E （x ，2x+1）记，……则E （x ，122
+-x x ）可以由E （x ，2
x ）怎样平移得到？ A ．向上平移１个单位 B ．向下平移１个单位 C ．向左平移１个单位 D ．向右平移１个单位 二、填空题
1．（山东临沂） 为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接受方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文,,,a b c d 对应密文2,2,23,4a b b c c d d +++.例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为 . 2．（ 广东珠海）我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数 （只有数码0和1），它们两者之间可以互相换算，如将(101)2, (1011)2换算成十进制数应为：
5104212021)101(0122=++=⨯+⨯+⨯= 1121212021)1011(01232=⨯+⨯+⨯+⨯=
按此方式，将二进制(1001)2换算成十进制数的结果是_______________. 3．（ 山东荷泽）刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒，当任意实数对（b ,a ）进入其中时，会得到一个新的实数：a 2＋b －1,例如把（3，－2）放入其中，就会得到32
＋（－2）－1
＝6．现将实数对（－2，－3）放入其中，得到实数是 ． 4．（贵州铜仁）定义运算“@”的运算法则为：x@y ＝xy －1，则(2@3)@4＝__ __． 5．（广东湛江）因为cos 30°= 3 2 ，cos 210°=﹣ 3 2 ，所以cos 210°=cos （180°+30°）＝﹣cos 30°＝﹣ 3
2
，因为cos 45°=
2 2 ，cos 225°＝﹣ 2 2 ，所以cos 225°＝cos （180°+45°）＝﹣ 2
2
，猜想：一般地，当α为锐角时，有cos （180°+α）＝﹣cosα，由此可知cos 240°的值等于 .
6．（湖南娄底）阅读材料：
若一元二次方程ax 2+b x +c=0(a ≠0)的两个实根为x 1、x 2，则两根与方程系数之间有如下关系：
x 1+x 2= －b a ，x 1x 2= c
a
根据上述材料填空：
已知x 1、x 2是方程x 2+4x +2=0的两个实数根，则
1x 1 +1
x 2
=_________. 7．（湖北黄石）若自然数n 使得作竖式加法n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)均不产生进位现象，则称n 为“可连数”，例如32是“可连数”，因为32＋33＋34不产生进位现象；23不是“可连数”，因为23＋24＋25产生了进位现象，那么小于200的“可连数”的个数为 . 三、解答题
1．（四川凉山）先阅读下列材料，然后解答问题：
材料1：从三张不同的卡片中选出两张排成一列，有6种不同的排法，抽象成数学问题就是从3个不
同的元素中选取2个元素的排列，排列数记为2
3326A =⨯=。

一般地，从n 个不同的元素中选取m 个元素的排列数记作m
n A 。

(1)(2)(3)(1)m n A n n n n n m =---⋅⋅⋅-+ （m ≤n ）
例：从5个不同的元素中选取3个元素排成一列的排列数为：3
554360A =⨯⨯=。

材料2：从三张不同的卡片中选取两张，有3种不同的选法，抽象成数学问题就是从3个元素中选取2个元素的组合，组合数为 2
332
321
C ⨯=
=⨯。

一般地，从n 个不同的元素中选取m 个元素的排列数记作m n A 。

(1)(2)(3)(1)
m
n A n n n n n m =---⋅⋅⋅-+ （m ≤n ）
例：从6个不同的元素选3个元素的组合数为：3
6654
20321
C ⨯⨯=
=⨯⨯。

问：（1）从某个学习小组8人中选取3人参加活动，有多少种不同的选法？ （2）从7个人中选取4人，排成一列，有多少种不同的排法？
2．（ 嵊州市提前招生）如图13－1至图13－4，⊙O 均作无滑动滚动，⊙1O 、⊙2O 均表示⊙O 与线段
AB 、BC 或弧AB 相切于端点时刻的位置，⊙O 的周长为c ，请阅读下列材料：
①如图13－1，⊙O 从⊙1O 的位置出发，沿AB 滚动到⊙2O 的位置，当AB ＝c 时，⊙O 恰好自转1周。

②如图13－2，∠ABC 相邻的补角是n °, ⊙O 在∠ABC 外部沿A －B －C 滚动，在点B 处，必须由⊙1O 的位置转到⊙2O 的位置，⊙O 绕点B 旋转的角∠21BO O = n °, ⊙O 在点B 处自转360
n
周。

解答以下问题：
⑴在阅读材料的①中，若AB＝2c，则⊙O自转周；若AB＝l，则⊙O自转周。

在
阅读材料的②中，若∠ABC＝120°，则⊙O在点B处自转周；
若∠ABC＝60°，则⊙O在点B处自转周。

⑵如图13－3，△ABC的周长为l，⊙O从与AB相切于点D的位置出发，在△ABC外部，按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，⊙O自转多少周？
⑶如图13－4，半径为2的⊙O从半径为18，圆心角为120°的弧的一个端点A（切点）开始先在外侧滚动到另一个端点B（切点），再旋转到内侧继续滚动，最后转回到初始位置，⊙O自转多少周？
3．（江苏常州）小明在研究苏教版《有趣的坐标系》后，得到启发，针对正六边形OABCDE，自己设计了一个坐标系如图，该坐标系以O为原点，直线OA为x轴，直线OE为y轴，以正六边形OABCDE的边长为一个单位长。

坐标系中的任意一点P用一有序实数对（,a b）来表示，我们称这个有序实数对（,a b）为点P的坐标。

坐标系中点的坐标的确定方法如下：
m），其中m为M点在x轴上表示的实数；
（ⅰ）x轴上点M的坐标为（,0
（ⅱ）y轴上点N的坐标为（0,n），其中n为N点在）y轴上表示的实数；
（ⅲ）不在x、y轴上的点Q的坐标为（,a b），其中a为过点Q且与y轴平行的直线与x轴的交点在x轴上表示的实数，b为过点Q且与x轴平行的直线与y轴的交点在y轴上表示的实数。

则：（1）分别写出点A、B、C的坐标
（2）标出点M（2，3）的位置；
K x y为射线OD上任一点，求x与y所满足的关系式。

（3）若点(,)
4．（四川内江）阅读理解：
我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中,任意两点P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)的对称中心的坐标为（x 1＋x 22，y 1＋y 2
2）.
观察应用：
（1）如图，在平面直角坐标系中，若点P 1(0，－1)、P 2(2，3)的对称中心是点A ，则点A 的坐标为 ； （2）另取两点B (－1.6，2.1)、C (－1，0).有一电子青蛙从点P 1处开始依次关于点A 、B 、C 作循环对称跳动，即第一次跳到点P 1关于点A 的对称点P 2处，接着跳到点P 2关于点B 的对称点P 3处，第三次再跳到点P 3关于点C 的对称点P 4处，第四次再跳到点P 4关于点A 的对称点P 5处，…．则P 3、P 8的坐标分别为 ， ; 拓展延伸：
（3）求出点P 2016的坐标，并直接写出在x 轴上与点P 2016、点C 构成等腰三角形的点的坐标.
5．（ 江苏镇江）描述证明
海宝在研究数学问题时发现了一个有趣的现象：
x
y
O
C
P 2
B
P 1
（1）请你用数学表达式补充完整海宝发现的这个有趣的现象； （2）请你证明海宝发现的这个有趣现象. 6．（江苏 镇江）深化理解（本小题满分9分）
对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为,><x
即：当n 为非负整数时，如果.,2
1
21n x n x n >=<+<≤-
则 如：<0>=<0.48>=0，<0.64>=<1.493>=1，<2>=2，<3.5>=<4.12>=4，…
试解决下列问题：
（1）填空：①><π= （π为圆周率）；
②如果x x 则实数,312>=-<的取值范围为 ； （2）①当><+>=+<≥x m m x m x :,,0求证为非负整数时；
②举例说明><+>>=<+<y x y x 不恒成立；
（3）求满足x x x 的所有非负实数3
4
>=
<的值； （4）设n 为常数，且为正整数，函数14
1
2
+<≤+
-=n x n x x x y 在的自变量范围内取值时，函数值y 为整数的个数记为k n k a 的所有整数满足>=<
;的个数记为b .
求证：.2n b a ==
7．（广东佛山）一般来说，依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象分为不同种类的数学思想叫做“分类”的思想；将事物进行分类，然后对划分的每一类分别进行研究和求解的方法叫做“分类讨论”的方法。

请依据分类的思想和分类讨论的方法解决下列问题： 如图，在△ABC 中，∠ACB ＞∠ABC 。

（1） 若∠BAC 是锐角，请探索在直线AB 上有多少个点D ，能保证△ACD ～△ABC （不包括全等）？ （2） 请对∠BAC 进行恰当的分类，直接写出每一类在直线AB 上能保证△ACD ～△ABC(不包括全
等)的点D 的个数。

8．（辽宁沈阳）阅读下列材料，并解决后面的问题。

★阅读材料：
（1）等高线概念：在地图上，我们把地面上海拔高度相同的点连成的闭合曲线叫等高线。

例如，如图1，把海拔高度是50米、100米、150米的点分别连接起来，就分别形成50米、100米、150米三条等高线。

（2）利用等高线地形图求坡度的步骤如下：（如图2）
步骤一：根据两点A 、B 所在的等高线地形图，分别读出点A 、B 的高度；A 、B 两点的铅直距离=点A 、B 的高度差；
步骤二：量出AB 在等高线地形图上的距离为d 个单位，若等高线地形图的比例尺为1：n ，则A 、B 两点的水平距离=dn ； 步骤三：AB 的坡度=
dn
的高度差
、点水平距离铅直距离B A ；
请按照下列求解过程完成填空，并把所得结果直接写在答题卡上。

某中学学生小明和小丁生活在山城，如图3（示意图），小明每天从家A 经过B 沿着公路AB 、BP 到学校P ，小丁每天上学从家C 沿着公路CP 到学校P ．该山城等高线地形图的比例尺为1:50000，在等高线地形图上量得AB=1.8厘米，BP=3.6厘米，CP=4.2厘米。

（1）分别求出AB 、BP 、CP 的坡度（同一段路中间坡度的微小变化忽略不计）；
（2）若他们早晨7点同时步行从家出发，中途不停留，谁先到学校？（假设当坡度在101到8
1
之间时，小明和小丁步行的平均速度均约为1.3米／秒；当坡度在81到6
1
之间时，小明和小丁步行的平均速度均约为1米／秒）
解：（1）AB 的水平距离=1.8×50000=90000（厘米）=900（米），AB 的坡度=9
1
900100200=-；BP
的水平距离=3.6×50000=180000（厘米）=1800（米），BP 的坡度=9
1
1800200400=-；CP 的水平距
离=4.2×50000=210000（厘米）=2100（米），CP 的坡度= 。

（2）因为
8
1
91101〈〈，所以小明在路段AB 、BP 上步行的平均速度均为1.3米／秒。

因为 ，所以小丁在路段CP 上步行的平均速度约为 米／秒，斜坡AB 的距离=90610090022≈+（米），斜坡BP 的距离=1811200180022≈+（米），斜坡CP 的距离=2121300210022≈+（米），所以小明从家到学校的时间20903
.11811
906=+≈（秒）。

小丁
从家到学校的时间约为 秒。

因此， 先到学校。

9．（内蒙赤峰）关于三角函数有如下的公式： sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β① cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β②
tan(α+β)=③
利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如
tan105°=
︒
⋅︒-︒
+︒60tan 45tan 160tan 45tan =__________________
根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面实际问题：
如图，直升飞机在一建筑物CD 上方A 点处测得建筑物顶端D 点的俯角α为60°，底端C 点的俯角β
为75°，此时直升飞机与建筑物CD的水平距离BC为42米，求建筑物CD的高。

【答案】A 【答案】D
【答案】6，4，1，7 【答案】9 【答案】0
【答案】19 【答案】：﹣1
2
【答案】－2 【答案】24 解答1【答案】
2【答案】（1）3
1
,
61,,2c l
（2）⊙O 共自转了(
1 c
l
)周 （3）⊙O 一共自转了7圈 3【答案】
4【答案】解：设A 、P 3、P 4、…、P n 点的坐标依次为(x ，y )、(x 3，y 3)、(x 4，y 4)、…、(x n ，y n )(n ≥3，且为正整数).
（1）P 1(0，－1)、P 2(2，3)， ∴x ＝0＋22＝1，y ＝－1＋32
＝1，
∴A （1，1）. ··································································································· 2分 （2）∵点P 3与P 2关于点B 成中心对称，且B (－1.6，2.1), ∴
2＋x 32＝－1.6，3＋y 32
＝2.1， 解得x 3＝－5.2，y 3＝1.2，
∴P 3(－5.2，1.2). ····························································································· 4分 ∵点P 4与P 3关于点C 成中心对称，且C (－1，0), ∴
－5.2＋x 42＝－1，1.2＋y 3
2
＝0， 解得x 4＝3.2，y 4＝－1.2， ∴P 4(3.2，－1.2) .
同理可得P 5(－1.2，3.2)→P 6(－2，1)→P 7(0，－1)→P 8 (2, 3). ··································· 6分
（3）∵P 1(0，－1)→P 2(2，3)→P 3(－5.2，1.2).→P 4(3.2，－1.2)→P 5(－1.2，3.2)→P 6(－2，1)→P 7(0，－1)→P 8 (2, 3) …
∴P 7的坐标和P 1的坐标相同，P 8的坐标和P 2的坐标相同，即坐标以6为周期循环， ∵2012÷6＝335……2，
∴P 2012的坐标与P 2的坐标相同，为P 2012 (2，3); ······················································ 8分 在x 轴上与点P 2012、点C 构成等腰三角形的点的坐标为 （－32－1,0），（2,0），（32－1,0），（5,0）. 12分 5【答案】（1）
;2ab a
b
b a =++（1分）.ab b a =+（2分） （2）证明：,2,222ab ab
ab
b a ab a b b a =++∴
=++ （3分） )
6.(,0,0,0,0)
5(,)()()4(,)(222222分分分ab b a ab b a b a ab b a ab ab b a =+∴>>+>>=+∴=++∴ 6【答案】（1）①3；（1分）②9
4
47<≤x ； （2分） （2）①证明：
[法一]设n n x n n x ,2
1
21,+<≤-
>=<则为非负整数； （3分） m n m n m x m n +++<+≤-+且又,2
1
)(21)(为非负整数，
.><+=+>=+∴<x m m n m x （4分）
[法二]设b x k b k x ,,的整数部分为+=为其小数部分.
)3(..,,)(,
,5.001分为其小数部分的整数部分为时当><+>=+∴<+>=+∴<++++=+∴>=<<≤x m m x k
m x m b x m k m b k m x m k x b
)
4(.:.
,
1.
,,)(,
1,5.02分综上所述为其小数部分的整数部分为则时当><+>=+<><+>=+∴<++>=+∴<++++=++>=<≥x m m x x m x m k m m x b x m k m b k m x m k x b ②举反例：,13.17.06.0,2117.06.0>=>=<+<=+=<>+><而
><+>>=<+∴<>+>≠<<+>∴<y x y x ,7.06.07.06.0不一定成立.（5分）
（3）[法一]作x y x y 3
4
,=
>=<的图象，如图28 （6分）
（注：只要求画出草图，如果没有把有关点画成空心点，不扣分）
),2,23(),1,43(),0,0(34点点图象交于点的图象与x y x
y =>=< .2
3,43,0=∴x （7分） [法二],,3
4,34,0为整数设为整数k k x x x =≥ )7(.2
3,43,0,2,1,0,20)6(,0,2
14321,43.43分分则=∴=∴≤≤≥+<≤-∴>=∴<=
x k k k k k k k k k x （4）n x x x y ,)2
1(4122-=+-=函数 为整数， 当x y n x n 随时,1+<≤的增大而增大，
2222)2
1()21(,)211()21(+<≤--+<≤-∴n y n n y n 即， ① ,2,2,,3,2,1,,4
141222222y n n n n n n n n n n y y n n y n n 个共为整数+-+-+-+-=∴++<≤+
-∴ .2n a =∴ ② （8分）
,,0n k k >=<>
则,)2
1()21(,212122+<≤-∴+<≤-
n k n n k n ③ 比较①，②，③得：.2n b a == （9分） 7
【答案】（1）（i ）如图，若点D 在线段AB 上，
由于∠ACB ＞∠ABC ，可以作一个点D 满足∠ACD=∠ABC, 使得△ACD ∽△ABC 。

………………………………………1分 (ii)如图①，若点D 在线段AB 的延长线上，
则∠ACD ＞∠ACB ＞∠ABC ，与条件矛盾，
因此，这样的点D 不存在。

…………………………2分
（iii ）如图②，若点D 在线段AB 的反向延长线上，
由于∠BAC 是锐角，则∠BAC ＜90°＜∠CAD ，
不可能有△ACD ∽△ABC.
因此，这样的点D 不存在。

……………………………………6分 综上所述，这样的点D 有一个。

………………………………7分 8【答案】①71，②617181<<，③1，④2121， ⑤小明 9【答案】解:过点D 作DE ⊥于E,依题意,在Rt △ADE 中,∠ADE=∠α=60.,
AE=ED ·tan60=BC ·tan60=423.
在Rt △ACB 中,∠ACB=∠β=75.
.AB=BC ·tan75 ∵tan75=tan(45+30)=30tan 45tan 130tan 45tan ..⨯-+=3
333-+=2+3
∴AB=42×(2+3)=84+423
CD=BE=AB －AE=84+423－423=84(米)
答:建筑物CD 的高为84米.。