吉林省长春市2021届新高考数学仿真第四次备考试题含解析

吉林省长春市2021届新高考数学仿真第四次备考试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．将函数()cos f x x =的图象先向右平移
5
6
π个单位长度，在把所得函数图象的横坐标变为原来的1
ω
(0)>ω倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点，则ω的取值范
围是（ ）
A ．228(0,][,]939U
B ．2
(0,]9
C ．28(0,][,1]99
U
D ．(0,1]
【答案】A 【解析】 【分析】
根据y=Acos （ωx+φ）的图象变换规律，求得g （x ）的解析式，根据定义域求出56
x π
ω-的范围，再利用余弦函数的图象和性质，求得ω的取值范围． 【详解】
函数()cos f x x =的图象先向右平移56
π个单位长度，
可得5cos 6y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的图象，
再将图象上每个点的横坐标变为原来的1
ω
(0)>ω倍(纵坐标不变)，
得到函数5()cos 6
g x x πω⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
的图象， ∴周期2T π
ω
=
，
若函数()g x 在3(
,
)22
ππ
上没有零点，
∴ 553526626
x ωπππωππ
ω-<-<-， ∴ 35526262T ωππ
ωππ
πω
⎛⎫⎛⎫---≤=
⎪
⎪⎝⎭⎝⎭， 21ω∴≤，解得01ω<≤，
又5226
352
26k k π
ωππππωππ
π⎧-+≤-⎪⎪⎨⎪+≥-⎪⎩，解得
3412323k ωω-≤≤-，
当k=0时，解
2839
ω≤≤， 当k=-1时，01ω<≤，可得2
09
ω<≤
， ω∴∈228
(0,][,]939
U .
故答案为：A. 【点睛】
本题考查函数y=Acos （ωx+φ）的图象变换及零点问题，此类问题通常采用数形结合思想，构建不等关系式，求解可得，属于较难题.
2．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若312S a S +=，46a =，则5S =（ ）
A ．5
B ．10
C ．15
D ．20
【答案】C 【解析】 【分析】
利用等差通项，设出1a 和d ，然后，直接求解5S 即可 【详解】
令()11n a a n d +-=，则11113232
d
a a a a d ⨯⨯++=++，136a d +=，∴13a =-，3d =，∴()5
5310315S =⨯-+⨯=.
【点睛】
本题考查等差数列的求和问题，属于基础题
3．若复数()(1)2z i i =++（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
【答案】A 【解析】 【分析】
将z 整理成a bi +的形式，得到复数所对应的的点，从而可选出所在象限. 【详解】
解：2
21()()2313z i i i i i =++=++=+，所以z 所对应的点为()1,3在第一象限.
故选:A. 【点睛】
本题考查了复数的乘法运算，考查了复数对应的坐标.易错点是误把2i 当成1进行计算.
4．已知函数有三个不同的零点（其中），则
的值为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
令，构造，要使函数有三个不同的零点（其中），则方程需要有两个不同的根，则，解得或，结合的图象，并分，两个情况分类讨论，可求出
的值.
【详解】
令，构造，求导得，当时，；当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，且时，，时，，，可画出函数的图象（见下图），要使函数有三个不同的零点（其中），则方程需要有两个不同的根（其中），则，解得或，且，
若，即，则，则，且，故，
若，即，由于，故，故不符合题意，
舍去.
故选A.
【点睛】
解决函数零点问题，常常利用数形结合、等价转化等数学思想.
5．抛物线方程为24y x =，一直线与抛物线交于A B 、两点，其弦AB 的中点坐标为(1,1)，则直线的方程为（ ） A ．210x y --= B ．210x y +-=
C ．210x y -+=
D ．210x y ---=
【答案】A 【解析】 【分析】
设()11,A x y ，()22,B x y ，利用点差法得到12124
22
y y x x -==-，所以直线AB 的斜率为2，又过点(1,1)，再
利用点斜式即可得到直线AB 的方程. 【详解】
解：设()()1122,,,A x y B x y ，∴122y y +=，
又211
222
44y x y x ⎧=⎨=⎩，两式相减得：()22
12124y y x x -=-， ∴()()()1212124y y y y x x +-=-，
∴
12124
22
y y x x -==-，
∴直线AB 的斜率为2，又∴过点(1,1)，
∴直线AB 的方程为：12(1)y x -=-，即2 10x y --=， 故选：A. 【点睛】
本题考查直线与抛物线相交的中点弦问题，解题方法是“点差法”，即设出弦的两端点坐标，代入抛物线方程相减后可把弦所在直线斜率与中点坐标建立关系．
6．函数()sin 3f x x πω⎛
⎫=- ⎪⎝⎭（0>ω），当[]0,x π∈时，()f x 的值域为3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
，则ω的范围为（ ）
A ．53,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．55,63
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．14,23⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
D ．50,3
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
【答案】B 【解析】 【分析】
首先由[]0,x π∈，可得3
x π
ω-
的范围，结合函数()f x 的值域和正弦函数的图像，可求的关于实数ω的
不等式，解不等式即可求得范围. 【详解】
因为[]0,x π∈，所以,333x π
π
πωωπ⎡⎤-
∈--⎢⎥⎣⎦，若值域为3,1⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
， 所以只需42
3
3π
π
πωπ≤-
≤
，∴5563
ω≤≤. 故选：B
【点睛】
本题主要考查三角函数的值域，熟悉正弦函数的单调性和特殊角的三角函数值是解题的关键，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养.
7．设集合A 、B 是全集U 的两个子集，则“A B ⊆”是“U
A B =∅I ð”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】C 【解析】 【分析】
作出韦恩图，数形结合，即可得出结论. 【详解】
如图所示，⊆⇒⋂=∅U A B A B ð， 同时⋂=∅⇒⊆U A B A B ð. 故选:C.
【点睛】
本题考查集合关系及充要条件，注意数形结合方法的应用，属于基础题.
8．已知甲、乙两人独立出行，各租用共享单车一次（假定费用只可能为1、2、3元）．甲、乙租车费用
为1元的概率分别是0.5、0.2，甲、乙租车费用为2元的概率分别是0.2、0.4，则甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为（ ） A ．0.18 B ．0.3
C ．0.24
D ．0.36
【答案】B 【解析】 【分析】
甲、乙两人所扣租车费用相同即同为1元，或同为2元，或同为3元，由独立事件的概率公式计算即得． 【详解】
由题意甲、乙租车费用为3元的概率分别是0.3,0.4， ∴甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为
0.50.20.20.40.30.40.3P =⨯+⨯+⨯=．
故选：B ． 【点睛】
本题考查独立性事件的概率．掌握独立事件的概率乘法公式是解题基础．
9．已知双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b -=>>的焦点为1F ，2F ，且C 上点P 满足120PF PF ⋅=u u u v u u u u v ，13PF =u u u v ，24PF =u u u u v
，则双曲线C 的离心率为
A ．2
B ．
C ．
52
D ．5
【答案】D 【解析】 【分析】
根据双曲线定义可以直接求出a ，利用勾股定理可以求出c ，最后求出离心率. 【详解】
依题意得，2121a PF PF =-=，125F F =
=，因此该双曲线的离心率
12
21
5F F e PF PF =
=-.
【点睛】
本题考查了双曲线定义及双曲线的离心率，考查了运算能力.
10．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，函数()f x 满足()()4f x f x =+，且(]0,1x ∈时，
()2()log 1f x x =+，则()()20182019f f +=（ ）
A ．2
B ．2-
C ．1
D ．1-
【答案】D 【解析】 【分析】
()()4f x f x =+说明函数是周期函数，由周期性把自变量的值变小，再结合奇偶性计算函数值．
【详解】
由()()4f x f x =+知函数()f x 的周期为4，又()f x 是奇函数，
(2)(2)f f =-，又(2)(2)f f -=-，∴(2)0f =，
∴()()()()()()201820192301011f f f f f f +=+=+-=-=-． 故选：D ． 【点睛】
本题考查函数的奇偶性与周期性，掌握周期性与奇偶性的概念是解题基础． 11．已知函数()sin(2019)cos(2019)44
f x x x π
π
=+
+-的最大值为M ，若存在实数,m n ，使得对任意实数x 总有()()()f m f x f n ≤≤成立，则M m n ⋅-的最小值为（ ） A ．
2019
π
B ．
22019
π C ．
42019
π
D ．
4038
π
【答案】B 【解析】 【分析】
根据三角函数的两角和差公式得到()f x =2sin(2019)4
x π
+，进而可以得到函数的最值，区间(m,n)长度
要大于等于半个周期，最终得到结果. 【详解】 函数
()sin 2019cos 201944f x x x ππ⎛⎫⎛
⎫=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭)sin 2019cos 2019cos 2019sin 20192
x x x x +++
)
sin 2019cos 20192sin(2019)4
x x x π
=+=+
则函数的最大值为2，2M m n m n ⋅-=-
存在实数,m n ，使得对任意实数x 总有()()()f m f x f n ≤≤成立，则区间(m,n)长度要大于等于半个周期，即min 222019
2019
m n m n π
π
-≥∴-=
故答案为：B. 【点睛】
这个题目考查了三角函数的两角和差的正余弦公式的应用，以及三角函数的图像的性质的应用，题目比较综合.
12．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1a =
，c =，sin sin 3b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，则sin C =（ ） A
B
．
C
D
【答案】B 【解析】 【分析】
利用两角差的正弦公式和边角互化思想可求得tan 3
B =，可得出6B π=，然后利用余弦定理求出b 的值，
最后利用正弦定理可求出sin C 的值. 【详解】
1sin sin cos sin 32b A a B B a B π⎛⎫
=-=- ⎪⎝⎭Q ，
即1
sin sin cos sin sin 2
A B A B A B =
-
，即3sin sin cos A B A A =， sin 0A >Q
，3sin B B ∴=
，得tan 3
B =
，0B Q π<<，6B π∴=.
由余弦定理得b === 由正弦定理sin sin c b C B
=
，因此，1sin sin 7c B C b ===. 故选：B. 【点睛】
本题考查三角形中角的正弦值的计算，考查两角差的正弦公式、边角互化思想、余弦定理与正弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中等题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的左顶点为A ，右焦点为F ，过F
作x 轴的垂线交双曲线于点P ，Q.若APQ ∆为直角三角形，则该双曲线的离心率是______. 【答案】2
【解析】 【分析】
根据APQ ∆是等腰直角三角形，且F 为PQ 中点可得AF PF =，再由双曲线的性质可得2
b a
c a
+=，解
出e 即得. 【详解】
由题，设点0(),P c y ，由22
221(0,0)
x c x y a b a b =⎧⎪⎨-=>>⎪⎩，解得20b y a =±，即线段2b
PF a =，APQ ∆Q 为直角三角形，
2
PAQ π
∴∠=，且AP AQ =，又F 为双曲线右焦点，PQ 过点F ，且PQ x ⊥轴，AF PF ∴=，
可得2b a c a +=，22
c a a c a
-∴+=，整理得：2220a ac c +-=，即220e e --=，又1e >，2e ∴=.
故答案为：2 【点睛】
本题考查双曲线的简单性质，是常考题型. 14．正项等比数列|{}n a 满足1354a a +=，且2431
2,,2
a a a 成等差数列，则1223()()a a a a ⋅⋅1()n n a a +⋅L 取得最小值时n 的值为_____ 【答案】2 【解析】 【分析】
先由题意列出关于1,a q 的方程，求得{}n a 的通项公式，再表示出1223()()a a a a ⋅⋅1()n n a a +⋅L 即可求解. 【详解】
解：设{}n a 公比为q ，且0q >，
23242,a a q a a q ∴==
4231
222a a a ⨯=+
22221
222
a q a a q ∴⨯=+
211113
2002
5
44
141
224
n n n q q q q a a a a --∴--=>∴=∴+=∴=
∴=⨯=Q 32251222n n n n n n b a a ---+∴==⨯= 312512222n n b b b ---∴=⨯⨯⨯L L L L
2
2
3(1)(25)4(2)
4
222n n
n
n -+-++----===L
2n ∴=时，上式有最小值41216
-=
， 故答案为：2. 【点睛】
本题考查等比数列、等差数列的有关性质以及等比数列求积、求最值的有关运算，中档题.
15．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，且4AP AC ==，过A 点分别作AE PB ⊥于点E ，AF PC ⊥于点F ，连接EF ，则三棱锥P AEF -的体积的最大值为__________．
42
【解析】 【分析】
由已知可得△AEF 、△PEF 均为直角三角形，且AF ＝2，由基本不等式可得当AE ＝EF ＝2时，△AEF 的面积最大，然后由棱锥体积公式可求得体积最大值． 【详解】
由PA ⊥平面ABC ，得PA ⊥BC ，
又AB ⊥BC ，且PA∩AB ＝A ，∴BC ⊥平面PAB ，则BC ⊥AE ， 又PB ⊥AE ，则AE ⊥平面PBC ，
于是AE ⊥EF ，且AE ⊥PC ，结合条件AF ⊥PC ，得PC ⊥平面AEF ，
∴△AEF 、△PEF 均为直角三角形，由已知得AF ＝， 而S △AEF ＝
1124AE EF ⨯⨯≤（AE 2+EF 2）＝1
4
AF 2＝2， 当且仅当AE ＝EF=2时，取“＝”，此时△AEF 的面积最大， 三棱锥P ﹣AEF 的体积的最大值为：
V P ﹣AEF ＝
13AEF PF S n ⨯⨯＝123⨯＝3
．
【点睛】
本题主要考查直线与平面垂直的判定，基本不等式的应用，同时考查了空间想象能力、计算能力和逻辑推理能力，属于中档题．
16．已知正四棱柱的底面边长为3cm ，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的体积是____3cm ． 【答案】54 【解析】
Aa 设正四棱柱的高为h 得到6,h ==故得到正四棱柱的体积为9654.V =⨯= 故答案为54.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在如图所示的多面体中，平面11ABB A ⊥平面ABCD ，四边形11ABB A 是边长为2的菱形，四边形
ABCD 为直角梯形，四边形11BCC B 为平行四边形，且AB CD ∕∕， AB BC ⊥，1CD =
（1）若,E F 分别为1A C ，1BC 的中点，求证：EF ⊥平面11AB C ；
（2）若160A AB ∠=︒，1AC 与平面ABCD ，求二面角11A AC D --的余弦值．
【答案】 (1)见解析(2) 78
- 【解析】
试题分析：（1）第（1）问，转化成证明1A B ⊥平面11AB C ,再转化成证明11A B AB ⊥和111A B B C ⊥.(2)第（2）问，先利用几何法找到1AC 与平面ABCD 所成角，再根据1AC 与平面ABCD 所成角的正弦值为5
5
求出11B C a =，再建立空间直角坐标系，求出二面角11A AC D --的余弦值. 试题解析：
（1）连接1A B ,因为四边形11ABB A 为菱形，所以11A B AB ⊥.
因为平面11ABB A ⊥平面ABCD ，平面11ABB BA ⋂平面ABCD AB =，BC ⊂平面ABCD ，AB BC ⊥，所以BC ⊥平面11ABB A .
又1A B ⊂平面11ABB A ，所以1A B BC ⊥. 因为11//BC B C ，所以111A B B C ⊥.
因为1111B C AB B ⋂=，所以1A B ⊥平面11AB C .
因为,E F 分别为11A C ，1BC 的中点，所以1//EF A B ，所以EF ⊥平面11AB C （2）设11B C a =，由（1）得11B C ⊥平面11ABB A .
由160A AB ∠=︒，2BA =，得123AB =，2112AC a =+.
过点1C 作1C M DC ⊥，与DC 的延长线交于点M ，取AB 的中点H ，连接1A H ，AM ，如图所示，
又160A AB ∠=︒，所以1ABA ∆为等边三角形，所以1A H AB ⊥，又平面11ABB A ⊥平面ABCD ，平面
11ABB A ⋂平面ABCD AB =，1A H ⊂平面11ABB A ，故1A H ⊥平面ABCD .
因为11BCC B 为平行四边形，所以11//CC BB ，所以1//CC 平面11AA BB . 又因为//CD AB ，所以//CD 平面11AA BB .
因为1CC CD C ⋂=，所以平面11//AA BB 平面1DC M .
由（1），得BC ⊥平面11AA BB ，所以BC ⊥平面1DC M ，所以1BC C M ⊥.
因为BC DC C ⋂=，所以1C M ⊥平面ABCD ，所以1C AM ∠是1AC 与平面ABCD 所成角.
因为11//A B AB ，11//C B CB ，所以11//A B 平面ABCD ，11//B C 平面ABCD ，因为11111A B C B B ⋂=，所以平面//ABCD 平面111A B C .
所以11A H C M ==
111sin 5MC C AM AC ∠===
，解得a =在梯形ABCD 中，易证DE AB ⊥，分别以HA u u u v ，HD u u u v ，1HA u u u
u v 的正方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立
空间直角坐标系.
则()1,0,0A
，()
D
，(1A
，(1B -，()1,0,0B -
，()
C -，
由(1BB u u u v =-，及11BB CC =u u u v u u u u v ，
得(1C -，
所以(1
AC =-u u u u v
，()
AD =-u u u v
，(1AA u u u v
=-.
设平面1ADC 的一个法向量为()111,,m x y z =，由10,0,m AC m AD ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u u v
u u u v
得1111130,
0,x x ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩
令11y =，得
m=(3,1,2)
设平面11AA C 的一个法向量为()222,,n x y z =，由110,0,n AC n AA ⎧⋅=⎪
⎨⋅=⎪⎩u u u u v
u u u v
得2222230,0,x x ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩
令21z =，
得)
n =
.
所以7
cos ,8
m n m n m n ⋅=
=== 又因为二面角11A AC D --是钝角，所以二面角11A AC D --的余弦值是7
8
-
. 18．在本题中，我们把具体如下性质的函数()f x 叫做区间D 上的闭函数：①()f x 的定义域和值域都是D ；②()f x 在D 上是增函数或者减函数.
（1）若()tan()f x x ω=在区间[1,1]-上是闭函数，求常数ω的值；
（2
）找出所有形如3()log f x a x =+,a b 都是常数），使其在区间[1,9]上是闭函数.
【答案】（1）4
π
±；（2
）3()3log f x x =+. 【解析】 【分析】
（1）依据新定义，()f x 的定义域和值域都是[1,1]-，且()f x 在[1,1]-上单调，建立方程求解；（2）依据新定义，讨论()f x 的单调性，列出方程求解即可。

【详解】
（1）当0>ω时，由复合函数单调性知，()tan()f x x ω=在区间[1,1]-上是增函数，即有
[],,22tan()1tan 1
ππωωωω⎧⎛⎫-⊆- ⎪⎪
⎝⎭⎪⎪
-=-⎨
⎪=⎪⎪⎩
，解得=4πω ； 同理，当0ω<时，有[],,22tan()1tan 1
ππωωωω⎧⎛⎫
-⊆- ⎪⎪
⎝⎭⎪⎪
-=⎨⎪=-⎪⎪⎩
，解得=4πω-，综上，=4πω±。

（2）若()f x 在[1,9]上是闭函数，则()f x 在[1,9]上是单调函数， ①当()f x 在[1,9]上是单调增函数，则(1)1
(9)239
f b f a b ==⎧⎨
=+=⎩ ，解得3
1
a b =⎧⎨
=⎩，检验符合；
②当()f x 在[1,9]上是单调减函数，则(1)9(9)231f b f a b ==⎧⎨=+=⎩，解得13
9a b =-⎧⎨=⎩
，
3()13log f x x =-+[1,9]上不是单调函数，不符合题意。

故满足在区间[1,9]
上是闭函数只有3()3log f x x = 【点睛】
本题主要考查学生的应用意识，利用所学知识分析解决新定义问题。

19．已知函数32
1()26
F x x x a =-
++，()ln G x a x =，设()()()f x F x G x '=-． （1）当3a =-时，求函数()f x 的单调区间；
（2）设方程()f x c '=（其中c 为常数）的两根分别为α，β()αβ<，证明：02f αβ+⎛⎫
''<
⎪⎝⎭
．
（注：()f x ''是()f x '的导函数）
【答案】（1）()f x 在()0,3上单调递增，在()3,+∞上单调递减．（2）见解析
【解析】 【分析】
（1）求出导函数()f x '
，由()0f x '>确定增区间，由()0f x '<确定减区间；
（2）求出含有参数a 的()f x '
，再求出()f x ''，由()f x c '=的两根是,αβ，得a αβ=，
计算(
)2
f αβ
+''，代入a αβ=后可得结论．
【详解】
解：2
1()()()2ln 2
f x F x G x x x a x '=-=-
+-，函数()f x 的定义域为()0,∞+， ()222a x x a
f x x x x
-+-'=-+-=
． （1）当3a =-时，222323(3)(1)
()x x x x x x f x x x x
-++---+'==-=-
， 由()0f x '>得03x <<，由()0f x '<得3x >，
故函数()f x 在()0,3上单调递增，在()3,+∞上单调递减． （2）证明：由条件可得()2a f x x x '=-+-
，0x >，2()1a
f x x
''∴=-+， Q 方程()f x c '=的两根分别为α，β()αβ<，()f c α'∴=，且()f c β'=，可得a αβ=．
2222
44()1102
()()()a f αβ
αβαβαβαβαβ+--⎛⎫
''=-+=-+=< ⎪+++⎝⎭
． 【点睛】
本题考查用导数研究函数的单调性，考查导数的运算、方程根的知识．在可导函数中一般由()0f x '>确定增区间，由()0f x '<确定减区间．
20．为迎接2022年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核．记X 表示学生的考核成绩，并规定85X ≥为考核优秀．为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：
（Ⅰ）从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核优秀的概率；
（Ⅱ）从图中考核成绩满足[]80,89X ∈的学生中任取2人，求至少有一人考核优秀的概率； （Ⅲ）记()P a X b ≤≤表示学生的考核成绩在区间[],a b 的概率，根据以往培训数据，规定当
8510.510x P ⎛-⎫≤≥ ⎪⎝⎭
时培训有效．请根据图中数据，判断此次中学生冰雪培训活动是否有效，并说明理由．
【答案】（Ⅰ）7
30
（Ⅱ）35（Ⅲ）见解析
【解析】 【分析】
（Ⅰ）根据茎叶图求出满足条件的概率即可；
（Ⅱ）结合图表得到6人中有2个人考核为优，从而求出满足条件的概率即可； （Ⅲ）求出满足85
110
X -≤的成绩有16个，求出满足条件的概率即可． 【详解】
解：（Ⅰ）设这名学生考核优秀为事件A ，
由茎叶图中的数据可以知道，30名同学中，有7名同学考核优秀， 所以所求概率()P A 约为
730
（Ⅱ）设从图中考核成绩满足[]80,89X ∈的学生中任取2人， 至少有一人考核成绩优秀为事件B ，
因为表中成绩在[]80,89的6人中有2个人考核为优，
所以基本事件空间Ω包含15个基本事件，事件B 包含9个基本事件， 所以93()155
P B =
= （Ⅲ）根据表格中的数据，满足
85
110
x -≤的成绩有16个， 所以85168
10.5103015
x P ⎛-⎫≤==>
⎪⎝⎭
所以可以认为此次冰雪培训活动有效． 【点睛】
本题考查了茎叶图问题，考查概率求值以及转化思想，是一道常规题．
21．已知向量(
)1cos ,1,,2a x b x ⎫=-=-⎪⎭r r ，函数()()
2f x a b a =+⋅-r r r
．
（1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；
（2）在ABC ∆中，三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知函数()f x 的图像经过点1,2A ⎛⎫
⎪⎝⎭
，,,b a c 成等差数列，且9AB AC ⋅=u u u v u u u v
，求a 的值．
【答案】（1）π，(),3
6k k k Z π
πππ⎡
⎤
-
+
∈⎢⎥⎣
⎦
（2
）a = 【解析】 【分析】
（1）利用向量的数量积和二倍角公式化简()f x 得()sin 26f x x π⎛
⎫+ ⎝
=⎪⎭，故可求其周期与单调性；
（2）根据图像过1,
2A ⎛
⎫ ⎪
⎝⎭得到()1
2
f A =，故可求得A 的大小，再根据数量积得到bc 的乘积，最后结合余弦定理和2b c a +=构建关于a 的方程即可． 【详解】
（1）()(
)
2122cos 22sin 2226f x a b a a a b x x x π⎛
⎫=+⋅-=+⋅-=+=+ ⎪⎝
⎭r r r r r r ，
最小正周期：22
T π
π==， 由()222,2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
≤+
≤+
∈得()36
k x k k ππ
π-
≤≤π+∈Z ， 所以()f x 的单调递增区间为(),3
6k k k Z π
πππ⎡
⎤
-
+
∈⎢⎥⎣
⎦
；
（2）由()1sin 262f A A π⎛
⎫
=+
= ⎪⎝
⎭可得：()5222666
A k k k Z πππππ+=++∈或， 所以3
A π
=
．
又因为,,b a c 成等差数列，所以2a b c =+
而1
cos 9,182
AB AC bc A bc bc ⋅===∴=u u u r u u u r ，
(
)2
2222
214cos 11,2
23612
b c a bc a a a A a bc +---∴==
=-=-∴=
22．在三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c
，若222sin 3
A b a c =+-. （Ⅰ）求角A ； （Ⅱ）若5c =，1
cos 7
B =
，求b .
【答案】（Ⅰ）3
A π
=（Ⅱ）8
【解析】 【分析】
（Ⅰ）由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，即可求出A,
（Ⅱ）根据同角的三角函数的关系和两角和的正弦公式和正弦定理即可求出. 【详解】
（Ⅰ）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-， 所以2222cos b c a bc A +-=，
1
sin 2cos 2
bc A bc A =，
即tan A = 因为0A π<<， 所以3
A π
=
；
（Ⅱ）因为1cos 7B =
，所以sin B = 因为()sin sin C A B =+，
sin cos cos sin A B A B =+
1172=
+=
， 由正弦定理得sin sin b c B C =，所以sin 8sin c
b B C
=⋅=. 【点睛】
本题考查利用正弦定理与余弦定理解三角形，属于简单题.
23．在直角坐标系l 中，已知直线l 的直角坐标方程为3y x =，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x y θθ=⎧⎨
=+⎩
（θ为参数），以直角坐标系原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为
4sin()3
π
ρθ=+.
（1）求曲线1C 和直线l 的极坐标方程；
（2）已知直线l 与曲线1C 、2C 相交于异于极点的点,A B ，若,A B 的极径分别为12ρρ，，求12ρρ-的
值.
【答案】（1）2sin ρθ=，)6
R π
θρ=∈（.（2）
123ρρ-=
【解析】 【分析】
（1）先将曲线1C 的参数方程化为直角坐标方程，即可代入公式化为极坐标；根据直线的直角坐标方程，求得倾斜角，即可得极坐标方程.
（2）将直线l 的极坐标方程代入曲线1C 、2C 可得12,ρρ，进而代入可得12
ρρ-的值.
【详解】
（1）曲线1C 的参数方程为cos 1sin x y θ
θ
=⎧⎨=+⎩（θ为参数），
消去θ得22
20x y y +-=，
把2
2
2
x y ρ+=，sin y ρθ=代入得2
2sin 0ρθ-=，
从而得1C 的极坐标方程为2sin ρθ=，
∵直线l 的直角坐标方程为y x
=
，其倾斜角为6π， ∴直线l 的极坐标方程为)6
R π
θρ=∈（.
（2）将6
π
θ=
代入曲线12C C ，的极坐标方程分别得到
12sin
1,6
π
ρ==24sin()463ππ
ρ=+=，
则
123ρρ-=.
【点睛】
本题考查了参数方程化为普通方程的方法，直角坐标方程化为极坐标方程的方法，极坐标的几何意义，属于中档题.。