湖南师大附中届上学期高三月考试卷五数学文word版
湖南省师大附中炎德 英才大联考高三月考试卷五(语文)
炎德·英才大联考高三月考试卷(五)语文湖南师大附中高三语文备课组组稿命题人：吴彩霞曾文峰杨茜审题人：张迪平时量：150分钟满分：150分一、语言知识及运用(15分，每小题3分)1．下列词语中加点的字，读音全都正确的一组是A伺．候(sì) 采．邑(cài) 发．卡(fà) 量．体裁衣(liàng)B绿．林(lù) 巷．道(hàng) 翘．楚(qiáo) 天遂．人愿(suí)C地壳．(qiào) 踏．实(tā) 炮烙．(luò) 自怨自艾．(yì)D埋．怨(mán) 拓．本(tuò) 寒舍．(shè) 差．可告慰(chā) l.C／A.伺．候(cì) B．天遂．人愿(suì) D.拓．本(tà)2．下列词语中没有错别字．．．．．的一组是A.精简奸滑申张真知灼见B.证券凋敝神州攻城略地C.寒暄构陷新颖出奇制胜D.修葺涣散阔绰激流勇退2.B/A.伸张 C.新颖 D.急流勇退3．下列各句中，加点的成语使用不恰当．．．的一句是A.几个月来，报纸上不少语焉不详．．．．却耸人听闻的报道刺激了人们的想象，集体的无意识的猜测则让经济恐慌大行其道，但是究竟严重到何种程度却无人深究。
B.生命教育必须贯穿教育的始终，让学生不但有崇高的生命意识，而且有应急救险的技能，灾难突发时，他们才能从容应对，而不至于惊慌失措、走投无路．．．．。
C.《梅飞色舞》一书中，陈凯歌讲述了三年来拍摄《梅兰芳》走过的心路历程，展示了自己创作《梅兰芳》的初衷，对老北京、旧时代的掌故也能信手拈来．．．．。
D.海峡两岸“大三通”启动，将使“两岸一日生活圈”成为现实，为大陆台商及台湾大陆配偶春节返乡带来便利，而近年实施的“春节包机”终将寿终正寝．．．．。
3.D／D感情色彩不当。
2020届湖南师范大学附属中学高三上学期第五次月考数学(文)试题
湖南师大附中2020届高三月考试卷（五）数 学（文科）一、选择题1.若i 为虚数单位，复数z 满足()11z i i i +=-+，则z 的虚部为（ ）A.12- B. 12i -C.12D.12.设非空集合P Q ，满足P Q P ⋂=，则（ ） A. x Q ∀∈，有x P ∈ B. x Q ∀∉，有x P ∉ C. 0x Q ∃∉，使得0x P ∈D. 0x P ∃∈，使得0x P ∉3.某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A. 1B. 2C. 3D. 44.若向量a r 与b r 满足()a b a +⊥r r r ，且1a =r ，2b =r ，则向量a r 在b r方向上的投影为（）A.B. 12-C. -1D.5.已知数列{}n a 是首项为3，公差为d(d∈N *)的等差数列，若2019是该数列的一项，则公差d 不可能是( ) A. 2B. 3C. 4D. 56.已知tan 3α=，则2212sin cos sin cos αααα+-的值是（ ） A.12B. 12- C. 2D. 57.若不等式222424ax ax x x +-<+ 对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是（ ） A. (22)-，B. (2)(2)-∞-⋃+∞，，C. (22]-，D. (2]-∞，8.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点O 在底面ABCD 中心，在正方体1111ABCD A B C D -内随机取一点P 则点P 与点O 距离大于1的概率为( ) A.12π B. 112π-C.6πD. 16π-9.已知实数x ，y 满足1x y +≤，则2z x y =-的最大值为（ ） A. 5B. 4C. 3D. 210.若直线l ：1y kx =+与双曲线C ：2221x y -=的右支交于不同的两点A 、B ，则实数k 的取值范围是（ ）A. 2k -<<B. 22k -<< Ck <<D. 20k -<<11.在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若cos cos 3sin B C Ab c C+=，cos 2B B +=，则a c +的取值范围是（ ）A. ⎝B. 32⎛⎝C. ⎣D. 32⎡⎢⎣12.将函数f(x)＝ln(x ＋1)(x≥0)的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角θ(θ∈(0，α])，得到曲线C ，若对于每一个旋转角θ，曲线C 都仍然是一个函数的图像，则α的最大值为( ) A. πB.π2C.π3D.π4二、填空题13.已知直线经过点()2,0A -，()5,3B -，则该直线的倾斜角为______.14.已知圆锥的母线长为10cm ，侧面积为260cm π，则此圆锥的体积为 3cm ..15.在一次数学测试中，甲、乙、丙、丁四位同学中只有一位同学得了满分，他们四位同学对话如下，甲：我没考满分；乙：丙考了满分；丙：丁考了满分；丁：我没考满分.其中只有一位同学说是真话，据此，判断考满分的同学是__________． 16.已知数列{}n a 与{}n b 满足*12()3n n a b n N =+∈，若{}n b 的前n 项和为3(21)n n T =-且8(3)2n n a b n λλ-≥-+对一切*n N ∈恒成立，则实数λ的取值范围是_________. 三、解答题17.某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300名学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）.（1）应收集多少位女生的样本数据？（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：[]0,2，(]2,4，(]4,6，(]6,8，(]8,10，(]10,12，估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的毎周平均体育运动时间与性别有关”.的附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.18.已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且21nn S n =+-，其中*n N ∈.（1）求数列{}n a 通项公式；（2）若数列{}n b 满足()21n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .19.如图，已知正方形ABCD 的边长为2，AC 与BD 交于点O ，将正方形ABCD 沿对角线BD 折起，得到三棱锥A BCD -.（1）求证：平面AOC ⊥平面BCD ； （2）若三棱锥A BCD -的体积为3，且AOC ∠是钝角，求AC 的长. 20.已知离心率为12的椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点与抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点F 重合，且点F 到E 的准线的距离为2. （1）求C 的方程；（2）若直线l 与C 交于,M N 两点，与E 交于,A B 两点，且4OA OB ⋅=-u u u r u u u r（O 为坐标原点），求MNF ∆面积的最大值.的21.已知函数()2ln f x a x x =+，其中a R ∈.（1）讨论()f x 单调性；（2）当1a =时，证明：()21f x x x ≤+-；（3）求证：对任意正整数n ，都有222211*********e n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L （其中 2.7183e ≈，为自然对数的底数）. 22.在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l 的参数方程为3x t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=. （1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，点()3,0P ，求PA PB +的值.23.已知函数f （x ）＝|x+2|﹣2|x ﹣1|． （1）解不等式f （x ）≤1；（2）若关于x 的不等式f （x ）＞ax 只有一个正整数解，求实数a 的取值范围．的。
2024-2025学年湖南师范大学附属中学高三上学期月考(一)语文试题及答案
湖南师大附中2025届高三月考试卷（一）语文本试卷共四道大题，23道小题，满分150分。
时量150分钟。
一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读Ⅰ（本题共5小题，19分）阅读下面的文字，完成下面小题。
科学中的对称对称既然在人类历史上占有非常重要、非常基本的地位，哲学家和科学家很自然会想广泛地加以运用。
1595年的时候，天文学家开普勒就曾经想用一些几何的对称来解释太阳系各行星轨道的直径的比例。
他希望在一个球里面放一个内接的正方体，在这个正方体里面放一个内接的正三角体，希望用这些正多面体的大小比例来解释太阳系各行星轨道的大小比例。
我们知道许多早期用到科学上的对称原理，并没有很大的成果，可是它们说明了科学家很早就对对称发生兴趣了。
对称在科学界开始产生重要的影响始于19世纪。
发展到近代，我们已经知道这个观念是晶体学、分子学、原子学、原子核物理学、化学、粒子物理学等现代科学的中心观念。
近年来，对称更变成了决定物质间相互作用的中心思想。
（所谓相互作用，是物理学的一个术语，意思就是力量，质点跟质点之间的力量。
）20世纪物理学的作用。
我准备分下列几节来讨论：①、②、“群”与对称、守恒定律与对称、宇称守恒与左右对称、规范对称。
最后，我想跟大家谈一下未来的发展。
①1871年麦克斯韦发表了一篇题为《物理量的数学分类》的文章。
麦克斯韦以及比他更早的一个数学家兼物理学家哈密顿，了解到物理里面所讲的量不止一种，有的叫作标量，有的叫作向量。
标量没有方向，向量除了大小外，还有方向。
这篇文章非常有意思，因为今天物理学常用的一些观念，这篇文章已经非常清楚地用一些几何图像表示了出来。
比如麦克斯韦称为“内向”的观念，今天我们常把这个量叫作“散度”（即向外发散的程度），这是一个重要观念。
另一个重要的观念叫作“旋度”。
这些观念的引进都有赖哈密顿跟麦克斯韦的努力。
在另外一篇文章里，麦克斯韦把电学跟磁学的基本公式写了下来。
这是19世纪最重要的物理学工作，麦克斯韦写这篇文章的时候，对于向量的观念虽然已经非常了解，却没有引进向量的符号。
2019届湖南师范大学附属中学高三上学期月考(五) 数学(文)(word版)
湖南师大附中2019届高三月考试卷(五)数 学(文科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页。
时量120分钟。
满分150分。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数6－5i ，－2＋3i 对应的点分别为A 、B ，若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是(C)A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2－iD ．4＋i2．设命题p ：－6≤m ≤6，命题q ：函数f (x )＝x 2＋mx ＋9(m ∈R )没有零点，则p 是q 的(B)A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．点P (a ，3)到直线4x －3y ＋1＝0的距离等于4，且在2x ＋y －3<0表示的平面区域内，则a 的值为(C)A ．3B ．7C ．－3D ．－74．已知函数f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝x 13，则在(－2，0)上，下列函数中与f (x )的单调性相同的是(C)A ．y ＝－x 2＋1 B ．y ＝|x ＋1| C ．y ＝e |x |D ．y ＝⎩⎨⎧2x －1，x ≥0x 3＋1，x <05．如图所示是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为(D) A ．57＋24π B ．57＋15π C ．48＋15π D ．48＋24π6．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均与圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，则该双曲线离心率等于(A)A.355B.62C.32D.557．将参加夏令营的400名学生编号为：001，002，…，400，采用系统抽样的方法抽取一个容量为40的样本，且随机抽得的号码为003，这400名学生分住在三个营区，从001到180在第一营区，从181到295在第二营区，从296到400在第三营区，三个营区被抽中的人数分别为(A)A ．18，12，10B ．20，12，8C ．17，13，10D ．18，11，118．已知△ABC 中，∠A ＝30°，AB 、BC 分别是3＋2，3－2的等差中项与等比中项，则△ABC 的面积等于(D)A.32 B.34 C.32或 3 D.32或349．右图中，x 1，x 2，x 3为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，p 为该题的最终得分，当x 1＝6，x 2＝9，p ＝8.5时，x 3等于(C)A ．11B ．10C ．8D ．710．A (a ，1)，B (2，b )，C (4，5)为坐标平面内三点，O 为坐标原点，若OA →与OB →在OC →方向上的投影相同，则a ，b 满足的关系式为(A)A ．4a －5b ＝3B ．5a －4b ＝3C ．4a ＋5b ＝14D ．5a ＋4b ＝1411．已知直线y ＝mx 与函数f (x )＝⎩⎨⎧2－⎝⎛⎭⎫13x，x ≤0，12x 2＋1，x >0的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m 的取值范围为(B)A ．(3，4)B ．(2，＋∞)C ．(2，5)D ．(3，22)12．已知方程x 3＋ax 2＋bx ＋c ＝0的三个实根可分别作为一椭圆、一双曲线、一抛物线的离心率，则a 2＋b 2的取值范围是(D)A ．(5，＋∞)B ．[5，＋∞)C ．[5，＋∞)D ．(5，＋∞)第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．13．设直线l ：(m －1)x ＋(2m ＋1)y ＋3m ＝0(m ∈R )与圆(x －1)2＋y 2＝8交于A 、B 两点，C 为圆心，且△ABC 面积等于4，则实数m ＝__－12或－72__．14．已知x >0，y >0，且2x ＋1y＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是__－4<m <2__．15．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，过点A 向∠BAD 所在区域等可能任作一条射线AP ，已知事件“射线AP 与线段BC 有公共点”发生的概率为13，则BC 边的长为．16．函数y ＝f (x )图象上不同两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)处的切线的斜率分别是k A ，k B ，规定φ(A ，B )＝|k A －k B ||AB |2叫做曲线y ＝f (x )在点A 、B 之间的“平方弯曲度”．设曲线y ＝e x ＋x 上不同两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1－x 2＝1，则φ(A ，B )的取值范围是__⎝ ⎛0，2__． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本题满分12分)越接近高考学生焦虑程度越强，四个高三学生中大约有一个有焦虑症，经有关机构调查，得出距离高考周数与焦虑程度对应的正常值变化情况如下表：(1)作出散点图：(2)根据上表数据用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^(精确到0.01)； (3)根据经验，观测值为正常值的0.85～1.06为正常，若1.06～1.12为轻度焦虑，1.12～1.20为中度焦虑，1.20及其以上为重度焦虑，若为中度焦虑及其以上，则要进行心理疏导，若一个学生在距高考第二周时观测值为100，则该学生是否需要进行心理疏导？其中b ^＝错误!错误!＝91，错误!＝错误!－错误!错误!. 【解析】(1)4分(2)x －＝16(6＋5＋4＋3＋2＋1)＝3.5，y －＝16(55＋63＋72＋80＋90＋99)＝76.5，x － y －＝267.75，b ^＝1 452－6×267.7591－6×3.52≈－8.83，a ^＝76.5＋8.83×3.5≈107.41，所以线性回归方程为y ＝－8.83x ＋107.418分(3)x ＝2时，y ＝－8.83×2＋107.41≈89.74，∵10089.74≈1.11<1.12，为轻度焦虑，故该学生不需要进行心理疏导.12分18．(本题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AD ，AB ＝2AD ，E 是线段PD 上的点，F 是线段AB 上的点，且PE ED ＝BFF A＝λ(λ>0)．(1)证明：EF ∥平面PBC ；(2)是否存在实数λ，使得异面直线EF 与CD 所成角为60°？若存在，试求出λ的值，若不存在，请说明理由．【解析】(1)作EH ∥AD 交P A 于点H ，连接HF ， ∵EH ∥AD ，∴PE ED ＝PHHA.1分 又∵PE ED ＝BF F A ＝λ，∴PH HA ＝BFF A ，∴FH ∥PB .2分又∵EH ∥AD ，FH ∩HE ＝H ， ∴平面EFH ∥平面PBC .4分 ∵EF平面EFH ，∴EF ∥平面PBC .6分(2)存在实数λ＝5，使得异面直线EF 与CD 所成角为60°.7分 其理由如下：假设存在实数λ，使得异面直线EF 与CD 所成角为60°， ∵AB ∥CD ，∴∠AFE 为异面直线EF 与CD 所成角，∴∠AFE ＝60°.8分 过点E 作EQ ⊥AD 交AD 于点Q ，连接FQ ， ∵P A ＝AD ，AB ＝2AD ， ∴设AD ＝1，又∵PE ED ＝BFF A＝λ，AF ＝DE ＝21＋λ，AQ ＝λ1＋λ，EQ ＝11＋λ，10分∵FQ 2＝AF 2＋AQ 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋λ2＋⎝⎛⎭⎪⎫λ1＋λ2＝2＋λ2（1＋λ）2， ∵EF 2＝EQ 2＋FQ 2＝2＋λ2（1＋λ）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋λ2＝3＋λ2（1＋λ）2， ∴Rt △F AE 中，cos ∠AFE ＝cos 60°＝AF EF ，∴14＝23＋λ2，∴λ＝ 5.∴存在实数λ＝5，使得异面直线EF 与CD 所成角为60°.12分 19．(本题满分12分)在等差数列{}a n 中，a 3＋a 4＋a 5＝84，a 9＝73.(1)求数列{}a n 的通项公式；(2)对任意m ∈N *，将数列{}a n 中落入区间(9m ，92m )内的项的个数记为b m ，求数列{}b m 的前m 项和S m .【解析】(1)因为{}a n 是一个等差数列，a 3＋a 4＋a 5＝84， 所以a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝84，即a 4＝28，设数列{}a n 的公差为d ，则5d ＝a 9－a 4＝73－28＝45，故d ＝9.2分由a 4＝a 1＋3d ，得28＝a 1＋3×9，即a 1＝1.4分 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋9(n －1)＝9n －8，n ∈N *.6分 (2)对m ∈N *，若9m <a n <92m ，则9m ＋8<9n <92m ＋8，7分 因此9m －1＋89≤n ≤92m －1＋89，8分故得b m ＝92m －1－9m －1，9分于是S m ＝b 1＋b 2＋…＋b m ＝(9＋93＋…＋92m －1)－(1＋9＋…＋9m －1) ＝9×（1－81m ）1－81－1×（1－9m ）1－9＝92m ＋1－10×9m ＋180.12分20．(本题满分12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点是F 1、F 2，左右顶点是A 1、A 2，离心率是22，过F 2的直线与椭圆交于两点P 、Q (不是左、右顶点)，且△F 1PQ 的周长是42，直线A 1P 与A 2Q 交于点M . (1)求椭圆的方程；(2)(ⅰ)求证直线A 1P 与A 2Q 交点M 在一条定直线l 上；(ⅱ)N 是定直线l 上的一点，且PN 平行于x 轴，证明：|PF 2||PN |是定值．【解析】(1)设椭圆的焦距是2c ，据题意有：⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，4a ＝42a ＝2，c ＝1，则b ＝1，所以椭圆的方程是x 22＋y 2＝1.3分(2)(ⅰ)由(1)知A 1(－2，0)，A 2(2，0)，F 2(1，0)，设直线PQ 的方程是x ＝my ＋1， 代入椭圆方程得：(m 2＋2)y 2＋2my －1＝0，易知Δ＝4m 2＋4(m 2＋2)＝8m 2＋8>0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，y 1>y 2，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2m m 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2y 2－y 1＝－（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝－22m 2＋2m 2＋2，5分直线A 1P 的方程是：y ＝y 1x 1＋2(x ＋2) ①，直线A 2Q 的方程是：y ＝y 2x 2－2(x －2) ②，7分设M (x ，y )，既满足①也满足②，则x ＝2·x 2y 1＋x 1y 2＋2（y 2－y 1）x 1y 2－x 2y 1＋2（y 2＋y 1）＝2·2my 1y 2＋（y 1＋y 2）＋2（y 2－y 1）2（y 1＋y 2）＋（y 2－y 1）＝2·－2mm 2＋2－2mm 2＋2－222m 2＋2m 2＋2－22m m 2＋2－22m 2＋2m 2＋2＝2·4m ＋222m 2＋222m ＋22m 2＋2＝2， 故直线A 1P 与A 2Q 交点M 在一条定直线l ：x ＝2上.10分 (ⅱ)设N (2，t )，P (x 1，y 1)，x 1∈(－2，2)，则|PN |＝2－x 1， ∴|PF 2||PN |＝（x 1－1）2＋y 212－x 1＝（x 1－1）2＋1－x 222－x 1＝12（x 1－2）22－x 1＝22.12分 21．(本题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－a ln x －x (a ≠0)． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若a >0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是函数f (x )图象上的任意两点(x 1<x 2)，记直线AB 的斜率为k ，求证：f ′⎝⎛⎭⎫x 1＋2x 23>k .【解析】(1)f ′()x ＝2x －ax －1＝2x 2－x －a x ()x >0，1分 ①当a ≤－18时，2x 2－x －a ≥0恒成立，即f ′()x ≥0恒成立，故函数f ()x 的单增区间为()0，＋∞，无单减区间.2分②当－18<a <0时，f ′()x >02x 2－x －a >0，解得：x >1＋1＋8a 4或x <1－1＋8a4，∵x >0， ∴函数f ()x 的单增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1＋8a 4，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1＋8a 4，＋∞，单减区间为⎝⎛⎭⎪⎫1－1＋8a 4，1＋1＋8a 4.4分 ③当a >0时，由f ′()x >0解得：x >1＋1＋8a 4或x <1－1＋8a4. ∵x >0，而此时1－1＋8a4≤0， ∴函数f ()x 的单增区间为⎝⎛⎭⎪⎫1＋1＋8a 4，＋∞，单减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋1＋8a 4.6分 (2)证明：∵f ′()x ＝2x －a x －1，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋2x 23＝2()x 1＋2x 23－3ax 1＋2x 2－1， 由题，k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝()x 21－x 22－a ()ln x 1－ln x 2－()x 1－x 2x 1－x 2＝()x 1＋x 2－a ln x 1x 2x 1－x 2－1，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋2x 23－k ＝2()x 1＋2x 23－()x 1＋x 2－3ax 1＋2x 2＋a ln x 1x 2x 1－x 2＝x 2－x 13－3a x 1＋2x 2＋a lnx 1x 2x 1－x 2，8分注意到x 2－x 13>0，故欲证f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋2x 23>k ，只须证明a ln x 1x 2x 1－x 2>3ax 1＋2x 2. 因为a >0，故即证ln x 1x 2x 1－x 2>3x 1＋2x 2ln x 1x 2<3()x 1－x 2x 1＋2x 2lnx 1x 2<3⎝⎛⎭⎫x 1x 2－1x 1x 2＋29分 令x 1x 2＝t ∈()0，1，g ()t ＝ln t －3()t －1t ＋2，则g ′()t ＝1t－9()t ＋22＝()t －1()t －4t ()t ＋22>0，故g ()t 在()0，1上单调递增．所以g ()t <g ()1＝0，即ln t <3()t －1t ＋2，即：ln x 1x 2<3⎝⎛⎭⎫x 1x 2－1x 1x 2＋2，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋2x 23>k .12分 请考生在第22～23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
湖南省长沙市湖南师大附中2023-2024学年高三上学期第三次月考生物试题 Word版含解析
B.细胞自噬可能是初进高原缺氧细胞损伤过程中的重要保护方式
C.由图示结果可推测适度低氧能促进受损线粒体自噬，使细胞的活性氧较低
D.3—甲基腺嘌呤可能是通过促进细胞的自噬水平加重细胞损伤
【答案】D
【解析】
【分析】有氧呼吸过程分为三个阶段，第一阶段是葡萄糖酵解形成丙酮酸和[H]，发生在细胞质基质中；第二阶段是丙酮酸和水反应产生二氧化碳和[H]，发生在线粒体基质中；第三阶段是[H]与氧气反应形成水，发生在线粒体内膜上。
C、SGLT1运输葡萄糖的直接动力来自Na+浓度梯度形成的势能，因此加入ATP水解酶抑制剂，钠离子运出会受到影响，会间接导致SGLT1运输葡萄糖的速率下降，C错误；
D、GLUT2会降低膜两侧葡萄糖分子的浓度差，但SGLT1会增大膜两侧葡萄糖分子的浓度差，D错误。
故选B。
5.线粒体对缺氧敏感，高海拔低氧可引起线粒体氧化应激平衡失调，严重低氧可导致细胞死亡。研究人员将大鼠细胞分别用常氧（甲）、适度低氧（乙）和严重低氧（丙）处理24h后，三类细胞受损线粒体的自噬情况如图1所示；三类细胞经3—甲基腺嘌呤处理相同时间后细胞内活性氧（一种自由基）含量情况如图2所示。下列叙述错误的是（）
B、原核生物（有细胞结构）的遗传物质都是DNA，B错误；
C、叶绿体、线粒体中含DNA和RNA，核糖体中含RNA，C正确；
D、一种病毒只含有一种核酸，DNA或RNA，D错误。
故选C。
2.下图是辛格和尼科尔森在1972年提出的关于生物膜分子结构的流动镶嵌模型。下列相关叙述不正确特点是有亲水的脂肪酸尾部和疏水的磷酸头部
故选D。
4.人肠腔中的葡萄糖经小肠上皮细胞吸收进入血液由两种特异性转运蛋白—SGLT1和GLUT2共同完成，如下图所示。SGLT1从肠腔中逆浓度梯度转运葡萄糖，小肠上皮细胞内的葡萄糖再经GLUT2转运进入组织液，然后进入血液。当进食一段时间后，小肠肠腔局部的葡萄糖浓度可达50～300mmol/L（高于小肠上皮细胞内），此时GLUT2数量增加，小肠上皮细胞吸收和输出葡萄糖都由GLUT2参与转运；当葡萄糖被大量快速吸收后，小肠肠腔局部的葡萄糖浓度降低到2mmol/L（低于小肠上皮细胞内）时，SGLT1活性增强。下列相关说法正确的是（）
湖南省师大附中高三上学期第五次月考数学(文)试卷
炎德·英才大联考湖南师大附中2018届高三月考试卷(五)数学(文科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共10页。
时量120分钟。
满分150分。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)设全集U＝N*，集合A＝{1，2，3，5}，B＝{2，4，6}，则图中的阴影部分表示的集合为(B)(A){2} (B){4，6}(C){1，3，5} (D){2，4，6}【解析】由韦恩图可知阴影部分表示的集合为(∁U A)∩B，∴(∁U A)∩B＝{4，6}．故选B.(2)已知向量a＝(1，－2)，b＝(－3，5)，若(2a＋b)⊥c，则c的坐标可以是(D)(A)(－2，3) (B)(－2，－3)(C)(4，－4) (D)(4，4)【解析】2a＋b＝(－1，1)，设c＝(x，y)，∵(2a＋b)⊥c，∴(2a＋b)·c＝－x＋y＝0，即x＝y.只有D满足上述条件，故选：D.(3)已知直线m，n与平面α，β，γ满足α⊥β，α∩β＝m，n⊥α，n⊂γ，则下列判断一定正确的是(D)(A)m∥γ，α⊥γ (B)n∥β，α⊥γ(C)β∥γ，α⊥γ (D)m⊥n，α⊥γ【解析】因为n⊥α，则α⊥γ；同时n⊥α，m⊂α，则m⊥n，所以D选项是正确的；对于A选项中的直线m与平面γ的位置关系无法判断，B选项中的直线n也可能落在平面β内；C选项中的平面β与平面γ也可能相交，故答案选D.(4)下面为一个求20个数的平均数的程序，在横线上应填充的语句为(D)S＝0i＝1WHILE ______INPUT xS＝S＋xi ＝i ＋1 WEND a ＝S/20 PRINT a END(A)i ＞20 (B)i ＜20 (C)i ＞＝20 (D)i ＜＝20【解析】根据题意为一个求20个数的平均数的程序，则循环体需执行20次，从而横线上应填充的语句为i ＜＝20.故选：D.(5)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是(B)(A)3 (B)4 (C)5 (D)6【解析】由题意，几何体为四棱锥，其中底面是上底为2，下底为4，高为2 的直角梯形，棱锥的高为2，所以体积为13×12×(2＋4)×2×2＝4；故选B.(6)在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，若向该矩形内随机投一点P ，那么使得△ABP 与△ADP 的面积都不小于2的概率为(D)(A)14 (B)13 (C)47 (D)49【解析】由题意知本题是一个几何概型的概率，以AB 为底边，要使面积不小于2，由于S △ABP ＝12AB ×h ＝2h ，则三角形的高要h ≥1，同样，P 点到AD 的距离要不小于43，满足条件的P的区域如图，其表示的区域为图中阴影部分，它的面积是整个阴影矩形的面积⎝ ⎛⎭⎪⎫4－43(3－1)＝163，∴使得△ABP 与△ADP 的面积都不小于2的 概率为：1634×3＝49；故选D.(7)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋3π5＝(A)(A)－79 (B)－19 (C)19 (D)79【解析】∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5－α＝13，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π5－2α＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π5－α＝79， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋3π5＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫2π5－2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π5－2α＝－79，故选：A.(8)已知函数y ＝f (x )对任意自变量x 都有f (x )＝f (2－x )，且函数f (x )在[1，＋∞)上单调．若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 6)＝f (a 2 012)，则{a n }的前2 017项之和为(B)(A)0 (B)2 017 (C)2 016 (D)4 034【解析】∵函数y ＝f (x )对任意自变量x 都有f (x )＝f (2－x )，且函数f (x )在[1，＋∞)上单调．又∵f (a 6)＝f (a 2 012)，∴a 6＋a 2 012＝2， 又数列{a n }是公差不为0的等差数列， ∴a 6＋a 2 012＝a 1＋a 2 017，则{a n }的前2017项之和＝2017（a 1＋a 2017）2＝2017×22＝2017.故选：B.(9)已知△ABC 的面积为1，内切圆半径也为1，若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，则4a ＋b＋a ＋bc的最小值为(D) (A)2 (B)2＋ 2 (C)4 (D)2＋2 2【解析】∵△ABC 的面积为1，内切圆半径也为1，△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ， ∴12(a ＋b ＋c )×1＝1， 即a ＋b ＋c ＝2，即a ＋b ＝2－c ，∴0＜c ＜2， ∴4a ＋b ＋a ＋b c ＝42－c ＋2－c c ＝42－c ＋2c－1， 设f (x )＝42－x ＋2x－1，0＜x ＜2，∴f ′(x )＝4（2－x ）2－2x 2＝2（x 2＋4x －4）x 2（x －2）2， 令f ′(x )＝0，解得x ＝－2＋22，当x ∈(0，－2＋22)时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减， 当x ∈(－2＋22，2)时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增，∴f (x )min ＝f (－2＋22)＝2＋22， 故4a ＋b ＋a ＋b c的最小值为2＋22，故选：D. (10)设F 1、F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是(A)(A)2x ±y ＝0 (B)x ±2y ＝0 (C)x ±2y ＝0 (D)2x ±y ＝0 【解析】不妨设P 为右支上一点，由双曲线的定义，可得，|PF 1|－|PF 2|＝2a ， 又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ， 解得，|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ， 且|F 1F 2|＝2c ，由于2a 最小，即有∠PF 1F 2＝30°，由余弦定理，可得，cos 30°＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－|PF 2|22|PF 1|·|F 1F 2|＝16a 2＋4c 2－4a 22×4a ·2c ＝32.则有c 2＋3a 2＝23ac ，即c ＝3a ， 则b ＝c 2－a 2＝2a ，则双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ， 即为y ＝±2x ，故选A.(11)定义在R 上的奇函数y ＝f (x )满足f (3)＝0，且当x ＞0时，不等式f (x )＞－xf ′(x )恒成立，则函数g (x )＝xf (x )＋lg|x ＋1|的零点的个数为(C)(A)1 (B)2 (C)3 (D)4【解析】定义在R 上的奇函数f (x )满足：f (0)＝0＝f (3)＝f (－3)，且f (－x )＝－f (x )，又x ＞0时，f (x )＞－xf ′(x )，即f (x )＋xf ′(x )＞0， ∴[xf (x )]′＞0，函数h (x )＝xf (x )在x ＞0时是增函数，又h (－x )＝－xf (－x )＝xf (x )，∴h (x )＝xf (x )是偶函数； ∴x ＜0时，h (x )是减函数，结合函数的定义域为R ，且f (0)＝f (3)＝f (－3)＝0，可得函数y 1＝xf (x )与y 2＝－lg|x ＋1|的大致图象如图所示， ∴由图象知，函数g (x )＝xf (x )＋lg|x ＋1|的零点的个数为3个． 故选：C.(12)狄利克雷函数是高等数学中的一个典型函数，若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ∈Q ，0，x ∈∁RQ ，则称f (x )为狄利克雷函数．对于狄利克雷函数f (x )，给出下面4个命题：①对任意x ∈R ，都有f [f (x )]＝1；②对任意x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝0；③对任意x 1∈R ，都有x 2∈Q ，f (x 1＋x 2)＝f (x 1)；④对任意a ，b ∈(－∞，0)，都有{x |f (x )＞a }＝{x |f (x )＞b }．其中所有真命题的序号是(D)(A)①④ (B)②③ (C)①②③ (D)①③④【解析】①当x ∈Q ，则f (x )＝1，f (1)＝1，则f [f (x )]＝1，当x ∈∁RQ ，则f (x )＝0，f (0)＝1，则f [f (x )]＝1，即对任意x ∈R ，都有f [f (x )]＝1，故①正确，②当x ∈Q ，则－x ∈Q ，则f (－x )＝1，f (x )＝1，此时f (－x )＝f (x )， 当x ∈∁RQ ，则－x ∈∁RQ ，则f (－x )＝0，f (x )＝0，此时f (－x )＝f (x )， 即恒有f (－x )＝f (x )，即函数f (x )是偶函数，故②错误， ③当x 1∈Q ，有x 2∈Q ，则x 1＋x 2∈Q ，此时f (x 1＋x 2 )＝f (x 1)＝1； 当x 1∈∁RQ ，有x 2∈Q ，则x 1＋x 2∈∁RQ ，此时f (x 1＋x 2 )＝f (x 1)＝0； 综上恒有f (x 1＋x 2 )＝f (x 1)成立，故③正确，④∵f (x )≥0恒成立，∴对任意a ，b ∈(－∞，0)，都有{x |f (x )＞a }＝{x |f (x )＞b }＝R ，故④正确，故正确的命题是①③④，故选：D.选择题答题卡本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)～(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第(22)～(23)题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．(13)设i 是虚数单位，则复数z ＝2i ＋31－i 的共轭复数的虚部为__－52__．【解析】∵z ＝2i ＋31－i ＝（2i ＋3）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝2i －2＋3＋3i 2＝1＋5i 2＝12＋52i ，∴复数z ＝2i ＋31－i 的共轭复数为12－52i.则复数z ＝2i ＋31－i 的共轭复数的虚部为－52. (14)过点(1，－2)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为__y ＝－12__．【解析】圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为C (1，0)，半径为1，以(1，－2)、C (1，0)为直径的圆的方程为：(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，将两圆的方程相减，即得公共弦AB 的方程为2y ＋1＝0.即y ＝－12.(15)在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 为BC 的中点，若F 为该矩形内(含边界)任意一点，则AE →·AF →的最大值为__92__．【解析】设AE →与AF →的夹角为θ，由AE →·AF →的几何意义可知，AE →·AF →等于|AE →|与AF →在AE →的投影的乘积，由投影的定义可知，只有当点F 取点C 时，AE →·AF →有最大值为AE →·AC →＝(AB →＋BE →)·(AB →＋BC →)＝AB →2＋12BC →2＝4＋12＝92.本题也可建立平面直角坐标系，把向量的数量积运算转化为向量的坐标运算，从而将问题转化为在已知可行域内求AE →·AF →的最值问题．(16)已知曲线y ＝e x ＋a与y ＝(x －1)2恰好存在两条公切线，则实数a 的取值范围为__(－∞，2ln_2－3)__．【解析】y ＝(x －1)2的导数y ′＝2(x －1)，y ＝e x ＋a的导数为y ′＝ex ＋a，设公共切线与曲线y ＝ex ＋a相切的切点为(m ，n )，与y ＝(x －1)2相切的切点为(s ，t )，则有公共切线斜率为2(s－1)＝em ＋a＝t －n s －m ，又t ＝(s －1)2，n ＝e m ＋a ，即有2(s －1)＝（s －1）2－e m ＋as －m＝（s －1）2－2（s －1）s －m ，即为s －m ＝s －12－1，即有m ＝s ＋32(s ＞1)，则有e m ＋a＝2(s －1)，即为a ＝ln 2(s －1)－s ＋32(s ＞1)，令f (s )＝ln 2(s －1)－s ＋32(s ＞1)，则f ′(s )＝1s －1－12＝3－s2（s －1），当s ＞3时，f ′(s )＜0，f (s )递减，当1＜s ＜3时，f ′(s )＞0，f (s )递增．即有s ＝3处f (s )取得极大值，也为最大值，且为2ln 2－3，由恰好存在两条公切线，即s 有两解，可得a 的范围是a ＜2ln 2－3.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (17)(本小题满分12分)在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司为推广线下分店，计划在S 市的A 区开设分店．为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的其他区的数据作了初步处理后得到下列表格．记x 表示在各区开设分店的个数，y 表示这x 个分店的年收入之和.(Ⅰ)y 关于x 的线性回归方程；(Ⅱ)假设该公司在A 区获得的总年利润z (单位：百万元)与x ，y 之间的关系为z ＝y －0.05x 2－1.4，请结合(Ⅰ)中的线性回归方程，估算该公司应在A 区开设多少个分店，才能使A 区平均每个分店的年利润最大？参考公式： y ^＝b ^x ＋a ^，b ^＝错误!＝错误!4，错误!＝错误!＝错误!＝错误!，∴a ^＝y －－b ^x －＝0.6.∴y 关于x 的线性回归方程y ＝0.85x ＋0.6.6分 (Ⅱ)z ＝y －0.05x 2－1.4＝－0.05x 2＋0.85x －0.8，A 区平均每个分店的年利润t ＝z x ＝－0.05x －0.8x ＋0.85＝－0.01⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋80x ＋0.85， ∴x ＝4时，t 取得最大值，故该公司应在A 区开设4个分店，才能使A 区平均每个分店的年利润最大.12分(18)(本小题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAC ⊥平面ABCD ，且PA ⊥AC ，PA ＝AD ＝2.四边形ABCD 满足BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AB ＝BC ＝1.E 为侧棱PB 的中点，F 为侧棱PC 上的任意一点．(Ⅰ)若F 为PC 的中点，求证：平面EFP ⊥平面PAB ；(Ⅱ)是否存在点F ，使得直线AF 与平面PCD 垂直？若存在，写出证明过程并求出线段PF 的长；若不存在，请说明理由．【解析】(Ⅰ)∵E 、F 分别为侧棱PB 、PC 的中点，∴EF ∥BC . ∵BC ∥AD ，∴EF ∥AD .∵平面PAC ⊥平面ABCD ，且PA ⊥AC ，平面PAC ∩平面ABCD ＝AC ，∴PA ⊥平面ABCD ，且AD ⊂平面ABCD ，得PA ⊥AD .又∵AB ⊥AD ，PA ∩AB ＝A ，∴AD ⊥平面PAB ，可得EF ⊥平面PAB . 又EF ⊂平面EFP ，得平面EFP ⊥平面PAB .6分 (Ⅱ)存在点F ，使得直线AF 与平面PCD 垂直． 平面PCA 中，过点A 作AF ⊥PC ，垂足为F . 由已知AB ⊥AD ，BC ∥AD ，AB ＝BC ＝1，AD ＝2. 根据平面几何知识，可得CD ⊥AC .又∵由(Ⅰ)PA ⊥平面ABCD ，得PA ⊥CD ，且PA ∩AC ＝A ， ∴CD ⊥平面PAC ，又AF ⊂平面PAC ，得CD ⊥AF . 又∵CD ∩PC ＝C ，∴AF ⊥平面PCD .在△PAC 中，PA ＝2，AC ＝2，∠PAC ＝90°， ∴PC ＝PA 2＋AC 2＝6，AF ＝PA ·AC PC ＝233，∴PF ＝263. ∴PC 上存在点F ，使得直线AF 与平面PCD 垂直，此时线段PF 的长为263.12分(19)(本小题满分12分)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，将y ＝f (x )的图象向右平移π4个单位长度后得到函数y ＝g (x )的图象．(Ⅰ)求函数y ＝g (x )的解析式；(Ⅱ)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分別为a 、b 、c ，a sin A cos C ＋c sin A cos A ＝13c ，D 是AC 的中点，且cos B ＝255，BD ＝26，求△ABC 的最短边的边长． 【解析】由图知2πω＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π6，解得ω＝2， ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋φ＝1，∴2×π12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝2k π＋π3，k ∈Z ，由于|φ|<π2，因此φ＝π34分∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，即函数y ＝g (x )的解析式为g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，6分(2)由正弦定理可知：a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，则a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，sin A sin A cos C ＋sin C sin A cos A ＝13sin C ，则sin A sin(A ＋C )＝13sin C ，∴sin A sin B ＝13sin C ，由cos B ＝255，可得sin B ＝557分∵|BD →|＝26，BD →＝12(BA →＋BC →)，26＝14(c 2＋a 2＋2ac cos B )∴104＝c 2＋a 2＋2ac ·255.9分∵sin A ×55＝13sin C ， ∴a ＝53c ， ∴解得：a ＝25，c ＝6.11分又sin A ×b 2R ＝13×c 2R ，∴b sin A ＝13c ，b ＝2 2∴△ABC 的最短边的边长为2 2.12分 (20)(本小题满分12分)已知O 为坐标原点，抛物线C ：y 2＝nx (n >0)上在第一象限内的点P (2，t )到焦点的距离为52，曲线C 在点P 处的切线交x 轴于点Q ，直线l 1经过点Q 且垂直于x 轴． (Ⅰ)求Q 点的坐标；(Ⅱ)设不经过点P 和Q 的动直线l 2：x ＝my ＋b 交曲线C 于点A 和B ，交l 1于点E ，若直线PA ，PE ，PB 的斜率依次成等差数列，试问： l 2是否过定点？请说明理由．【解析】(Ⅰ)由抛物线上的点P (2，t )到焦点的距离为52，得2＋n 4＝52，所以n ＝2，则抛物线方程为y 2＝2x ，故曲线C 在点P 处的切线斜率k ＝12，切线方程为y －2＝12(x －2)，令y ＝0得x ＝－2，所以点Q (－2，0)．(Ⅱ)由题意知l 1：x ＝－2，因为l 2与l 1相交，所以m ≠0. 设l 2：x ＝my ＋b ，令x ＝－2，得y ＝－b ＋2m ，故E (－2，－b ＋2m)， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋b y 2＝2x 消去x 得y 2－2my －2b ＝0，则y 1＋y 2＝2m ，y 1y 2＝－2b ，直线PA 的斜率为y 1－2x 1－2＝y 1－2y 212－2＝2y 1＋2，同理直线PB 的斜率为2y 2＋2，直线PE 的斜率为2＋b ＋2m 4.因为直线PA ，PE ，PB 的斜率依次成等差数列，所以k PA ＋k PB ＝2k PE ，即2y 1＋2＋2y 2＋2＝2m ＋2＋b 2m ，即2m ＋42m ＋2－b ＝2m ＋2＋b 2m整理得：b 2＝4， 因为l 2不经过点Q ，所以b ≠－2.所以b ＝2. 故l 2：x ＝my ＋2，即l 2恒过定点(2，0)． (21)(本小题满分12分) 已知函数f (x )＝ln x －x 2＋ax .(Ⅰ)若f (1)＝0，求函数f (x )的单调递减区间； (Ⅱ)证明当n ≥2(n ∈N *)时，1ln 2＋1ln 3＋1ln 4＋…＋1ln n>1； (Ⅲ)若关于x 的不等式f (x )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －1x 2＋(2a －1)x －1恒成立，求整数a 的最小值．【解析】(Ⅰ)因为f (1)＝0，所以a ＝11分此时f (x )＝ln x －x 2＋x ，x >0，f ′(x )＝1x －2x ＋1＝－2x 2＋x ＋1x(x >0)由f ′(x )<0，得2x 2－x －1>0，又x >0，所以x >1.所以f (x )的单调减区间为(1，＋∞).3分(Ⅱ)令a ＝1，由(Ⅰ)得：f (x )在(1，＋∞)递减，∴f (x )＝ln x －x 2＋x ≤f (1)＝0，故lnx ≤x 2－x ，x >1时，1ln x >1x （x －1），分别令x ＝2，3，4，……n ， 故1ln 2＋1ln 3＋…＋1ln n >11×2＋12×3＋…＋1n ×（n －1）＝1－1n，∴n ≥2时，1ln 2＋1ln 3＋…＋1ln n＞1.6分 (Ⅲ)由f (x )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －1x 2＋(2a －1)x －1恒成立得ln x －12ax 2－ax ＋x ＋1≤0在上恒成立，问题等价于a ≥ln x ＋x ＋112x 2＋x 在(0，＋∞)上恒成立． 令g (x )＝ln x ＋x ＋112x 2＋x ，只要a ≥g (x )max .8分 因为g ′(x )＝（x ＋1）⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x －ln x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋x 2，令g ′(x )＝0，得－12x －ln x ＝0. 设h (x )＝－12x －ln x ，h (x )在(0，＋∞)上单调递减，不妨设－12x －ln x ＝0的根为x 0.当x ∈(0，x 0)时，g ′(x )>0；当x ∈(x 0，＋∞)时，g ′(x )<0，所以g (x )在x ∈(0，x 0)上是增函数；在x ∈(x 0，＋∞)上是减函数．所以g (x )max ＝g (x 0)＝ln x 0＋x 0＋112x 20＋x 0＝1＋12x 0x 0⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12x 0＝1x 0.10分 因为h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ln 2－14>0，h (1)＝－12<0， 所以12<x 0<1，此时1<1x 0<2，即g (x )max ∈(1，2)． 所以整数a 的最小值为2.12分请考生在第(22)～(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
湖南师大附中高三上学期第一次月考 数学(文)Word版含
炎德·英才大联考文科数学(附中版)炎德·英才大联考湖南师大附中2015届高三月考试卷(一)数 学(文科)命题：高三文科数学备课组 (考试范围：高考全部内容)本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页。
时量120分钟。
满分150分。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知a 是实数，a ＋i1－i 是纯虚数，则a ＝(A)A ．1B ．－1C. 2 D ．－ 22．极坐标方程ρcos 2θ＝4sin θ所表示的曲线是(C) A ．一条直线 B ．一个圆C ．一条抛物线D ．一条双曲线3．设集合A ＝{x |x >－1}，B ＝{x |x ≥1}，则“x ∈A 且x ∉B ”成立的充要条件是(D) A ．－1<x ≤1 B ．x ≤1 C ．x >－1 D ．－1<x <14．如果函数f (x )＝sin(π2x ＋θ)(0<θ<π)是最小正周期为T 的偶函数，那么(B)A ．T ＝4π，θ＝π2B ．T ＝4，θ＝π2C ．T ＝4，θ＝π4D ．T ＝4π，θ＝π45．已知a ，b 为两条直线，α，β为两个平面，下列命题中正确的是(D)A ．若α∥b ，β∥b ，则α∥βB ．若α∥a ，α∥b ，则a ∥bC ．若a ⊥α，b ⊥β，则α∥βD ．若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β6．若ax 2＋bx ＋c <0的解集为{x |x <－2或x >4}，则对于函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 应有(B) A ．f (5)<f (2)<f (－1) B ．f (5)<f (－1)<f (2) C ．f (－1)<f (2)<f (5) D ．f (2)<f (－1)<f (5)7．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则得到的这个新三角形的形状为(A) A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度决定【解析】设增加同样的长度为x ，原三边长为a 、b 、c ，且c 2＝a 2＋b 2，a ＋b >c .新的三角形的三边长为a ＋x 、b ＋x 、c ＋x ，知c ＋x 为最大边，其对应角最大．而(a ＋x )2＋(b ＋x )2－(c ＋x )2＝x 2＋2(a ＋b －c )x >0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦为正，则为锐角，那么它为锐角三角形．8．若1a <1b <0，则下列不等式中不正确的是(C)A ．ab <b 2B ．a ＋b <abC ．a 2>b 2 D.b a ＋ab>29．已知a n ＝log n ＋1(n ＋2)(n ∈N *)，观察下列运算：(C) a 1·a 2＝log 23·log 34＝lg 3lg 2·lg 4lg 3＝2；a 1·a 2·a 3·a 4·a 5·a 6＝log 23·log 34·……·log 78＝lg 3lg 2·lg 4lg 3·……·lg 8lg 7＝3；……. 若a 1·a 2·a 3·……·a k (k ∈N *)为整数，则称k 为“企盼数”， 试确定当a 1·a 2·a 3·……·a k ＝2 014时，“企盼数”k 为 A ．22 014＋2 B ．22 014 C ．22 014－2 D ．22 014－4【解析】a 1·a 2·a 3·……·a k ＝lg （k ＋2）lg 2＝2 014⇒lg(k ＋2)＝lg 22 014⇒k ＝22 014－2.10．过点(－2，0)的直线l 与抛物线y ＝x 22相交于两点，且在这两个交点处抛物线的切线互相垂直，则直线l 的斜率k 等于(C)A ．－16B ．－14C.14D.12【解析】对抛物线y ＝x 22，y ′＝x ，l 的方程是y ＝k (x ＋2)代入y ＝x 22得：x 2－2kx －4k ＝0，设两个交点是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4k 2＋16k >0x 1x 2＝－4k，而在这两个交点处抛物线的切线互相垂直即x 1x 2＝－1.∴k ＝14且满足Δ>0.二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上． 11．在200个产品中，一等品40个，二等品60个，三等品100个，用分层抽样的方法抽取一个容量为40的样本，则从二等品中应抽取__12__个．12．阅读右边的框图填空：若a ＝0.80.3，b ＝0.90.3，c ＝log 50.9，则输出的数是__b (或0.90.3)__．13．若直线y ＝kx 与圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0相切，则k 的值是__±3．14．设函数f (x )＝x (e x ＋1)＋12x 2，则函数f (x )的单调递增区间为__[－1，＋∞)__．15．当n 为正整数时，定义函数N (n )表示n 的最大奇因数．如N (3)＝3，N (10)＝5，….记S (n )＝N (1)＋N (2)＋N (3)＋…＋N (2n )．则(1)S (3)＝__22__；(2)S (n )＝__4n ＋23__.【解析】由题设知，N (2n )＝N (n )，N (2n －1)＝2n －1.又S (0)＝N (1)＝1. (1)S (3)＝[N (1)＋N (3)＋N (5)＋N (7)]＋[N (2)＋N (4)＋N (6)＋N (8)] ＝[1＋3＋5＋7]＋[N (1)＋N (2)＋N (3)＋N (4)]＝42＋S (2)＝42＋41＋S (1)＝42＋41＋40＋S (0)＝22.(2)S (n )＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋[N (2)＋N (4)＋N (6)＋…＋N (2n )]＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋[N (1)＋N (2)＋N (3)＋…＋N (2n －1)]，∴S (n )＝4n －1＋S (n －1)(n ≥1)，∴S (n )＝4n －1＋4n －2＋…＋41＋40＋1＝4n ＋23.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．(本题满分12分)已知函数f (x )＝3sin ωx ·cos ωx ＋cos 2ωx ＋1(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)求当x ∈(0，π2]时f (x )的值域．【解析】(1)f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋1＋cos 2ωx2＋1＝32sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋32＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＋32.∵ω>0，∴T ＝2πω＝π，∴ω＝2. (6分)(2)由(1)得：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋32.∵0<x ≤π2，∴π6<2x ＋π6≤7π6，∴－12≤sin(2x ＋π6)≤1，∴1≤f (x )≤52，∴f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤1，52. (12分) 17．(本题满分12分)某中学高三(1)班共有50名学生，他们每天自主学习的时间在180到330分钟之间，将全班学生的自主学习时间作分组统计，得其频率分布如下表所示：(1)求表中a 、b 、c 的值；(2)某课题小组为了研究自主学习时间与成绩的相关性，需用分层抽样的方法从这50名学生中随机抽取20名作统计分析，则在第二组学生中应抽取多少人？(3)已知第一组学生中有3名男生和2名女生，从这5名学生中随机抽取2人，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．【解析】(1)由表知5＋10＋12＋a ＋6＝50，则a ＝17，b ＝1750＝0.34，c ＝650＝0.12. (4分)(2)因为10×2050＝4，所以在第二组学生中应抽取4人． (7分)(3)从5名学生中随机抽取2人有10种取法(可列举出来)，其中恰好抽到1名男生和1名女生的情况有6种(也列举出来)，则所求概率P ＝610＝35. (12分)18．(本题满分12分)如图，已知三棱锥P －ABC 中，PC ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ， PC ＝BC ＝4，AB ＝2，E 、F 分别是PB 、P A 的中点． (1)求证：侧面P AB ⊥侧面PBC ；(2)求三棱锥P －CEF 的外接球的表面积． 【解析】(1)∵PC ⊥平面ABC ，∴AB ⊥PC ，又AB ⊥BC ，则AB ⊥侧面PBC ，AB ⊂侧面P AB ， 故侧面P AB ⊥侧面PBC . (6分)(2)∵PC ＝BC ＝4，E 为PB 的中点，∴CE ⊥PB ， 而侧面P AB 垂直侧面PBC 于PB ，∴CE ⊥EF . 由E 、F 分别是PB 、P A 的中点有EF ∥AB ， 则EF ⊥侧面PBC .故EC 、EF 、EP 两两垂直， (9分)三棱锥P －CEF 的外接球就是以EC 、EF 、EP 为长、宽、高的长方体的外接球，易求得EC ＝EP ＝22，EF ＝1，其外接球的直径是8＋8＋1＝17，故所求三棱锥P —CEF 的外接球的表面积是4π⎝⎛⎭⎫1722＝17π. (12分) 19．(本题满分13分)已知函数f (x )＝13x 3＋12ax 2－(a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )在[－1，1]上是减函数．(1)求实数a 的取值范围；(2)设12<a <1，若对任意实数u 、v ∈[a －1，a ]，不等式|f (u )－f (v )|≤2912恒成立，求实数a 的最小值．【解析】(1)由函数f (x )＝13x 3＋12ax 2－(a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )在[－1，1]上是减函数得：x ∈[－1，1]时，f ′(x )＝x 2＋ax －a －2≤0恒成立． (3分)∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′（1）＝1＋a －a －2≤0f ′（－1）＝1－a －a －2≤0，可得a ≥－12. (6分)(2)∵12<a <1，∴－12<a －1<0，∴[a －1，a ]⊂[－1，1]，故f (x )在[a －1，a ]上是减函数， (7分)∴f max ＝f (a －1)＝13(a －1)3＋12a (a －1)2－(a ＋2)(a －1)＋b ，f min ＝f (a )＝13a 3＋12a 3－a (a ＋2)＋b .依条件有f max －f min ≤2912，∴f max －f min ＝－2a 2＋52a ＋53≤2912， (11分)即8a 2－10a ＋3≥0， a ≥34或a ≤12， ∵12<a <1，∴a min ＝34. (13分)20．(本题满分13分)如图，已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，定点A ⎝⎛⎭⎫a 2c ，0(c 是双曲线的半焦距)，双曲线虚轴的下端点为B .过双曲线的右焦点F (c ，0)作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P ，若点D 满足2OD →＝OF →＋OP →(O 为原点)，且A 、B 、D 三点共线．(1)求双曲线的离心率；(2)若a ＝2，过点B 的直线l 交双曲线的左、右支于M 、N 两点，且△OMN 的面积S △OMN ＝26，求l 的方程．【解析】(1)∵B (0，－b )，A ⎝⎛⎭⎫a 2c ，0，易求得P ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a .∵2OD →＝OF →＋OP →，即D 为线段FP 的中点， ∴D ⎝⎛⎭⎫c ，b22a . (3分) 又A 、B 、D 共线．而AB →＝⎝⎛⎭⎫－a 2c ，－b ，AD →＝⎝⎛⎭⎫c －a 2c ，b 22a ，∴⎝⎛⎭⎫c －a 2c ·(－b )＝⎝⎛⎭⎫－a 2c ⎝⎛⎭⎫b22a ，得a ＝2b ， (5分) ∴e ＝c a＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝1＋14＝52. (6分) (2)∵a ＝2，而e ＝52，∴b 2＝1， 故双曲线的方程为x 24－y 2＝1.① (7分)∴B 点的坐标为(0，－1)，设l 的方程为y ＝kx －1，② ②代入①得(1－4k 2)x 2＋8kx －8＝0，由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧1－4k ≠0Δ＝64k 2＋32（1－4k 2）>0x 1·x 2＝84k 2－1<0，得：k 2<14. (9分)设M 、N 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝8k4k 2－1.而S △OMN ＝12|OB |(|x 1|＋|x 2|)＝12|x 1－x 2|＝12（x 1＋x 2）2－4x 1·x 2 ＝12⎝⎛⎭⎫8k 4k 2－12－324k 2－1＝22·1－2k 21－4k 2＝26， (11分) 整理得24k 4－11k 2＋1＝0，解得：k 2＝18或k 2＝13(舍去)．∴所求l 的方程为y ＝±24x －1. (13分)21．(本题满分13分)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤4y ≥0y ≤nx （n ∈N *）所表示的平面区域为D n ，记D n 内整点的个数为a n (横纵坐标均为整数的点称为整点)．(1)n ＝2时，先在平面直角坐标系中作出区域D 2，再求a 2的值； (2)求数列{a n }的通项公式；(3)记数列{a n }的前n 项的和为S n ，试证明：对任意n ∈N *恒有S 122S 2＋S 232S 3＋…＋S n （n ＋1）2S n ＋1<512成立．【解析】(1)D 2如图中阴影部分所示，∵在4×8的矩形区域内有5×9个整点，对角线上有5个整点， ∴a 2＝5×9＋52＝25. (3分)(另解：a 2＝1＋3＋5＋7＋9＝25)(2)直线y ＝nx 与x ＝4交于点P (4，4n )， 据题意有a n ＝5×（4n ＋1）＋52＝10n ＋5. (6分)(另解：a n ＝1＋(n ＋1)＋(2n ＋1)＋(3n ＋1)＋(4n ＋1)＝10n ＋5) (3)S n ＝5n (n ＋2)． (8分)∵S n（n＋1）2S n＋1＝n（n＋2）（n＋1）2（n＋1）（n＋3）＝1（n＋1）（n＋3）·n（n＋2）（n＋1）2<1（n＋1）（n＋3），∴S122S2＋S232S3＋…＋S n（n＋1）2S n＋1<12×4＋13×5＋…＋1（n＋1）（n＋3）(11分)＝12⎝⎛⎭⎫12－14＋13－15＋14－16＋…＋1n＋1－1n＋3＝12⎝⎛⎭⎫12＋13－1n＋2－1n＋3<512.(13分)。
湖南师大附中高三数学上学期第五次月考试卷 文(含解析)
2014-2015学年湖南师大附中高三（上）第五次月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U=R，A={x||x﹣1|＜1}，B={x|y=}，则图中阴影部分表示的集合是（）A．{x|x≥1}B．{x|1≤x＜2} C． {x|0＜x≤1}D．{x|1≤1} 2．已知函数f（x）=，若f[f（0）]=4a，则实数a等于（）A．B．C． 2 D． 93．已知命题p：若x∈R，则x+≥2，命题q：若1g（x﹣1）≥0，则x≥2，则下列各命题中是假命题的是（）A．p∨q B．（￢p）∨q C．（￢p）∧q D．（￢p）∧（￢q）4．已知平面区域内的点（x，y）满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最大值是（）A． 5 B． 7 C． 23 D． 255．下列推理是归纳推理的是（）A． A，B为定点，动点P满足|PA|+|PB|=2a＞|AB|，得P的轨迹为椭圆B．由a1=1，a n=3n﹣1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和S n的表达式C．由圆x2+y2=r2的面积πr2，猜想出椭圆+=1的面积S=πabD．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇6．如图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是（）A． 6πB． 8πC． 12πD． 24π7．已知O为△ABC外一点，D为BC边上一点，且+﹣2=0，若AB=3，AC=5．则•=（）A．﹣8 B． 8 C．﹣2 D． 28．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F，上顶点为B，右顶点为A，M为椭圆上一点，满足MF⊥FA，如果△OMA（O为原点）的面积是△OMB的面积的2倍，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．9．设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（2+x）=f（2﹣x），当x∈[﹣2，0）时，f（x）=﹣1，若在区间（﹣2，6）内的关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0（a＞0且a≠1）恰有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（，1）B．（1，4）C．（1，8）D．（8，+∞）10．已知正项数列{a n}满足（n+1）a n+12﹣na n2+a n+1a n=0，且a1=1，不等式“a1•a2+a2•a3+…+a n•a n+1≥m对任意n∈N*恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，] B．（﹣∞，）C．（﹣∞，1] D．（﹣∞，1）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．11．复数在复平面内对应的点的坐标为．12．某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x+y的值为．13．在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为为参数），若以坐标原点o为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系'则曲线C2：psin（θ+）=0上的点到曲线C1，上的点的最短距离为．14．若∃x∈（0，+∞）满足不等式x2﹣2x+m2≤mx，则实数m的取值范围是．15．若存在实数a，b（0＜a＜b）满足a b=b a，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．已知向量=（sinx，），=（sinx+cosx，3），f（x）=•△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（A）=3．（1）求角A的大小；（2）若a=，b=1，求c的值．17．高二某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组[13，14），第二组[14，15）…第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）若成绩大于等于14秒且小于16秒规定为良好，求该班在这次百米测试中成绩为良好的人数．（2）请根据频率分布直方图，估计样本数据的众数和中位数（精确到0.01）．（3）设m，n表示该班两个学生的百米测试成绩，已知m，n∈[13，14）∪[17，18]，求事件“|m﹣n|＞2”的概率．18．在直三棱住ABC﹣A1B1C1，中CA=CB=CC1=2，∠ACB=90°．E、F分别是BC、A1A的中点．（1）求证：EF∥平面A1C1B；（2）求异面直线EF与A1C1所成角的余弦值．19．将数列{a n}中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表：a1a2a3a4a5a6a7a8a9…已知表中的第一列数a1，a2，a5，…构成一个等差数列，记为{b n}，且b2=4，b5=10．表中每一行正中间一个数a1，a3，a7，…构成数列{c n}，其前n项和为S n．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）若上表中，从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为同一个正数，且a13=1．①求S n；②记M={n|（n+1）c n≥λ，n∈N*}，若集合M的元素个数为3，求实数λ的取值范围．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点匙分别F1．F2，左右顶点分别是A1、A2，离心率是，过F2的直线与椭圆交于两点P、Q（不是左、右顶点），且△F1PQ的周长是4，直线A l P马A2Q交予点M．（1）求椭圆的方程；（2）①求证直线A1P与A2Q的交点M在一条定直线l上；②N是定直线l上的一点，且PN 平行于x轴，证明：是定值．21．已知函数（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）对任意的，恒有，求正实数λ的取值范围．2014-2015学年湖南师大附中高三（上）第五次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U=R，A={x||x﹣1|＜1}，B={x|y=}，则图中阴影部分表示的集合是（）A．{x|x≥1}B．{x|1≤x＜2} C． {x|0＜x≤1}D．{x|1≤1}考点：V enn图表达集合的关系及运算．专题：集合．分析：根据Venn图和集合之间的关系进行判断．解答：解：由Venn图可知，阴影部分的元素为属于A但不属于B的元素构成，所以用集合表示为A∩（∁U B）．∵A={x||x﹣1|＜1}={x|0＜x＜2}，B={x|y=}={x|x＜1}，∴∁U B={x|x≥1}，则A∩（∁U B）={x|1≤x＜2}，故选B点评：本题主要考查Venn图表达集合的关系和运算，比较基础．2．已知函数f（x）=，若f[f（0）]=4a，则实数a等于（）A．B．C． 2 D． 9考点：函数的值．专题：计算题．分析：先求出f（0）=2，再令f（2）=4a，解方程4+2a=4a，得a值．解答：解：由题知f（0）=2，f（2）=4+2a，由4+2a=4a，解得a=2．故选C．点评：此题是分段函数当中经常考查的求分段函数值的小题型，主要考查学生对“分段函数在定义域的不同区间上对应关系不同”这个本质含义的理解．3．已知命题p：若x∈R，则x+≥2，命题q：若1g（x﹣1）≥0，则x≥2，则下列各命题中是假命题的是（）A．p∨q B．（￢p）∨q C．（￢p）∧q D．（￢p）∧（￢q）考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：命题p：是假命题，例如取x=﹣1，不成立；命题q：若1g（x﹣1）≥0，则x≥2，是真命题．利用复合命题的真假判定方法即可得出．解答：解：命题p：若x∈R，则x+≥2，是假命题，例如取x=﹣1，不成立；命题q：若1g（x﹣1）≥0，则x≥2，是真命题．∴p∨q，（￢p）∨q，（￢p）∧q，是真命题；（￢p）∧（￢q）是假命题．故选：D．点评：本题考查了基本不等式的性质、对数函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．已知平面区域内的点（x，y）满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最大值是（）A． 5 B． 7 C． 23 D． 25考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．解答：解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得：C（7，9）．化z=2x+y为y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过C时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值，z max=2×7+9=23．故选：C．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．5．下列推理是归纳推理的是（）A． A，B为定点，动点P满足|PA|+|PB|=2a＞|AB|，得P的轨迹为椭圆B．由a1=1，a n=3n﹣1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和S n的表达式C．由圆x2+y2=r2的面积πr2，猜想出椭圆+=1的面积S=πabD．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇考点：演绎推理的基本方法；进行简单的演绎推理．分析：本题考查的是选归纳推理的定义，判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义，即是否是由特殊到一般的推理过程．解答：解：A是演绎推理，C、D为类比推理．只有C，从S1，S2，S3猜想出数列的前n项和S n，是从特殊到一般的推理，所以B是归纳推理．故选B点评：判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义，即是否是由特殊到一般的推理过程．判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程．判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，能否从推理过程中找出“三段论”的三个组成部分．6．如图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是（）A． 6πB． 8πC． 12πD． 24π考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形俯视图是两个圆中间的圆是虚线，得到几何体是一个圆台，圆台的上底是一个直径为2，下底的直径为4，母线长是4的圆台，做出圆台的高，得到侧面积．解答：解：正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形俯视图是两个圆中间的圆是虚线，∴几何体是一个圆台，圆台的上底是一个直径为2，下底的直径为4，母线长是4的圆台，∴圆台的侧面积是（π+2π）×4=12π故选C．点评：本题考查由三视图确定几何图形，根据条件中所给的数据求几何体的侧面积，考查圆台的面积公式，本题是一个基础题．7．已知O为△ABC外一点，D为BC边上一点，且+﹣2=0，若AB=3，AC=5．则•=（）A．﹣8 B． 8 C．﹣2 D． 2考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由题意和向量的加法运算判断出D是BC的中点，由向量的加法、减法运算、向量的数量积化简•即可．解答：解：由题意知，+﹣2=0，则+=2，所以D是BC的中点，又AB=3，AC=5，则•=（）•（）=（）=（25﹣9）=8，故选：B．点评：本题考查向量的加、减法运算及其几何意义，以及向量数量积的运算，解题的关键是抓住向量的之间的关系，再结合已知条件化简．8．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F，上顶点为B，右顶点为A，M为椭圆上一点，满足MF⊥FA，如果△OMA（O为原点）的面积是△OMB的面积的2倍，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意可得F（c，0），A（a，0），B（0，b），由MF⊥FA，可令x=c，代入椭圆方程可得M的坐标，再由三角形的面积公式，可得b=2c，结合离心率公式和a，b，c的关系，可得结论．解答：解：由题意可得F（c，0），A（a，0），B（0，b），由MF⊥FA，可令x=c，代入椭圆方程可得y=±b=±，即有M（c，±），由于S△OMA=2S△OMB，即有•a•=2•bc，化简可得b=2c，则离心率e====．故选：D．点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．9．设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（2+x）=f（2﹣x），当x∈[﹣2，0）时，f（x）=﹣1，若在区间（﹣2，6）内的关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0（a＞0且a≠1）恰有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（，1）B．（1，4）C．（1，8）D．（8，+∞）考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．分析：在同一直角坐标系中作出f（x）与h（x）=log a（x+2）在区间（﹣2，6）内的图象，结合题意可得到关于a的关系式，从而得到答案．解答：解：∵当x∈[﹣2，0）时，f（x）=﹣1，∴当x∈（0，2]时，﹣x∈[﹣2，0），∴f（﹣x）=﹣1=﹣1，又f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（x）=﹣1（0＜x≤2），又f（2+x）=f（2﹣x），∴f（x）的图象关于直线x=2对称，且f（4+x）=f（﹣x）=f（x），∴f（x）是以4为周期的函数，∵在区间（﹣2，6）内的关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0（a＞0且a≠1）恰有4个不同的实数根，令h（x）=log a（x+2），即f（x）=h（x）=log a（x+2）在区间（﹣2，6）内有4个交点，在同一直角坐标系中作出f（x）与h（x）=log a（x+2）在区间（﹣2，6）内的图象，∴0＜log a（6+2）＜1，∴a＞8．故选D．点评：本题考查根的存在性及根的个数判断，求得f（x）的解析式，作出f（x）与h（x）=log a（x+2）在区间（﹣2，6）内的图象是关键，考查作图能力与数形结合的思想，属于难题．10．已知正项数列{a n}满足（n+1）a n+12﹣na n2+a n+1a n=0，且a1=1，不等式“a1•a2+a2•a3+…+a n•a n+1≥m对任意n∈N*恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，] B．（﹣∞，）C．（﹣∞，1] D．（﹣∞，1）考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：把已知的数列递推式变形，得到，然后利用累积法求得数列{a n}的通项公式，再由错位相减法求得数列{a n a n+1}的前n项和，最后由数列的函数特性得答案．解答：解：由（n+1）a n+12﹣na n2+a n+1a n=0，得：（a n+1+a n）[（n+1）a n+1﹣na n]=0，∵a n＞0，∴（n+1）a n+1﹣na n=0，则．∴．则a1•a2+a2•a3+…+a n•a n+1=…+=1…+=．∵a1•a2+a2•a3+…+a n•a n+1≥m对任意n∈N*恒成立，∴m．则实数m的取值范围是：（﹣∞，]．故选：A．点评：本题考查了数列递推式，训练了累积法求数列的通项公式，考查了错位相减法求数列的和，属于中档题．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．11．复数在复平面内对应的点的坐标为（2，﹣1）．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直径利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解答：解：∵=．∴复数在复平面内对应的点的坐标为（2，﹣1）．故答案为：（2，﹣1）．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．12．某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x+y的值为8 ．考点：茎叶图．专题：计算题；概率与统计．分析：根据茎叶图分别写出两组数据，由平均数公式求出x，83是乙班7名学生成绩的中位数，所以83应是7个成绩从小到大排列后的中间位置上的数，据此可求出y．解答：解：由茎叶图可得甲班7名学生的成绩为：79，78，80，80+x，85，92，96；乙班7名学生的成绩为：76，81，81，80+y，91，91，96；由，得：x=5，因为乙班共有7名学生，所以中位数应是80+y=83，所以y=3，所以x+y=8，故答案为8．点评：本题考查了茎叶图，求中位数和平均数的关键是根据定义仔细分析．另外茎叶图的茎是高位，叶是低位，这一点一定要注意，此题是基础题．13．在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为为参数），若以坐标原点o 为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系'则曲线C2：psin（θ+）=0上的点到曲线C1，上的点的最短距离为．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：首先把参数方程转化成直角坐标方程，进一步把直线的极坐标方程转化成直角坐标方程，再利用点到直线的距离公式求出结果．解答：解：曲线C1的参数方程为为参数），转化成直角坐标方程为：（x ﹣2）2+（y﹣1）2=1曲线C2：psin（θ+）=0转化成直角坐标方程为：则：曲线c1的圆心到直线d的距离为：所以最小距离为：故答案为：．点评：本题考查的知识要点：参数方程和直角坐标方程的互化，极坐标方程和直角坐标方程的互化，点到直线距离公式的应用．属于基础题型．14．若∃x∈（0，+∞）满足不等式x2﹣2x+m2≤mx，则实数m的取值范围是．考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：∃x∈（0，+∞）满足不等式x2﹣2x+m2≤mx，⇔≥2|m|，对m分类讨论即可得出．解答：解：∃x∈（0，+∞）满足不等式x2﹣2x+m2≤mx，⇔≥2|m|，当m≥0时，化为m+2≥2m，解得m≤2；当m＜0时，化为m+2≥﹣2m，解得m≥﹣．综上可得实数m的取值范围是．故答案为：．点评：本题考查了基本不等式的性质、分离参数法，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．若存在实数a，b（0＜a＜b）满足a b=b a，则实数a的取值范围是（1，e）．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；有理数指数幂的化简求值．专题：导数的综合应用．分析：0＜a＜b）满足a b=b a，由blna=alnb，化为，令f（x）=，（x＞0），利用导数研究其单调性极值与最值，画出其图象即可得出．解答：解：∵0＜a＜b）满足a b=b a，∴blna=alnb，化为，令f（x）=，（x＞0），则f′（x）=，可得x＞e时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；当0＜x＜e时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．∴当x=e时，函数f（x）取得最大值，f（e）=．当x→0时，f（x）→﹣∞；当x→+∞时，f（x）→0．∴当a∈（1，e）时，函数y=k与f（x）=的图象有两个交点．∴实数a的取值范围是（1，e），故答案为：（1，e）．点评：本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．已知向量=（sinx，），=（sinx+cosx，3），f（x）=•△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（A）=3．（1）求角A的大小；（2）若a=，b=1，求c的值．考点：余弦定理；平面向量数量积的运算；正弦定理．专题：解三角形；平面向量及应用．分析：（1）由平面向量数量积的运算可得解析式f（x）=sin（2x﹣）+2，由已知可得sin（2A﹣）=1，由2A﹣∈（﹣，），可解得A的值．（2）法一：由余弦定理可得c2﹣c﹣2=0，即可解得c的值；法二：由正弦定理可得sinB=，又b＜a，即可求B，从而求C及c的值．解答：解：（1）因为f（x）=•=sin2x+sinxcosx+=++=sin（2x﹣）+2…4分所以f（A）=sin（2A﹣）+2=3，即sin（2A﹣）=1，因为2A﹣∈（﹣，），所以2A﹣=，所以A=．…8分（2）法一：由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得c2﹣c﹣2=0，所以c=2或c=﹣1（舍去）．…10分法二：由正弦定理，可得sinB=，又b＜a，所以B=，所以C=，所以c=2…12分点评：本题主要考查平面向量数量积的运算，余弦定理，正弦定理的应用，属于基本知识的考查．17．高二某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组[13，14），第二组[14，15）…第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）若成绩大于等于14秒且小于16秒规定为良好，求该班在这次百米测试中成绩为良好的人数．（2）请根据频率分布直方图，估计样本数据的众数和中位数（精确到0.01）．（3）设m，n表示该班两个学生的百米测试成绩，已知m，n∈[13，14）∪[17，18]，求事件“|m﹣n|＞2”的概率．考点：古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（1）根据频率分布直方图能求出成绩在[14，16）内的人数，由此得到该班在这次百米测试中成绩为良好的人数．（2）由频率分布直方图能求出众数落在第二组[15，16）内，由此能求出众数；数据落在第一、二组的频率是0.22＜0.5，数据落在第一、二、三组的频率是0.6＞0.5，所以中位数一定落在第三组中，假设中位数是x，则0.22+（x﹣15）×0.38=0.5，由此能求出中位数．（3）成绩在[13，14）的人数有2人，成绩在[17，18）的人数有3人，由此能求出结果．解答：解：（1）根据频率分布直方图知成绩在[14，16）内的人数为：50×0.18+50×0.38=28人．∴该班在这次百米测试中成绩为良好的人数为28人．（2）由频率分布直方图知众数落在第三组[15，16）内，众数是．∵数据落在第一、二组的频率=1×0.04+1×0.18=0.22＜0.5，数据落在第一、二、三组的频率=1×0.04+1×0.18+1×0.38=0.6＞0.5，∴中位数一定落在第三组中，假设中位数是x，则0.22+（x﹣15）×0.38=0.5，解得x=，∴中位数是15.74．（3）成绩在[13，14）的人数有50×0.04=2人，成绩在[17，18）的人数有；50×0.06=3人，设m，n表示该班两个学生的百米测试成绩∵m，n∈[13，14）∪[17，18]，∴事件“|m﹣n|＞2”的概率p==．点评：本题考查众数、中位数的求法，考查概率的计算，是中档题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的合理运用．18．在直三棱住ABC﹣A1B1C1，中CA=CB=CC1=2，∠ACB=90°．E、F分别是BC、A1A的中点．（1）求证：EF∥平面A1C1B；（2）求异面直线EF与A1C1所成角的余弦值．考点：异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定．专题：空间角．分析：（1）取CC1的中点M，连结ME，MF，由已知得平面MEF∥平面A1C1B，由此能证明EF∥平面A1C1B．（2）由MF∥A1C1，得∠EFM为异面直线EF与A1C1所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线EF与A1C1所成的角的余弦值．解答：（1）证明：如图，取CC1的中点M，连结ME，MF，则ME∥BC1，MF∥A1C1，且ME∩MF=M，∴平面MEF∥平面A1C1B，又EF⊂平面MEF，∴EF∥平面A1C1B．（2）∵MF∥A1C1，∴∠EFM为异面直线EF与A1C1所成角（或所成角的补角），∵CA=CB=CC1=2，∠ACB=90°．E、F分别是BC、A1A的中点∴在△EFM中，EM=，EF=，∴cos∠EFM==，∴异面直线EF与A1C1所成的角的余弦值为．点评：本题考查异面直线所成角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19．将数列{a n}中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表：a1a2a3a4a5a6a7a8a9…已知表中的第一列数a1，a2，a5，…构成一个等差数列，记为{b n}，且b2=4，b5=10．表中每一行正中间一个数a1，a3，a7，…构成数列{c n}，其前n项和为S n．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）若上表中，从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为同一个正数，且a13=1．①求S n；②记M={n|（n+1）c n≥λ，n∈N*}，若集合M的元素个数为3，求实数λ的取值范围．考点：数列递推式；等比数列的前n项和；等比数列的性质．专题：综合题．分析：（1）设{b n}的公差为d，则，由此能求出数列{b n}的通项公式．（2）①设每一行组成的等比数列的公比为q，由于前n行共有1+3+5+…+（2n﹣1）=n2个数，且32＜13＜42，解得，，所以，由错位相减法能够求得．②由，知不等式（n+1）c n≥λ，可化为，设，解得，由此能够推导出λ的取值范围．解答：解：（1）设{b n}的公差为d，则，解得，∴b n=2n．（2）①设每一行组成的等比数列的公比为q，由于前n行共有1+3+5+…+（2n﹣1）=n2个数，且32＜13＜42，∴a10=b4=8，∴a13=a10q3=8q3，又a13=1，解得，∴，∴，，∴=4﹣解得．②由①知，，不等式（n+1）c n≥λ，可化为，设，解得，∴n≥3时，f（n+1）＜f（n）．∵集合M的元素个数是3，∴λ的取值范围是（4，5]．点评：本题考查数列的通项公式的求法、前n项和的计算和等比数列性质的应用，解题时要注意方程思想和错位相减求和法的合理运用，注意合理地进行等价转化．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点匙分别F1．F2，左右顶点分别是A1、A2，离心率是，过F2的直线与椭圆交于两点P、Q（不是左、右顶点），且△F1PQ的周长是4，直线A l P马A2Q交予点M．（1）求椭圆的方程；（2）①求证直线A1P与A2Q的交点M在一条定直线l上；②N是定直线l上的一点，且PN 平行于x轴，证明：是定值．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）根据椭圆的焦点三角形周长求出a，再由离心率求出c，进而求出b值，可得椭圆的标准方程；（2）①直线PQ的方程是：x=my+1，代入椭圆的方程结合韦达定理，可得：y1+y2，y1y2，y2﹣y1的值，进而联立A1P和A2Q的方程，求出交点的横坐标，可得：直线A1P与A2Q 的交点M在一条定直线l：x=2上；②根据椭圆的定义，结合直线l：x=2为椭圆的右准线，可得是定值e．解答：解：（1）∵△F1PQ的周长是4，∴4a=4，即a=，又由离心率是e==，故c=1，故b2=a2﹣c2=1，故椭圆的方程为证明：（2）①由（1）知A1、A2的坐标为（，0），设直线PQ的方程是：x=my+1，代入椭圆的方程并整理得：（m2+2）y2+2my﹣1=0，记P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=，则y2﹣y1=，A1P的方程为：y=…①，A2Q的方程：y=…②，联立两方程得：x==•=•=2，故直线A1P与A2Q的交点M在一条定直线l：x=2上；②由直线l：x=2为椭圆的右准线，F2为椭圆的右顶点，故=e=点评：本题考查的知识点是椭圆的简单性质，椭圆的标准方程，直线的交点坐标，椭圆的定义，是直线与圆锥曲线的综合应用，难度较大，属于难题．21．已知函数（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）对任意的，恒有，求正实数λ的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），再对字母a分类讨论，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出单调区间．（Ⅱ）根据第一问的单调性，知f（x）在[1，2]上为减函数．若x1=x2，则原不等式恒成立；若x1≠x2，不妨设1≤x1＜x2≤2，则f（x1）＞f（x2），，所以原不等式进行化简整理得f（x1）﹣≤f（x2）﹣对任意的，恒成立，令g（x）=f（x）﹣，转化成研究g（x）在[1，2]的单调性，再利用导数即可求出正实数λ的取值范围．解答：解：（Ⅰ）f′（x）=x﹣（2a+2）+=（x＞0）令f′（x）=0，得x1=2a+1，x2=1 …（1分）①a=0时，f′（x）=，所以f（x）增区间是（0，+∞）；②a＞0时，2a+1＞1，所以f（x）增区间是（0，1）与（2a+1，+∞），减区间是（1，2a+1）③﹣＜a＜0时，0＜2a+1＜1，所以f（x）增区间是（0，2a+1）与（1，+∞），减区间是（2a+1，1）④a≤﹣时，2a+1≤0，所以f（x）增区间是（1，+∞），减区间是（0，1）…（5分）（Ⅱ）因为，所以（2a+1）∈[4，6]，由（1）知f（x）在[1，2]上为减函数．…（6分）若x1=x2，则原不等式恒成立，∴λ∈（0．+∞）…（7分）若x1≠x2，不妨设1≤x1＜x2≤2，则f（x1）＞f（x2），，所以原不等式即为：f（x1）﹣f（x2）≤λ（），即f（x1）﹣≤f（x2）﹣对任意的，恒成立令g（x）=f（x）﹣，所以对任意的有g（x1）＜g（x2）恒成立，所以g（x）=f（x）﹣在闭区间[1，2]上为增函数…（9分）所以g′（x）≥0对任意的恒成立而g′（x）=x﹣（2a+2）+≥0，即（2x﹣2x2）a+x3﹣2x+x2+λ≥0，只需（2x﹣2x2）+x3﹣2x+x2+λ≥0，即x3﹣7x2+6x+λ≥0对任意x∈[1，2]恒成立，令h（x）=x3﹣7x2+6x+λ，h′（x）=3x2﹣14x+6＜0（x∈[1，2]）恒成立，∴h（x）在x∈[1，2]上为减函数，则h（x）min=h（2）=λ﹣8，∴h（x）min=h（2）=λ﹣8≥0，∴λ≥8．点评：本题主要考查函数的导数，单调性，极值，不等式等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力．。
湖南师范大学附属中学2020届高三上学期第五次月考数学(文)试题含解析
因为 ，
所以d是2016的约数，
故d不可能是5.
故选D.
【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，推出不属于的情况，需要熟练运用公式，较为基础．
6。已知 ,则 的值是( ）
A。 B。 C。 2D。 5
【答案】C
【解析】
【分析】
将 代入所求代数式,化为 的齐次式，再转化为 ，即可求解。
【详解】原式
9。已知实数 ， 满足 ,则 的最大值为（ ）
A。 5B. 4C. 3D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】
换元，转化为线性规划求最值问题，做出可行域，即可求解.
【详解】令 ， ，则 ，且 。
作可行域如图所示,平移直线 ： ，
当直线 过点 时，直线 的纵截距最小,
从而 为最大,且 。
故选:D。
【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，以及求线性目标函数 最值，解题的关键是换元转化,属于中档题。
并整理得 .
依题意，直线 与双曲线 的右支交于不同两点,故
，
故选：A。
【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系,用代数方法确定交点的位置,考查计算能力，属于中档题。
11。在锐角 中，角 , ， 的对边分别为 , , ,若 ， ，则 的取值范围是( ）
A。 B。 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据已知结合正弦定理以及三角恒等变换，化简 求出 ，由 结合 ,求得 ，从而求出 的值,再由正弦定理将 结合 关系，转化为 （或 ）角的三角函数，注意求出角的范围，再用三角恒等变换求出范围。
8.在棱长为2的正方体 中,点O在底面ABCD中心，在正方体 内随机取一点P则点P与点O距离大于1的概率为( ）
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炎德·英才大联考湖南师大附中2011届高三月考试卷(五)
数学(文科)
湖南师大附中高三数学备课组
命题人：湖南师大附中高三数学备课组审题人：
(考试范围：高中文科数学全部内容)
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共8页。
时量l20分钟。
满分l50分。
得分：______
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的．
1。
已知全集U=R，集合A一．B一则
A B．(x|x>O}
C．D．
2．某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为3：4：7，
现在用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，样本中A型号产品有15
件，那么样本容量n为____
A．50 B 60
C．70 D．80
3．已知命题P：使命题q：都有给
出下列结论：
①命题“”是真命题，②命题“”是假命题，
③命题“”是真命题，④命题“”是假命题．
其中正确的个数是
A．1个 B．2个
C 3个 D．4个
4．已知若o<以<6<1，则下列各式中正确的是
A．
B．
C．
D．
5．已知平面区域，若在区域固上随机投一点A，则点A落在区域M的概率为
A．B．
C．D．
6．已知一1，点C在内，且
A．18．2 C．3 D．4
7．如图，在正三棱柱ABC—AlB。
Cl中，点M为侧棱AA。
上
一动点，已知ABCM面积的最大值是2，二面角
M—BC—A的最大值是则该三棱柱的体积等于
A．C．B．D．
8．若关于2的方程和的四个根可组成首项为的等差数列，则a+b的值是
A． B C． D
选择题答题卡
二、填空题：
本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．
9．不等式的解集是___．
10．若函数的一个正数零点附近的函数值的参考数据如下：
那么方程的一个近似根(精确到0．1)为___ ．11．已知定义在R上的函数满足
，则F(3)= ____ 。
12．
的值等于___
13．执行如图所示的程序框图，若输入的p 一4，则输出的S =___， 14．已知抛物线
上一点M(1，m)(m >O)到
其焦点的距离为5，双曲线
的左顶点为A
若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 等于——．
15．定义运算符号 这个符号表示若干个数相乘，．
例如：可将
其中口，为数列
中的第i 项
(1) (2)
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤．
16．(本小题满分12分)
某校从参加高一年级期末考 试的学生中抽出60名学生， 按其成绩(不小于40不大于 100的整数)依次分为第一小 组，第二小组，…，第六小组， 成绩分别为[40，50)，[50， 60)，…，[90，i00]．画出(如 右)部分频率分布直方图．
(1)求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；
(2)观察频率分布直方图图形的信息，估计这次考试的及格率(60分及以 上为及格)和平均分．
17．(本小题满分l2分)
已知向量
(1)求函数的表达式，并指
出的单调递减区问
(2)在锐角ABC中，角A、B、C所对的边分别为以，a,b，C，
bc=8，求ABC的面积S
18．(本小题满分l2分) 在三棱锥S —ABC 中，ABC 是边长为4的正
三角形，平面SAC 平面ABC ，SA=SC=
19．(本小题满分13分)
已知椭圆C 的中心在
坐标原点，左顶点
A(一2，0)，离心率
F 为右焦点，过焦点F 的直线交椭圆C 于P 、Q 两点(不同于点A)．
(1)求椭圆C 的方程；(2)当时，
求直线PQ 的方程；
(3)判断
APQ 能否成为等边三角形，并说明理由．
20．(本小题满分13分) 已知函数(1)若，曲线
秆]
在原点处的切线重合，求实数b 的值．(2)若a=0，
在
上恒成立，求b 的取值范围．
(3)求证：
21．(本小题满分13分) 设z 轴、Y 轴正方向上的单位向量分别是I,j ，坐标平面上点A n 、B n
分别满足下列两个条件：
(1)求
的坐标；
(2)若四边形的面积是的表达式；
(3)对于(2)中的 a n ，是否存在最小的自然数M ，对一切都有
M 成立?若存在，求M ；
若不存在，说明理由．
炎德·英才大联考湖南师大附中2011届高三月考试卷(五)
数学(文科)参考答案
一、选择题
题号 l 2 3 4 5 6 7
8 答案
B
C
B
C
D
C
A
D
(2)求二面角N —CM —B 的正切值．
,M ．N 分别为AB 、SB 的中点．
(1)证明：AC
SB ；。