追根溯源·探究本质·改进教学——以一道解析几何题为例

线
x
=
r
(|
r
|
>
a)
上，则直线
PQ
过定点
M
æ
ç
è
a2 r
，0 ö÷ . ø
综上可得如下一般性结论 .
结论 3：如图 2，椭圆
C：
x2 a2
+
y2 b2
=1
(a > b > 0)
的
左、右顶点分别为点 A1，A2，点P，Q 为椭圆上异于点 A1，
A2 的两点，直线 A1P，A2Q 交于定直线 x = r (| r | > a) 上
结 论 1：（定 直 线 位 置）
椭圆
C：
x2 a2
+
y2 b2
=1
(a >
b
>
0
)
的左、右顶点分别为点
A1，A2，点
M
æ
ç
è
a2 r
，0
ö÷，其中 ø
| r | > a. 过点 M 的任一直线 l 交椭圆于 P，Q 两点 （点 P，
Q 异于点 A1，A2），若直线 A1P，A2Q 交于点 N，则点 N 在定直线 x = r 上 . 这就是说，定直线的位置由定点 M
点 P，Q （异于顶点），记椭圆 C 与 y 轴的两个交点分
别为点 A1，A2，若直线 A1P，A2Q 交于点 N，证明：点 N 恒在直线 y = 4 上 .
y
N
A1 Q M
P
探究，挖掘题目的内涵和本质，让学生学会用更高的
O
x
观点去看待数学问题，把握问题的本质. 下面以一道
解析几何解答题为例来说明如何在教学中引导学生探
的充要条件为直线
PQ
过定点
M
æ
ç
è
a2 r
，0
ö÷. ø
y
P
N
的难点在于运算量大，而且直线 A1P，A2Q 交点 N 的 纵坐标表达式形式不对称，需要对根与系数的关系式
A1
O M A2
x
Q
进行变形使用，对学生能力要求高，具有较大区分
图2
· 62 ·
中国数学教育·高中版 2019 年第 5 期 （总第 197 期）
x1 y1 -
2
(
y
-
2)，
y
x2 2+
2
(
y
+
2
)，
在教学中，教师在讲解完这道题之后，要及时启
发学生思考：为什么会有上述第（2）小题中这样的结
论？换句话说，题目中定直）小题中的结论不是偶然
的，对椭圆来说具有一般性. 对于一般情况，有如下
结论 .
A2
究问题本质 .
图1
收稿日期：2019-04-19 基金项目：广东省教育科研一般项目——核心素养下的高中数学重点专题教学研究 （2018YQJK236）. 作者简介：方勇 （1979— ），男，中学高级教师，主要从事中学数学教学研究 .
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中国数学教育·高中版 2019 年第 5 期 （总第 197 期）
题，考查数形结合、函数方程、分类讨论等基本数学
思想方法，同时考查学生综合运用所学知识分析问题
和解决问题的能力，以及运算能力和数学素养. 此题
决定 .
结 论 2：（定 点 的 位 置）
椭圆
C：
x2 a2
+
y2 b2
=1
(a >
b > 0) 的左、右顶点分别为点 A1，A2，点P，Q 为椭圆
上异于点 A1，A2 的两点，若直线 A1P，A2Q 交于定直
解：（1）
x2 2
+
y2 4
=
1
（过程略）；
度 . 此题第（2）小题具有较大的教学价值 .
（2） 由 题 意 可 设 直 线 PQ 的 方 程 为 y = kx + 1，
P ( x1，y1)，Q( x2，y2 ) .
二、性质探究
联立
ì
ï
x2
í2
+
y2 4
=
1，
îïy = kx + 1，
整理得 (k2 + 2)x2 + 2kx - 3 = 0.
整理，得 (y2 + 2)x1(y - 2) = (y1 - 2)x2(y + 2).
所以 (3x1 + x2)y = 4kx1x2 + 6x1 - 2x2.
把①式代入上式，得
(3x1 + x2)y = 4kx1x2 + 6x1 - 2x2 = 6(x1 + x2) + 6x1 - 2x2 =
12x1 + 4x2.
在教学中，教师不应该局限于对具体题目的解答 讲授和重复训练，应该引导学生对题目进行深层次的
( ) 题目
如图 1，已知点 1，
2
，
æ ç
è
2 2
，
-
3
ö ÷
都
ø
在椭圆 C：
y2 a2
+
x2 b2
=1
(a
>
b
>
0)
上.
（1） 求椭圆 C 的方程；
（2） 过点 M(0，1) 的直线与椭圆 C 交于不同的两
当 x2 ≠ -3x1 时，可得 y = 4.
当
x2
=
-3x1
时，易求
k A1P
=
kA2Q
=
kx1 x1
1，
即 A1P ∥ A2Q，不符合题意 .
综上，故点 N 恒在直线 y = 4 上 .
此题第（2）小题是解析几何中直线与圆锥曲线的位
置关系问题，是高三解析几何部分的常规题目. 重点
考查学生用坐标法研究圆锥曲线中的定点、定值问
中国数学教育·高中版 2019 年第 5 期 （总第 197 期）
追根溯源·探究本质·改进教学
——以一道解析几何题为例
方勇 （广东省中山市教育教学研究室）
摘 要：在解题教学中，教师应该跳出“例题讲解 + 重复训练”的功利化模式，引导学生对典型 题目进行深层次探究，让学生学会用更高的观点去看待数学问题，把握问题的本质 .
所以
x1
+
x2
=
k2
2k +2
，x1
x
2
=
-3 k2 + 2
.
则 2kx1x2 = 3(x1 + x2). ①
由题意不妨设 A1(0，2)，A2(0， - 2)，
则直线
A1P
的方程为
x
=
x1 y1 -
2(y
-
2)，
直线
A2Q
的方程为
x
=
x2 y2 +
2(y
+ 2).
联立
ìïïx í ïïx î
= =
关键词：伸缩变换；解题教学；复习策略
在高中数学教学中，解题教学是最常规的教学形
一、题目展示
态之一. 据笔者多地调研了解，在当前高中解题教学
中，教师“就题讲题”的现象十分普遍. 所谓“就题 讲题”，即教师的讲授过程局限于对一道具体题目的解 答，课堂目标局限于对这一类题解题方法的总结和训 练. 相对而言，不足之处是缺少对题目本身的深层次 探究，没能挖掘出题目的内涵和本质. 这样一来，教 师很难准确把握题目的来源和命题的意图，只能针对 各种已经出现的题型继续进行“例题讲解 + 重复训 练”的教学模式，学生始终停留在被动的、机械的、 无休止的题型训练中不能自拔. 长此以往，学生情绪 容易陷入倦怠，思维定势越来越明显，思维能力上升 的空间越来越小，导致能力上升瓶颈的形成 .
结论 4：（其他点、线位置关系） 如图 3，椭圆 C：
整理得 (t2 + 1)y2 + 2mty + m2 - a2 = 0.