最新版2020高中数学北师大版必备4习题：第三章三角恒等变形 3.2.3

2.3两角和与差的正切函数
课时过关·能力提升
1.tan(-165°)的值是()
A.2+√3
B.−2−√3
C.2−√3
D.√3−2
解析:原式=tan(-180°+15°)=tan15°=tan(45°-30°)=tan45°-tan30°
1+tan45°tan30°
=2−√3.
答案:C
2.已知tan A tan B=tan A+tan B+1,则cos(A+B)的值是()
A.−√2
2B.√2
2
C.±1
2
D.±√2
2
解析:因为tan A tan B=tan A+tan B+1,
所以tan(A+B)=tanA+tanB=−1,
所以cos(A+B)=±√2
2
.
答案:D
3.设A,B,C是△ABC的三个内角,且tan A,tan B是方程3x2-5x+1=0的两个实数根,则△ABC是()
A.等边三角形
B.等腰直角三角形
C.锐角三角形
D.钝角三角形
解析:由题意,知tan A+tan B=5
3,tan A tan B=1
3
.
∴tan C=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)
=−tanA+tanB
1-tanAtanB =−
5
3
1-13
=−5
2
<0.
∴π
2
<C<π.∴△ABC为钝角三角形.答案:D
4.已知α∈(π
2,π),tan(α+π
4
)=1
7
,则sin α+cos α的值为()
A.−1
5B.7
5
C.−7
5
D.3
4
解析:∵ta n(α+π
4)=tanα+1
1-tanα
=1
7
,
∴tanα=−3
4
.
又α∈(π2,π),sin2α+cos2α=1,tanα=sinα
cosα, ∴sin α=35
,cos α=−45
. ∴sin α+cos α=−1
5. 答案:A
5.已知M=sin 100°-cos 100°,N =√2(cos 46°cos 78°+cos 44°cos 12°),P =1-tan10°
1+tan10°,Q =
tan22°+tan23°
1-tan22°tan23°
,则M,N,P,Q 之间的大小顺序是( )
A .M<N<P<Q
B .P<Q<M<N
C .N<M<Q<P
D .Q<P<N<M
解析:M=sin100°-cos100°
=√2sin(100°−45°)=√2sin 55°>1, N =√2(cos 46°cos78°+cos44°cos12°)
=√2(sin 44°cos78°+cos44°sin78°)=√2sin 122° =√2sin 58°>M. P =
1-tan10°
1+tan10°
=tan(45°−10°)=tan 35°<1,
Q =tan22°+tan23°
1-tan22°tan23°=tan(22°+23°)=tan 45°=1, 故P<Q<M<N. 答案:B
★6.已知tan θ和ta n (π4
-θ)是关于x 的方程x2+px +q =0的两根,则p,q 间的关系满足( ) A .p+q+1=0 B .p-q-1=0 C .p+q-1=0 D .p-q+1=0
解析:由题意,得
tan θ+ta n (π4-θ)
=
−p,tan θ·ta n (π
4-θ)
=
q,而ta n π
4
=tan [θ
+(π
4-θ)]
=
tanθ+tan (π
4-θ)1-tanθtan (π
4-θ)
,
从而1-q=-p ,即p-q+1=0. 答案:D
7.已知α,β均为锐角,且tan β=cosα-sinα
cosα+sinα,则tan(α+β)= . 解析:∵tan β=
1-tanα1+tanα
=
tan π
4-tanα1+tan π
4tanα
,
∴tan β=ta n (π
4-α). ∵α,β为锐角,∴β=π
4−α, 即α+β=π4
,∴tan(α+β)=1. 答案:1
8.(1+tan 1°)(1+tan 2°)…(1+tan 44°)= . 解析:∵tan45°=1,又若α+β=45°,则tan(α+β)=
tanα+tanβ
1-tanαtanβ
=1.
于是(1+tan1°)(1+tan44°)=(1+tan2°)(1+tan43°)=…=(1+tan22°)(1+tan23°)=2.∴原式=222. 答案:222
9.已知sin α=3,π<α<π,tan(π−β)=1,则tan(α−β)= . 解析:∵sin α=3
,且π<α<π,
∴cos α=−√1-sin 2α=−4
. ∴tan α=sinα
=−3
.
又tan(π-β)=-tan β=1
,∴tan β=−1
. ∴tan(α-β)=
tanα-tanβ1+tanαtanβ
=
-34+1
21+(-3
4)×(-1
2)
=−2
11.
答案:−2
10.
如图,三个相同的正方形相接,求α+β的大小. 解设正方形的边长为1,则tan α=13
,tanβ=12
.
故tan(α+β)=
tanα+tanβ1-tanαtanβ
=
13+121-13×12
=1.
又0<α+β<π,故α+β=π
4.
11.设关于x 的一元二次方程mx 2+(2m-1)x+(m+1)=0的两根为tan α,tan β,求tan(α+β)的取值范围. 解∵原方程为一元二次方程,∴m ≠0.
又方程的两根为tan α,tan β,则Δ=(2m-1)2-4m (m+1)≥0,解之,得m ≤1
8.∴m ∈(-∞,0)∪(0,1
8].
由根与系数的关系,得tan α+tan β=−2m -1
m
, tan αtan β=
m+1
m
, 于是有tan(α+β)=
tanα+tanβ1-tanαtanβ
=
-2m -1
m 1-m+1m
=2m −1.
∵2m-1≤2×1
8−1=−3
4,且2m-1≠-1, ∴tan(α+β)的取值范围是(-∞,-1)∪(-1,-3
4].
★12.是否存在锐角α和β,使得{α+2β=2π3, ①
tan α
2tanβ=2-√3② 同时成立?若存在,求出α和β的值;若不存在,请说明理由. 解由①得α2
+β=π3
,∴tan (α2
+β)=tan π3,
即
tan α
2+tanβ
1-tan α
2tanβ
=√3. 把条件②代入上式,得ta n α
2+tanβ=√3×(1−2+√3)=3−√3.③ 由②③知,ta n α
2,tan β是一元二次方程x 2-(3−√3)x +2−√3=0的两个实数根. 解上述方程,得{
tan α
=2-√3,tanβ=1
或{
tan α=1,
tanβ=2-√3.
∵α是锐角,∴0<
α<π,
∴ta n α
2≠1,故ta n α2=2−√3,tan β=1. ∵0<β<π
2,由tan β=1,得β=π
4,代入①,得α=π
6.∴存在锐角α=π
6,β=π
4使两个条件同时成立.。