耦合系数的物理意义及表达式

定义： 为了便于反映“增强”和“削弱”作用及简 化图形表示，采用同名端标记方法。对两个有 耦合的线圈各取一个端子，并用相同的符号标 记，如“·”或“*”等，这一对端子称为同名端。
性质：无论电流从哪一个线圈的哪一个端子流入或流 出，也无论电流是增大还是减小，互感线圈的 同名端，其感应电压的实际极性始终一致。如 果两个互感线圈的电流i1和i2所产生的磁通是相 互增强的，则电流流入（或流出）的端钮就是 同名端，如果磁通相互削弱，电流流入（或流 出）的端钮就是异名端。
（3）由以上公式可知：
M L顺 L反 4
上式给出了一个求两 线圈互感系数M的方法。 通过实验测出L顺和L反， 然后代入上式中，即可求 出M值。
【例22-4】
右图所示电路中，已知R1= 4Ω，R2=6Ω，自感抗 wL1=5Ω，wL2=9Ω，wM=3Ω，输入电压U=50V， 求电路中电流I及输出电压U2。
【例22-3】
下图（a）、（b）所示的电路中，同名端标记，端 电压u1、u2及电流i1、i2的参考方向均已标在图上，试 写出线圈端电压u1、u2的表达式。
解：
图（a）中两线圈中均通有电流，所以端电压u1、u2 各是由自感电压和互感电压组成。图中，电流i1、i2从 同名端流入，按惯例选择uL1、uL2、u12、u21参考方向 如图所示。uL1、u12与端电压u1参考方向相反，uL2、 u21与端电压u2的参考方向相同，由此可写出端电压u1、 u2的表达式为
三、自感电压及互感电压“+”、“-”的判断方法
自感电压前的“+”、“-”号可直接根据自感电压与 产生它的电流是否为关联方向确定，关联时取“+”号， 非关联时取“-”号。
互感电压前的“+”、“-”号的正确选取是写出耦合 电感端电压的关键，选取原则可简明地表述如下：如 果互感电压的“+”极端子与产生它的电流流进的端子 为一对同名端，则互感电压前取“+”号，反之取“-” 号。
感。
二、去耦等效电路
以没有互感的等效电路代替原来有互感的电路，这 种方法叫互感消去法，也称去耦等效变换。
1、串联电路的去耦等效电路
顺接串联的去耦 等效电路
反接串联的去耦 等效电路
2、并联电路的去耦等效电路
同名端相联的去耦等效电路
图（a）电路等效为自感系数为L0、 L1' L1 M
L1/和L2/三个没有互感的线圈混联的 L'2 L2 M
所以电路电流I及输出电压U2为
I = 2.236 A U2 = 30 V
【例22-5】
下图所示电路中，已知uS=14.1sin（wt）V，R= 3Ω，wL1= wL2=4Ω，wM=2Ω，求ab端电压uab和 Uab。
解：
•
U
S
14
1 0o
100o
V
2
可求得
•
•
I1
US
100o 2 53 1o A
实验法判断同名端：
对实际已绕制好的互感线圈，有时无法判别它们的 实际绕向，例如线圈被封装在外壳里面。在这种情况 下，可以采用实验的方法来测定两线圈的同名端。
判断
方法：
直流电压源正负极通过开关S与线圈Ⅰ的1、2端连接，直流 电压表（或电流表）接到线圈Ⅱ的3、4端。在开关S闭合瞬间， 电流由电源正极流入线圈Ⅰ的1端且正在增大，即电流的变化率 ＞0，则与电源正极相连的1端为高电位端，2端为低电位端。 此时若电压表指针正向偏转，则与电压表正接线端相连的线圈 Ⅱ的3端为高电位端，4端为低电位端，因为同名端的感应电压 的实际极性始终一致，由此可判断出，端钮1、3是同名端。如 果电压表指针反偏，端钮1、4是同名端。
0o
20o
A
2
得到
wL1 1000 0 05 50
wM 1000 0 025 25
•
•
U L1 j wL1 I 1 j50 20o 100 90o V
•
•
U 21 j wM I 1 j25 20o 5090o V
所以
uL1 100 2 sin(1000t 90o ) V u21 50 2 sin(1000t 90o ) V
u1
uL1
u12
L1
d i1 dt
M
d i2 dt
u2
uL2
u21
L2
d i2 dt
M
d i1 dt
图（b）中，电流i1、i2从异名端流入，同样按惯例 选择uL1、uL2、u12、u21参考方向如图所示，得
u1
uL1
u12
L1
d i1 dt
M
d i2 dt
u2
uL2
u21
L2
•
•
I
U
500o
5 63 4o 2 236 63 4o A
Z 10 563 4o
•
•
•
•
•
•
•
U 2 U L2 U 21 U R2 j wL2 I j wM I R2 I
•
[R2 j w(L2 M )] I (6 j9 j3) 5 63 4o
6 563 4o 5 63 4o 300o V
0 4 j7 2 7 21 86 8o
uab=7.21sin（wt-86.8o）=10.2sin（wt-86.8o） V
2、并联
同名端相连
异名端相连
等效电感：
L同
L1L2 M 2 L1 L2 2M
L异
L1L2 M 2 L1 L2 2M
同名端并联
时的等效电感 大于异名端并 联时的等效电
【例22-6】
下图（a）所示电路中，已知L1=7H，L2=4H， M=2 H，R=8Ω，uS（t）= 20sintV，求电流i2 （t）。
解： 应用互感消去法，将图（a）等效为图（b）。
应用阻抗串、并联等效关系，求得电流为
•
•
I1 8
US j5 j2 //
200o j2 1036 9o
2 36 9o
解： 按习惯选定电压电流参考方向如图所示。本
题电路中为两个线圈的顺接串联电路，故 wL顺= w（L1+ L2+2M）= 5+9+2×3=20Ω
R = R1 + R2 = 4 + 6 = 10Ω 此串联电路的等效复阻抗（考虑了互感的影响）Z为
Z=R+jwL顺=10+j2100 =563 4o Ω
可求得
第22讲 含耦合电感的电路分析
重点： 1、互感线圈的同名端； 2、耦合系数的物理意义及表达式； 3、互感线圈的串联与并联； 4、含耦合电感的电路分析。
11.1 耦合电感的电压电流关系
一、互感现象 定义： 载流线圈之间通过彼此的磁场相互联系的物理现 象叫做互感现象，也叫磁耦合。
互感现象的有关名词：
d i2 dt
M
d i1 dt
四、耦合系数
物理意义：
用来表征两个线圈耦合得紧密程度。
表达式：
k M L1 L2
0≤ k ≤1 k = 1，这种情况称
为全耦合。
在电力变压器中，为
了有效地传输功率，采 用紧密耦合，k值接近于 1，而在无线电和通信方 面，要求适当的、较松 的耦合时，就需要调节 两个线圈的相互位置。 有的时候为了避免耦合 作用，就应合理布置线 圈的位置，使之远离， 或使两线圈的轴线相互 垂直，或采用磁屏蔽方 法等。
解法1：利用电压电流关系分析。
•
•
•
U L1 U 12 U
•
•
即
U L2 U 21 0
•
•
•
j wL1 I 1 j wM I 2 U
R j wL1 3 j4
按习惯选定互感电压u21的参考方向，由图可以看 出互感电压u21的“+”极端子与产生它的电流i1流进的 端子是同名端，所以互感电压
•
•
U 21 j wM I 1 j2 2 53 1o 436 9o V
•
•
•
U ab U 21 I1 R 436 9o 2 531o 3 (3 2 j2 4) (3 6 j4 8)
电路，三个去耦等效参数为：
L0 M
异名端相联的去耦等效电路
图（a）电路等效为自感系数为L0、 L’1’ L1 M
L1/和L2/三个没有互感的线圈混联的 电路，三个去耦等效参数为：
L’2’ L2 M
L0 M
三、含耦合电感电路的分析
提示： 含耦合电感的电路在分析时，应视具体情 况将互感电路等效为无感等效电路，这样有 时会使分析变得简便。
Ψ11 = L1i1， Ψ22 = L2i2
互感磁链与施感电流的关系为 Ψ12 = M12i2， Ψ21 = M21i1
上式中M12和 M21称为互感系数，简称互感，单位 是亨利（H）。后面的分析会证明，M12和 M21是相 等的，即M12 = M21 = M。本书中介绍的互感均为
互感线圈的同名端：
A
应用复阻抗并联分流关系求得
•
I2
j2
•
I1
1
2
36 9o
1
36 9o
A
j2 j2
2
所以
i2 (t) sin(t 36 9o ) A
【例22-6】
下图所示电路中，一个线圈发生匝间短路，求发生 故障后线圈的等效电感。
解：
此题分析时要注意，不能误以 为一个线圈短路后，其等效电感 即为剩余部分的电感，因为线圈 间有互感，相互间要影响。
注意：
今后若无特殊要求，选取电压、电流的参考方向均 要保证自感电压和互感电压前取“+”号。
【例22-1】
下图所示电路中，已知i1=10A，i2= 5sin（10t） A，L1=2H，L2=3H，M=1H，求两耦合电感的端电 压u1、u2。
解：根据图中电压、电流参考方向及同名端，可得
u1
L1
d i1 dt
同名端的判断方法：
两个互感线圈的同名端可以根据它们的绕向和相对 位置判别，也可以通过实验方法确定。
下图画出了几组实际绕向和相对位置不同的互感线圈。 利用上述同名端的定义可判断出各组互感线圈的同名端。 在（a）中，若电流分别从1端和3端流入，它们产生的 磁通相互增强，因此1端和3端是同名端，同理，图（b） 中1、4端是同名端，图（c）中1、4是同名端。
解：
选自感电压uL1和互感电压u21参考方向如图所示。 uL1与i1参考方向相反，u21的“+”极端子与产生它的 电流i1流进的端子是同名端，所以可得
u L1
L1
d i1 dt
u21
M
d i1 dt
其相量形式为
•
•
U L1 j wL1 I 1
•
•
U 21 j wM I 1
由已知
•
I1
2 82
施感电流
载流线圈中的电流i1和i2称为施感电 流
自感磁链
自感磁通Φ11中所产生的磁通链（简 称磁链）Ψ11称为自感磁链
互感磁链
自感磁通Ψ11中的一部分或全部交 链线圈2时产生的磁链设为Ψ21，称 为互感磁链。
耦合线圈
把这两个靠近的载流线圈称为耦合 线圈。
二、互感系数与同名端 互感系数： 自感磁链与电流的关系为
结论：
两线圈相对位置相同，实际绕向不同，因而同名端 不同，如上图（a）、（b） 所示；（a）、（c）中， 两线圈绕向相同，但相互位置不同，其同名端也就不 同，这说明同名端只取决于两线圈的实际绕向和相互 位置。
再如，下图电路中，由于三个线圈没有一条磁感应 线可以同时穿过它们，因此它们没有共同的一组同名 端，只能每两个线圈之间具有同名端。利用上述定义 可以得出，对线圈Ⅰ、Ⅱ来说，1、4端是同名端，线 圈Ⅱ、Ⅲ的同名端为3端和5端，线圈Ⅰ、Ⅲ的同名端 为1端和5端，分别用“·”、“△”和“*”标记。
【例22-5】
试求下图（a）所示电路的输入阻抗Zi。
解： 图中为互感线圈同名端联接，利用互感消
去法，可得无感等效电路如图（b）所示。 等效复阻抗为
Zi
j wL0
(R1 jwL1' )(R2 jwL'2 ) R1 jwL1' R2M )][R2 jw(L2 M )] (R1 R2 ) jw(L1 L2 2M )
M
d i2 dt
0 50 cos(10t) 50 cos(10t) V
u2
L2
d i2 dt
M
d i1 dt
150 cos(10t) 0 150 cos(10t) V
【例22-2】
下图所示的互感电路中，同名端标记如图所示。已 知L1=L2=0.05H，M = 0.025H，i1= 2.82 sin （1000t）A，试求自感电压uL1和互感电压u21。
11.2 含有耦合电感电路的计算
一、串、并联电路 1、串联
顺接串联
反接串联
等效电感： L顺 = L1 + L2 + 2M
L反 = L1 + L2 - 2M
说明：
（1）互感系数M既小于或等于两个线圈自感的几 何平均值 L1L，2 又小于或等于两个线圈自感的算术平 均值 。 L1 L2
2
（2）顺接时的等效电感大于反接时的等效电感， 当外加相同正弦电压时，顺接时的电流小于反接时的 电流。这一结论可以帮助我们判断同名端。