2021-2022年高二下学期4月月考数学(文)试题(I)

2021-2022年高二下学期4月月考数学（文）试题(I) 一、选择题
1．如图，△ABC 中，｜｜＝3，｜｜＝1， D 是BC 边中垂线上任意一点，则·（－）
的值是( )
A ．1
B ．
C ．2
D ．4
【答案】D
2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则·等于( )
A ．－16
B ．－8
C ．8
D ．16
【答案】D
3．如图，非零向量==⊥==λλ则若为垂足且,,,,a OC C OA BC b OB a OA
( ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
4． 设平面向量=(－2，1)，=(λ，－1)，若与的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
5．已知向量b a d ，R k b a k c b a -=∈+===)(),1,0(),0,1(，如果∥，那么（ ）
A ．k=1且与同向
B ．k=1且与反向
C ．k=－1且与同向
D ．k=－1且与反向
【答案】D
6．已知向量a ＝(1，k )，b ＝(2,2)，且a ＋b 与a 共线，那么a ·b 的值为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 【答案】D 7．设o 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足不共线，则的值一定等于
(
A ．以为两边的三角形的面积；
B ．以为两边的三角形的面积；
C ．以为邻边的平行四边形的面积；
D ．以为邻边的平行四边形的面积。

【答案】C
8．已知在△中，点在边上，且，，则的值为（ ）
A 0
B 43
C 23
D -3
【答案】A
9． 且关于x 的函数x b a x a x x f
··2131)(2
3++=在R 上有极值，则与的夹角范围
是
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
10．对于非零向量，定义运算“”：，其中为的夹角，有两两不共线的三个向量，下列结论正确的是
( ）
A ．若，则
B ．
C ．
D ．
【答案】D
11． 若均为单位向量，且，则的最小值为（ ）
A ． 2
B ．
C ． 1
D ． 1
【答案】D
12．已知两点 ,O 为坐标原点，点C 在第二象限，且
,
则等于（ ）
A ．
B ．
C ．-1
D ． 1 【答案】A
【解析】作图 [
由已知
5,6231231根据三角函数的定义，可设C （-r,r ）22OC OA OB
31（-r,r ）=(-2,0)+（，）223-r=-22，解方程可得=1r=32
AOC πλλλλλλ→→→∠=
=-+∴⎧⎪⎪∴⎨⎪⎪⎩
二、填空题
13． 设a ，b 是两个不共线的非零向量，若8a ＋kb 与ka ＋2b 共线，则实数k ＝________.
【答案】4
14．的重心，则”,设分别为的内角的对边，点M为的重心.如果
3
aMA+bMB+cMC=0,则内角的大小为
【答案】
15．已知向量a·b =，且|a|=2，|b|=5，则<a，b>= .
【答案】
16．设、为平面内两个互相垂直的单位向量，向量满足，则的最大值为．【答案】
三、解答题
17．已知212213)12(,)1(e e t b e k e t a
-+=-+=，且，试求t 关于k 的函数。

【答案】，则 -3t = ( 2t + 1 )( k 2 – 1 )
18．已知向量a 是以点A (3，－1)为起点，且与向量b ＝（－3，4）垂直的单位向量，求a 的终点坐标
【答案】设a 的终点坐标为（ｍ，ｎ）
则a ＝（ｍ－3，ｎ＋1）
由①得：ｎ＝（3ｍ－13）代入②得
25ｍ2－15O ｍ＋2O9＝O
解得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.58,511.52,5192211n m n m 或 ∴a 的终点坐标是（
19．已知锐角△ABC 三个内角为A ，B ，C ，向量p ＝(cos A ＋sin A,2－2sin A )，向量q ＝(cos A －sin A,1＋sin A )，且p ⊥q .
(1)求角A ；
(2)设AC ＝3，sin 2A ＋sin 2B ＝sin 2C ，求△ABC 的面积．
【答案】(1)∵p ⊥q ，
∴(cos A ＋sin A )(cos A －sin A )＋(2－2sin A )(1＋sin A )＝0，
∴sin 2A ＝34．而A 为锐角，所以sin A ＝32⇒A ＝π3
． (2)由正弦定理得a 2＋b 2＝c 2，
∴△ABC 是直角三角形，且∠C ＝π2
． ∴BC ＝AC ×tan
π3＝3×3＝3. ∴S △ABC ＝12AC ·BC ＝12×3×3＝332
． 20．在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点分别是（-1，-2），（0，
1），（3，2）。

①求直线的方程；②求平行四边形的面积； 【答案】①因为B(0,1),C(3,2),由直线的两点式方程得
直线的方程是0330
30121=+-⇒--=--y x x y ②由点到直线的距离是，，
所以，即得，所以平行四边形的面积是
21．已知向量(3,4),(6,3),(5,3)OA OB OC x y =-=-=---．（1）若点不能构成三角形，求应满足的条件；（2）若，求的值．
【答案】（1） 若点不能构成三角形，则这三点共线
由(3,4),(6,3),(5,3)OA OB OC x y =-=-=---得
∴
∴满足的条件为；
(2），
由得
(2,1)2(1,)x y x y --=---
∴ 解得．
22．已知向量满足.
(1）求的值；
(2）求的值.
【答案】（1）由｜｜=2得
222||24124-=-⋅+=+-⋅=a b a a b b a b ， 所以.
(2）2221||242162
+=++=+⨯+=a b a ab b ，所以.
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